苏教版高中数学选修2-3《两个基本计数原理》学案
两个基本计数原理教案
第一章计数原理第1节两个基本计数原理教材分析本节课《分类计数原理与分步计数原理》是苏教版普通高中课程标准试验教科书（选修2-3)第一章第一节的内容，是本章后续知识的基础,对后续内容的学习有着举足轻重的作用,另外本节课涉及的分步、分类的思想是解决实际问题的最有效武器，是人们思考问题的最根本方法.学情分析高二学生已具备一定的数学知识和方法，能很容易的接受两个原理的内容，并应用原理解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”．虽然学生已经具备了一定的归纳、类比能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养．另外，学生的求知欲强，参与意识，自主探索意识明显增强，对能够引起认知冲突，表现自身价值的学习素材特别感兴趣。
但在合作交流意识欠缺，有待加强. 目标分析⑴知识与技能①掌握分类计数原理与分步计数原理的内容②能根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题．⑵过程与方法①通过具体问题情境总结出两个计数原理，并通过实际事例学生感悟两个原理的应用并最终学会应用②通过“学生自主探究、合作探究，师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原理，并应用它们解决实际问题⑶情感、态度、价值观树立学生积极合作的意识，增强数学应用意识,激发学生学习数学的热情和兴趣.教学重难点分析教学重点：分类计数原理与分步计数原理的掌握教学难点：根据具体问题特征选择分类计数原理与分步计数原理解决实际问题．教法、学法分析教法分析：①启发探究法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。
学法分析：本节课要求学生自主探究，学会用类比的思想解决问题，树立学生的合作交流意识.教学过程一、创设情境：对于分类计数原理设计如下情境（看多媒体）：该情境是原教材上情境经过加工设计的，比原教材情境更加贴近学生生活，能够增强学生的有意注意，激发学生的兴趣，调动学生的主动性和积极性,从而进入思维情境接着是对情境的处理：在情境处理过程中要启发学生由特殊情形归纳出一般原理,遵循由简单到复杂的认知规律，我处理情境的办法是：第一步在解决问题时首先让学生尝试分析,然后由学生代表分析解答，教师及时给出评价，并由老师给出解题过程，在这里由老师按分类计数原理给出解题过程，为学生顺利总结概括出原理做好铺垫.第二步对原问题加以引申：若当天有4次航班，则有多少种不同方法？设计的意图是让学生更清楚的认识到总方法数是各类方法数之和.第三步提出问题：你能否尽可能简练的总结出问题1中的计数规律？接着由学生分组讨论、总结问题1中计数规律，这样由学生总结归纳，并通过讨论准确叙述出分类计数原理，可以提高学生的数学表达意识，激发合作意识和竞争意识，体验获得成功的喜悦，也就完成了情感目标.第四步由教师板书分类计数原理(加法原理）并说明由于总方法数是各类方法数之和，树立学生平时学习生活中的讲道理意识.在分类计数原理中设计如下问题情境，问题2与问题1的背景一样：都是乘车方法的计数问题.对于问题2的处理办法是：第一步由学生自主尝试分析解答，但该问题并没有问题1般简单所以就有了第二步教师电脑屏幕显示分析及解题过程，利用多媒体显示动画，辅助分析，展示不同的走法,帮助学生更直观的解决问题，然后由感性进入理性，这也符合一般的认知规律.第三步问题引申将问题引申为若从兰州到天水新增一辆4号汽车，则有多少种乘车方法？设计的意图是：通过引申让学生更加清楚的认识到总方法数是各步方法数相乘.第四步提出问题：你能否对照分类计数原理，归纳概括出问题2蕴含的计数规律,并尝试命名，这样设计一可指导学生通过类比给出分步计数原理，渗透类比思想第二也可在自主探究中掌握本节重点，当然重点的突破也为难点突破打下了知识基础第五部教师板书：分步计数原理（乘法原理），由学生说明其称为乘法原理的理由.分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×m n种不同的方法.二、建构数学在总结出两个计数原理的基础上让学生进行如下三个问题的探究，初步突破难点.探究1：对比两计数原理，指出相同点与不同点设计探究1的意图是通过自主探究合作探究，加深两个定理的理解并且在两个定理内容的比较中提高学生阅读数学的能力.探究方式：分组讨论（合作交流，加深理解）探究结果：共同点是：研究对象相同,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法.不同点是：它们研究完成一件事情的方式不同,分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”由于学生的认识水平有限，在这里只要求认识到分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”.探究2：何时用分类计数原理,何时用分步计数原理探究方式：自主探究，代表发言，共同总结.探究结果：若完成一件事情有n类方法，则用分类计数原理.若完成一件事情有n个步骤，则用分步计数原理.设计意图：在探究1基础上进一步突破重难点，培养学生分析问题的能力.探究3：用两个计数原理解决计数问题的思维步骤探究方式：分组讨论，合作探究，代表发言,共同总结.探究结果：1、明确要完成什么事2、判断分类还是分步3、计算总方法数（一）两个计数原理内容1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法.2、分步计数原理：完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法.（二）例题分析例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。
江苏省高二数学苏教版选修2-3教案： 1.1 两个基本计数原理2
第一类方法,乘火车，有4种方法;
第二类方法,乘汽车，有2种方法;
第三类方法,乘轮船,有3种方法;
所以从甲地到乙地共有4 + 2 + 3 = 9种方法。
问题2.如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?
