2013届高考数学知识点扫描复习9.doc

六、向量一、基本概念：（1）向量的定义：叫做向量，可用字母表示，如：；也可用向量的有向线段的起点和终点字母表示，如：；（2）向量的两个要素：、；其中向量的大小又称为；记为：；（3）向量与数量的区别：向量不同于数量，它是一种新的量，数量是只有大小的量，其大小可以用正数、负数或0来表示；它是一个代数量，可以进行各种代数运算；数量之间可以进行大小比较，“大于”、“小于”的概念对数量是适用的。

向量是既有大小又有方向的量；向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的；由于方向不能比较大小，因此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的。

（4）特殊形式的向量：①零向量：；记为：；方向为；规定：零向量与任一向量；②单位向量：；③自由向量：一个向量只要不改变它的大小和方向，它的起点和终点可以任意平行移动的向量，叫做自由向量(本书研究的都是自由向量)．④平行向量：叫做平行向量(也称为共线向量)；向量与向量平行，记作：；⑤相等向量：叫做相等向量；向量a与向量b相等，记作：；注：①零向量与零向量相等；②任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。

③两个向量相等是一个很重要的概念，从几何意义上看，就是这两个向量的长度相等且方向相同；从代数表达式考虑，就是它们对应的系数相等；对于用坐标表示的向量来说，就是这两个向量的坐标相等，这一点在解题中有很重要的作用。

⑥相反向量： 叫做相反向量，向量与向量相反，记作： ； 二、向量的表示法（1）几何表示法：用有向线段表示，如：AB ； （2）字母表示法：用一个小写字母表示，如：a ；注意：解题时，向量中的箭头不可省。

（3）坐标表示法：在直角坐标系内，分别取 的两个单位自量,作基底，则对任一向量有且只有一对实数y x ,，使y x +=，就把),(y x 叫做向量的(直角)坐标，记作 ；注意：①x 叫做在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标。

②)0,1(=；)1,0(=；)0,0(=；三、向量的运算： （1）向量的加法：①向量法：三角形法则，平行四边形法则②坐标法：若),(),,(2211y x b y x a ==，则),(2121y y x x b a ++=+； ③重要结论：Ⅰ围成一周顺次始终相结的向量的和为；Ⅱ当两向量平行时，平行四边形法不适用，可用三角形法则。

（2）向量的减法①向量法：三角形法则、平行四边形法bb a +bb a +②坐标法：若),(),,(2211y x y x ==，则),(2121y y x x --=-； ③重要结论：a a =--)(；0)(=-+a a ；)(b a b a -+=-； ④从几何图形的角度理解：||||||||||||+≤+≤-||||||||||||+≤-≤-注意：若将||||||||b a b a +≤-变为||||||b a b a +≤-要比较b a ,绝对值的大小，且0≠a ；若将||||||||b a b a +≤-变为||||||b a b a +≤-要比较b a ,的模的大小，且≠；（3）实数与向量的积(数乘)①定义：一般地，实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度和方向规定如下：aa -ab a -Ⅰ、||||||λλ=Ⅱ、当0>λ时，a λ的方向与a 的方向相同，当0<λ时，a λ的方向与a 的方向相反。

②坐标法：若),(y x =，则),(y x λλλ=； ③运算律：设μλ,为实数，,为向量：结合律：a a )()(λμμλ=；第一分配律：a a a μλμλ+=+)(；第二分配律：λλλ+=+)(；（4）平面向量的数量积①数量积：已知两个非零向量和，它们的夹角为θ，则数量θcos ||||叫做和的数量积(或内积)注意：Ⅰ、夹角的范围：oo1800≤≤θ；其中当o0=θ时||||=⋅；当o180=θ 时||||-=⋅；当o90=θ 当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积大于0；当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积小于0； 零向量与任何向量的数量积等于0。

