弧长和扇形面积DOC
辅导讲义：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积
辅导：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积一、弧长和扇形的面积：『活动一』因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C =2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是 .这样，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l = . 『活动二』类比弧长的计算公式可知：在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积的计算公式为：S = . 『活动三』扇形面积的另一个计算公式比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S =360nπR 2化为S =180R n ·21R ，从面可得扇形面积的另一计算公式：S = . 二、圆锥的侧面积和全面积：1．圆锥的基本概念： 的线段SA 、SA 1……叫做圆锥的母线，的线段叫做圆锥的高．2.圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系：将圆锥的侧面沿母线l 剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r ，这个扇形的半径等于 ，扇形弧长等于 ． 3．圆锥侧面积计算公式圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长， 这样，S 圆锥侧=S 扇形=21·2πr · l = πrl 4．圆锥全面积计算公式S 圆锥全=S 圆锥侧＋S 圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr （l ＋r ）三、例题讲解：例1、（2011•德州，11，4分）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为 ． 例2、（2011年山东省东营市，21，9分）如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠BAD =120°，四边形ABCD 的周长为15．A1（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．例3、（2010广东，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（－4，0），⊙P 的半径为2，将⊙P 沿x 轴向右平移4个单位长度得⊙P 1． （1）画出⊙P 1，并直接判断⊙P 与⊙P 1的位置关系；（2）设⊙P 1与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，求劣弧AB 与弦AB 围成的图形的面积（结果保留π）．y x－3 O 12312 3 －3－2 －1－1 －2 －4 －5 －6A BCDEF（第3题）O四、同步练习：1、（2012北海,11，3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为： （ ）A ．10πB ．10C ．10πD ．π2、（2012北海,12，3分）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了：（ ）A ．2周B ．3周C ．4周D ．5周3、（2012湖北咸宁，7，3分）如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）．A ．-3π2B ．-32π3C ．-32π2D ．-322π34、（2012四川内江，8，3分）如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分图形的面积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π35、（2012·湖南省张家界市·14题·3分）已知圆锥的底面直径和母线长都是１０cm ，则圆锥的侧面积为________.6、（2012·哈尔滨，题号16分值 3）一个圆锥的母线长为4，侧面积为8π，则这个圆锥的底面圆的半径是 ．ABD CO图2ABC 第1题图A OD第2题图 第9题第11题7、（2012江苏省淮安市，17，3分）若圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则此圆锥的侧面积为 cm 2．8、（2012四川达州，11，3分）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积是 .（不取近似值）9、（2012年广西玉林市，16，3）如图，矩形OABC 内接于扇形MON ，当CN =CO 时，∠NMB10、(2012广安中考试题第15题，3分)如图6，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC =3，∠ACB =90o，∠A =30o，若△RtABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线上l 时，点A 所经过的路线的长为________________（结果用含л的式子表示）．11、（2011•丹东，14，3分）如图，将半径为3cm 的圆形纸片剪掉三分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ．12、（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O 中，直径AB =2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C =45°，则（1）BD 的长是 ；（5分） （2）求阴影部分的面积. （5分）第12题图AC13、（2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,点E 在⊙O 外,∠EAC =∠D =60°. （1）求∠ABC 的度数； （2）求证：AE 是⊙O 的切线； （3）当BC =4时，求劣弧AC 的长.14、（2012年吉林省，第23题、7分．）如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，半径OA =6．将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠．点O 恰好落在弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，求整个阴影部分的周长和面积．O BCDE15、（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标：C、D；②⊙D的半径= （结果保留根号）；③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为（结果保留π）；④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.参考答案例1、考点：圆锥的计算。
弧长公式扇形面积公式弧度制
