“化椭为圆”解决椭圆中的面积问题
3.1.2 椭圆的简单几何性质(第2课时)备课笔记
3.1.2椭圆的简单几何性质第2课时本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A 版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第一节《椭圆》。
以下是本节的课时安排：第三章圆锥曲线的方程课时内容 3.1.1椭圆及其标准方程 3.1.2椭圆的简单几何性质所在位置教材第105页教材第109页新教材内容分析椭圆是生产生活中的常见曲线，教材在用细绳画椭圆的过程中，体会椭圆的定义，感知椭圆的形状，为选择适当的坐标系，建立椭圆的标准方程、研究椭圆的几何性质做好铺垫。
通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e 的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。
核心素养培养通过椭圆的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对椭圆的定义理解，培养数学抽象的核心素养。
通过椭圆的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与椭圆的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。
教学主线椭圆的标准方程、几何性质学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。
本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。
1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，培养数学抽象的核心素养．2.会判断直线与椭圆的位置关系，培养数学运算的核心素养．3.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题，培养数学运算的核心素养.重点：直线与椭圆的位置关系难点：直线与椭圆的位置关系的应用（一）新知导入一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。
过对称轴的截口ABC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1上，片门位另一个焦点2上，由椭圆一个焦点1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个椭圆焦点2。
（二）椭圆的简单几何性质知识点一点与椭圆的位置关系【探究1】根据点与圆的位置关系，你能得出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系有哪些？怎样判断？◆点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系：(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(2)点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；(3)点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.【做一做1】点(1,1)与椭圆22132x y +=的位置关系为（）A．在椭圆上B．在椭圆内C．在椭圆外D．不能确定【做一做2】若点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________.知识点二直线与椭圆的位置关系【探究2】类比直线与圆的位置关系，思考直线与椭圆有几种位置关系？怎样判断其位置关系？◆直线与椭圆的位置关系(直线斜率存在时)直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系判断方法：kx ＋m＋y 2b 2＝1，消y 得一个关于x的一元二次方程.位置关系公共点个数组成的方程组的解判定方法(利用判别式Δ)相交2个2解Δ＞0相切1个1解Δ＝0相离0个0解Δ＜0斜率不存在时，观察可得．【做一做1】直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y 22＝1的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．无法确定【做一做2】(教材P114练习2改编)椭圆x 23＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0所截得的弦长|AB |＝________.1.直线与椭圆的位置关系例1.已知直线y ＝x ＋m 与椭圆x 216＋y 29＝1，当直线和椭圆相离、相切、相交时，分别求m 的取值范围．[分析]将直线方程与椭圆方程联立，利用判别式Δ判断．【类题通法】代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．【巩固练习1】(1)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是()A.63B．－63C．±63D．±33(2)直线y ＝kx －k ＋1(k ∈R )与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．2.弦长问题例2.已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[分析](1)将直线方程与椭圆方程联立，根据判别式Δ的符号，建立关于m 的不等式求解；(2)利用弦长公式建立关于m 的函数关系式，通过函数的最值求得m 的值，从而得到直线方程．【类题通法】1.求直线被椭圆截得弦长的方法：法一是求出两交点坐标，用两点间距离公式；法二是用弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，其中k 为直线AB 的斜率，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．2．有关直线与椭圆相交弦长最值问题，要特别注意判别式的限制．【巩固练习2】已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点F 为其左焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过左焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当|AB |＝185时，求直线l 的方程．3.中点弦问题例3.过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A ，B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．[分析]由于弦所在直线过定点P (2,1)，所以可设出弦所在直线的方程为y －1＝k (x －2)，与椭圆方程联立，通过中点为P ，得出k 的值，也可以通过设而不求的思想求直线的斜率．【类题通法】关于中点弦问题，一般采用两种方法解决(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算．(2)利用“点差法”即若椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且弦AB 的中点为M (x ，y ＋y 21b2＝1，①＋y 22b2＝1，②①－②：a 2(y 21－y 22)＋b 2(x 21－x 22)＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·xy.这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题得以解决．【巩固练习3】已知椭圆方程是x 29＋y 24＝1，求以A (1,1)为中点的弦MN 所在的直线方程．1.若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为()－233，2.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定3.直线y ＝x ＋1被椭圆x24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是()－23，－132，4.椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则mn 的值是()A.22B.233C.922D.2327（五）课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？3.1.2椭圆的简单几何性质（2）-A 基础练一、选择题1．（2020·河北桃城衡水中学期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，若长轴长为8，离心率为12，则此椭圆的标准方程为()A．2216448x y +=B．2216416x y +=C．221164x y +=D．2211612x y +=2.（2020全国高二课时练）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为22143x y +=，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（）A．2B．4C．6D．83．（2020·金华市曙光学校月考）无论k 为何值，直线2y kx =+和曲线22194x y +=交点情况满足（）A．没有公共点B．一个公共点C．两个公共点D．有公共点4.（2019·安徽安庆月考）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（）A．22B．2115．（多选题）（2020广东濠江高二月考）椭圆22116x y m+=的焦距为，则m 的值为（）A．9B．23C．16-D．16+6．（多选题）（2020全国高二课时练）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（）A．焦距长约为300公里B．长轴长约为3988公里C．两焦点坐标约为()1500±，D．离心率约为75994二、填空题7.（2020·全国课时练习）若直线2y kx =+与椭圆22132x y +=有且只有一个交点，则斜率k 的值是_______.8．光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图,一个光学装置由有公共焦点1F ,2F 的椭圆Γ与双曲线'Γ构成,现一光线从左焦点1F 发出,依次经'Γ与Γ反射,又回到了点1F ,历时1t 秒;若将装置中的'Γ去掉,此光线从点1F 发出,经Γ两次反射后又回到了点1F ,历时2t 秒;若214t t =,则Γ与'Γ的离心率之比为______.9.（2020·福建漳州高二月考）已知1F ，2F 是椭圆222:1(04)16x y C b b+=<<的左、右焦点，点P 在C 上，线段1PF 与y 轴交于点M ，O 为坐标原点，若OM 为12PF F △的中位线，且||1OM =，则1PF =________.10．（2020上海华师大二附中月考）已知点F 为椭圆22:143x y Γ+=的左焦点，点P 为椭圆Γ上任意一点，点O 为坐标原点，则OP FP ⋅的最大值为________三、解答题11．我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径3400km =R ）的中心F 为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A 到火星表面的距离为800km ，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B 到火星表面的距离为80000km ．假定探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O 时进行变轨，其中,a b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到100km ）．12.（2020全国高二课时练习）已知椭圆C:()222210x y a b a b +=>>经过点3(1,)2M ,12,F F 是椭圆C 的两个焦点，12||F F =P 是椭圆C 上的一个动点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在第一象限，且1214PF PF ⋅≤ ,求点的横坐标的取值范围；3.1.2椭圆的简单几何性质（2）-B 提高练一、选择题1.（2020·江苏省镇江中学开学考试）设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ,上顶点为B ,若2122BF F F ==则该椭圆的方程为（）A．22143x y +=B．2213x y +=C．2212x y +=D．2214x y +=2.（2020·安徽省太和中学开学考试）“1a =”是“直线y x a =+与椭圆22:12516xy C +=有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3.（2020·辽宁大连月考）2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R ，若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是115R ，13R ，则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是（）A．25B．15C．23D．194.（2020山东泰安一中高二月考）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论不正确的是()A．卫星向径的最小值为a c -B．卫星向径的最大值为a c+C．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大5．（多选题）设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ，B 两点，则（）A．AF BF +为定值B．ABF 的周长的取值范围是[]6,12C．当2m =时，ABF 为直角三角形D．当1m =时，ABF 6.（多选题）（2020江苏扬州中学月考）已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．1QF QP +的最小值为21a -B．椭圆C 的短轴长可能为2C．椭圆C 的离心率的取值范围为510,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．若11PF FQ =，则椭圆C +二、填空题7.（2020·广西南宁高二月考）已知O 为坐标原点，点1F ，2F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，A 为椭圆C 上的一点，且212AF F F ⊥，1AF 与y 轴交于点B ，则OB =________.8．（2020南昌县莲塘第一中学月考）已知1F ､2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF ∆为正三角形，则C 的离心率为__________.9.（2020·山东泰安实验中学期末）直线2y x =+交椭圆2214x y m +=于,A B 两点，若AB =，则m的值为__________．10.（2020·河南南阳中学高二月考）过椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>右焦点的直线0x y +=交于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，则椭圆M 的方程为__________．三、解答题11.（2020·贵港市高级中学期中）已知平面内两定点(1,0),(1,0)M N -，动点P 满足||||PM PN +=.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线1y x =+与曲线C 交于不同的两点A 、B ，求||AB ．12.（2020天津实验中学高二月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B 2OB =(O 为原点)（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ，求椭圆的方程.。
化“椭”为“圆”,由“研题”到“命题”的探索
