网络图论及电路方程的矩阵形式

& 4 Ut 4
5 & Ut 5
C2
1
2
& & & & & [Qf ][IS ] = [−IS1 − IS1 IS1 + IS 2 ]T
& & ] = 0 US 2 [Qf ][Y ][US R2 & T U − S2 R2
& − I S1 & U & & [Y ][Ut ] = − I S1 − S 2 T R2 & U & & I S1 + I S 2 + S 2 R2
请注意观察矩阵的规律
4,回路矩阵：描述回路和支路之间的 回路矩阵： 回路矩阵 关联情况
对给定有向图,选1,2,3,7为树支,试写出基本回路矩阵[Bf] 3 解：基本回路矩阵为：
1 2 3
4 5 6 8 1 1 0 Bf = 0 0
2
3 7
1
2 4
4
0 0 0 1 −1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 −1 0 0 1 −1 0 −1 1
1、基本概念： 、基本概念：
(1) 任意两个结点之间均有支路相连。
a
a
b
c
b
c
a
b
c
d
d
d
a
(2) 包含有几个部分的分离图(本题含有两个分离部分)。 a c f d
M
c
d
f
b
g
g
b
(3)含有悬支、孤立结点的电路。下图电路中，要求画出在高频下的有向图。
a
c
d
C1
e
f
a
d
e
f
C2
b
g
b
c g
2、回路、割集 、回路、
Z = diag jwL3 jwL4
T S
R R
1
T
2
1 jwc5
US =
& 0 0 0 -U S2 0
T
& = 0 0 I S1 0 0 & I
4 1 5 1 3 2 2
将各矩阵代入回路电路方程的矩阵形式：
& & & 即 BZB Il = BU5 − BZI5
7 7
状态方程的矩阵形式：
du4 0 dt du 5 0 dt du6 dt = 0 di 2 − 1 dt L2 di3 0 dt 0 − 1 R1C5 1 R1C6 1 − L2 0 0 1 R1C5 1 − R1C6 0 1 L3 1 C4 1 C5 0 0 0 0 0 1 0 u4 u RC 1 5 5 1 1 u6 + − C6 R1C6 i2 0 0 i 3 0 1 L3 g7 0 0 0 0 1 L3 g7
3 对于给定的下列有向图,选择1、2、3、7为树支， 试写出基本回路组和基本割集组。 3 Ⅱ2
2 1
2 1
3 4
3
3 1 2
45 6 83Fra bibliotek71
5 2 Ⅳ Ⅰ 4 6Ⅲ 7 1
4
2 1
5 4 6
4
5
7
5
8
5
8
基本回路组: [1,2,4],[2,3,6,7],[2,3,5],[1,3,7,8](即单连支回路组) 基本割集组：[1,4,8],[2,4,5,6],[3,5,6,8],[6,7,8](即单数支割集组)
整理成标准形式： du4 = 1 i 2
dt
C4
du5 1 1 = (−u5 + u6 + u51) + i2 dt R1C5 C5
du6 1 1 = (−u5 + u6 + u51) − i3 dt R1C6 C6 di2 1 1 = − u4 − u5 dt L2 L2 di3 1 1 = − u6 − (i3 − i58 ) dt L2 L3 g7
1
请注意观察矩阵的规律
6、回路电流方程 、
对于 给定电路(a),列出矩阵形式的回路电流方程。
IS1
L4
R2
uS 2
C5
R1
解：做有向图并选1，2，5为树支，3，4为联支， 写出有关矩阵:：矩阵中支路顺序为先联支后树支。
L3
B
f
1 1 0 -1 0 1 = 2 0 1 0 1 -1
已知：图部分 示电路中，以结点4为参考结点， 列写矩阵形式的结点电压方程。 解：以4为参考结点，列出关联矩阵方程为：
1
iS 4
R
L1
R3
2
L2
3
1 0 1 1 0 0 A = −1 1 0 0 0 1 0 −1 0 −1 1 0