弧长公式扇形面积公式弧度制
（最新版）
目录
1.引言
2.弧长公式
3.扇形面积公式
4.弧度制
5.结论
正文
1.引言
在数学中，扇形是一个非常基本的概念，它是由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的区域。
扇形的面积和弧长是计算扇形相关问题的重要工具，而弧度制则是一种用来度量角度的制度。
本文将介绍扇形的面积公式、弧长公式以及弧度制。
2.弧长公式
弧长公式是用来计算扇形弧长的公式，它的公式为：L = θr，其中 L 表示弧长，θ表示扇形角的弧度制表示，r 表示扇形的半径。
通过这个公式，我们可以计算出扇形中任意一段弧的长度。
3.扇形面积公式
扇形面积公式是用来计算扇形面积的公式，它的公式为：S = 1/2 ×r ×θ，其中 S 表示扇形的面积，r 表示扇形的半径，θ表示扇形角的弧度制表示。
通过这个公式，我们可以计算出扇形的面积。
4.弧度制
弧度制是一种用来度量角度的制度，它的单位是弧度。
在弧度制中，
一圆的周长被定义为 2πr，其中 r 表示圆的半径。
弧度制的应用使得计算扇形问题变得更加简便，因为它可以避免角度制中度数与弧度之间的转换。
5.结论
总结一下，扇形的面积公式和弧长公式是计算扇形相关问题的重要工具，而弧度制则为计算提供了便利。
弧长公式和面积公式
弧长公式和面积公式
圆弧的弧长公式和面积公式：
1、已知弧长L与半径R：S扇形＝1/2LR。
2、已知弧所对的圆心角n°与半径。
S扇形＝nπR^2/360。
弧形计算公式：S=1/2LR=nπR²/360（L是弧长，R是半径）。
弧长计算公式：L=n（圆心角度数）×π（1）×r（半径）／180（角度制），L=α（弧度）×r(半径）（弧度制）。
其中n是圆心角度数，r 是半径，L是圆心角弧长。
弧形面积的计算方法
弧长、两弧点间的距离、弧高这三个条件知道任意两个就够了。
（1）由已知弧长和已知弦长（两弧点间的距离）求得圆半径和弧所对的圆心角的度数。
（2）由半径和圆心角求得扇形面积和三角形面积。
（3）扇形面积减去三角形的面积的弧形的面积。
弧长和扇形面积(教案)
教案：弧长和扇形面积教学目标：1. 理解弧长的概念及计算方法。
2. 掌握扇形面积的计算公式。
3. 能够运用弧长和扇形面积的知识解决实际问题。
教学重点：1. 弧长的计算。
2. 扇形面积的计算。
教学难点：1. 弧长的计算公式的应用。
2. 扇形面积的计算公式的应用。
教学准备：1. 课件或黑板。
2. 教学卡片。
3. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的周长公式：C = 2πr。
2. 提问：如果我们知道圆的半径，如何计算圆的周长呢？二、新课：弧长（10分钟）1. 引入弧长的概念：在圆上，弧长是指连接圆上两点之间的部分的长度。
2. 解释弧长的计算方法：弧长= 圆心角/ 360°×2πr。
3. 示例：给定一个半径为5cm的圆，圆心角为90°，计算弧长。
三、练习：弧长的计算（10分钟）1. 学生独立完成练习题，老师巡回指导。
2. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。
四、导入扇形面积的概念（5分钟）1. 引入扇形面积的概念：扇形面积是指圆心角所对应的圆弧与半径所围成的区域的面积。
2. 提问：扇形面积与圆的面积有何关系？五、新课：扇形面积的计算（10分钟）1. 解释扇形面积的计算公式：扇形面积= (圆心角/ 360°) ×πr²。
2. 示例：给定一个半径为5cm的圆，圆心角为90°，计算扇形面积。
3. 强调扇形面积与圆心角的关系：圆心角越大，扇形面积越大。
教学反思：本节课通过引入弧长和扇形面积的概念，让学生掌握了弧长和扇形面积的计算方法。
在教学过程中，通过示例和练习题的讲解，帮助学生理解和应用知识点。
在今后的教学中，可以结合实际问题，让学生更好地运用弧长和扇形面积的知识。
六、练习：弧长和扇形面积的综合应用（10分钟）1. 学生独立完成综合练习题，老师巡回指导。
2. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。
七、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容：弧长的计算方法和扇形面积的计算方法。
【课件】24.4弧长和扇形面积
∴AF＝ AB2＋BF2＝ 22＋12＝ 5.由平行四边形的性质，△FEC≌
△CGF，∴S△FEC＝S△CGF，∴S 阴影＝S 扇形 BAC＋S△ABF＋S△FGC－S 扇形 FAG
＝90×3π60×22＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90×π
×（ 360
5）2＝52－π4
16．(2014·昆明)如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，D 是边 AC 上的一点，连接 BD，使∠A＝2∠1，E 是 BC 上的一点，以 BE 为直径的⊙O 经过点 D.
(1)求证：AC 是⊙O 的切线； (2)若∠A＝60°，⊙O 的半径为 2，求阴影部分的面积．(结果
保留根号和π)
解：(1)连接 OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠BDO，∴∠DOC＝2 ∠1＝∠A.在 Rt△ABC 中，∠A＋∠C＝90°，即∠DOC＋∠C＝90 °，∴∠ODC＝90°，即 OD⊥DC，∴AC 为圆 O 的切线
3．已知扇形的圆心角为 45°，弧长等于π2 ，则该扇形的半径是 ___2__．
4．(2014·兰州)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30
°，AB＝2.将△ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋转 60°得△A′B′C，则点
B 转过的路径长为(B )
π A. 3
3π B. 3
2π C. 3
∠FAB＝90°.∵线段 AF 绕点 F 顺时针旋转 90°得线段 FG，∴∠
AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC
∥FG.∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四边形 EFGC 是平行四
边形，∴EF∥CG
(2)∵AB＝2，E 是 AB 的中点，∴FB＝BE＝12AB＝12×2＝1，
如何计算弧长与扇形面积
如何计算弧长与扇形面积计算弧长与扇形面积弧长是指圆的一部分，而扇形面积则是由圆心角确定的一个扇形所占据的面积。
计算弧长和扇形面积是在日常生活和工作中常常遇到的问题，特别是在几何学、物理学和工程学中。
一、弧长的计算方法计算弧长的方法基于圆的周长公式。
假设圆的半径为r，圆的周长为C，则有公式C = 2πr。
那么如果需要计算一个弧长L，可以使用以下公式：L = (θ/360°) × C其中，θ为角度。
例如，如果需要计算一个半径为5cm的圆弧的弧长，其中角度θ为60°，则可以计算得到：L = (60/360) × 2π × 5 = 5π ≈ 15.71 cm二、扇形面积的计算方法计算扇形面积的方法基于圆的面积公式。
假设圆的半径为r，圆的面积为A，则有公式A = πr²。
那么如果需要计算一个圆扇形的面积S，可以使用以下公式：S = (θ/360°) × A其中，θ为角度。