化“椭”为“圆”,由“研题”到“命题”的探索作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2022年第04期[摘要] 橢圆与圆有很多相似之处，椭圆的很多性质都可以由圆类比得出. 文章主要借助于伸缩变换，化“椭”为“圆”，以椭圆中心三角形面积问题为例进行题源探究，并揭示了问题的本质，从命题者的角度来思考、设计题目，更好地把握命题规律，有利于学生学科素养的提高.[关键词] 椭圆;圆;三角形;面积数学家波利亚（George Polya，1887—1985）曾说过，“类比是一个伟大的引路人”. 椭圆是解析几何的重要内容，它的很多性质都可以由圆类比得出. 文章主要借助于伸缩变换，化“椭”为“圆”，以椭圆中心三角形面积问题为例进行了题源探究，并进一步对此类问题进行了命题研究. 通过化“椭”为“圆”，能够有效地降低题目难度，减少运算量，有助于学生系统掌握圆锥曲线问题，提高学科素养;教师通过命题的分析与研究，可以站在更高的视角看问题，提高课堂教学效果.[⇩] 伸缩变换在高中数学（人教A版选修4-4）中有伸缩变换的定义：设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′=λ·x（λ>0），y′=μ·y（μ>0）的作用下，点P（x，y）对应到点P′（x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换[1].对于椭圆E：+=1（a>b>0）和直线l：y=kx+m，在变换φ：x′=·x，y′=·y的作用下，分别化为E′：x′2+y′2=1和l′：by′=kax′+m. 椭圆在变换φ的作用下，有以下性质[2]：性质1 比值关系不变性：若A，B，C三点共线，伸缩变换后A′，B′，C′仍旧三点共线，同时对应的线段长度比值不变，特别地，当点B为线段AC的中点时，点B′也为线段A′C′的中点.性质2 位置关系不变性：伸缩变换前直线与椭圆的位置关系（相切、相交、相离）在伸缩变换后保持不变.性质3 面积关系确定性：伸缩变换前图形面积S与伸缩变换后图形面积S′满足关系S=abS′.[⇩] 问题探究设直线l：y=kx+m不过原点O，且与椭圆E：+=1（a>b>0）有两个不同的交点A，B，则称△OAB为椭圆的中心三角形. 由伸缩变换的性质可知，求解椭圆中心三角形的面积，完全可以转化为求解对应圆的中心三角形的面积.在伸缩变换φ的作用下得到：l′：by′=kax′+m与E′：x′2+y′2=1的交点为A′，B′，∠A′OB′=α，则S△A′OB′=sinα，S△AOB就转化为了S△A′OB′. 显然当α=90°时，S△A′OB′的最大值为;由伸缩变换的性质3可知S△AOB的最大值为，此时直线l′与圆E′的位置关系如图1所示. S△AOB的最大值取决于直线l与椭圆E的位置关系，即在椭圆已知的情况下，需要研究k，m对S△AOB的影响，有如下三种情况：（1）k确定;（2）m确定;（3）k，m存在线性关系.（1）当k确定时，不妨设k=k，直线l为一族平行线，在伸缩变换φ的作用下，l′：by′=kax′+m，当圆心O到l′的距离d=（α=90°）时，S△A′OB′有最大值，即S△AOB有最大值，如图2所示. 此时d==，即m=±，直线l′与圆x′2+y′2=相切，直线l：y=kx±，同时S△AOB 无最小值.（2）当m确定或k，m存在线性关系时，直线l过定点，不失一般性. 设直线l过定点P （s，t），在伸缩变换φ的作用下，对应的l′过点P′，. 由平面几何知识可知：①当OP′=≥，即2+2≥时，存在直线l′使得α=90°时，S△A′OB′有最大值，即S△AOB有最大值，此时圆心O 到l′的距离d=，直线l′与圆x′2+y′2=相切，如图3所示.②当OP′=<，即2+2<时，不存在直线l′使得α=90°，此时圆心O到l′的距离d≤OP′<，所以α为钝角. 由S△A′OB′=sinα知，当α取最小值时，S△A′OB′有最大值，也就是当弦心距d取最大值时，α取最小值，即d=OP′，OP′⊥A′B′，如图4所示. 所以sin==，cos==d，所以S△A′OB′的最大值为·2d=d，S△AOB的最大值为abd.由以上讨论可知，不论是平行直线族还是直线过定点，S△AOB的最值都与圆x′2+y′2=椭圆+=有关：如果平行直线族或定点在此圆（椭圆）外，S△AOB的最大值为;如果定点在此圆（椭圆）内，当OP′⊥A′B′时，S△AOB的最大值为abd.[⇩] 应用举例例1 （2014年全国Ⅰ卷理科第20题）已知点A（0，-2），椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.（1）求E的方程;（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.解析：（1）+y2=1.（2）设直线l：y=kx-2，作伸缩变换φ：x′=·x，y′=y.椭圆E：+y2=1，直线l：y=kx-2，点A（0，-2）在φ的作用下，得到：E′：x′2+y′2=1，l′：y′=2kx′-2，A′（0，-2）. 根据上述分析可知，S△OP′Q′的最大值为，于是S△OPQ的最大值为×2×1=1，此时d==，解得k=±，所以直线l的方程为y=±x-2.例2 （2015年浙江卷理科第19题）如图5所示，已知椭圆+y2=1上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称.（1）求实数m的取值范围;（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）.解析：（1）略.（2）作伸缩变换φ：x′=·x，y′=y.椭圆+y2=1，直线y=mx+，k=-在φ的作用下，得到：x′2+y′2=1，y′=mx′+①，kA′B′=-. 设P为AB的中点，根据性质1可知，P′为A′B′的中点，于是kOP′=，OP′：y′=x′②，联立方程①②得P′-，-，当P′在x′2+y′2=上，即m2=2时，S△A′OB′有最大值，如图6，于是S△AOB的最大值为=.[⇩] 命题探索通过前面的题源分析及示例，笔者尝试命制如下题目.1. 利用弦过定点构造条件改编2018年全国Ⅰ卷理科第19题如下：命题1：已知椭圆E：+y2=1，点M的坐标为（2，0），过M的直线l与E相交于A，B 两点，点B关于x轴的对称点为C，设O为坐标原点，求△OAC面积的最大值.命题设计分析：可以证明直线AC过定点P（1，0），作伸缩变换φ：x′=·x，y′=y.点M，P对应的坐标分别为M′（，0），P′，0，显然P′在圆x′2+y′2=上，因此S△OA′C′的最大值为，S△OAC最大值为=.通过改变M的位置控制题目难度，M的位置改变使得定点P的位置也发生了改变，导致P′位于圆x′2+y′2=内或外，从而S△OAC的最大值也发生了变化. 一般地：结论1：对于椭圆E：+=1（a>b>0），设M的坐标为（x，0），通过计算可知直線l过定点P，0，所以P′的坐标为，0.①当M的横坐标满足0<x≤a时，P′位于圆x′2+y′2=外，S△OA′C′的最大值为，S△OAC的最大值为.②当M的横坐标满足x>a时，P′位于圆x′2+y′2=内，由前面的分析可知，当OP′⊥A′C′时，S△OA′C′有最大值. S△OA′C′的最大值为，S△OAC的最大值为ab.2. 利用特殊图形构造条件如椭圆内接平行四边形，相似题目有2015年全国Ⅱ卷理科第20题、2021年佛山市高二期末考试第22题，题目如下：命题2：已知椭圆E：+=1，O为坐标原点，在椭圆上是否存在点A，B，C，使得四边形OACB为平行四边形，且面积为定值.命题设计分析：根据题意作伸缩变换φ：x′=·x，y′=·y.由伸缩变换的性质可知，平行四边形OACB所对应的四边形OA′C′B′是夹角为120°的菱形，因此SOA′C′B′=，于是S=×2×=3. 一般地：结论2：对于椭圆E：+=1（a>b>0），O为坐标原点，则在椭圆上存在A，B，C三点，使得四边形OACB为平行四边形，且面积为定值ab.伸缩变换使椭圆问题回归到圆上进行解决，搭建了两者的桥梁，借助于圆的丰富性质来解决椭圆问题，避免了复杂的计算. 同时从命题者的角度来思考、设计题目，更好地抓住问题的本质，把握命题规律，让教学游刃有余.参考文献：[1] 人民教育出版社. 数学选修4-4的“坐标系与参数方程”[M]. 北京：人民教育出版社，2008.[2] 魏国兵. 让椭圆“圆”形毕露——浅谈伸压变换在高考椭圆问题中的应用[J]. 数学教学，2014（05）：13-16.。
微专题25 椭圆中与面积有关的定点、定值问题
(2)设 P( 2，t)，t＞0，那么直线 PA 方程是 y＝
t 2 2
(x＋ 2)，
2 x ＋y2＝1， 2 联立 整理得(4＋t2)x2＋2 2t2x＋2t2－8＝0，解 t y＝ （x＋ 2）， 2 2
4 2－ 2t2 4 2 － 2 t2 4t ， 得 x＝ ，则点 C 的坐标是 2 2. 2 4＋ t 4＋ t 4＋ t
答案：(1)略；(2)1.
