数学形态学的基本运算
开运算名词解释
开运算（Opening Operation）是数学形态学（Mathematical Morphology）中的一种基本操作，用于图像处理和计算机视觉中。
这个操作的目的是通过两个结构元素之间的腐蚀（Erosion）和膨胀（Dilation）来处理二值图像。
具体来说，开运算由以下两个步骤组成：
1. 腐蚀（Erosion）：使用一个结构元素，通过将结构元素在图像上滑动，只有当结构元素完全覆盖图像中的目标区域时，该像素才保留，否则被置为零。
腐蚀操作有助于去除图像中的小细节、噪声或边缘。
2. 膨胀（Dilation）：使用相同的结构元素，同样通过滑动结构元素，如果结构元素覆盖了图像中的目标区域的任何部分，该像素就被置为1。
膨胀操作有助于连接被腐蚀分开的目标区域，填充空洞，并增加目标的大小。
开运算的效果是先进行腐蚀操作，再进行膨胀操作。
这种操作有助于平滑图像、去除小的对象并保留大的对象。
在图像分割、边缘检测和形态学滤波等领域中经常使用开运算来预处理图像。
数学表达式中，如果将图像表示为二值矩阵，开运算可以用下面的形式表示：Opening(A)=Dilation(Erosion(A))
其中，A是输入图像。
开运算的效果在很多情况下都能够提升图像质量，特别是在去除小目标或噪声的应用中常常使用。
数学形态学的基本运算有-Read
第一部分 图像代数—数学形态学
一、 引言 二、 二值形态学 三、 形态学的应用 四、 Biblioteka 用实例——细化第五章图像平滑
1 .引 言
数学形态学 (Mathematical Morphology) 诞生于 1964 年，是由
法国巴黎矿业学院博士生赛拉(J. Serra)和导师马瑟荣，在从事铁
第五章图像平滑 腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点。如果结 构元素取3×3的像素块，腐蚀一次将使物体的边界沿周边减少一
个像素。腐蚀可以把小于结构元素的物体(毛刺、 小凸起)去除，
这样选取不同大小的结构元素，就可以在原图像中去掉不同大小 的物体。如果两个物体之间有细小的连通，那么当结构元素足够 大时， 通过腐蚀运算可以将两个物体分开。
学形态学方法利用一个称作结构元素的“探针”收集图像的信息，
第五章图像平滑
基本符号和术语
1. 元素和集合
在数字图像处理的数学形态学运算中，把一幅图像称为一个集合。
对于二值图像而言，将整幅图像看作是由目标和背景组成，目标中所有 的像素组成集合A，背景中所有像素就是集合A的补集， 集合A中元素与目标
中像素是一一对应的。
对于一幅图像，如果点 a在A的区域以内， 那么就说a是A的元素，记为 a∈A，否则，记作a∈A， 如下图（a）所示。
b a A (a) (b) B A
第五章图像平滑
2. 交集、 并集和补集
并集： 两个图像集合A和B的公共点组成的集合称为两个集合的交集， 记为
A∩B，即A∩B={a｜a∈A且a∈B}。
矿核的定量岩石学分析及预测其开采价值的研究中提出“击中/ 击不中变换”， 并在理论层面上第一次引入了形态学的表达式， 建立了颗粒分析方法。他们的工作奠定了这门学科的理论基础。 数学形态学的基本思想是用具有一定形态的结构元素去量
电大一网一2023春季学期数字与图像处理第4次平时作业-100分
博州校本部学习中心《数字与图像处理》2023春季学期数字与图像处理第
4次平时作业-100分
题1：形态学图像处理被广泛应用到图像系统的( )这一步骤中如去噪、使目标更平滑等，是图像处理很重要的处理方法。
A.预处理
B.后处理
C.平滑处理
D.去噪处理
正确答案：A
题2：形态学图像处理的基本思想是了解图像的（）。
A.滤波特征
B.频谱特性
C.结构特征
D.性能特点
正确答案：C
题3：下列算法中属于点处理的是（）。
A.梯度锐化
B.二值化
C.傅立叶变换
D.中值滤波
正确答案：B
题4：下列哪一个不是基于边缘的分割。
（）
A.点检测
B.线检测
C.边缘检测。
数学形态学的基本算法及在图像预处理中应用
作用 ； 先膨胀后腐蚀 的过程 闭运算 ， 有填充物体 具 内细小孔洞 ， 临近物体和平滑边界 的作用 。 连接
１ ２ 灰 度形 态学 ．
