高中数学选修4-5：1.1.3__三个正数的算术-几何平均值不等式
人教A版选修4-5：1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式课件(共23张PPT)
Qy1g4xgx(15x)1(4xx15x)3 1 ,
4
4
3
108
ymax
1. 108
例 1求 函 数 y x 2 (1 5 x)(0 x 1 )的 最 值 。 5
解：y 5 x2 ( 2 2 x) 5 xgx( 2 2 x),
25
25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Q 0 x 1 , 2 2 x 0, 55
数相 加 等于定值.
12x2(1x2)1(x2)
2
1(2x21x21x2)34
2
3
27
当 2 x 2 1 x 2 ,x3 3 时 ,y 2 m a2 4 x,y 7 m a9 2 x3 .
二、用基本不等式证明不等式
例5、已知x，y，zR+，求证：
（x+y+z） 327xyz。
证 明 ： 因 为 xyz3xyz， 所 以 3
3.对不等式 abc成3立abc的a,b,c的理解 3
(1)在不等式中a,b,c的范围是a>0,b>0,c>0.
(2)三个正数的和为定值，积有最大值.积为定值,和有最小值,
当且仅当三个正数相等时取等号.
例 1求 函 数 y x 2 (1 5 x)(0 x 1 )的 最 值 。 5
下面的解法对吗？
若a,b.cR,那么abc3abc, 3
当且仅当abc时，等号成立。
证明：a 3 b3 c3 3abc
(a b)3 3a3b 3ab2 c3 3abc
(a b)3 c3 3a3b 3ab2 3abc
(a b c) (a b)2 (a b)c c 2 3ab(a b c)
类比两个正数基本不等式的形式：ab 2 ab
新人教A版高二数学选修4-5第一章不等式 1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式_1
∴3x＋4y＋5z＝2×6＝12. ∴3 3 3x·4y·5z≤3x＋4y＋5z＝12.
∴(xyz)max＝1165. 答案：1165
当且仅当 x＝43，y＝1，z＝45时等号成立．
课时作业
人教A版数学·选修4-5
复习成功的关键在于
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01 抓思维训练
02 勤于方法总结
03 善于提炼观点
2．已知 x，y∈R＋且 x2y＝4，试求 x＋y 的最小值及达到最小值时 x、y 的值．
解析：∵x，y∈R＋且 x2y＝4，∴x＋y＝12x＋12x＋y≥3 3 14x2y＝3 3 14×4＝3， 当且仅当x2＝x2＝y 时等号成立． 又∵x2y＝4. ∴当 x＝2，y＝1 时，x＋y 取最小值 3.
1．已知 a，b，c∈R＋，证明：a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2≥27.
证明：因为 a，b，c∈R＋，所以 a＋b＋c≥33 abc>0.
所以(a＋b＋c)2≥93 a2b2c2. 又a12＋b12＋c12≥3 3 a2b12c2>0，
所以a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2≥3 3
13 a2b2c2·9
探究三 平均不等式的实际应用 [例 3] 如图所示，在一张半径是 2 米的圆桌的正中央上空挂一盏 电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得 太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一 点处的亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦 成正比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E＝ksirn2 θ， 这里 k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度 h，才能 使桌子边缘处最亮？
因构造定值时拆分不合理致误
人教版高中数学选修4-5习题：第一讲1.1-1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式
第一不等式和不等式1.1不等式三个正数的算—几何均匀不等式A基稳固一、11 4 x x43x x 41．已知 x∈ R ＋，有不等式： x＋x≥ 2x·x＝ 2，x＋x2＝2＋2＋x2≥ 32·2·x2＝ 3，⋯.启我可能推行：x＋ax n≥n＋1(n∈N＋)，a的()A． n nC． n2分析：n n＝ a.答案： A2．若 a＞ b＞ 0，B． 2nD．2n＋ 1，要使和式的定，必1a＋b（a－b）的最小 ()A．0 B．1 C．2 D．3分析：因 a＋1＝ (a－ b)＋ b＋1≥b（ a－ b）b（ a－ b）313（a－b）·b· ＝3，当且当a＝2，b＝1取等号，b（ a－ b）1所以 a＋的最小 3.b（ a－ b）答案： D3． x， y， z∈ R A． (－∞， lg 6] C． [lg 6，＋∞ )＋，且 x＋ y＋ z＝6， lg x＋ lg x＋ lg z 的取范是 ()B． (－∞， 3lg 2]D． [3lg 2，＋∞)分析：因lg x＋ lg y＋ lg z＝ lg(xyz)，3而 xyz ≤x ＋ y ＋ z＝ 23，33所以 lg x ＋ lg y ＋ lg z ≤ lg 2 ＝ 3lg 2，当且仅当 x ＝ y ＝ z ＝ 2 时，取等号．xyz4．已知 x ＋ 2y ＋ 3z ＝ 6，则 2 ＋ 4 ＋ 8 的最小值为 ( )3分析： 2x ＋ 4y ＋ 8z ＝ 2x ＋ 22 y ＋ 23z ≥ 3 26＝ 12.当且仅当 x ＝ 2y ＝ 3z ＝ 2 时等号建立．答案： C5．设 x ， y ， z ＞ 0，且 x ＋ 3y ＋ 4z ＝ 6，则 x 2y 3z 的最大值为 ()A ． 2B ． 7C ． 8D ． 