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1 → ，OB →〉 解析：(1)证明：S＝2· OA· OB· sin〈OA ＝ 1 ＝2 1 → → 2 OA · OB －(OA· OB) )＝2|x1y2－x2y1|.
2 2
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(2)解：设 A(2cosα，sinα)，B(2cosβ，sinβ)．由 l1 与 l2 的斜率之积为 1 y1y2 sinαsinβ 1 －4.所以x x ＝2cosα2cosβ＝－4， 所以 cosαcosβ＋sinαsinβ＝0， 所以 cos(α 1 2 1 － β)＝ 0.又 S＝2|x1y2－ x2y1|＝ |cosαsinβ－ cosβsinα|＝ |sin(α－ β)|＝ 1.所以 △ AOB 面积 S 的值为 1.
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1 说明：本题用另一种求三角形面积的方法 S＝2AB· ACsinA，在解析 几何中， 求夹角的正弦值需要利用余弦转化， 从而需要用到两向量的夹 角公式．
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此外，本题也可以用与例题相同的方法求解： y－y1 x－x1 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，则直线 AB： ＝ ， y2－y1 x2－x1 －y1（x2－x1） x1y2－x2y1 1 令 y＝0，则 x＝ ＋ x1 ＝ ， 所 以 S ＝ 2 |y1 － y2－y1 y2－y1
椭圆中与面积有关的取值范围问题专题
椭圆中与面积有关的取值范围问题专题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN椭圆中与面积有关的取值范围问题范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量例题：如图，已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围．变式1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 22＋y 2＝1，点A 是椭圆上异于长轴端点的任一点，F 为椭圆的右焦点，直线AF 与椭圆交于B 点，直线AO 与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．变式2设椭圆E ：x 216＋y 24＝1，P 为椭圆C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，过点P 的直线y ＝kx＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.(1)求OQOP 的值；(2)求△ABQ 面积的最大值．串讲1如图，已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直线x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，S 2分别为△A 1SA 2，△MSN 的面积，求S 1S 2的最大值．串讲2已知点A(0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．(2018·广西初赛改编)已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点P ，Q ，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．(2018·南通泰州一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．答案：(1)x 24＋y22＝1；(2)y ＝x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.解析：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得，c a ＝22，2a2c ＝42，2分解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y22＝分(2)解法1：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分 因为椭圆的方程为x 24＋y22＝1，所以A(－2，0)．设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)，所以x 02＋y 02＝89，①（2x 0＋2）24＋（2y 0）22＝1，②10分由①②，得9x 02－18x 0－16＝0，解得x 0＝－23或x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①，得y 0＝±23，12分所以k AB ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝分解法2：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2），得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0，解得x B ＝2－4k 21＋2k2，8分所以x M ＝x B ＋（－2）2＝－4k21＋2k2，10分y M ＝k(x M ＋2)＝2k 1＋2k 2，代入x 2＋y 2＝89，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋2k 2＝89， 化简得28k 4＋k 2－2＝0，12分即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝分例题答案：(1)x 22＋y 2＝1；(2)S∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，22.解析：(1)由题设知e ＝22，a 2＝2c 2＝b 2＋c 2，即a 2＝2b 2，将⎝⎛⎭⎪⎫1，－22代入椭圆C 的方程得到12b 2＋12b 2＝1，则b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆C ：x 22＋y 2＝1.(2)当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22.当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1k x.