由于现实中的图像大多为灰度图像 ， 必须将二 值形态学扩展到灰度形态学 ， 以有效地处理多值 图 像。 灰度形态学的运算对象不是集合 ， 而是 图像 函
输出图像会 比输入 图像亮 （ 或暗） 根据输入图像 中 ；
的一个有效方法 。
２ 数学形态学在图像预处理中应用方面的 技术特点
利用二值或灰度数 学形态学基本 运算 ， 可得到
一
暗（ 或亮 ） 细节 的灰度值 以及它们 的形状 相对 于结 构元素的关系， 它们 在运算 中被消减或被除掉。 灰度形态学 中的开 闭运算都 可 以用来 提取特
＿
点平移到与信号重合 ， 然后计 算信号上每一点处对
维普资讯
３ 期
张艳 玲 ， ： 等 数学形态学 的基本算法及在图像预处理 中应 用
３７ ５
应结构元素的最大值 ； 而灰度腐蚀是将结构元素紧
贴在信号下方 “ 滑动” 其原点刻 画出的轨迹 。 ， 它们 分别记为 ① ｇ ｏ 。 ， ｇ 对灰度图像的膨胀 （ ｆ 或腐蚀 ） 操作有两种效果 ： 如果结构元素 的值都为正 的。 则
度形态学两种。 数学形态 学 中的二值 图像 的形态 变换是一种
除噪声 、 保留原始 图像 中的整体信息 。数学 形态学 １ １ 二值形态学 ．
（ ａ ｅ ａｃｌ ｏ ｈｌ ｙ）是 由 法 国 数 学 家 Ｍ ｔ ｍｔａ ｈ ｉ Ｍ ｒ ｏ ｇ ｐ ｏ
Ｇ Ｍ ｔ ｒ 和 ＪＳｒ 于 １６ ． ａ ｅ ｎ ． ｅ ａ ９４年提出而逐渐发展 的 ｈｏ ｒ
形态学
形态学的基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。
数学形态学的数学基础和所用语言是集合论，它着重研究图像的几何结构，由于视觉信息理解都是基于对象几何特性的，因此它更适合视觉信息的处理和分析，这类相互作用由两种基本运算腐蚀和膨胀及它们的组合运算来完成。
数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干的结构。
数学形态学的算法具有天然的并行实现结构。
数学形态学的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开启的闭合，它们在二值图像中的灰度图像中各有特点。
基于这些运算还可以推导和组合成各种数学形态学的实用算法。
我们这里主要讨论二值数学形态学的基本运算和算法。
二值图像包含目标的位置、形状、结构等许多重要特征，是图像分析和目标识别的依据。
二值形态学的运算对象是集合，但实际运算中当涉及两个集合时并不把它们看作是互相对等的，一般设A 为图像集合，B 为结构元素，数学形态学运算是用B 对A 进行操作。
膨胀膨胀的运算符为⊕，A 用B 来膨胀写作B A ⊕，其定义为:}])[(|{∅≠=⊕∧A B A B A x I 上式表明用B 膨胀A 的过程是，先对B 做关于原点的映射，再将其映像平移x ，这里A 与B 映像的交集不为空集。
也可以解释为：}])[(|{A A B A B A x ⊆=⊕∧I 腐蚀腐蚀的运算符为Θ，A 用B 来腐蚀写作B A Θ，其定义为:})(|{A B A B A x ⊆=Θ上式表明用B 腐蚀A 的结果是所有x 的集合，其中B 平移x 后仍在A 中，换句话说，用B 来腐蚀A 得到的集合是B 完全包括在A 中时B 的原点位置的集合。
开启和闭合膨胀和腐蚀并不是互为逆运算，所以它们可以级连结合使用，例如，可以对图像进行腐蚀然后膨胀其结果，或先对图像进行膨胀然后腐蚀其结果。
前一种运算称为开启，后一种称为闭合。
开启的运算符为ο，A用B来开启写作BAο,其定义为B（=）οΘABA⊕B闭合的运算符为•，A用B来开启写作BA•,其定义为B⊕=•）（AΘBAB二值图像是指那些灰度只取两个可能值的图像，这两个灰度值通常取为O 和1。
数学形态学
三：基本概念
集合关系：设 A 和 B 为R2的子集，A 为物体区域， B为某种结构元素，则 B 结构单元对 A 的关系有三类：
a) B 包含于A,
B⊂ A b) B 击中（hit）A, B I A! = Φ c) B 击不中(miss)A， BI A=Φ
A B A B A B
图2 包含、击中和击不中示意图
板,则 A B 由在平移模板的过程 中,所有可以添入 A 内部的模板 的原点组成.