例如，如果需要计算一个半径为5cm的圆扇形的面积，其中角度θ为60°，则可以计算得到：S = (60/360) × π × 5² = 13.09 cm²三、实例应用下面我们通过一个实例来展示如何计算弧长和扇形面积。
假设我们需要计算一个半径为8cm的圆扇形的弧长和面积，其中角度θ为45°。
首先，我们可以根据弧长的计算公式，计算弧长L：L = (45/360) × 2π × 8 = π ≈ 3.14 cm其次，我们可以根据扇形面积的计算公式，计算扇形面积S：S = (45/360) × π × 8² = 8π ≈ 25.13 cm²通过这个实例，我们可以清晰地看到如何计算弧长和扇形面积。
四、总结计算弧长和扇形面积可以通过简单的公式进行。
需要明确的是，计算过程中需要正确使用角度和半径的单位，以确保计算结果的准确性。
弧长公式和扇形面积公式的关系
弧长公式和扇形面积公式的关系弧长公式和扇形面积公式是几何学中常用的公式，用于计算弧长和扇形的面积。
这两个公式之间存在一定的关系，下面将详细介绍它们之间的联系。
我们来看一下弧长公式。
在一个圆中，弧长是指圆上两个点之间的弧所对应的圆周的长度。
假设圆的半径为r，弧所对应的圆心角为θ（弧度制），那么弧长L可以通过弧长公式来计算：L = rθ。
这个公式告诉我们，弧长与圆的半径和圆心角成正比，也就是说，当半径增加或圆心角增大时，弧长也会相应增加。
接下来，我们看一下扇形面积公式。
扇形是由一个圆心角所对应的圆弧和两条半径组成的图形。
扇形的面积可以用扇形面积公式来计算：A = 0.5r²θ，其中r是圆的半径，θ是扇形所对应的圆心角。
这个公式告诉我们，扇形的面积与圆的半径和圆心角成正比，也就是说，当半径增加或圆心角增大时，扇形的面积也会相应增加。
接下来，我们来探讨一下弧长公式和扇形面积公式之间的关系。
首先，我们可以发现，扇形是由弧和两条半径组成的，可以将扇形看作是一个弧和一个三角形的面积之和。
假设扇形的面积为A，弧长为L，那么可以得到以下关系：A = 0.5rL，其中r是圆的半径。
这个关系告诉我们，扇形的面积与弧长成正比，也就是说，当弧长增加时，扇形的面积也会相应增加。
对于给定的圆，如果我们知道了弧长L，我们可以通过扇形面积公式计算出扇形的面积A。
反过来，如果我们知道了扇形的面积A，我们可以通过扇形面积公式解出弧长L。
因此，弧长公式和扇形面积公式可以互相转换和应用。
除了上述的关系，弧长公式和扇形面积公式还与圆的周长和面积公式有一定的联系。
圆的周长C可以表示为C = 2πr，其中r是圆的半径。
而圆的面积S可以表示为S = πr²。
如果我们将弧长公式中的圆心角θ设置为360度或2π弧度，那么可以得到弧长公式和圆的周长公式之间的关系：L = Cr/360。
同样地，如果我们将扇形面积公式中的圆心角θ设置为360度或2π弧度，那么可以得到扇形面积公式和圆的面积公式之间的关系：A = Sr/360。
初中数学 圆的弧长及扇形面积公式 (含答案)
弧长及扇形面积第一部分 知识梳理（一）、圆的弧长及扇形面积公式在半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长为C 1,以n °为圆心角的扇形面积为S 1弧长公式 ： 弧长C 1＝180n R π 扇形面积公式： S 1＝2360n R π＝12C 1R注意：计算不规则图形的面积时，要转化成规则图形的面积进行计算。
（二）、圆锥的侧面积：注意：圆锥的侧面展开图是一个扇形 其中：（1）h 是圆锥的高,r 是底面半径；（2）l 是圆锥的母线,其长为侧面展开后所得扇形的半径R ；（3）圆锥的侧面展开图是半径等于 l ,弧长等于圆锥底面 周长C 的扇形.即： ①l =R ②180n Rπ=2πr ③h 2+r 2=l 2圆锥的侧面积 S 侧面积＝ πrl圆锥的全面积 S 全面积＝ πrl ＋πr 2第二部分 中考链接一、有关弧长计算 （一）、选择题1、（2018•淄博）如图，⊙O 的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC 的长为（ ）A 、2π B. 83π C 34π D. 43π1题图2题图 3题图 4题图 5题图2、（2018•黄石）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（ ）A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π3、（2018•沈阳）如图，正方形ABCD 内接于O ，AB=2，则的长是（ ）A ．πB ．πC ．2πD ．π4、（2018•陵城区二模）一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）A ．B ．C ．4D ．2+5、（2018•明光市二模）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，OA=2，∠OAB=30°，弦BC ∥OA ，则劣弧的长是（ ）A ．B ．C ．D ．6、（2019青岛）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．π B．2π C．2π D．4π6题图 7题图 8题图7、（2019烟台）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（）A．B．πC．πD．π8、（2019泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π（二）、填空题1、（2018•潍坊）如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则的长是．．1题图 3题图 4题图5题图8题图2、（2018•连云港）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为cm．3、（2018•永州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为．4、（2018•盐城）如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA=2cm，∠AOB=120°．则图2的周长为cm（结果保留π）．5、（2018常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是．6、（2018•温州）已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为．．7、（2018•白银）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为．8．（2019泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为cm．（三）、解答题1．（2018•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．二、、有关扇形面积计算（一）、选择题1、（2018•德州）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）A．2B．C．πm2 D．2πm21题图2题图 3题图4题图2、（2018•广安）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣3、（2018•成都）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π4、（2018•绵阳）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A．