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将y ＝kx代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2，所以x 12＝22k 2＋1，y 12＝2k 22k 2＋1，同理x 22＝2k 22＋k2，y 22＝22＋k 2，△AOB 的面积S ＝OA·OB2＝ （k 2＋1）2（2k 2＋1）（k 2＋2）. 令t ＝k 2＋1∈[1，＋∞)， S ＝t2（2t －1）（t ＋1）＝12＋1t －1t2，令u ＝1t ∈(0，1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫u －12＋94∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，22.综上所述，S ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，22. 变式联想变式1 答案： 2.解析：①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22， 则C ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22. 此时S △ABC ＝12×2×2＝2；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y ＝k(x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 2＋2y 2＝2. 化简得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有Δ＝16k 4－4(2k 2＋1)(2k 2－2)＝8(1＋k 2)，x 1，2＝4k 2±Δ2（1＋2k 2）， 所以AB ＝（1＋k 2）·|x 1－x 2|＝1＋k 2·Δ（1＋2k 2）＝221＋k21＋2k2.(弦长公式)另一方面点O 到直线y ＝k(x －1)的距离d ＝|k|k 2＋1，因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d ＝2|k|k 2＋1，∴S △ABC ＝12AB·2d＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫22·1＋k 21＋2k 2·2|k|k 2＋1＝22k 2（k 2＋1）（2k 2＋1）2＝ 2214－14（2k 2＋1）2＜ 2. 综上，△ABC 面积的最大值为 2.说明：O 为AC 中点，所以△ABC 的面积是△OAB 面积的两倍，而△OAB 的面积可以用公式S △OAB ＝12OF·|y 1－y 2|得出，所以S △ABC ＝2S △OAB ＝|y 1－y 2|＝|k|·|x 1－x 2|＝22k 2（k 2＋1）（2k 2＋1）2.这样计算可以简洁一些． 变式2答案：(1)2；(2)6 3.解析：(1)设P(x 0，y 0)，OQ OP ＝λ，由题意知Q(－λx 0，－λy 0)，因为x 024＋y 02＝1，又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 024＋20＝1，所以λ＝2，即OQ OP ＝2. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB 的面积S ＝12|m|·|x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m|1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）·m 21＋4k2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2·m 21＋4k 2.令m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0＜t≤1.因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋2t ，故S≤2 3.当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.由①知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.串讲激活串讲1 答案：43.解析：设S(22，t)，则t≠0，直线SA 1：y ＝t 32(x ＋2)，直线SA 2：y ＝t 2(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t32（x ＋2），得x 2＋t 29(x ＋2)2＝2，解得x 1＝－2，x 2＝－2t 2＋92t 2＋9，即x M ＝－2t 2＋92t 2＋9. 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t2（x －2），可得x N ＝2t 2－2t 2＋1.所以 S 1S 2＝12SA 1·SA 2·sin ∠S 12SM ·SN ·sin ∠S ＝SA 1·SA 2SM ·SN＝ |22＋2|·|22－2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪22＋2t 2－92t 2＋9·⎪⎪⎪⎪⎪⎪22－2t 2－2t 2＋1＝（t 2＋9）（t 2＋1）（t 2＋3）2＝1＋4t 2t 4＋6t 2＋9＝1＋4t 2＋9t2＋6≤1＋412＝43，等号当且仅当t 2＝3，即t ＝±3时成立． 所以，当S(22，±3)时，S 1S 2的最大值为43.说明：本题用三角形面积公式S 1＝12SA 1·SA 2·sin ∠S ，最后得到S 1S 2＝|x S －xA 1||x S －xA 2||x S －x M ||x S －x N |，这样运算就简单了．还有，用直线SA 1的方程求点M 坐标时，要注意方程组一定有一个解x A1，所以，也可以用韦达定理求出x M .串讲2答案：(1)x 24＋y2＝1；(2)y ＝72x －2或y ＝－72x －2.解析：(1)设F(c ，0)，由条件知2c ＝233，得c ＝3，又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)解法1：依题意，当l⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y ＝kx －2，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即k 2＞34时，x 1，2＝8k±24k 2－31＋4k 2，从而PQ ＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－31＋4k 2，又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d·PQ＝44k 2－31＋4k 2，设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤1，当且仅当t ＝2，k ＝±72时等号成立，且满足Δ＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 解法2由题意知直线l 的斜率必存在．