Ⅱ、投影：θcos ||叫做向量b 在a 方向上的投影。

②坐标法运算：若),(),,(2211y x y x ==，则； ③运算律：交换律：a b b a ⋅=⋅；结合律：)()()(b a b a b a ⋅=⋅=⋅λλλ；分配律：c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(； 注意：)()(c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅④重要性质：Ⅰ、设b a ,都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，),(),,(2211y x y x ==则：θcos ||=⋅=⋅；Ⅱ、0=⋅⇔⊥b a b a ；Ⅲ、当与同向时，||||=⋅；当与反向时，||||-=⋅；特别是：2||a a a =⋅，或2121||y x +==Ⅳ、向量的夹角公式：222221212121||||cos y x y x y y x x b a +++==θ；Ⅴ、||||≤⋅四、定理与公式：（1）平面向量基本定理(也叫做平面向量分解定理)：如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么该平面内任一向量a ，只有一对实数21,λλ，使2211；我们把不共线的向量1e 和2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

（2）两个向量平行的充要条件：设),(),,(2211y x y x ==，λ为实数①向量式：λ=⇔≠)(//；②坐标式：0)(//1221=-⇔≠y x y x ； （3）两个向量垂直的充要条件：设),(),,(2211y x y x ==02121=+⇔⊥y y x x ； （4）两点间距离公式：设),(),,(222111y x P y x P ==，则221221)()(||y y x x P P -+-=；如：求函数84122+-++=x x x y 的最小值。

（5）线段的定比分点公式：设=1，OP =2，21PP P λ=，),(),,(),,(222111y x P y x P y x P ==①向量式：λλ++=1OP ； 当1=λ时，中点对应向量公式2OP +=； ②坐标式：中点对应向量公式⎪⎪⎨⎧+=++=λλλ12121y y yx x x ；当1=λ时，中点坐标公式⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22121y y y x x x ； 如：已知直线7:-=mx y l 及两点)4,1(),2,3(B A 当l 与线段AB 相交时求m 的取值范围。

（还可以从斜率的角度，通过数形结合解题） 注意：①要分清内分点和外分点当分点P 在线段21P P 上时，点P 叫21P P 的内分点，这时λ值为0>λ； 当分点P 在线段21P P 或12P P 的延长线时，点P 叫外分点，λ值为0<λ； 点P 在21P P 延长线上时，这时λ值为1-<λ； 点P 在12P P 延长线上时，这时λ值为01<<-λ； ②21PP P P λ=不能写成21PP =λ，有时可写成21PP PP =λ； ③三角形重心公式：⎪⎪⎨⎧++=++=3321321y y y y x x x x 其中),(11y x 、),(22y x 、),(33y x 为三角形三顶点的坐标。

（6）平移公式：平移：设F 是坐标平面上的一个图形，将F 上所有点按照同一方向，移动同长度，得到图形'F ，这个过程就是图形的平移。

平移公式：),(y x P 是图形F 的任意一点，按照),(k h =平移后图形'F 上的对应点为)','('y x P ，则⎩⎨⎧+=+=ky y hx x ''；（注：=）注意：用平移公式，求平移后的解析式的一般步骤：①设平移后图形F 的任意一点)','('y x P ，②把平移公式变形为⎩⎨⎧-=-=k y y hx x ''，③代入原解析式中，得到了平移后的解析式。

（此法在函数平移变换和解几的求轨迹方程中得以充分的体现）五、运用向量证明平面几何问题：（1）由平面向量的基本定理可知：平面的任意向量都可用两个基向量（不共向）来表示；这样在解题的一开始，设出两个不公线的向量，其他所有涉及的向量用这两个基向量来表示；（2）从要证明的结论出发，充分挖掘向量将的几何关系：①垂直关系；②平行关系（常隐含于条件中，如：有三个以上的点共线）；③角的关系：用向量夹角公式。

六、向量中常见问题的处理：（1）0=⋅⇒⊥；090=⋅⇒=∠ABC o ； （2）λ=⇒//；CD AB λ=⇒//； （3）P 在线段AB 上或P B A ,,三点共线λ=⇒； （4）222222||||n mn m n m n m +⋅+=+⇒+； （5）0)()(0||||2222=+⋅-⇒=-⇒=⇒=+⇒与-垂直；（思考：其几何含义） （6）022||||2222=⋅⇔+⋅-=+⋅+⇔-=+b a b b a a b b a a b a b a ；（思考：其几何含义）（7）理解0=⋅；0=⋅；=⋅k ；。