1分析：由于 6＝ x ＋ x x 6 2 33y ＋ 4z ＝＋ ＋y ＋ y ＋ y ＋ 4z ≥6 x y z ，2223x＝ y ＝ 4z 时，取 “＝ ”，所以 x y z ≤ 1，当 2即 x ＝2， y ＝ 1， z ＝1时， x 2y 3z 获得最大值 1.4 答案： D二、填空题6．已知正数 a ，b 知足 ab 2＝ 1，则 a ＋ b 的最小值是 ________．分析：由于 a ， b 是正数， ab 2＝ 1，所以 a ＋ b ＝ a ＋b ＋ b≥ 3 323ab ＝ 32.2 2423 故 a ＋b 的最小值是 32 2，ab 2＝ 1，1 32，当且仅当b ，即 a ＝ 2 时取到最小值．a ＝ 23b ＝ 23答案：3222 ＜ ＜ 5 的最大值是 ________． 7．函数 f(x)＝ x(5－ 2x)0 x 2分析： f(x)＝ 1× 4x(5－ 2x)(5－ 2x) ≤431 4x＋ 5－ 2x＋ 5－ 2x＝250，4327当且仅当4x＝ 5－ 2x，即 x＝5时，等号建立．6故函数 f(x)＝ x(5－ 2x)2 0＜x＜52的最大值为25027.答案：250278．已知 a＞0， b＞ 0， c＞ 0，且 a＋ b＋ c＝ 1，关于以下不等式：①③a2＋ b2＋ c2≥1 . 3此中正确的不等式序号是________．分析：由于a， b， c∈ (0，＋∞)，3所以 1＝ a＋ b＋ c≥3 abc，13 1，1≥27，0＜ abc≤3＝27abc进而①正确，②也正确．又 a＋b＋ c＝ 1，所以 a2＋ b2＋ c2＋ 2(ab＋ bc＋ ca)＝ 1，所以 1≤3(a2＋ b2＋ c2)，即 a2＋ b2＋ c2≥1，③正确．3答案：①②③三、解答题29．θ为锐角，求y＝ sin θ· cos θ的最大值．3abc≤1；②1 ≥27；27abc22221222θ)12＝4.解： y ＝ sin θcosθcos θ＝· 2sin θ(1－ sinθ)(1－ sin≤27223当且仅当 2sin2θ＝1－ sin2θ，即 sin θ＝3时取等号．32 3所以 y max＝9 .10．已知 a， b， c 均为正数，证明：222＋11＋12a＋ b＋ ca ＋c≥ 6 3，并确立 a， b， c 为b何值时，等号建立．2证明：由于 a， b， c 均为正数，由算术—几何均匀不等式，得a2＋ b2＋ c2≥ 3(abc)3，①1＋1＋1≥ 3(abc)－1.a b c3所以 1＋ 1＋ 1 2 ≥9(abc)－ 2 .②a b c 32221 1 12 2 2故 a ＋ b ＋ c ＋ a ＋ b ＋ c ≥ 3(abc) 3＋ 9(abc)－ 3.2又 3(abc)3＋ 9(abc)－23≥ 2 27＝ 6 3，③所以原不等式建立．当且仅当 a ＝ b ＝c 时，①式和②式等号建立．22当且仅当 3(abc)3＝ 9(abc)－ 3时，③式等号建立．即当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝43时，原式等号建立．B 级 能力提高1．已知圆柱的轴截面周长为 6，体积为 V ，则以下总建立的是 ()A ． V ≥ πB ． V ≤ πC ． V ≥ 1πD ． V ≤ 1π88分析：设圆柱半径为 r ，则圆柱的高h ＝ 6－ 4r ，所以圆柱的体积为 226－ 4r2V ＝ π r ·h ＝ π r·2＝ π r 2(3－ 2r) ≤πr ＋ r ＋ 3－ 2r 33＝ π .当且仅当 r ＝ 3－ 2r ，即 r ＝ 1 时取等号．答案： B2．若 a ＞ 2， b ＞ 3，则 a ＋b ＋1的最小值为 ______．（ a － 2）（ b － 3）分析：由于 a ＞ 2， b ＞ 3，所以 a － 2＞ 0，b － 3＞ 0，则a ＋b ＋1＝ (a － 2) ＋ (b － 3) ＋1＋（ a － 2）（ b － 3）（ a － 2）（ b －3）3 （ a － 2） ×（ b － 3） × 1＋5＝ 8.5≥3（ a － 2）（ b － 3）1当且仅当 a － 2＝b － 3＝ ，即 a ＝ 3， b ＝ 4 时等号建立．（ a － 2）（ b － 3）答案： 83．如图 (1)所示，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图 (2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．图 (1)图(2)解：设正六棱柱容器底面边长为x(0＜ x＜ 1)，高为 h，由图可有2h＋3x＝3，3所以 h＝2 (1－ x)，V＝ S 底· h＝ 6×3 2 3 3 23x xx＋x＋ 1－x31 x · h＝x · · (1－x)＝ 9× × × (1－ x) ≤9× 2 2＝ .4222233当且仅当x＝ 1－ x，即 x＝2时，等号建立．2321所以当底面边长为3时，正六棱柱容器容积最大值为3.。
人教A版选修4-5 1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式 学案
第3课时 三个正数的算术—几何平均不等式定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c3≥a ＝b ＝c 时，等号成立．定理3的推广，一般形式的平均值不等式：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n≥当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．上述不等式称为平均值不等式，或简称均值不等式．知识点一 求函数的最值1．已知x 为正数，下列求最值的过程正确的是( )A ．y ＝x 2＋2x ＋4x3≥33x 2·2x ·4x3＝6，∴y min ＝6B ．y ＝2＋x ＋1x ≥332·x ·1x＝332，∴y min ＝332C ．y ＝2＋x ＋1x≥4，∴y min ＝4D ．y ＝x (1－x )(1－2x )≤13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3x ＋1－x ＋1－2x 33 ＝881，∴y max ＝881解析：在A 、B 、D 中，等号不成立，取不到最值；C 正确， ∵x >0时，y ＝2＋x ＋1x ≥2＋2x ·1x＝4，当且仅当x ＝y＝1时取等号．