分析:从A村经B村去C村有2步,
第一步,选一名男三好学生,有m1 = 5种方法;
第二步,选一名女三好学生,有m2 = 4种方法;
所以,根据分步原理,得到不同选法种数共有N = 5×4 = 20种。
例2
1在图1-1-3（1）的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？
2在图1-1-3（2）的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法
图见书本第7页
分析略
例3为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码，在某网站设置的信箱中，
1密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？
2密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个，这样的密码共有多少个？
3密码为4-6位，每位均为0到10个数字中的一个，这样的密码共有多少个？
事实上，任何排列问题都可以看作面对两类元素．例如，把10个全排列，可以理解为在10个人旁边，有序号为1，2，……，10的10把椅子，每把椅子坐一个人，那么有多少种坐法？这样就出现了两类元素，一类是人，一类是椅子。于是对眼花缭乱的常见分配问题，可归结为以下小的“方法结构”：
.每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是 ，这里 .其中 是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位”，不要管它在生活中原来的意义，只要 .个数为 的一个元素就是“接受单位”，于是，方法还可以简化为 .这里的“多”只要“少”
苏教版高中数学选修2-3《两个基本计数原理(第2课时)》学案
1．1 两个基本计数原理
1．问自学准备与知识导学：
1.分类计数原理（加法原理）：
2.分步技术原理（乘法原理）：
3.两种基本计数原理的区别与联系：
二．学习交流与问题研讨：
（1）列举法计数
例1 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有种．
合理分类，运用分类加法计数原理计数
例2 等腰三角形的三边均为正整数，且其周长不大于10，这样的不同形状的三角形的种数为种．
巧妙分步，运用分步乘法计数原理计数
例3 将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？（三种作物必须都种植）
综合运用两个计数原理
例4 现有高一年级某班三个组学生24人，其中第一、二、三组各7人、8人、9人，他们自愿组成数学兴趣小组．
（1）选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？
（2）每组选1名组长，有多少种不同的选法？
（3）推选2人作代表发言，这2人需来自不同的组，有多少中不同的选法？
三,练习测试与拓展延伸：
（1）课本P8页练习1～5；
（2）课本P9页习题1.1
补充：在3000至8000之间有多少个无重复数字的奇数？
答案：1232（个）．
课堂小结
解决计数问题必须审清：做什么“事”？怎样才算“完成”？采用何种“方式”完成？若采用“分类”的方式完成，则需遵循同一个分类标准，以防重漏现象的发生；若采用“分步”的方式，则需按这件事发展的连续过程分层次进行，若某一步中的每一种方法对其下一步中的方法数产生了不同的影响，则需采取先分类后分步的方式来协调．
四．课后反思。
高中数学1.1两个基本计数原理教案2苏教版选修2_3
花：也是上下结构，草字头两竖要内斜；下面单人旁起笔对准上面的左竖，竖弯钩起笔对准上面的右竖；竖弯钩要舒展，（用红笔描竖弯钩，并在旁边书写一个大的竖弯钩）要求弯处圆转，不能僵硬（书写僵硬的竖弯钩，并在旁边打×）。
板书设计：结构特点（6）宝、穷、写、会、奔
我的思考：使学生更好的把握好字的结构，同时在教师的指导下提高学生辨别能力。激励学生更好的书写。
第（5）课时
课题：怎样写好字
课型：复习课
教学目标：1、让学生能够正确认识，端正态度。
教学过程：
一、正确的学书之路
1．临帖
临帖是学习书法的最根本的方法。古往今来，没有一个书法家是不经临习而成功的，没有一个字写得好的人是不经过临帖的。只有临帖，取法唐楷、晋行、汉隶、秦篆等传统的东西，才会有所获。
二、指导“车”字旁写法：
1、出示范字，观察“车”字旁写法。2、讨论明确其书写要领：“车”字旁分四笔完成，整个偏旁左重右轻，不超过竖中线。第一笔横稍短。第二笔撇折收笔于横中线。第三笔垂露竖，应在第一笔横下的正中位置起笔。最后一笔，比第一横长一些，离折笔稍近一些。3、练写“车”字旁。