（30+5）πm2B．40πm2C．（30+5）πm2D．55πm25．（2018•十堰）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（）A．12π+18B．12π+36C．6D．66、（2018•山西）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣85题图6题图7题图8题图7、（2018•广西）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2 D．28、（2018•威海）如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（）A．18+36πB．24+18πC．18+18πD．12+18π9题图10题图11题图12题图13题图9、（2019枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣12π10、（2019临沂）如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2+πB．2++πC．4+πD．2+π11、（2019宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）A．63﹣πB．63﹣2πC．63+πD．63+2π12. （2019四川南充）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A. 6π B. 33π C. 23π D. 2π13.（2019四川资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A. 5πB. 6πC. 20πD. 24π（二）、填空题1、（2018青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是．1题图2题图3题图4题图2、（2018•安顺）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2．3、（2018•荆门）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O 交BC于点E，则阴影部分的面积为．4、（2018•重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）5、（2018•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．5题图6题图8题图9题图10题图6．（2018•香坊区）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为．7、（2018•哈尔滨）一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是cm2．8、(2019日照)如图，已知动点A 在函数4(0y x x=＞）的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 交以A 为圆心AB 长为半径的圆弧于点E ，延长BA 交以A 为圆心AC 长为半径的圆弧于点F ，直线EF 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，当NF ＝4EM 时，图中阴影部分的面积等于 ．9、（2019泰安）如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A 、点C ，交OB于点D ，若OA ＝3，则阴影都分的面积为 ．10、（2019德州）如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC ＝，AC ＝3．则图中阴影部分的面积是 ．11、(2019无锡市)如图，在△ABC 中，AC ：BC ：AB ＝5：12：13，⊙O 在△ABC 内自由移动，若⊙O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为 ． A BABCOOCOOI HF GED11题图 12题图 12、（2019四川内江）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜AD ，∠A ＝150°，CD ＝4，以CD 为直径的⊙O 交AD 于点E ，则图中阴影部分的面积为 ． （三）、解答题1、（2019东营）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AB 延长线上的一点，点C 在⊙O 上，且AC ＝CD ，∠ACD ＝120°．（1）求证：CD 是⊙O 的切线，（2）若⊙O 的半径为3，求图中阴影部分的面积．2、（2019无锡市）一次函数b kx y +=的图像与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴的正半轴相交于点B ，且sin ∠ABO 3OAB 的外接圆的圆心M 的横坐标为﹣3． （1）求一次函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积．xy M BAO3．（2019·武汉）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN于D 、C 两点（1） 如图1，求证：AB 2＝4AD ·BC（2） 如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积ODEMF EMO图1 图2 4．（2019·衡阳）如图，点A 、B 、C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．DAOCB三、圆锥（一）、选择题2、（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm 2，若圆锥底面半径为R （cm ），母线长为l （cm ），则R 关于l 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3、（2018•遵义）若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）A．60πB．65πC．78πD．120π4、（2018•遂宁）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π5、（2018•东阳市模拟）已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．50πcm2C．60πcm2D．3πcm26、（2019东营）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．3B．C．3 D．3（二）、填空题1、（2018烟台）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON 的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=．1题图2题图3题图7题图8题图2、（2018徐州）如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为．