答案：C2．(2019·安徽合肥高二检测)若实数x ，y 满足xy >0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵实数x ，y 满足xy >0，且x 2y ＝2，∴xy ＋x 2＝12xy ＋12xy ＋x 2≥3312xy ·12xy ·x 2＝3314x 2y2＝3，当且仅当12xy＝12xy ＝x 2，即x ＝1，y ＝2时，等号成立，∴xy ＋x 2的最小值是3，故选C.答案：C知识点二 证明不等式3．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1，证明：(1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24. 证明：(1)∵abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1c＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋1b ＋1c ·abc ＝bc ＋ac ＋ab .∵2(a 2＋b 2＋c 2)＝(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)≥2ab ＋2bc ＋2ac ，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴2(a 2＋b 2＋c2)≥2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋1b ＋1c ，即a 2＋b 2＋c 2≥1a ＋1b ＋1c .(2)∵(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，又a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，a ＋c ≥2ac ，(当且仅当a ＝b ＝c 时等号同时成立)，∴(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥3×2ab ×2bc ×2ac ＝24abc2，又abc ＝1，∴(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24. 4．已知a ，b ，c >0，求证： (a ＋b ＋c )(ab ＋bc ＋ca )≥9abc . 证明：∵a ，b ，c >0， ∴(a ＋b ＋c )(ab ＋bc ＋ca ) ≥33abc ·33ab ·bc ·ca＝93abc3＝9abc(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． 知识点三 实际问题中的最值5．用一张钢板制作一个容积为4 m 3的无盖长方体水箱，可用的长方形钢板有四种不同规格(长×宽的尺寸如各选项所示，单位：m)．若既要够用，又要所剩最少，则应选择钢板的规格是( )A ．2×5B ．2×5.5C ．2×6.1D ．3×5解析：设长方体水箱长、宽、高分别为x ，y ，z ，则xyz ＝4.水箱的表面积S ＝xy ＋2xz ＋2yz ＝xy ＋2x ·4xy ＋2y ·4xy ＝xy ＋8y ＋8x≥33xy ·8x ·8y＝12.故要制作容积为4 m 3的无盖水箱，所需的钢板面积最小为12 m 2，所以A ，B 排除，而C ，D 均够用，但D 剩较多，故选C.答案：C6．已知球的半径为R ，球内接圆柱的半径为r ，高为h ，则r 与h 为何值时，球内接圆柱的体积最大？解：轴截面如图，设球内接圆柱的体积为V ，则V ＝πr 2h ，又R2＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫h 22，∴r 2＝R 2－h 24.∴V ＝πr 2h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫R 2－h 24h ＝π4(4R 2－h 2)h ＝π4·4R 2－h 22·h 2＝π4·124R 2－h 24R 2－h 2·2h 2≤π4·12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4R 2－h 2＋4R 2－h 2＋2h 233＝π4·12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8R 233＝439πR 3. 当且仅当4R 2－h 2＝2h 2，即h ＝233R 时，等号成立，此时r＝63R ， ∴当r ＝63R ，h ＝233R 时，球内接圆柱的体积最大，最大值为439πR 3.一、选择题1．(2019·河北衡水期中)已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x ＋4y ＋8z的最小值为( )A ．336 B ．2 C ．12D ．1235解析：因为x ＋2y ＋3z ＝6，所以2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z ≥332x ·22y ·23z ＝332x ＋2y ＋3z ＝3326＝12，当且仅当2x ＝22y ＝23z ，即x ＝2，y ＝1，z ＝23时，等号成立，∴2x ＋4y ＋8z 的最小值为12，故选C.答案：C2．设a >0，b >0，且a ＋b ＝3，则ab 2的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6解析：∵a >0，b >0，a ＋b ＝3，∴ab 2＝a ×b 2×b 2×4≤4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2＋b 233＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 33＝4×13＝4，当且仅当a ＝b2，即a ＝1，b ＝2时，等号成立，∴ab 2的最大值为4. 答案：C3．若x >0，则6x ＋9x2的最小值是( )A ．933B ．3336C ．13D ．