三、指导临写“轻”字。
春：上部三横都是短横，收笔处不要顿；撇画最长，捺画从哪里起笔？从第三横下面起笔，不能碰到撇；下面“日”的两竖要竖直，不能斜。
雨：旁边两竖要内斜，上横短，中竖写在竖中线上；从下面看，哪一笔最低？钩最低，中竖最短；四个点都是斜点。
江：左右结构，左窄右宽左边三点水第二点略向外展；右边“工”字上横是短横，下横是长横；中竖略斜。
总第（2）课时
数学苏教版选修2-3学案：1.1两个基本计数原理含解析
1。
1 两个基本计数原理1．分类计数原理完成一件事，有n类方式,在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法,……，在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．分类计数原理又称为加法原理．预习交流1应用分类计数原理的原则是什么?提示:做一件事有n类方式,每一类方式中的每一种方法均完成了这件事．2．分步计数原理完成一件事,需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．分步计数原理又称为乘法原理．预习交流2应用分步计数原理的原则是什么?提示:做一件事要分n个步骤完成，只有所有步骤完成时,才完成这件事，也就是说，每一步骤中每种方法均不能完成这件事．一、分类计数原理问题从甲地到乙地每天有火车3班,汽车8班，飞机2班，轮船2班，问一天内乘坐班次不同的运输工具由甲地到乙地，有多少种不同的走法？思路分析:由于每班火车、汽车、飞机、轮船均能实现从甲地到乙地，因此利用分类计数原理．解：根据运输工具可分四类：第1类是乘坐火车，有3种不同的走法；第2类是乘坐汽车，有8种不同的走法；第3类是乘坐飞机，有2种不同的走法；第4类是乘坐轮船，有2种不同的走法；根据分类计数原理，共有不同的走法的种数是N＝3＋8＋2＋2＝15.设有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画．从这些画中只选一幅布置房间，有__________种不同的选法．答案:14解析：根据分类计数原理，不同的选法有N＝5＋2＋7＝14种．如果完成一件事有n类方式，每类方式彼此之间是相互独立的，无论哪一种方式的每种方法都能单独完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类计数原理（加法原理)．二、分步计数原理问题有三个盒子,分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个,黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各1个，有多少种不同的取法?思路分析：要从盒子里取到红、白、黄小球各1个，应分三个步骤，并且这三个步骤均完成时,才完成这件事，故应用分步计数原理．解:分三步完成：第1步是取红球，有6种不同的取法；第2步是取白球,有5种不同的取法；第3步是取黄球,有4种不同的取法；根据分步计数原理，不同取法的种数为N＝6×5×4＝120。
江苏省高二数学苏教版选修2-3教案： 1.1 两个基本计数原理1
复习：1.分类计数原理、分步计数原理概念
2.分类计数原理、分步计数原理的不同点
例题讲解：
例1.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,
课外作业：第10页习题1. 1 6 , 7 , 8
教学反思：要深入弄清所要解的问题的情景，切实把握住各因素之间的相互关系，不可分析不透就用 或 乱套一气．具体地说：首先要弄清有无“顺序”的要求，如果有“顺序”的要求，用 ；反之用 ．其次，要弄清目标的实现，是分步达到的，还是分类完成的．前者用乘法原理，后者用加法原理．事实上，一个复杂的问题，往往是分类和分步交织在一起的，这就要准确分清，哪一步用乘法原理，哪一步用加法原理．
2若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？
75600有多少个正约数?有多少个奇约数?
解:由于75600=24×33×52×7
(1) 75600的每个约数都可以写成 的形式,其中 , , ,
于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即 分别在各自的范围内任取一个值,这样有5种取法,有4种取法,有3种取法,有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.