1 支路导纳矩阵为：Y = diag 1 jwL & & 结点电压方程为：AYATU = AI
1 − jwL 1 1 1 + + jwC6 jwL jwL 1 1 1 − jwL2
1 3 − & R4 & & Un1 I S 3 + I S 4 4 1 U = & − 0 n2 jwL2 & & Un3 − I S 4 1 1 1 + + R3 R5 jwL2
s s1 s2
L4 R2
uS 2
IS 2
C5
R1
L3
1 jwL4
jwC5
1 1 1 + 0 − R1 jwL3 R1 1 1 1 [YT ] = [Qf ][Y ][Qf ]T = 0 + − R2 jwL4 R1 1 1 1 1 − − + + jwC5 R2 R1 R2 R1
网络图论及电路方程的矩阵形式
摘要 网络拓扑又称网络图论,是数学家欧拉创始的。从五十年代后,图论在 电路理论中日益得到重视,特别是大型复杂网络如何系统地列出它的方程以 便于分析是网络理论所能解决的问题。当电路结构比较简单时，直接利用 KCL、KVL或网络的各种方法列出必要的方程并不十分困难，但当电路结 构比较复杂时，前面的方法就显得很不适应，特别是如何在计算机上把输 入的数据自动地转换为所需要的方程，就需要利用网络拓扑和矩阵代数的 概念去完成这一任务. 众所周知，任何一个电网络都是由电路元件， 按照一定的方式连接 起来的，每一种元件各自代表着不同的电特性。如果暂不管元件的性质 差别，只注意连接方式，就是网络拓扑。在拓扑图中，任何一种元件都 代之以一条线段，这些线段称之为支路，线段的端点称之为结点，这些 由线段和结点组成的线图称为拓扑图。拓扑结构图可以通过各种关联矩 阵来描述
5 6
2
测试5： 选择合适的状态变量，写出状态方程的标准形式。
R1
US
L1 R2
C L2
& Ut 3 C13
C3
9、状态方程 、
i2
L2
uS1 u6
R1 i1
i7
已知：图示电路中，电路结构已给定， 试选择 特种树，写出状态方程。
C4
u4
C5 u5
解：选择 U4、U5、U6、I1、I2 为状态变 量,画出有向图,选择特种树入图所示,由 特种树确定基本回路组和基本割集组成.
C6 L3
g7
US 5
6 7
2 4 5
4
测试3： 选择结点4为参考结点，写出结点电压方程的矩阵形式。
gU5
1
R3
US 3
2
R5
U5
3
R2
C1
US 2
iS 6
L4
R6
测试4：
4
选择支路1、2、3、7为树支，其它均为连支，写出割集电压方程的形式。
R1
R8
R5
1
IS2
R4
US 4
US8
8 4 7 3
R6 R7 R3
R
3关联矩阵：描述结点和支路之间的 关联矩阵： 关联矩阵 关联情况
7 选择结点5为参考结点， 写出该电路的关联矩阵[A] (即降阶关联矩阵) 解：关联矩阵为：
1 2
5 6
1
4
3 8 2
5
3
4
1 0 A= 0 −1
0 1 0 0 0 1 1 0 −1 1 1 0 −1 0 0 0 0 −1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
6
2 5
3
8、割集方程： 、割集方程：
图示电路中，若选择3,4,5为树支，1,2为连支。写出 割集 方程的矩阵形式 解： −1 0 1 0 0 Qf = 0 −1 0 1 0 1 1 0 0 1
1 [Y ] = diag R1 1 R2 1 jwL3
& & & & [Ui ] = [Ui3 Ui 4 Ui5 ]T & & [US ] = [0 −US 2 0 0 0]T & & I & 0 0 0]T IS1 [I ] = [I
1 1 + jwL3 + R1 jwC5 jwC5 得: 1 1 + jwL4 + R2 jwC5 jwC5 I l1 & R1 I s1 & = & & I l 2 −U s2