不存在解析：∵x >0，∴6x ＋9x 2＝3x ＋3x ＋9x2≥3381＝933，当且仅当3x ＝9x2，即x ＝33时取等号．答案：A4．若a >b >0，则a ＋1ba －b的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．3 3解析：∵a >b >0，∴a ＋1ba －b ＝(a －b )＋b ＋1b a －b ≥33a －b b ·1ba －b＝3，当且仅当a －b ＝b ＝1ba －b，即a ＝2，b ＝1时取等号．答案：A5．(2019·山东潍坊检测)已知x ∈R ＋，有不等式：x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x2≥33x 2·x 2·4x2＝3，….启发我们可以推广结论为：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 的值为( )A ．n nB ．2nC ．n 2D ．2n ＋1解析：∵x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋33x 3≥4，…，x ＋n nxn ≥n ＋1，∴a ＝n n ，故选A. 答案：A 二、填空题6．若x >0，y >0，且xy ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x y ＋y ⎝⎛⎭⎪⎪⎫y x ＋x 的最小值是________． 解析：∵x >0，y >0，xy ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x y ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y x ＋x ＝1＋y 2x ＋x 2y ＋xy ≥1＋33y 2x ·x 2y·xy ＝1＋33x 2y 2＝1＋3＝4.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 答案：47．函数y ＝4sin 2x ·cos x 的最大值为________，最小值为________．解析：∵y 2＝16sin 2x ·sin 2x ·cos 2x ＝8(sin 2x ·sin 2x ·2cos 2x )≤8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin 2x ＋sin 2x ＋2cos 2x 33＝8×827＝6427， ∴y 2≤6427，当且仅当sin 2x ＝2cos 2x ，即tan x ＝±2时取等号．∴y max ＝893，y min ＝－89 3.答案：89 3 －8938．(2019·江苏无锡模拟)已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，对于下列不等式：①abc ≤127；②1abc ≥27；③a 2＋b 2＋c 2≥13.其中正确不等式的序号是________．解析：∵a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，∴abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b ＋c 33＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133＝127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立，∴①正确；∵0<abc ≤127，∴1abc≥27，②正确；∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，∵a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≤3(a 2＋b 2＋c 2)，∴a 2＋b 2＋c 2≥13，③正确．综上所述，正确不等式的序号是①②③. 答案：①②③ 三、解答题9．已知a ，b ，c 均为正实数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明：证法一：因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23. 又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立． 即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立． 证法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac ，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋3·1bc ＋3·1ab ＋3·1ac ≥6 3.③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立． 10．(2019·河北唐山高二期中)如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．解：设正六棱柱容器底面边长为x (x >0)，高为h ，由图可知2h ＋3x ＝3， ∴h ＝32(1－x )． ∴该六棱柱容器的容积V ＝S 底·h ＝6×34x 2·h ＝332x 2·32·(1－x ) ＝23×332×x 2×x 2×(1－x ) ≤9×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 2＋x 2＋1－x 33 ＝13. 当且仅当x 2＝x2＝1－x ，即x ＝23时，等号成立．所以当底面边长为23时，该正六棱柱容器的容积最大，最大容积为13.。
高中数学人教A版选修4-5113三个正数的算术--几何平均数教案
自学探究
问题1.基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系. 这个不等式能否推广呢？
例如：已知 , 求证： 你会证明吗？
学做思二
问题2.你能否把基本不等式推广到一般情形吗？
例如：对于 个正数 , 它们的
即当且仅当 时, 等号成立.