对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”．前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.1 两个基本计数原理》
两个基本原理的教学设计江苏省丹阳高级中学吴问舟一、教材分析1地位和作用两个基本计数原理是处理计数问题的最基本、最重要的方法,它为后面学习排列、组合、随机变量的概率等内容提供了思想和理论依据2新旧教材的变化新旧教材最大区别在于:旧教材是先学习两个计数原理后学习概率,体现由理论到应用的过程;而新教材是在学习了古典概型的基数上提出了本节内容,体现了由实践到理论、再到实践的过程,学生在具备一定的计数能力树形图、列举法等和实例的前提下,能更好更快地体会两个基本原理的作用与适用范围,在实践中能更灵活地运用两个基本原理来解决问题这样的设计能为学习构建牢固的知识框架3教学目标1知识与技能通过实例,总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理;能根据具体问题的特征、选择恰当的原理解决一些简单的实际问题2过程与方法经历由实际问题推导出两个原理,再回归实际问题的解决这一过程,学生体验到发现数学、运用数学的过程3情感、态度与价值观体会真理源于实际、服务于实际的道理,进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣,体现数学实际应用和理论相结合的统一美课程标准指出,必修系列课程是为了满足所有学生的共同数学需求,选修系列课程是为了满足学生的不同数学需求,它仍然是学生发展所需要的基础性数学课程它力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系,促进学生逐步形成和发展数学应用意识,提高实践能力因此,在数学课堂教学上不仅要重视知识的形成过程及其运用价值,还要重视学生情感、态度、价值观的正确导向前者已能被广大师生所重视,而后者往往会被教师忽视,但它是新教材的亮点之一,对发展学生理性思维、不断创新发挥着独特的作用4教学重点和难点分类加法计数原理与分步乘法计数原理的推导及简单运用是本节课的重点与难点两个原理的推导与应用对以后排列、组合、二项式定理等内容的掌握有着理论支撑的作用同时,知识与实践的紧密结合,能让学生感受数学的广泛应用,增强学生研究数学的兴趣二、教学方法1创设情境———提出问题———探索尝试———引导归纳———拓展应用2教具:多媒体投影系统三、学法指导1学生在学习概率这一节后已具备一定的计数能力,在此基础上归纳两个计数原理是比较简单的,可以充分发挥学生的自主性2引导学生感悟两个计数原理的区别与联系及其应用的前提条件、应用的注意点四、教学过程新课标的所有要求都是在向课堂要效率,一个优质课堂必须达到三个“有”:有效果,即让所有学生能理解原理;有效率,即90%的学生会运用知识;有效益,即在考试中出成绩1问题情境本节课的引入设计了三个情景,分别借助计算乘坐交通工具从起点到达终点的方法个数与竞选班干的例子,自然地引入了两个计数原理问题１：杭州是我国东南一流风景旅游城市，国庆期间，家庭到杭州自助旅游，从丹阳去杭州，一天中火车有３班，汽车有２班，那么一天中乘坐这些交通工具从丹阳到杭州有多少种不同的走法？２ 千岛湖是我国东南一流风景旅游城市杭州的“后花园”，到杭州后再决定前往千岛湖旅游。
高中数学11两个基本计数原理教案1苏教版选修231
两个基根源理分 加法 数原 第一理与分步乘法数原理知 与技术：①理解分 加法 数原理与分步乘法 数原理；②会利用两个原理剖析和解决一些 的 用 ；讲课目程与方法：培育学生的 概括能力；感情、 度与价 ：引 分 数原理与分步 数原理学生形成 “自主学 ”与“合作学 ”等优异的学 方式讲课要点 分 加法 数原理与分步乘法 数原理的 用理解讲课 点利用两个原理剖析和解决一些 的 用教具准 ：与教材内容相关的 料。
讲课 想：引 学生形成“自主学 ”与“合作学 ”等优异的学 方式。
讲课 程：学生研究 程：1.从甲地到乙地，可以乘火 ，也可以乘汽 ， 可以乘 船。
一天中，火有 4 班, 汽 有 2 班， 船有 3 班。
那么一天中乘坐 些交通工具从甲地到乙地共有多少种不一样样的走法 ?剖析 : 从甲地到乙地有 3 方法,第一 方法 , 乘火 ，有 4种方法 ; 第二 方法 , 乘汽 ，有 2种方法 ;第三 方法 ,乘 船 , 有 3 种方法 ;因此从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法。
2. 如 , 由 A 村去 B 村的道路有3 条，由 B 村去 C 村的道路有 2 条。
从 A 村B 村去C 村，共有多少种不一样样的走法 ?北北A中 B南 C南剖析: 从A 村 B 村去 C 村有 2步,第一步 , 由 A 村去 B 村有 3 种方法 ,第二步 ,由 B 村去 C 村有 3 种方法 ,因此 从 A 村 B 村去 C 村共有 3 ×2=6 种不一样样的方法。