3、（2018•郴州）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）4、（2018•聊城）用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高为40cm的圆锥形工件（接缝忽略不计），那么这个扇形铁皮的半径是cm．5、（2018•黑龙江）用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为．6、（2018•扬州）用半径为10cm ，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为cm．7、（2018•苏州）如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D 均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则12rr的值为8、（2019聊城）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为．9．（2019无锡市）已知圆锥的母线成为5cm，侧面积为15πcm 2，则这个圆锥的底面圆半径为cm ．答案与提示：一、弧长计算（一）、选择题1、D2、D3、A4、B5、B6、B7、D8、C1、解：如图，连接CO，∵∠BAC=50°，AO=CO=3，∴∠ACO=50°，∴∠AOC=80°，∴劣弧AC的长为=，故选：D．1题图2题图3题图6题图8题图2、解：连接OD，∵∠ABD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°，∴∠BOD=120°，∴的长==，故选：D．3、解：连接OA、OB，∵正方形ABCD内接于O，∴AB=BC=DC=AD，∴===，∴∠AOB=×360°=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，解得：AO=2，∴的长为=π，故选：A．4、BC=AB=AC=1，∠BCB′=120°，∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×12014=1803ππ⨯故选B．5、连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧长为6011= 1803ππ⨯．6、解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝4，∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝2π，故选：B．7、解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ADC∽△CEB，∴＝，即＝，∵tan∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠ABC＝30°∴AC＝2AD＝2，∴AB＝4，∴⊙O的半径为2，∴的长为：＝π，故选：D．8、解：连接OA．OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．（二）、填空题1、201923π2、2π3、24π4、83π5、26、67、πa8、6π1、解：直线y=x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2），以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，OA2==4，点A2的坐标为（4，0），这种方法可求得B2的坐标为（4，4），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8）以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），则的长是=．故答案为：．2、1203=2 180ππ⨯3、解：∵点A（1，1），∴OA==，点A在第一象限的角平分线上，∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，∴∠AOB=45°，∴的长为=．故答案为．4、解：由图1得：的长+的长=的长 ∵半径OA=2cm ，∠AOB=120°则图2的周长为：=故答案为：．5、连接OB.OC ，由∠BAC=60°得∠BOC=120°，1204=1803r ππ⨯ 得：r=26、解：设半径为r ，60=2180rππ⨯，解得：r=6，故答案为：6 7、解：如图．∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a ， ∴的长=的长=的长==，∴勒洛三角形的周长为×3=πa ．故答案为πa ．(三)、解答题1、证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°， ∵OC ∥BD ，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC ⊥AD ，∴AE=ED ； （2）∵OC ⊥AD ，∴，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴．二、有关扇形面积计算1、A2、C3、C4、A5、C6、A7、D8、C9、C 10、A 11、A 12、A 13、A 1、解：连接AC ，∵从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°， ∴AC 为直径，即AC=2m ，AB=BC ，∵AB 2+BC 2=22，∴AB=BC=m ，∴阴影部分的面积是=（m 2），故选：A ．2、解：连接OB 和AC 交于点D ，如图所示：∵圆的半径为2，∴OB=OA=OC=2，又四边形OABC 是菱形，∴OB ⊥AC ，OD=OB=1， 在Rt △COD 中利用勾股定理可知：CD==，AC=2CD=2，∵sin ∠COD==，∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S 菱形ABCO =OB ×AC=×2×2=2，S 扇形AOC ==，则图中阴影部分面积为S 菱形ABCO ﹣S 扇形AOC =π﹣2，故选：C ．1题图 2题图 5题图 7题图 8题图3、解：∵在□ABCD 中，∠B=60°，⊙C 的半径为3，∴∠C=120°， ∴图中阴影部分的面积是：=3π，故选：C ．4、解：设底面圆的半径为R ，则πR 2=25π，解得R=5， 圆锥的母线长==，所以圆锥的侧面积=•2π•5•=5π；圆柱的侧面积=2π•5•3=30π，所以需要毛毡的面积=（30π+5π）m 2．故选：A ．5、解：如图，连接OD ，AD ，∵点C 为OA 的中点，∴OC=OA=OD ， ∵CD ⊥OA ，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△ADO 为等边三角形，OD=OA=12，OC=CA=6，∴CD=，6，∴S 扇形AOD ==24π，∴S 阴影=S 扇形AOB ﹣S 扇形COE ﹣（S 扇形AOD ﹣S △COD ）=﹣﹣（24π﹣×6×6）=18+6π．故选：C ．6、解：利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF 的面积﹣△ABD 的面积=﹣×4×2=4π﹣4，故选：A ． 