则S △OPQ ＝ 12OP 2·OQ 2－（OP →·OQ →）2，设P(2cos α，sin α)，Q(2cos β，sin β)．所以S △OPQ ＝12·2·|sin (α－β)|≤1，当sin (α－β)＝±1时，等号成立．此时α－β＝2k π＋π2或α－β＝2k π－π2(k∈Z)．又P (2cos α，sin α)，Q (2cos β，sin β)与A (0，－2)共线，则sin β＋22cos β＝sin α＋22cos αsin(α－β)＝2(cosα－cos β)＝±1cos α－cos β＝±12.又k PQ ＝sin α－sin β2（cos α－cos β）＝±(sin α－sinβ)．①若α－β＝2k π＋π2(k ∈Z)，则sin α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π2＋β＝cos β，同理cos α＝－sin β.所以sin α－sin β＝sin α＋cos α.因为cos α－cos β＝12得到cos α－sin α＝12.且(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，所以sin α－sin β＝sin α＋cos α＝±72.②同理，当α－β＝2k π－π2(k ∈Z)时，sin α－sin β＝±72，所以k PQ ＝11 ±72.(以下同解法1) 新题在线答案：(0，1)．解析：由题意，直线l 的斜率存在且不为0，故设l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且x 1·x 2≠0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4.消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0. 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k2，x 1x 2＝4（m 2－1）1＋4k2. 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x 2＝k 2，得－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0. 因为m ≠0，所以k 2＝14，所以k ＝±12. 因为Δ＞0，且x 1·x 2≠0，所以0＜m 2＜2且m 2≠1.设点O 到直线l 的距离为d ，则d ＝|m |1＋k 2， 所以S △OPQ ＝12·d ·PQ ＝12d ·1＋k 2|x 1－x 2|＝m 2（2－m 2）＝－（m 2－1）2＋1. 所以△OPQ 面积的取值范围是(0，1)．说明：命题人用直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，是为了告知直线PQ 斜率为±12.。
谈椭圆化圆的方法、结论及运用
如 图１ ，在ｘ Ｏ ｙ 平 面 内设直 线 的斜 率为ｋ ， Ｐ （ ｓ ， ｔ ） ，
则ｐ（ 一 ｓ ， 一 ｔ ） ， Ｎ （ Ｏ ， ｔ ） ，
（ １ ） 若Ａ， Ｂ， ｃ 三点共线 ， 贝 ， Ｂ ， Ｃ 三点共线 ； 若Ａ ／ ／ Ｃ Ｄ， 则４ Ｂ ／ ／ Ｃ Ｄ ；
１
ｃ ： ＝ １ 通 过 矩 阵 ＝ ［ 【 ０ ２ 。 ］ Ｊ 变 化 得 到 椭 圆 ２ ＋ ４ ＝ １ ， 那
根据矩 阵知识 ，椭 圆Ｘ ２ ＋ ： １ 通 过矩 阵 的逆矩 阵 一 ：
得 。 ， Ｉ Ｙ Ｉ ＝ ｒ Ｅ ， ／ ｌ Ｙ 。 Ｉ ， 所以 。 ， ｌ ｙ ｏ Ｉ ＝ Ｉ Ｙ ｌ ， 将（ ｙ ｏ ） 代人
一 ） ，
如果简单看待这个 问题 ，也 就是用 求轨迹方程类 型 中的相关动 点法求 轨迹 而已 但换 个角 度看 这个 问题 ，
１ Ｄ Ｍｌ ＝ ｍＩ Ｄ Ａ ｌ 的几何意义就是 ： 若Ｏ ＜ ｍ ＜ ｌ ， 它是向礴由 方
向压缩 ， 即对于 轴上方的点 向下压缩 ， 对于确 下方 的点 向上压缩 ， 而 轴上 的点保持不变 ； 若ｍ ＞ ｌ ， 也就 是相应拉 伸 ，这不正 是矩阵 中伸压变换 的本质吗 ！无论Ｏ ＜ ｍ＜ ｌ 或 ｍ＞ ｌ ， 均将 圆转化 为了椭 圆． 那 自然联 想到 ， 类 似此方 法 ， 椭圆不是也 可以转 化为圆吗？
一
例１ （ ２ ０ １ ２ 年湖 北理 ２ 】 题） 设Ａ是 单位 圆 ＋ ＝ ｌ 上 的任 意一点 ， ｆ 是过点Ａ 与 轴垂直 的直线 ， Ｄ 是直线Ｚ 与 轴
点Ｐ （ ， Ｙ ） ，
的交点 ， 点 在直线ｚ 上， 且满足 ｌ Ｄ ＭＩ ＝ ｍ Ｉ Ｄ Ａ Ｉ （ ｍ ＞ Ｏ ， 且
圆与椭圆面积关系
圆与椭圆面积关系引言圆和椭圆是几何学中常见的两种曲线形状。
它们都有着独特的特点和性质，其中一个重要的性质就是它们的面积。
本文将探讨圆和椭圆的面积关系，即在给定条件下，圆和椭圆的面积如何相互关联。
圆的面积首先，让我们来回顾一下圆的基本概念和性质。
圆是一个平面上所有到一个确定点的距离都相等的点的集合。
圆的面积可以通过圆的半径或直径来计算。
圆的面积公式设圆的半径为r，则圆的面积S可以通过下面的公式计算：S=πr2其中，π是一个常数，近似取值为3.14159。
这个公式告诉我们，圆的面积与其半径的平方成正比。
圆的面积性质圆的面积具有以下性质：1.圆的面积与半径的平方成正比，即面积随半径增大而增大。
2.圆的面积与直径的平方成正比，即面积随直径增大而增大。
3.圆的面积与周长无关，即面积不受圆的周长的影响。
椭圆的面积接下来，让我们来研究椭圆的面积。
椭圆是一个平面上所有到两个确定点的距离之和等于常数的点的集合。
椭圆的面积可以通过椭圆的长轴和短轴来计算。
椭圆的面积公式设椭圆的长轴为a，短轴为b，则椭圆的面积S可以通过下面的公式计算：S=πab这个公式告诉我们，椭圆的面积与其长轴和短轴的乘积成正比。
椭圆的面积性质椭圆的面积具有以下性质：1.椭圆的面积与长轴和短轴的乘积成正比，即面积随长轴和短轴的增大而增大。
2.椭圆的面积与离心率有关，离心率越接近于1，椭圆的面积越接近于一个圆的面积。
圆与椭圆面积关系根据前面的讨论，我们可以看出，圆和椭圆的面积计算公式有一定的相似性。
实际上，圆可以看作是一个离心率为0的椭圆。
因此，在一定条件下，圆和椭圆的面积是存在关联的。
设圆的半径为r，椭圆的长轴为a，短轴为b，则有以下关系：1.当a=r，b=r时，椭圆退化为圆，此时椭圆的面积等于圆的面积。
2.当a=r，b>r时，椭圆的长轴与圆的半径相等，但短轴比半径大，此时椭圆的面积大于圆的面积。
3.当a>r，b=r时，椭圆的长轴比半径大，但短轴与半径相等，此时椭圆的面积大于圆的面积。
高考数学复习：利用仿射变换解决椭圆