分 数 原理 完成一件事，有n 法 , 在第一 法中有 m 种不一样样的方法 , 在第二1法中有 m 2 种不一样样的方法，⋯⋯，在第 n 法中有 m n 种不一样样的方法。
那么完成 件事共有N=m1+m 2+⋯+m n种不一样样的方法。
分步 数原理 完成一件事，需要分成n 个步 ，做第一步有 m 1 种不一样样的 方法，做第 二步有 m 种不一样样的方法，⋯⋯，做第 n 步有 m 种不一样样的方法，那么完成 件事有2nN=m1× m 2×⋯× m n种不一样样的方法。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.1.1 两个基本计数原理》
追问4：如果还有3个班次的动车呢？
问题2：小包同学进入大学后对自己严格要求、勤奋好学、积极上进，学习游刃有余，所以小包同学想再选修第二专业。通过了解，他在以下学院中选择一个专业，那么他可能选择的专业有几种？
追问1：这里小包同学完成了什么事？
追问2：这里有几种可供他选择的类型？
追问3：中选择这里任何一个专业时，这件事有没有完成？
问题3：小包同学暑期放假，他想“既要读万卷书、也要行万里路〞所以他决定到舍友的家乡杭州游历，欣赏一下西湖美景，然后再回常州。他准备先乘火车去杭州，两天后乘汽车回常州。每天适宜的火车有4个班次，汽车有3个班次，那么他从上海回到常州有几种不同的走法？
请看下面几个问题：
问题1：如果我班班长包栋梁同学经过自己的努力，一年后考上了上海的大学开学报到时,他在思考如何选择适宜的交通工具如果从常州到上海一天中适宜的高铁有3班次，直达客车有2个班次，那么一天中乘坐这些交通工具从常州到上海会有多少种不同的直达方法？
追问1：“5〞是怎么来的？为什么将他们相加？
追问2：这里，小包同学完成了一件什么事？
在图⑵的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？
问题7：上述问题⑴中需要完成什么事？
问题8：能否一步完成？采用哪种计数原理？
问题9：对于问题⑵你有是怎么想的？
解：在图⑴中，按要求接通电路，只要在中的2只开关或中的3只开关中合上1只即可根据分类计数原理，共有种不同的方法
在图⑵中，按要求接通电路，必须分两步进行：第一步，合上中的1只开关；第二步，合上中的1只开关根据分步计数原理，共有种不同的方法
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.1.1 两个基本计数原理》84
课题：两个基本计数原理授课教师：崔绪春教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书选修2-3 第节教学目标：①理解分类计数原理与分步计数原理的内容；②能选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题．教学过程:问题情境：一． 学生活动：问题1：乘汽车从淮安到宿迁，假设汽车北站直达宿迁有4班次，汽车总站直达宿迁有3班次，那么从淮安直达宿迁共有多少种不同的方法问题2：乘汽车从淮安到宿迁，假设汽车北站直达宿迁有4班次，汽车总站直达宿迁有3班次，汽车南站直达宿迁有1班次，那么从淮安直达宿迁共有多少种不同的方法二．数学建构分类计数原理：如果完成一件事，有n 类方式,在第1类方式中有1m 种不同的方法,在第2类方式中有2m 种不同的方法，……，在第n 类方式中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的方法问题3：乘汽车从淮安到宿迁，若先从淮安乘车到洋河办事，一天后再从洋河乘车到达宿迁，假设从淮安直达洋河的汽车有4班次，从洋河直达宿迁的汽车有3班次，那么从淮安经洋河到宿迁共有多少种不同的方法分步计数原理：如果完成一件事要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有种12n N m m m =⨯⨯⨯不同方法．三．数学运用例1：某班有男生30名，女生24名。
(1) 现要从中任选一名学生代表班级参加公益活动，共有多少种不同选法？(2) 若要从中选出男、女生各一名代表班级参加公益活动，共有多少种不同选法？例2：书架上第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书若从书架上任取1本书，有多少种不同取法？变式1：若从第一,二,三层中各取1本书，有多少种不同取法？变式2：若从书架上取2本不同类别的书，有多少种不同取法？四．练习巩固五．课堂小结。
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1．1《两个计数原理》导学案
一、学习目标
1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；
2.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.