A
A B B
腐蚀类似于收缩
一般,如果坐标 原点在结构元素内部, 则腐蚀后的图像为输 入图像的子集;如果 坐标原点不在结构元 素的内部,则腐蚀后 的图像可能不在输入 图像的内部，但输出 形状不变.
A
A B
B
腐蚀不是输入图像的子图像
THE END
谢谢大家
( f Θg )( x) = max{ y : g x + y << f }
其中 g x 表示在点x处的结构元素，y 表示腐蚀值
g
f
fΘg
t
0.5
t
利用半圆形结构元素的腐蚀
从几何学角度看，求图像被结构元素在点x腐蚀的 结果，就是在空间滑动结构元素，是结构元素的原点与 点x重合，然后从负无穷大向上推结构元素，对结构元 素仍处于图像下方所能达到的最大值是结构元素的原点 做标记，该标记点为该点腐蚀结果。其效果相当于半圆 形结构元素在被腐蚀函数的下面“滑动”时，其圆心画 出的轨迹。但是，这里存在一个限制条件，即结构元素 必须在函数曲线的下面平移。从图中不难看出，半圆形 结构元素从函数的下面对函数产生滤波作用，这与圆盘 从内部对二值图像滤波的情况是相似的。
平移：将一个集合A平移距离x可以表示为A+x，其定义 为：
形态学的原理以及应用场景(含源码)
形态学的原理以及应用场景（含源码）转自：摘要：形态学一般指生物学中研究动物和植物结构的一个分支。
用数学形态学（也称图像代数）表示以形态为基础对图像进行分析的数学工具。
基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。
形态学图像处理的基本运算有：•膨胀和腐蚀（膨胀区域填充，腐蚀分割区域）•开运算和闭运算（开运算去除噪点，闭运算填充内部孔洞）•击中与击不中•顶帽变换，黑帽变换形态学的应用：消除噪声、边界提取、区域填充、连通分量提取、凸壳、细化、粗化等；分割出独立的图像元素，或者图像中相邻的元素；求取图像中明显的极大值区域和极小值区域；求取图像梯度在讲各种形态学操作之前，先来看看结构元素：膨胀和腐蚀操作的核心内容是结构元素。
（后面的开闭运算等重要的也是结构元素的设计，一个合适的结构元素的设计可以带来很好的处理效果OpenCV里面的API介绍：Mat kernel = getStructuringElement(int shape,Size ksize，Point anchor）;一，腐蚀和膨胀腐蚀和膨胀是最基本的形态学操作，腐蚀和膨胀都是针对白色部分（高亮部分）而言的。
•膨胀就是使图像中高亮部分扩张，效果图拥有比原图更大的高亮区域（是求局部最大值的操作）•腐蚀是原图中的高亮区域被蚕食，效果图拥有比原图更小的高亮区域（是求局部最小值的操作）膨胀与腐蚀能实现多种多样的功能，主要如下：1、消除噪声2、腐蚀分割(isolate)出独立的图像元素，膨胀在图像中连接(join)相邻的元素。
3、寻找图像中的明显的极大值区域或极小值区域4、求出图像的梯度opencv中膨胀/腐蚀API:(两者相同）void dilate/erode( const Mat& src, //输入图像（任意通道的）opencv实现：Mat src1 = imread("D:/opencv练习图片/腐蚀膨胀.png");图片膨胀：图片[图片上传中...(image-e5cbf7-1637738882548-13)]1️⃣ 腐蚀操作的原理就是求局部最小值的操作，并把这个最小值赋值给参考点指定的像素。
形态学中的腐蚀与膨胀
数学形态学运算——腐蚀、膨胀、开运算、闭运算腐蚀简单说：就是以结构B的原点为基点沿着将要被腐蚀的图像A中的所有点移动，如果此时结构B中的所有点（包括原点）被A包含，那么被B原点沿着的A中的该点就保留，否则，该点就被抛弃。
可以看出，执行完该腐蚀指令后，A中突出部分，以及外围至少减少了结构B的一半(假设B的原点为B的中心)。
膨胀简单说：就是以结构B的原点为基点沿着将要被膨胀前的图像A中的所有点移动，如果此时结构B中至少有一个点（包括原点）被A包含，那么被沿着的A中的该点及周围就被B扩充，扩充范围为B的整个区域。