高考数学复习：利用仿射变换解决椭圆谈及利用仿射变换可以解决一些初等几何的问题，可以使问题变得更加简洁、透彻，对笔者启发很大，笔者通过自己的教学实践感觉到利用仿射变换，可以将椭圆的有关问题转化为圆的问题，从而可以借助圆当中的一些性质解决问题，使问题的解决过程大大简化，在利用仿射变换解决相关问题时，主要利用以下几个性质：性质1 变换后共线三点单比不变（即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样）；性质2 变换后保持同素性和接合性（即变换前直线与曲线若相切，变换后仍相切）； 性质3 变换前后对应图形的面积比不变；现以一些高考试题为例加以说明。
例1设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点 ⑴若6=，求k 的值；⑵求四边形AEBF 面积的最大值。
分析：此例按照常规解法较为繁杂，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，点A 、B 、D 、E 、F 分别变换为点A ’、B ’、D ’、E ’、F ’， 线段E ’F ’恰为圆的直径，根据性质1，D ’分线段E ’F ’的比与D 分线段EF 的比相同，利用圆当中的相交弦定理．．．．．求得D ’点的坐标，再反求出D 点坐标，从而很容易求出k 值；利用性质3，可以求得四边形AEBF 与四边形A ’E ’B ’F ’的面积关系，由于四边形A ’E ’B ’F ’面积的最大值较易求出，这样也就很容易求得四边形AEBF 面积的最大值。
解：依题设得椭圆的方程为1y 4x 22=+ 作仿射变换，令x ’=2x ，y ’=y ，则得仿射坐标系x ’O ’y ’，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆x ’2+y ’2=1，点A 、B 、D 、E 、F 分别变换为点A ’、B ’、D ’、E ’、F ’，且E ’F ’为圆的直径，E ’F ’=2，A ’(1,0)，B ’(0,1)⑴根据性质1 ∵DF 6ED = ∴''''F D 6D E = ∴E ’D ’=712 D ’F ’=72 ∵E ’D ’·D ’F ’=A ’D ’ ·D ’B ’ A ’D ’+D ’B ’=A ’B ’=2∴A ’D ’=724 D ’B ’=723或A ’D ’=723 D ’B ’=724 ∴''''B D 34D A =或''''D 43A = 由定比分点公式可得：D ’(7374,)或D ’(7473,) ∴D 点坐标为(7378,)或(7476,) ∴k=83或k=32 ⑵设四边形AEBF 的面积为S ，四边形A ’E ’B ’F ’的面积为S ’，E ’F ’与A ’B ’的夹角为θ，则S ’=θ⋅⋅sin ''''B A F E 21=θsin 2≤2（当θ=2π时取“=”号，此时F ’ (2222,)）由于椭圆的面积为πab=2π，圆的面积为πr 2=π根据性质3有π=π'S 2S ，故S=2S ’ ∴S ≤22 当且仅当F 坐标为(22222,)，即k=21时取“=”号 说明：由上述证明过程可知，当D ’为A ’B ’中点是时四边形A ’E ’B ’F ’的面积取到最大值，根据性质1，当D 为AB 中点时四边形AEBF 的面积取到最大值。
大招7仿射变换
大招7仿射变换 大招总结仿射变换,通俗来讲,就是将一个空间内的图形按照一定法则变换,就会在另一个空间内得到与之对应的新图形.在高考数学解析几何题目中,我们可以利用仿射变换将一部分有关椭圆的问题转化为圆的问题,这样就可以借助圆中的特有的一些性质解决问题,从而使问题的解决过程大大简化.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,经过仿射变换x xa y yb '=⎧⎪⎨'=⎪⎩,则椭圆变为了圆222x y a ''+=,并且变换过程有如下对应关系：(1)点()00,P x y 变为00,a P x y b ⎛⎫' ⎪⎝⎭(2)直线斜率k 变为ak k b '=(3)图形面积S 变为aS S b''=(4)点、线、面位置不变(中点依然是中点,相切依然是相切)(5)弦长关系满足||A B AB ''=因此同一条直线上线段比值不变. 仿射变换一般而言主要应用于选填中快速得出结果,对于大题可以利用仿射变换快速得出结果但是容易丟掉步骤分,因此还是用正常方法写出过程.当出现以下几个场景的时候就可以联想仿射变换去处理:(1)面积问题(尤其是有一个顶点是坐标原点的时候);(2)斜率之积出现22b a-之类;(3)同一条线段的比例问题;(4)其他与之相关联的问题.典型例题例1.(2014-新课标)I 已知点(0,2)A -,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2F 是椭圆的右焦点,直线AFO 为坐标原点.+ (I)求E 的方程;(II)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点,当OPQ ∆的面积最大时,求l 的方程. 分析:这里第二问出现OPQ ∆面积最大,因此可以联想仿射变换化椭为圆去做..解(I)设(,0)F c ,由条件知2c =得c =,又2c a =,所以2222,1a b a c ==-=,故E 的方程2214x y +=.(II)方法1:依题意当l x ⊥轴不合题意,故设直线:2l y kx =-,设()()1122,,,P x y Q x y 将2y kx =-代入2214x y +=,得()221416120k x kx +-+=,当()216430k ∆=->,即234k >时,21,22824314k k x k ±-=+ 从而2221224143||114k k PQ k x x k+⋅-=+-=+ 又点O 到直线PQ 的距离221d k =+,所以OPQ ∆的面积221443||214OPQk S d PQ k∆-==+,设243k t -=,则2440,144OPQt t S t t t∆>==++,当且仅当72,2t k ==±等号成立,且满足0∆>, 所以当OPQ ∆的面积最大时,l 的方程为:722y x =-或722y x =--. 方法2:作变换2x xy y'=⎧⎨'=⎩,椭圆E 变为圆:224x y ''+=,,此时P Q ''过点(0,4)A '-,此时,2OPQ OPQ S S ∆'∆+=因此OPQ S ∆最大时,OP Q S ∆''同样最大.1sin 2sin 22OP Q S OP OQ P OQ P OQ ∆''='⋅'∠''=∠''当且仅当2P OQ π∠''=时最大 设直线P Q ''方程为4y k x '=''-,那么O 到直线P Q ''距离2421d k '==+17722PQ k k k ⇒'=±⇒='=± ∴直线l 的方程为722y x =±- 总结思考:当过椭圆外一个定点P 作一条直线与椭圆交于,A B 两点时,AOB ∆面积最大值2ab,当且仅当经过仿射变换之后的A B ''与原点O 所构成的三角形为直角三角形时取到最大值.如果定点P 是圆内点,则有两种情况:(1)如果作仿射变换之后P '到圆心距离大于等于22a ,那么面积最大值仍然是;(2)2ab如果作仿射变换之后P '到圆心距离小于22a ,那么当OP A B '⊥''时面积取到最大值.例2.设1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点.