7、解：过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=1，AD=BD=， ∴△ABC 的面积为=，S 扇形BAC ==π，∴莱洛三角形的面积S=3×π﹣2×=2π﹣2，故选：D ．8、解：作FH ⊥BC 于H ，连接FH ，如图，∵点E 为BC 的中点，点F 为半圆的中点，∴BE=CE=CH=FH=6， 226+125Rt △ABE ≌△EHF ，∴∠AEB=∠EFH ， 而∠EFH+∠FEH=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°，∴∠AEF=90°，∴图中阴影部分的面积=S正方形ABCD +S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF=12×12+12•π•62﹣12×12×6﹣12•65×65 =18+18π．故选：C．9、解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，故选：C．10、解：∵＝，∴AB＝AC，∵∠ACB＝75°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴AD经过圆心O，∴OD＝OB＝，∴AD＝2+，∴S△ABC＝BC•AD＝2+，S△BOC＝BC•OD＝，∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝2++﹣＝2+π，故选：A．12.连接OA、OB，则S阴=S扇形OAB=2606360π⨯=6π故选A13、圆所扫过的图形面积=长方形的面积+圆的面积=2π×2+π=5π二、填空题1、734-23π2、4π3、40π4、14π5、43π﹣36、8﹣2π7、6﹣π8、3 9、6π10、2.5π 11、34π 12、 13、25 14、233π+解：∵∠B=90°，∠C=30°，∴∠A=60°，∵OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠COF=120°，∵OA=2，∴扇形OGF的面积为：=∵OA为半径的圆与CB相切于点E，∴∠OEC=90°，∴OC=2OE=4，∴AC=OC+OA=6，∴AB=AC=3，∴由勾股定理可知：BC=3∴△ABC的面积为：×3×3=∵△OAF的面积为：×2×=，∴阴影部分面积为：﹣﹣π=﹣π故答案为：﹣π1题图 3题图 8题图2、解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC 绕圆心O 逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O ，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°， ∵AB=2cm ，∴OB=1cm ，OC′=，∴B′C′=，∴S 扇形B′OB ==π，S 扇形C′OC ==，∴阴影部分面积=S 扇形B′OB +S △B′C′O ﹣S △BCO ﹣S 扇形C′OC =S 扇形B′OB ﹣S 扇形C′OC =π﹣=π；3、解：连接OE 、AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，∴AE=AB=2，BE==2，∵OA=OB=OE ，∴∠B=∠OEB=30°，∴∠BOE=120°，∴S 阴影=S 扇形OBE ﹣S △BOE ，=﹣×，=﹣，=﹣，4、解：S 阴=S △ABD ﹣S 扇形BAE =×4×4﹣=8﹣2π，故答案为8﹣2π．5、解：∵矩形ABCD ，∴AD=2，∴S 阴影=S 矩形﹣S 四分之一圆=2×3﹣π×22=6﹣π，6、解：∵在⊙O 上，∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°， ∴此扇形的半径为：=3．故答案为：3．7、解：设扇形的半径为Rcm ，∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm ， ∴=3π，解得：R=4，所以此扇形的面积为=6π（cm 2），故答案为：6π．8．解：作DF ⊥y 轴于点D ，EG ⊥x 轴于G ，∴△GEM ∽△DNF ，∵NF ＝4EM ，∴＝＝4，设GM ＝t ，则DF ＝4t ，∴A （4t ，），由AC ＝AF ，AE ＝AB ，∴AF ＝4t ，AE ＝，EG ＝， ∵△AEF ∽△GME ，∴AF ：EG ＝AE ：GM ，即4t ：＝：t ，即4t 2＝，∴t 2＝，图中阴影部分的面积＝+＝2π+π＝2.5π，11、解：连接OC ，作CH ⊥OB 于H ，∵∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠OAB ＝60°，AB ＝2OA ＝6， 由勾股定理得，OB ＝＝3，∵OA ＝OC ，∠OAB ＝60°，∴△AOC 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°，∴∠COB ＝30°， ∴CO ＝CB ，CH ＝OC ＝， ∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．11题图12题图 13题图解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝，AC ＝3．∴AB ＝＝2，∵BC ⊥OC ，∴BC 是圆的切线，∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴BD ＝BC ，∴AD ＝AB ﹣BD ＝2﹣＝，在Rt △ABC 中，∵sinA ＝＝＝，∴∠A ＝30°，∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴OD ⊥AB ，∴∠AOD ＝90°﹣∠A ＝60°， ∵＝tanA ＝tan30°，∴＝，∴OD ＝1，∴S 阴影＝＝．故答案是：．13、如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=103，∴O 1O 2=53，O 2O 3=4，O 1O 3=133，连接AO 1 与CO 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt △ABC 与Rt△O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223122313O O O O O O O O O O ⨯++ =23，ED =1，∴ID =IE +ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BC AC BC AB ⨯++=2m =53，解得m =56，△ABC 的周长=30m =25.14、连接OE,则S 阴=S 扇形OEC +S △OED =260212123336023ππ⨯+⨯⨯=（三）、解答题 1、（1）证明：连接OC ．∵AC ＝CD ，∠ACD ＝120°∴∠A ＝∠D ＝30°．∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ＝30°．∴∠OCD ＝∠ACD ﹣∠ACO ＝90°．即OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线． （2）解：∵∠A ＝30°，∴∠COB ＝2∠A ＝60°．∴S 扇形BOC ＝，在Rt △OCD 中，CD ＝OC ，∴，∴，∴图中阴影部分的面积为．