二、学习重难点
1、理解分类计数原理与分步计数原理
2、会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题
三、学习过程
一、问题情况
问题1:从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
问题2:如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条.从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?
要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识.排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.
在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.
二、学生活动
探究：你能说说以上两个问题的特征吗？
问题一、看下面的问题：
问题1:.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
问题2:如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条.从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?
要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.
在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理. 探究：你能说说以上两个问题的特征吗？ 三、数学建构
一、分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法.那么完成这件事共有n m N +=种不同的方法.
分类记数原理的另一种表述:
做一件事情，完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法. 问题1解答： 分析:
问题2解答：
分析:
四、数学应用
例 1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，
（1）从书架上任取1本书，有多少种取法？
（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少不同的取法？ 分析:
A 村
B 村
C 村
北
南
中
北
南
点评:解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”.“分类完成”用“分类记数原理”;“分步完成”用“分步记数原理”.
例2 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 分析1:
分析2:
二、分步记数原理：
做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有 12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法.
例 3 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数有多少？首位数字是0的号码数又有多少？ 分析: 答:
分类记数原理中的“分类”要全面, 不能遗漏; 但也不能重复、交叉;“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法.若完成某件事情有n 类办法, 即它们两两的交为空集,n 类的并为全集. 分步记数原理中的“分步”程序要正确.“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n 步,则必须且只需依次完成这n 个步骤后,这件事情才算完成
在运用“分类记数原理、分步记数原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准.在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏.
练习：
练习1 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
投影完成
解:
练习2如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？
解:
点评:我们可以把分类记数原理看成“并联电路”;分步记数原理看成“串联电路”.
五、课堂小结 1． 2.两个原理的异同点：
共同点是： ； 不同点是： .
参考答案 问题1解答：
分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法,乘火车，有4种方法; 第二类方法,乘汽车，有2种方法; 第三类方法,乘轮船,有3种方法.
所以，从甲地到乙地共有4 + 2 + 3 = 9种方法. 问题2解答：
A
B
分析:从A 村经B 村去C 村有两步： 第一步,由A 村去B 村有3种方法, 第二步,由B 村去C 村有2种方法,
所以，从A 村经 B 村去C 村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法. 例 1.
分析:(1)从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法, 从第1层中任取一本书, 共有 1m = 4 种不同的方法; 第二类办法, 从第2层中任取一本书, 共有
2m = 3
种不同的方法;第三类办法：从第3层中任取一本书,共有3m = 2 种不同的
方法.
所以, 根据分类记数原理,得到不同选法种数共有N = 4+3+2= 9 种.
点评:解题的关键是从总体上弄清楚这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”.“分类完成”用“分类记数原理”;“分步完成”用“分步记数原理”. 例2.
分析1:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有
1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个. 则根据分类记数原理共有 1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36 (个).
分析2:按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有
8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.
则根据分类记数原理共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 (个). 例 3.
分析:按号码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位、第四位,需分为四步完成：
A 村
B 村
C 村
北
南
中
北
南
第一步,
m=10;第二步,2m= 10; 第三步,3m=10，第四步，4m= 10.
1
根据分步记数原理, 共可以设置N = 10×10×10 ×10 =4
10种四位数的号码.
答:首位数字不为0的号码数有N =9×10×10 ×10 = 9×3
10种,
首位数字是0的号码数有N = 1×10×10 ×10 =3
10种.
由此可以看出,首位数字不为0的号码数与首位数字是0的号码数之和等于号码总数.
拓展提升练习：
练习1
解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,
第一步,
m= 3种,
1
第二步,
m= 2种,
2
第三步,
m= 1种,
3
第四步,
m= 1种.
4
所以根据分步记数原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种. 练习2.
解:从总体上看由A到B的通电线路可分三类,
第一类,
m= 3 条，
1
第二类,
m=1条，
2
第三类,
m=2×2 = 4条.
3
所以, 根据分类记数原理, 从A到B共有
N = 3 + 1 + 4 = 8
条不同的线路可通电.
点评: 我们可以把分类记数原理看成“并联电路”;分步记数原理看成“串联电路”.课堂小结
1．主要学习了分类记数原理和分步记数原理
2.两个原理的异同点：
共同点是, 它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法.
不同点是, 它们研究完成一件事情的方式不同,分类记数原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事.分步记数原理是“分步完成”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情.这也是本节课的重点.。