学做思三
技能提炼
1.已知 , 求证：
(1) ;
(2) ;
2. 求函数 的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法.
解一: . ∴ ．
解二: 当 即 时,
★3. 的最小值。
达标检测
变式反馈
1.函数 的最小值是 ( )
A.6 B. C.9 D.12
2.函数 的最小值是____________
3．函数 的最大值是（ ）
A.0 B.1 C. D.
★4.设 为正实数，求证：
★ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
反思总结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
课后练习
同步练习金考卷
课题名称
1.1.3 三个正数的算术几何平均不等式
三维目标
学习目标
1.了解三个正数的算术几何平均不等式;
2.了解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式及n个正数不等式的推广;
重点目标
了解三个正数的算术几何平均不等式
导入示标
难点目标
两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式及n个正数不等式的推广
目标三导
人教版数学高二选修4-5讲义第1讲1-3三个正数的算术-几何平均不等式
3.三个正数的算术几何平均不等式1．探索并了解三个正数的算术-几何平均不等式的证明过程．2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．(重点)3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．(难点)[基础·初探]教材整理1三个正数的算术-几何平均不等式阅读教材P8～P9定理3，完成下列问题．1．如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．已知a，b，c为正数，则ab＋bc＋ca有()A．最小值为3 B．最大值为3 C．最小值为2 D.最大值为2【解析】ab＋bc＋ca≥33ab×bc×ca＝3，当且仅当ab＝bc＝ca，即a＝b＝c时，取等号．【答案】 A教材整理2基本不等式的推广阅读教材P9～P9“例5”以上部分，完成下列问题．对于n个正数a1，a2，…，a n，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1＋a2＋…＋a nn≥na1a2…a n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．教材整理3利用基本不等式求最值阅读教材P9～P9“习题1.1”以上部分，完成下列问题．若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么a＝b＝c时，积abc 有最大值；②如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和a＋b＋c有最小值．设x＞0，则y＝x＋4x2的最小值为()【导学号：32750012】A．2 B．2 2 C．3 2 D.3【解析】y＝x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥3·3x2·x2·4x2＝3，当且仅当x2＝4x2时取“＝”号．【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]证明简单的不等式设a ，b ，c 为正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＋1c 2(a ＋b ＋c )2≥27.【精彩点拨】 根据不等式的结构特点，运用a ＋b ＋c ≥33abc ，结合不等式的性质证明．【自主解答】 ∵a >0，b >0，c >0， ∴a ＋b ＋c ≥33abc >0， 从而(a ＋b ＋c )2≥93a 2b 2c 2>0. 又1a 2＋1b 2＋1c 2≥331a 2b 2c 2>0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＋1c 2(a ＋b ＋c )2 ≥331a 2b 2c 2·93a 2b 2c 2＝27，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a >0，b >0. (2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．[再练一题]1．设a ，b ，c 为正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1b 3＋1c 3(a ＋b ＋c )3≥81.【导学号：32750013】【证明】 因为a ，b ，c 为正数， 所以有1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3＝3abc ＞0.又(a ＋b ＋c )3≥(33abc )3＝27abc ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1b 3＋1c 3(a ＋b ＋c )3≥81， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．用平均不等式求解实际问题如图1-1-2所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr 2.这里k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？图1-1-2【精彩点拨】 根据题设条件建立r 与θ的关系式，将它代入E ＝k sin θr 2，得到以θ为自变量，E 为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值．【自主解答】 ∵r ＝2cos θ， ∴E ＝k ·sin θcos 2θ4⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2. ∴E 2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ≤k 232⎝⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108，当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号， 即tan 2θ＝12，tan θ＝22时，等号成立． ∴h ＝2tan θ＝2，即h ＝2时，E 最大．因此选择灯的高度为2米时，才能使桌子边缘处最亮．1．本题的关键是在获得了E ＝k ·sin θcos 2θ4后，对E 的函数关系式进行变形求得E 的最大值．2．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．[再练一题]2．制造容积为π2立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？【解】 设圆柱形桶的底面半径为r 米，高为h 米，则底面积为πr 2平方米，侧面积为2πrh 平方米．设用料成本为y 元，则y ＝30πr 2＋40πrh . ∵桶的容积为π2，∴πr 2h ＝π2，∴rh ＝12r .