2、作MN ⊥OB,垂足为N,连接OM,则MN=12OA=3,OA=6 ,A(-6,0)由sin ∠ABO 3则∠A=60°tan ∠BAO=OBOA∴3 ∴B （0，3）设直线AB:y=kx+b,将A,B 点的坐标代入得：3,b=3∴3x+3 S 阴=S 扇形MAO -S △MAO 2120(23)1634332ππ⨯-⨯-3、证明：（1）如图1，连接OD ，OC ，OE ．∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，AD ＝ED ，BC ＝EC ，∠ODE ＝12∠ADC ，∠OCE ＝12∠BCD ∴AD //BC ，∴∠ODE ＋∠OCE ＝12（∠ADC ＋∠BCD ）＝90°， ∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠OCE ． 又∵∠OED ＝∠CEO ＝90°，∴△ODE ∽△COE ．∴OE ECED OE=，OE 2＝ED ·EC ∴4OE 2＝4AD ·BC ，∴AB 2＝4AD ·BC （2）解：如图2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ，∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ，∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。
扇形的弧长公式和面积公式
扇形的弧长公式和面积公式
弧长和面积是扇形的重要特征，它们的表达式可用来计算出扇形的特定参数。
本文将介绍扇形的弧长和面积的表达式。
一般来说，扇形的弧长可以用下面的公式表示：
弧长= 2πrθ
其中，r表示扇形的半径，θ表示扇形的弧度数，π表示圆周率，其值为3.14159。
举个例子说明，如果扇形的半径是5，弧度数是2，那么扇形的弧长就是 2*3.14159*5*2 = 31.4158。
另外，扇形的面积可以用下面的公式表示：
面积= (1/2)r²θ
其中，r表示扇形的半径，θ表示扇形的弧度数，也就是说，扇形的面积等于扇形的半径的平方乘以弧度数的一半。
举个例子说明，如果扇形的半径是5，弧度数是2，那么扇形的面积就是 (1/2)*5*5*2 = 25。
以上就是扇形的弧长和面积的表达式。
可以看出，弧长和面积是扇形的重要特征，它们的表达式可以帮助我们计算出扇形的特定参数。
扇形面积公式和
扇形面积公式扇形面积计算公式：S扇=（n/360）πR²，S扇=1/2lr（知道弧长时），S扇=(1/2)θR²(θ为以弧度表示的圆心角)，S扇=（lR）/2（l为扇形弧长）。
R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周。
注：π为圆周率约等于3.1415926535一般取3.14。
1、扇形的面积可以用圆的面积乘以弧度角和2π的比值。
2、如果用L来表示扇形的弧长，A可以通过L乘以总面积再除以2πr。
3、弧长公式：n是圆心角度数，r是半径，α是圆心角弧度。
l=nπr÷180或l=n/180·πr或l=|α|r在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°。
4、扇形是与圆形有关的一种重要图形，其面积与圆心角(顶角)、圆半径相关，圆心角为n°，半径为r的扇形面积为n/360*πr^2。
如果其顶角采用弧度单位，则可简化为1/2×弧长×(半径)。
5、扇形还与三角形有相似之处，上述简化的面积公式亦可看成：1/2×弧长×(半径)，与三角形面积：1/2×底×高相似。
6一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形。
显然，它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。
《几何原本》中这样定义扇形：由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形、弧长(L)=n/360·2πr=nπr/180，扇形的弧相似三角形的一条边。
扇形面积公式推导是：S扇=（lR）/2（l为扇形弧长）=(1/2)θR²(θ为以弧度表示的圆心角)。
扇形面积公式描述了扇形面积和圆心角（顶角）、半径、所对弧长的关系。
由定理“等半径的两个扇形的面积之比等于它们的弧长之比”，将圆看作扇形，利用弧长公式和圆的面积公式即可。
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弧长和扇形面积习题精选一、选择题1．在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的半径OA，OD分别交小圆于B，C．若OA=3OB，则BC的长是AD的长的（）．A．3倍B．13倍C．6倍D．23倍2．已知弧长为l，它所对的圆心角为120°，则它所对的弦的长为（）．A．4πB．4πC．2πD．3．扇形的周长为28厘米，面积49平方厘米，则此扇形的半径为（）厘米．A．4B．6C．D．74．如图，扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA，OB为直径，在扇形内作半圆，P，Q 表示两阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是（）．A ．P=QB ．P<QC ．P>QD ．无法确定5．弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是（ ）．A ．360π︒B ．180π︒C ．90π︒D ．60π︒6．正三角形ABC 内接于半径为2厘米的圆，则AB 所对的弧长为（ ）．A ．23π厘米 B ．43π厘米 C ．83π厘米D ．43π厘米或83π厘米7．如图，以边长为a的正三角形的三个顶点为圆心，以边长一半为半径画弧，则三弧围成的阴影部分的面积是（）．A．2) 8aπB．2) 4aπC．284 aπ+D．24a8．正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，如图，则阴影部分的面积为（）．A．221 42 a a π+B．22 2a a π+C．224a aπ-D．22 a a π-二、填空题1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，以C为圆心、CA长为半径的圆交AB 于点D．若AC＝6，则AD的长为______．2．如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧OA和OB的夹角为120°，OC长为8厘米，贴纸部分CA长为15厘米，则贴纸部分的面积为____________．3．如图，扇形OAB的圆心角为60°，半径为6，C，D分别是AB的三等分点，则阴影部分的面积等于______．4．半径为5的一段弧长等于半径为2的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为_________。
5．扇形面积为34平方厘米，半径为32厘米，则扇形的弧长为___________，扇形的圆心角为___________。
6．如图，两个半圆中，长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，则阴影部分面积为________。
7．如图，△ABC为等边三角形，边长为18，⊙O是它的内切圆，则图中阴影部分面积为_______________。