可以看出，膨胀后，原A沿着边缘外围被扩充了B的一半(假设B的原点为B的中心)。
数学形态学操作可以分为二值形态学和灰度形态学，灰度形态学由二值形态学扩展而来。
数学形态学有2个基本的运算，即腐蚀和膨胀，而腐蚀和膨胀通过结合又形成了开运算和闭运算。
开运算就是先腐蚀再膨胀，闭运算就是先膨胀再腐蚀。
腐蚀粗略的说，腐蚀可以使目标区域范围“变小”，其实质造成图像的边界收缩，可以用来消除小且无意义的目标物。
式子表达为：该式子表示用结构B腐蚀A，需要注意的是B中需要定义一个原点，【而B的移动的过程与卷积核移动的过程一致，同卷积核与图像有重叠之后再计算一样】当B的原点平移到图像A的像元(x,y)时，如果B在（x,y）处，完全被包含在图像A重叠的区域，(也就是B中为1的元素位置上对应的A图像值全部也为1)则将输出图像对应的像元(x,y)赋值为1，否则赋值为0。
我们看一个演示图。
B依顺序在A上移动（和卷积核在图像上移动一样，然后在B的覆盖域上进行形态学运算），当其覆盖A的区域为[1,1;1,1]或者[1,0;1,1]时，（也就是B中‘1’是覆盖区域的子集）对应输出图像的位置才会为1。
膨胀粗略地说，膨胀会使目标区域范围“变大”，将于目标区域接触的背景点合并到该目标物中，使目标边界向外部扩张。
作用就是可以用来填补目标区域中某些空洞以及消除包含在目标区域中的小颗粒噪声。
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第二章数学形态学的基本运算2.1二值腐蚀和膨胀二值图象是指那些灰度只取两个可能值的图象，这两个灰度值通常取为0和1。
习惯上认为取值1的点对应于景物中的点，取值为0的点构成背景。
这类图象的集合表示是直接的。
考虑所有1值点的集合(即物体)X，则X与图象是一一对应的。
我们感兴趣的也恰恰是X集合的性质。
如何对集合X进行分析呢?数学形态学认为，所谓分析，即是对集合进行变换以突出所需要的信息。
其采用的是主观“探针”与客观物体相互作用的方法。
“探针”也是一个集合，它由我们根据分析的目的来确定。
术语上，这个“探针”称为结构元素。
选取的结构元素大小及形状不同都会影响图象处理的结果。
剩下的问题就是如何选取适当的结构元素以及如何利用结构元素对物体集合进行变换。
为此，数学形态学定义了两个最基本的运算，称为腐蚀和膨胀即1。
2.1 .1二值腐蚀运算腐蚀是表示用某种“探针”(即某种形状的基元或结构元素)对一个图象进行探测，以便找出图象内部可以放下该基元的区域。
它是一种消除边界点，使边界向内部收缩的过程。
可以用来消除小且无意义的物体。
腐蚀的实现同样是基于填充结构元素的概念。
利用结构元素填充的过程，取决于一个基本的欧氏空间概念—平移。
我们用记号A二表示一个集合A沿矢量x平移了一段距离。
即:集合A被B腐蚀，表示为AΘB，其定义为:其中A称为输入图象，B称为结构元素。
AΘB由将B平移x仍包含在A内的所有点x组成。
如果将B看作模板，那么，AΘB则由在将模板平移的过程中，所有可以填入A内部的模板的原点组成。
根据原点与结构元素的位置关系，腐蚀后的图象大概可以分为两类:(1)如果原点在结构元素的内部，则腐蚀后的图象为输入图象的子集，如图2.1所示。
(2)如果原点在结构元素的外部，那么，腐蚀后的图象则可能不在输入图象的内部，如图2.2所示。
图2.1腐蚀类似于收缩腐蚀除了用填充形式表示外，还有一个更重要的表达形式:这里，腐蚀可以通过将输入图象平移-b(b属于结构元素)，并计算所有平移的交集而得到。
2 1.2二值膨胀运算膨胀是腐蚀运算的对偶运算，可以通过对补集的腐蚀来定义。
我们以A c表示集合A的补集，∨B表示B关于坐标原点的反射。
那么，集合A被B膨胀，表示为A⊕B，其定义为:为了利用结构元素B膨胀集合A，可将B相对原点旋转180°得到∨B，再利用∨B对A c进行腐蚀。