∴y ＝30πr 2＋20r π＝10π⎝ ⎛⎭⎪⎫3r 2＋1r ＋1r ≥10π×333，当且仅当3r 2＝1r 时，即r ＝393时等号成立，此时h ＝392.故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径应为393米，高为392米．[探究共研型]利用平均不等式求最值探究1 利用不等式a ＋b ＋c 3≥3abc 求最值的条件是什么？【提示】 “一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取到相等的值．探究2 如何求y ＝4x 4＋x 2的最小值？【提示】 y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 22＋x 22≥334x 4·x 22·x 22＝3，当且仅当4x 4＝x 22，即x ＝±2时，等号成立，∴y min ＝3.其中把x 2拆成x 22和x 22两个数，这样可满足不等式成立的条件．若这样变形：y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 24＋34x 2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”不能成立，因为4x 4＝x 24＝34x 2时x 无解，不能求出y 的最小值．已知x ∈R ＋，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值．【精彩点拨】 为使数的“和”为定值，可以先平方，即y 2＝x 2(1－x 2)2＝x 2(1－x 2)(1－x 2)＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)×12，求出最值后再开方．【自主解答】 ∵y ＝x (1－x 2)， ∴y 2＝x 2(1－x 2)2 ＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·12. ∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2， ∴y 2≤12⎝⎛⎭⎪⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427. 当且仅当2x 2＝1－x 2， 即x ＝33时等号成立．∴y ≤239，∴y 的最大值为239.1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑：y ＝x (1－x 2)＝x (1－x )(1＋x )＝12·x (2－2x )·(1＋x )≤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2－2x ＋1＋x 33＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，显然x ＝2－2x ＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时也要注意算术-几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可．[再练一题]3．若2a ＞b ＞0，试求a ＋4(2a －b )b的最小值.【导学号：32750014】【解】 a ＋4(2a －b )b ＝2a －b ＋b 2＋4(2a －b )b＝2a －b 2＋b 2＋4(2a －b )b≥3·32a －b 2·b 2·4(2a －b )b ＝3， 当且仅当2a －b 2＝b 2＝4(2a －b )b ，即a ＝b ＝2时取等号． 所以当a ＝b ＝2时， a ＋4(2a －b )b有最小值为3.[构建·体系]平均不等式—⎪⎪⎪⎪—平均不等式的理解—利用平均不等式求最值—利用平均不等式证明1．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为()A．336B．22C．12D．1235【解析】∵x＋2y＋3z＝6，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥332x·22y·23z＝332x＋2y＋3z＝12.当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2，y＝1，z＝23时，等号成立．【答案】 C2．若a＞b＞0，则a＋1b(a－b)的最小值为()A．0 B．1 C．2 D.3【解析】∵a＋1b(a－b)＝(a－b)＋b＋1b(a－b)≥33(a－b)·b·1b(a－b)＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，∴a＋1b(a－b)的最小值为3.故选D.【答案】 D3．函数y＝4sin2x·cos x的最大值为________，最小值为________．【解析】∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8⎝⎛⎭⎪⎫sin2x＋sin2x＋2cos2x33＝8×827＝6427，∴y2≤6427，当且仅当sin2x＝2cos2x，即tan x＝±2时取等号．∴y max＝893，y min＝－89 3.【答案】893－89 34．函数f(x)＝5x＋20x2(x>0)的最小值为________.【导学号：32750015】【解析】∵f(x)＝5x＋20x2＝52x＋52x＋20x2≥3353＝15.当52x＝20x2，即x＝2时取等号．【答案】155．已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. 【证明】因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥33xy2>0,1＋x2＋y≥33x2y>0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥33xy2·33x2y＝9xy.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
2018高中数学选修4-5课件：第一讲1.1-1.1.3三个正数的算术几何平均不等式 精品
A．4
2 B.15
4
5
C.675
D.2
解析：由 0≤x≤15得 1－5x≥0，
y＝x2(1－5x)＝52·x·x·25－2x≤
52x＋x＋325－2x3＝6475，
即可得出 C 正确． 答案：C
3．若 x＞0，则 4x＋x92的最小值是( )
3
A．9
B．3 36
C．13
D．不存在
解析：因为 x＞0，所以 4x＋x92＝2x＋2x＋x92≥33 36，
(3)“三相等”．取“＝”的条件是 a1＝a2＝…＝an， 不能只是一部分相等．
2．重要不等式 a2＋b2≥2ab 与 a3＋b3＋c3≥3abc 的运 用条件不一样，前者 a，b∈R，后者 a，b，c∈R＋，要注 意区别．
3．注意算术—几何平均不等式中的变形与拼凑方法．
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且 仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
[变式训练] 已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证： 1a＋1b＋1c≥9.