(1)若P 是该椭圆上的一个动点,求12PF PF ⋅的取值范围;(2)设(2,0),(0,1)A B 是它的两个顶点,直线(0)y kx k =>与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点.求四边形AEBF 面积的最大值. 解(1)由题意可知2,1a b ==,∵c ==∴12(F F 设 (,)P x y∴2212(,),)3,PF PF x y x y x y ⋅=-⋅=+-+()2221133844x x x =+--=-由椭圆的性质可知,2228384x x -⇒--*()212138[2,1]4PF PF x ∴⋅=-∈- (2)方法1:设()()1122,,,E x kx F x kx ,联立2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理可得()22144k x+=12x x ∴==(2,0),(0,1)A B∴直线AB 的方程为:220x y +-=根据点到直线的距离公式可知,点,E F 到直线AB 的距离分别为1212k h ++==2212k h +==∴12h h+=∴||AB ==∴四边形的面积为()1211||22S AB h h =+===4212214k k=++(当且仅当14k k =即12k =时,上式取等号,所以S 的最大值为22. 方法2:作变换2x xy y'=⎧⎨'=⎩之后椭圆变为圆,方程为224x y ''+=+此时(0,2),22,4B A B E F '''=''=当且仅当E F A B ''⊥''时面积取到最大此时1222ABBF AE B F S S '''==四边形四边形例 3.(2017-肇庆三模)已知圆221:(1)16F x y ++=,定点2(1,0),F A 是圆1F 上的一动点,线段24F A的垂直平分线交半径1F A 于P 点.(I)求P 点的轨迹C 的方程;(II)四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上,且对角线,EG FH过原点O ,若34BG FH k k ⋅=-,求证:四边形EFGH 的面积为定值,并求出此定值.解(1)解:因为P 在线段2F A 的中垂线上,所以2||PF PA =. 所以211112||4PF PF PA PF AF F F +=+==>所以轨迹C 是以12,F F 为焦点的椭圆,且1,2c a ==,所以3b =。
解答题：利用“仿射变换”化椭为圆
浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用一、仿射变换思想方法椭圆)0,0(1:2222>>=+b a b y a x C 中，令a x x ='，by y =',，则椭圆方程变为单位圆 1'22=+y x C ： ，该变换过程称为仿射变换。
相当于在xoy 与'''y o x 两个坐标系来研究问题，但圆中几何意义明显，便于计算。
但最后要还原到椭圆中去解决问题。
变化前后点的坐标对应变化：),()','(),(bya x y x y x =→ )','(),()','(by ax y x y x =→二、性质1、点线关系不变（1）同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线 （2）结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上 （3）原三点共线，后三点也共线；原直线平行，后直线也平行 2、原弦长||AB ,斜率k ，后弦长|''|B A ，22211||k k m AB ++=|''|B A （其中ba m =） 3. 直线与圆锥曲线的位置关系不变（相切、相交）已知直线0:=++C Bx Ax l ，椭圆1:2222=+b y a x C ，讨论直线与椭圆的位置关系。
由a x x ='，byy =',仿射变换后，直线0:=++C Bx Ax l 变为0:'=++C Bbx Aax l 。
（此结论可以作为公式背下，提高平时做题的速度）椭圆变为1'22=+y x C ： ，由直线与圆的位置关系易得答案。
例1 已知直线03=-+y x ，椭圆1422=+y x ，则直线与椭圆的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C. 相离 D. 相切或相交解：由2'x x =，y y ='仿射变换后，直线03=-+y x ，椭圆1422=+y x 分别变为直线03''2=-+y x 、椭圆1''22=+y x ，而直线03''2=-+y x 到圆1''22=+y x 的距离15312|3|22>=+-=d ，所以直线和圆相离，由于仿射变换直线与圆锥曲线的位置关系不变，所以原直线和椭圆相离。
专题2、椭圆化圆
( x, y) ( x, y) (ax, by)
2、椭圆化圆的常见结论：
AB BC AB u BC （1）原三点共线，后也三点共线：
原直线平行，后也直线平行：AB // CD AB // CD （2）直线：原直线斜率 k ，后直线斜率 k
例3、椭圆
x2 y2 1(a b 0) a 2 b2
离心率为 23 ，过右焦点斜率为
k (k 0) 的直线与椭圆交于 A, B ，若 AF 3FB ，求 k
解：
3 b2 1 e 2 a 2 4b 2 , c 2 3b 2 2 a 4
椭圆为
x x 2b y y b
3、椭圆化圆的应用
x2 y2 例1、求过椭圆 2 2 1(a b 0) 上一点P( x0 , y0 ) 的切线方程。 a b
x x a 解：令 y y b
化椭圆为 x2 y2 1
x0 y0 x O y 在 坐标系中：P( x0 , y0 ) P ( , )
专题二、椭圆化圆
1、椭圆化圆的思想方法
椭圆
x2 y2 1(a b 0) a 2 b2
中，令
x x a y y b
则椭圆方程变为：
x2 y2 1 为单位圆。
相当于在 xoy 与 xoy 两个坐标系来研究问题，但圆 中几何意义明显，便于计算。但最后要还到椭圆中 去解决问题。 变化前后点的坐标对应变化：
y0 y1 y0 y2 k1 k2 1 1 在 xOy 坐标系中： x0 x1 x0 x2 y1 y2 y1 y0 y2 y0 y0 y0 k2 2 1 2 k1 x1 x0 x2 x0 2 x1 2 x0 2 x2 2 x0
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“化椭为圆”解决椭圆中的面积问题
作者：王旭光
来源：《广东教学报·教育综合》2019年第46期
【摘要】在仿射变换下，图形的一些性质不会发生变化。
如，同素性、结合性、平行性、面积比等。
本文通过仿射变换“化椭为圆”来解决椭圆中的一些面积问题，在椭圆的教学和学习过程中，许多问题只能用解析幾何的方法来解决，计算量往往比较大，技巧也比较多。
而在解决圆的某些问题时，往往利用一些性质来处理，过程简明很多。
通过仿射变换正好可以“化椭为圆”，将椭圆中的面积问题转化到圆中来处理。
【关键词】仿射变换；椭圆；圆；面积
参考文献：
[1]吐尔洪艾尔米丁.仿射变换在椭圆面积中的应用[J].新疆师范大学大学学报（自然科学版），2009（1）：44.。