腐蚀结果的补集，便是所求的结果，如图2.3所示。
图2.3利用正方形膨胀膨胀还可以通过相对结构元素的所有点平移输入图象，然后计算并集得到，可用如下表达式描述:此方程定义的膨胀，历史上称为Minkowski和。
本文对要测试的原始图象(如图 2.4)分别进行了腐蚀运算和膨胀运算，得到的结果如图2.5，2.6所示。
图24原始图象图2.5腐蚀图象图2.6膨胀图象2.1 .3腐蚀和膨胀的代数性质膨胀满足两个最基本的运算关系，一个是交换律，另一个是结合律。
即:由式(2.2)可见，腐蚀运算是不可交换的，但腐蚀运算具有结合律。
AΘ(B⊕C)=(AΘB) ΘC=(AΘC) ΘB (2.8) 式(2.7)表明，当图象A用一个大的结构元素B⊕C去腐蚀时，其结果与用B和C连续腐蚀时相同，而腐蚀结果与用结构元素B、C的腐蚀顺序无关。
根据这一性质，我们可以只存储一些简单而基本的结构元素B，C等等，一旦需要时便可由他们对图象做连续腐蚀，以取代各种复杂的结构元素。
腐蚀和膨胀运算具有以下的性质。
(l)腐蚀、膨胀和图象之并:即⊕对U是可分配的，Θ对U是不可分配的。
(2)腐蚀、膨胀和图象之交:(3)关于腐蚀和膨胀(4)若B1，B2，……，B n是一系列结构元素，则有2.1 .4腐蚀和膨胀的滤波性质数学形态学中的腐蚀和膨胀运算与基本的集合运算之间存在着一种代数运算对应关系，这是数学形态学一个很吸引人的性质。
下面讨论与形态学滤波有关的一些性质。
(l)平移不变性腐蚀和膨胀都具有平移不变性。
对于膨胀，这意味着，首先平移图象，然后利用一个给定的结构元素对其做膨胀处理，和先用一个给定的结构元素对图象做膨胀处理，然后做平移处理所得结果是一样的，即(A+x)⊕B=(A⊕B)+x (2 .22)对于腐蚀，平移不变性具有下面的形式:(A+x) ΘB=(AΘB)+x (223)在考虑平移不变性的时候，必须注意的是，平移不变性是针对平移图象，而不是针对结构元素而言的。
(2)递增性腐蚀和膨胀都具有递增性，如果A1为A2的子集，则A1⊕B为A2⊕B的子集，A1ΘB 为A2ΘB的子集。
另外，腐蚀的递增性是相对结构元素及输入图象的次序，即包含关系而言的。
如果A是一个固定的图象，B1是B2的一个子集，那么，B1比B2更容易填入A的内部，因而，AΘB1包含AΘB2。
(3)对偶性前面指出，膨胀是腐蚀的对偶运算。
因为膨胀可以通过对图象的补集作腐蚀运算求得，腐蚀也可以通过对图象的补集作膨胀运算求得，即2.2二值开运算和闭运算在形态学图象处理中，除了腐蚀和膨胀两种基本运算外，还有两种由腐蚀和膨胀定义的运算，即开运算和闭运算[3,4]。
这两种运算是数学形态学中最主要的运算或变换。
从结构元素填充的角度看，它们具有更为直观的几何形式，同时提供了一种手段，使得我们可以在复杂的图象中选择有意义的子图象。
2.2.1二值开运算假定A仍为输入图象，B为结构元素，利用B对A作开运算，用符号AoB表示，其定义为:所以，开运算实际上是A先被B腐蚀，然后再被B膨胀的结果。
开运算还可以用其它符号表示，如O(A，B)，OPEN(A，B)和A B，在本文中，我们采用O(A，B)来表示。
开运算能从一个图象A中选取一个与结构元素B相匹配的子集合，该子集合的性质是:上式表示图象A对结构元素B的开运算。
精确地选择集合A中的点x，当x被结构元素B或其平移B，覆盖的同时，结构元素必须整个包含在集合A内部，由此可以得出开运算是一个反延伸性质的运算。
式(2 .10)也可改写为:这种写法形象地描述了开运算的特性:当结构元素B扫过整个图象A集合内部，那些使结构元素B的任何象素不超出图象A边界的图象A的象素点的集合，就是O(A，B)。
开运算的这种基本的几何形状匹配性质在图象处理中是非常有用的。
它可以用来分解图象，抽取图象中有意义且独立的图象元。
通常的例子是用圆盘对矩形作开运算，通过2.1节对腐蚀和膨胀运算的描述，我们不难得到开运算的结果，如图2.7所示。