证明：因为 a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33 abc.
又
a＋b＋c＝1，所以3
abc≤13，所以3
1 ≥3， abc
所以1a＋1b＋1c≥3 3 a1bc≥9. 故原不等式成立． 当且仅当 a＝b＝c＝13时，“＝”成立．
(2)定 理
3
：
高中数学 1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式课件 新人教A版选修4-5
1．1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
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1
ppt精选栏ຫໍສະໝຸດ 目 链 接2利用定理 3 证明不等式
设 a，b，c 为正实数，求证：a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
栏
证明：因为 a，b，c 为正实数，
目 链
接
由三个正数的算术一几何平均不等式可得：
a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc，
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►变式训练
1．已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9.
证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33 abc.又 a＋b＋c＝1，
栏
∴3 abc≤13，∴3 1 ≥3，
是指满足等号成立的条件．若连续两次使用三个正
数的算术—几何平均不等式求最值，必须使两次等
号成立的条件要一致，否则最值取不到．
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接
x2)×，求出最值后再开方．
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点评：三个正数的算术—几何平均不等式具有将
“和式”转化为“积式”的功能．运用三个正数的
算术—几何平均不等式时，一定要注意应用的前提：
“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指 栏
目
“正数”，“二定”是指应用三个正数的算术—几
链 接
何平均不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”
目 链 接
abc
∴a1＋1b＋1c≥3 3 a1bc≥9. 即原不等式成立．当且仅当 a＝b＝c＝13时，“＝”成立
高中数学人教A版选修4-5 1-1-3三个正数的算术--几何平
1.1.3 三个正数的算术-几何平均值不等式【学习目标】1. 掌握三个正数的算术-几何平均值不等式；2. 会用三个正数的算术-几何平均值不等式证明不等式、求最值.【复习导入】1．定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.2. 定理2(基本不等式)：如果,a b R ∈, 那么 .当且仅当 时, 等号成立.推论10. 两个正数的算术平均数2b a +, 几何平均数ab , 平方平均数222b a +, 调和平均数b a ab +2， 从小到大的排列是:热身训练(1) 某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数x 的函数关系为),(11)6(2*∈+--=N x x y 则每辆客车营运多少年，其运营的年平均利润最大（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6(2) 在算式“4130⨯∆+⨯O =”中的△，〇中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对（△，〇）应为 .【合作探究】☆探究：类比基本不等式：如果+∈Rb a ,, 那么2a b +≥当且仅当a b =时, 等号成立. 如果,,a b c R +∈,那么 .当且仅当 时, 等号成立.建构新知：定理3 如果,,a b c R +∈, 那么3a b c ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 定理3的文字表述:推论 对于n 个正数12,,,n a a a , 它们的即 当且仅当a b c ==时, 等号成立.【典型例题】例1.已知,,0a b c >，求证：()1. 3b c a a b c ++≥()()()2222. 9a b c a b c abc ++++≥ ()3331113. abc a b c +++≥例2 用一块边长为a 的正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子．要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？例3 求函数)0(,322>+=x xx y 的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法.解一:3322243212311232=⋅⋅≥++=+=xx x x x x x x y . ∴3min 43=y ． 解二:x x x x x y 623223222=⋅≥+=当x x 322=即2123=x 时, 633min 3242123221262==⋅=y ． 正解:【课堂检测】1.设a,b,c R ∈，且a,b,c 不全相等，则不等式3333a b c abc ++≥成立的一个充要条件是 ( )A. a,b,c R +∈B. a+b+c 0≥C. a+b+c 0>D. a,b,c 0≥2. 函数()()()()210,1f x x x x =-∈的最大值是______________.3.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则V 的最大值为 .4.制造容积为2π立方米的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平米30元，做侧面的金属板的价格为每平米20元，要使用料成本最低，求此圆柱形桶的底面半径和高为多少？【总结提升】1.n 个正数12,,,n a a a ，则12n a a a n+++12n a a a === ，这是算术平均数≥几何平均数不等式的一般情形.目前只要求掌握n=2和n=3的情形 .2. 算数-几何平均数不等式是针对n 个正数而言的，否则不一定成立.3.利用算数-几何平均数不等式求最值依然遵循“一正二定三相等原则”，这三条只要一条不满足都不行.4．利用算数-几何平均数不等式求和的最小值，关心积是否为定值；求积的最大值，关心和是否为定值.这是进行数学变形必须要把握的原则.。