三、解答题1．如图，⊙O 的半径为5厘米，A 为⊙O 外一点，连接AO 与⊙O 交于点C ，AB 切⊙O 于B ，AC ＝5厘米，求阴影部分面积．2．如图，已知AB 所在圆的半径为R ，AB 的边长为 3Rπ，⊙O '和OA ，OB 分别相切于点C ，E ，且与⊙O 内切于点D ，求⊙O '的周长．3．如图，⊙A ，⊙B ，⊙C ，OD ，GE 相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，求图中五个扇形（阴影部分）的面积之和．4．如图，四边形ABCD 是正方形，曲线DA 1，B 1C 1D 1…叫做“正方形的渐开线”，其中DA1，11A B ，11B C ，11C D …的圆心依次按A ，B ，C ，D 循环，它们依次连接，取AB ＝l ，求曲线DA 1B 1…C 2D 2的长．（结果保留π）5．如图，⊙O1，与⊙O2，⊙O3分别内切于A，B两点，⊙O2与⊙O3外切于点C。
若⊙O1的半径为3r，⊙O2，⊙O3半径为r，求图中阴影部分的周界长。
6．现有总长为8米的建筑材料，用这些建筑材料围成一个扇形的花坛，如图．当这个扇形的半径为多少时，可以使这个扇形花坛的面积最大？试求出这个最大面积．答案：一、1．C 解析：AD与BC所对的圆心角相同，设都为n°。
大圆O半径为R，则小圆O的半径为13R，根据公式，得180ADn Rlπ=1131803180BCn R n Rlππ==，∴13BCl AD=2．C解析：如图，∠AOB=120°，∴120180Rlπ=，∴32lRπ=．过点O作OC⊥AB。
∵OA=OB，∴∠AOC=12∠AOB=60°，AB=2AC，∴∠OAC=90°-∠AOC=90°-60°=30°，∴OC=12OA=12R=12×32lπ=34lπ，∴4π==，∴AB=2AC=2×=．3．D 解析：设扇形的半径为r ，弧长为l ，根据题意，可得l+2r=28，1492lr =，解得r=7．4．A 解析：设扇形OAB 的半径为R ，则P=S 扇形OAB -2S 半圆OPR +Q=221112()422R R Q Q ππ-⨯+=，则P=Q 。
5．B 解析：设圆弧的半径为R ，根据题意，得180n R R π=，∴180n π︒=，∴圆心角度数为180π︒。
6．D 解析：劣弧AB 所对的圆心角为120°，120241803AB l ππ⨯==，优弧AmB 所对的圆心角为240°，240281803AmB l ππ⨯==。
提示：在圆，一条弦所对的弧有两条。
7．A 解析：边长为a的正三角形的面积24S a =；三个扇形面积为22()23608a S a π==，∴S 阴影=S △-S=22)88a a ππ⎫=⎪⎪⎝⎭。
提示：在求三个扇形面积时，把三个角的和作为一个整体。
8．A 解析：阴影部分的面积是四个半圆重叠面积的一半，而重叠部分的面积是四个半圆的面积减去正方形面积。
∴S 阴影=12（S 半圆-S 正方形）=12×[4×221()22a a π-]=22142a aπ-。
二、1．解析：连接CD 。
∵∠B=15°，∠BCA=90°，∴∠A=90-∠B=90-15=75．∵CA=CD ，∴∠CDA=∠A=75，∴∠DCA=180-2∠A=30，∴AD 的长=306180180n R πππ⨯==。
答案：π2．解析：贴纸部分的面积为S 扇形OAB -S 扇形OCD =22120(158)1208155360360πππ+-=。
答案：155π平方厘米3．解析：如图所示。
∵C ，D 分别是AB 的三等分点，∴∠AOC=∠COD=∠DOB 。
∴OC ，OD 与另两弧的三等分点，∴S 1=S 3，S 2=S 4，∴阴影部分的面积和=S 扇形OAC =22062360ππ=．答案：2π提示：本题采用割补法，如果分别求S1，S2，难度较大。
4．解析：设圆心角n °，则522180n ππ=⨯，n=144。
答案：144°5．解析：∵313422l π=，∴l π=．∵32180n l ππ==，∴31802nx π=，∴n=120。
答案：π 120°6．解析：如图，过小圆的圆心点O '作O 'C ⊥AB 于C ，过点O 作OD ⊥AB 于D ，连接OB ，S 阴=S 大半圆-S 小半圆=222211()()22R r R r πππ-⨯=-，而Rt △BOD 中，R 2-r 2=（12AB ）2=4，∴S 阴=1422ππ=。
答案：2π7．解析：S △ABC=1182⨯⨯S △AOB=13ABCS=O 作OD ⊥BC于D ，在Rt △BOD 中，∠OBD=30°，∴OB=2OD ，∴r 2+92=（2r ）2，∴r=AOB 中扇形面积为21127933S r πππ===，∴9AOBS S S π=-=阴扇．答案：9π三1．解析：连接OB ．∵OB 2+AB 2=（OC+AC ）2，∴52+AB 2=（5+5）2，∴AB=152AOBS=⨯⨯=2605253606OBC S ππ==扇形，∴AOB OBC S SS π=-=阴扇25）6平方厘米。
2．解析：连接O 'C ，O 'D ，O O '，O 'E ．由弧长计算公式，得1803n R Rππ=，∴n=60，即∠AOB=60°。
由△OC O '≌OE O '，知∠CO O '=∠EO O '=12×60°=30°。
设⊙O '的半径为r ，则O O '=2O 'C=2r ．∵OD=O 'D+O O '=3r ，即13r R=，∴⊙O '的周长为12233C R R ππ==。
3．解析：设∠A=m ，∠B=n ，∠C=a ，∠D=β，∠E=γ，则图中五个扇形面积之各为222222360360360360360360m R n R a R R R R πππβπγππ++++=（m+n+a+β+γ）=21360π⨯（5-2）×180=32π．提示：解题的关键是把五边形的内角作为一个整体，运用整体代换思想。
4．解析：∵AB=1，ABCD 为正方形，∴112142lDA ππ=⨯⨯=，111224l A B ππ=⨯⨯=，11132342lB C ππ=⨯⨯=，…， 2212844lC D ππ=⨯⨯=，∴l 11122曲线DA B C C D =1111122lDA l A B lB C lC D ++++=3422ππππ++++=18π。
提示：本题介绍了正方形的渐开线。
在求弧长的过程中，圆心角不变，只是半径在变化，而半径的变化是有规律，只要把握规律，此题就比较容易解出。
5．解析：连接12O O ，13O O 并延长，则分别过A 点，B 点，连接23O O ，则必过点C 。
∵⊙O 2与⊙O 3外切，∴O 2O 3=r+r=2r ．∵⊙O 1分别与⊙O 3，⊙O 2内切，∴O 1O 2=3r-r=2r ，O 1O 3=2r ，∴△O 1O 2O 3为等边三角形，∴∠O 1=∠O 1O 2O 3=∠O 1O 3O 2=60°，∴∠AO 2C=∠BO 3C=120°，∴603180AB r l r ππ==，12021803AC r l r ππ==，12021803BC r l r ππ==，∴图中阴影部分的周界长为227333r r r r ππππ++=。
提示：解题的关键是求各圆心角的度数。
6．解析：设扇形的半径为r ，∠AOB 的度数为n °，扇形花坛面积为S ，则扇形花坛的周长为228360n r r π+=，①扇形花坛的面积2360n S r π=．由①，得8243602n r r r r ππ--==②把②代入花坛的面积公式得222244(4)(2)4r S r r r r r r r ππ-==-=--=--+，当r=2米时，S 最大，且S 最大=4平方米。