图2.7利用圆盘开运算从图2.7我们看到，开运算具有两个显著的作用:①利用圆盘可以磨光矩形内边缘;②用A-O(A，B)可以得到图象的尖角，因此圆盘的圆化作用可以起到低通滤波的作用。
本文对要测试的原始图象(图2.4)进行了开运算，选取3 x 3、5 x 5、7x7三种大小不同的菱形结构元素，所得结果如图2.8(a)、2.8(b)、2.8(c)所示。
另外，采用5 x 5的菱形、线形、正方形、圆形结构元素，所得结果如图2.9(a)、2.9(b)、2.9(c)、2.9(d)所示。
由图可以看出，目标周围的噪声块得到了一些有效处理，而且处理的效果与结构元素形状与大小的选取有密切关系。
(a) 3x3结构元素(b)5x5结构元素(c)7x7结构元素图2.8(a)菱形(b)线形(c)方形(d)圆形图2 .92.2.2二值闭运算闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀然后再作腐蚀。
利用B对A作闭运算表示为A·B，其定义为:闭运算还可以表示为C(A，B)，cL0sE(A，B)和A B，在本文中，我们采用C(A，B)来表示。
另外，因为开闭运算互为对偶运算，还满足下面的性质:我们还可以采用以下方法来描述闭运算:该集合中包含所有这样的点x，x被一个平移的的镜象结构元素∨B t覆盖的同时，∨B t与A图象必有一些公共点，由此看出，初始图象A包含在C(A，B)中，即闭运算是具有延伸性的运算。
图2.10描述了闭运算的过程及结果。
图2.10利用圆盘闭运算显然，用闭运算对图形的外部做滤波，仅仅磨光了凸向图象内部的边角。
本文对要测试的原始图象(如图2.4)进行了闭运算，选取3 x3、5x5、7x7三种大小不同的菱形结构元素，所得结果如图2.11(a)、2.11(b)、2.11(c)所示。
另外，采用5x5的菱形、线形、正方形、圆形结构元素，所得结果如图2.12(a)、2.12(b)、2.12(c)、2.12(d)所示。
发现目标内部的噪声块得到了一些有效处理，处理的效果与结构元素形状和大小的选取有密切关系。
利用结构元素对图象做闭运算，可以填充目标内部狭窄的裂缝和长细的窄沟，消去小的孔洞。
(a)3x3结构元素(b)5x5结构元素(c)7x7结构元素图2 .11(a)菱形(b)线形(c)方形(d)圆形图2 .122.2.3开、闭运算的滤波性质经过上面的讨论，我们可以得出开闭运算的滤波性质:(l)平移不变性O((A+x)，B)=O(A，B)+x (2.33)C((A+x)，B)=C(A，B)+x (2.34)(2)递增性若A1⊆A2，则O(A l，B)⊆O(A2，B) (2.35)C(A l，B)⊆C(A2，B) (2 .36)(3)延伸性开运算是是非延伸的:O(A，B)是A的子集;而闭运算是延伸的，A是C(A，B)的子集。
由此可得:O(A，B)⊆A⊆C(A，B) (2.37)(4)幂等性在对一个图象A用结构元素进行开运算后，若再用同一结构元素进行又一次开运算，则所得结果不变，这种性质叫做幂等性。
同样，闭运算也具有幂等性。
O((A，B)，B)=O(A，B) (2 .38)C((A，B)，B)=C(A，B) (2.39)(5)对偶性开闭运算互为对偶运算。
O(A，B)=C(A C，B)C(2.40)C(A，B)=O(A C，B)C (2.41)2.3小结本章首先介绍了数学形态学最基本的运算:腐蚀运算和膨胀运算。
然后又介绍了由腐蚀和膨胀所定义的开运算和闭运算，并对这四种运算的滤波性质以及腐蚀和膨胀运算的代数性质进行了分析。
而且通过实验证明结构元素的大小及形状对数学形态学运算的结果会产生不同的影响。
我们看到，依靠数学形态学基本运算的支持，产生了一些新颖、有效的思想和方法，它们在实际中的应用开拓了相当吸引人的领域。
这也证实了数学形态学这一方法的生命力。
计算机模拟实验表明，基于数学形态学进行图象处理所得到的效果更适合视觉信息的处理和分析。