人教版高中数学选修4-5《1.3三个正数的算术——几何平均不等式》
（当且仅当 a b c 时
取“=” ） 语言表述： 推广：
a1 a 2 a n n
≥
n N * , ai R ,1 i n
语言表述：
三、课堂精讲
3 2 y 2 x ( x 0) 的最小值。 例 1：求函数 x
3 1 1 1 2 2 2 3 3 2x 2 y 2 x 2 x 3 3 4∴ 解一： x x x x x
三维目标
知识与技能：1、进一步掌握均值不等式定理,并推广到三个，n 个正数； 2、解决函数的最值问题； 过程与方法：通过类比学习让学生进一步掌握均值不等式定理, 并推广到 3 个、n 个正数，并会用这些定理求某些函数的最值。 情感态度与价值观：通过知识的学习培养类比学习的能力，以 及培养学生的知识迁移的能力。 教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式。 教学难点：利用三个正数的算术 -几何平均不等式解决最值问 题。
六、课后作业 1、第十页习题 1.1 第 11，13 题 2、预习绝对值不等式，1、绝对值三角不等式
七、教学反思
≥ n a1a2 an 。当且仅当 a1 a2 an 时，
等号成立。 语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 思考：类比基本不等式，是否存在：如果 a, b, c R ，那么 a 3 b 3 c 3 3abc（当且仅当 a b c 时，等号成立）
学习过程
一、预习自测 1．重要不等式： 如果 2．基本不等式： 语言表述： 3、和的立方公式： 立方和公式： 4、如果 a, b, c R ，那么 a 3 b 3 c 3 3abc（当且仅当 a b c 时取 “=” ） 证明：
二、类比新知
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1.1.3 三个正数的算术-几何平均值不等式
【学习目标】
1. 掌握三个正数的算术-几何平均值不等式；
2. 会用三个正数的算术-几何平均值不等式证明不等式、求最值.
【自主学习】
1. 教材是如何引导提出三个正数的算术-几何平均值不等式的？
2. 请你分别用文字语言和数学符号语言叙述三个正数的算术-几何平均值不等式内容.
3. 三个正数的算术-几何平均值不等式的具体证明过程是什么？
4. 对照使用二个正数的算术-几何平均值不等式求最值的基本要求体会使用三 个正数的算术-几何平均值不等式求最值的注意事项？
【自主检测】
1. 已知,,a b c R +∈, 求证：333______.a b c ++≥当且仅当_____________时, 等号成立.
如果,,a b c R +∈, 那么________3
a b c ++≥, 当且仅当____________时, 等号成立.
2.已知,,0a b c > ，且1a b c ++=，则a b c ++的最小值为_______________.
3. 已知0x >，则327333x x x x
+++与4的大小关系为_______________. 【典型例题】
例1.已知,,0a b c >，求证：
()1. 3b c a a b c ++≥()()()
2222. 9a b c a b c abc ++++≥ ()3331113. 23abc a b c +++≥
例2 用一块边长为a 的正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子．要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？
例3 求函数)0(,322>+=x x
x y 的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法.
解一:3322243212311232=⋅⋅≥++=+=x
x x x x x x x y . ∴3min 43=y ． 解二:x x x x x y 623223222
=⋅≥+=当x x 322=即2123=x 时, 633min 3242123221262==⋅=y ． 正解:
【课堂检测】
1.设a,b,c R ∈，且a,b,c 不全相等，则不等式3333a b c abc ++≥成立的一个充要条件是 ( )
A. a,b,c R +∈
B. a+b+c 0≥
C. a+b+c 0>
D. a,b,c 0≥
2. 函数()()()()210,1f x x x x =-∈的最大值是______________.
3.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则V 的最大值为 .
4.制造容积为2
π立方米的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平米30元，做侧面的金属板的价格为每平米20元，要使用料成本最低，求此圆柱形桶的底面半径和高为多少？
【总结提升】
1.n 个正数12,,,n a a a ，则1212n n n a a a a a a n
+++≥ 等号成立当且仅当12n a a a === ，这是算术平均数≥几何平均数不等式的一般情形.目前只要求掌
握n=2和n=3的情形 .
2. 算数-几何平均数不等式是针对n 个正数而言的，否则不一定成立.
3.利用算数-几何平均数不等式求最值依然遵循“一正二定三相等原则”，这三条只要一条不满足都不行.
4．利用算数-几何平均数不等式求和的最小值，关心积是否为定值；求积的最大值，关心和是否为定值.这是进行数学变形必须要把握的原则.。