20170402中考专题复习数论初步
2017年中考数学几何初步专题复习导学案
2017年中考数学几何初步专题复习导学案2017年中考数学专题练习9《几何初步》【知识归纳】（一）、直线、射线、线段1．直线的性质：(1)两条直线相交，只有个交点；(2)经过两点有且只有一条直线，即两点确定条直线．2．线段的性质：两点之间最短．3．线段的中点性质：若是线段AB中点，则A=B= 12 ；AB=2 =2 ．4．在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：，．．垂线的性质：(1)经过一点有条直线垂直于已知直线；(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，最短．6点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做．（二）角1．角平分线的性质：若是∠AB的平分线，则∠A=∠=12∠，∠AB=2∠=2∠．2．余角和补角的性质：同角(或等角)的余角；同角(或等角)的补角．3．角度之间的转换关系：1°= ′，1′=60″，1°= ″4．对顶角的性质：对顶角．（三）三线八角直线a，b被直线l所截，构成八个角(如图)∠1和∠，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是；∠2和∠8，∠3和∠是；∠和∠2，∠3和∠8是（四）平行线的性质1平行线公理：经过直线外一点有条直线与已知直线平行2平行线的基本性质：(1)两直线平行，相等；(2)两直线平行，相等；(3)两直线平行，互补（五）平行线的判定方法1 相等，两直线平行；2 相等，两直线平行；3 ，两直线平行；4传递性：如果a∥b，b∥，那么1．（2016•丽水）下列图形中，属于立体图形的是（）A．B．．D．2．（2016•资阳）如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（）A．B．．D．3．（2016•成都）如图，l1∥l2，∠1=6°，则∠2的度数为（）A．34° B．6°．124° D．146°4（2016•广西百色•3分）下列关系式正确的是（）A．3°=3°′ B．3°=3°0′ ．3°＜3°′ D．3°＞3°′（2016•青海西宁•3分）将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠AB=（）A．73° B．6°．68° D．146°6（2016•湖北随州•3分）如图，直线a∥b，直线分别与a、b相交于A、B两点，A⊥AB于点A，交直线b于点．已知∠1=42°，则∠2的度数是（）A．38° B．42°．48° D．8°【达标检测】一、选择题1．（2016•长沙）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（）A．B．．D．2．（2016•绍兴）如图是一个正方体，则它的表面展开图可以是（）A．B．．D．3．（2016•宿迁）如图，已知直线a、b被直线所截．若a∥b，∠1=120°，则∠2的度数为（）A．0° B．60°．120° D．130°4如图，AB=12，为AB的中点，点D在线段A上，且AD：B=1：3，则DB的长度为（）A．4 B．6 ．8 D．10如图，点B是△AD的边AD的延长线上一点，DE∥A，若∠=0°，∠BDE=60°，则∠DB的度数等于（）A70° B100° 110° D120°6 （2016•重庆市B卷•4分）如图，直线a，b被直线所截，且a∥b，若∠1=°，则∠2等于（）A．3°B．4°．°D．12°7如图，已知直线AB∥D，直线EF与AB、D相交于N，两点，G 平分∠ED，若∠BNE=30°，则∠EG等于（）A．1° B．30°．7° D．10°8如图，已知AB∥D,∠A=0°，∠=∠E，则∠=（）A、20°B、2°、30° D、40°二、填空题9已知∠A=40°，则∠A的余角的度数是10．(2013浙江湖州,12,4分)把1°30′化成度的形式，则1°30′＝_ __度．11．（201•本溪，第13题3分）如图，直线a∥b，三角板的直角顶点A落在直线a上，两条直线分别交直线b于B、两点．若∠1=42°，则∠2的度数是．12如图，直线a∥b，三角板的直角顶点A落在直线a上，两条直线分别交直线b于B、两点．若∠1=42°，则∠2的度数是．13．（2016•东菏泽）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含4°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是．14 （2016•吉林）如图，AB∥D，直线EF分别交AB、D于，N 两点，将一个含有4°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EB=7°，则∠PN等于度．1 （2016•四川宜宾）如图，直线a∥b，∠1=4°，∠2=30°，则∠P=°．16如图，射线AB，D分别与直线l相交于点G、H，若∠1=∠2，∠=6°，则∠A的度数是．17（201•四川成都）如图，直线∥n，△AB为等腰三角形，∠BA=90°，则∠1=度．参考答案【知识归纳答案】（一）、直线、射线、线段1．直线的性质：1 、(2) 12．线段的性质：线段3．线段的中点性质：AB ；AB=2 B =2 A ．4．在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：相交，平行．．垂线的性质：(1) 1 ；(2) 线段．6点到直线的距离：点到这条直线的距离．（二）角1．角平分线的性质：∠B=12∠AB，∠AB=2∠B=2∠A．2．余角和补角的性质：相等；相等．3．角度之间的转换关系：1°=60′，1′=60″，1°=3600″4．对顶角的性质：对顶角相等．（三）三线八角同位角；内错角；同旁内角（四）平行线的性质1平行线公理：12平行线的基本性质：(1)两直线平行，同位角相等；(2)两直线平行，内错角相等；(3)两直线平行，同旁内角互补（五）平行线的判定方法1同位角相等，两直线平行；2内错角相等，两直线平行；3同旁内角互补，两直线平行；4传递性：如果a∥b，b∥，那么a∥【基础检测答案】1．（2016•丽水）下列图形中，属于立体图形的是（）A．B．．D．【分析】根据平面图形所表示的各个部分都在同一平面内，立体图形是各部分不在同一平面内的几何，由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形，可得答案．【解答】解：A、角是平面图形，故A错误；B、圆是平面图形，故B错误；、圆锥是立体图形，故正确；D、三角形是平面图形，故D错误．故选：．【点评】本题考查了认识立体图形，立体图形是各部分不在同一平面内的几何，由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形．2．（2016•资阳）如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（）A．B．．D．【分析】根据几何体的展开图先判断出实心圆点与空心圆点的关系，进而可得出结论．【解答】解：∵由图可知，实心圆点与空心圆点一定在紧相邻的三个侧面上，∴符合题意．故选．【点评】本题考查的是几何体的展开图，此类问题从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．3．（2016•成都）如图，l1∥l2，∠1=6°，则∠2的度数为（）A．34° B．6°．124° D．146°【分析】根据平行线性质求出∠3=∠1=0°，代入∠2+∠3=180°即可求出∠2．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1=∠3，∵∠1=6°，∴∠3=6°，∵∠2+∠3=180°，∴∠2=124°，故选．【点评】本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，注意：两直线平行，同位角相等．4（2016•广西百色•3分）下列关系式正确的是（）A．3°=3°′ B．3°=3°0′ ．3°＜3°′ D．3°＞3°′【考点】度分秒的换算．【分析】根据大单位化小单位乘以进率，可得答案．【解答】解：A、3°=3°30′，3°30′＞3°′，故A错误；B、3°=3°30′，3°30′＜3°0′，故B错误；、3°=3°30′，3°30′＞3°′，故错误；D、3°=3°30′，3°30′＞3°′，故D正确；故选：D．（2016•青海西宁•3分）将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠AB=（）A．73° B．6°．68° D．146°【考点】平行线的性质．【分析】根据补角的知识可求出∠BE，从而根据折叠的性质∠AB=∠ABE= ∠BE，可得出∠AB的度数．【解答】解：∵∠BD=34°，∴∠BE=180°﹣∠BD=146°，∴∠AB=∠ABE= ∠BE=73°．故选A．6（2016•湖北随州•3分）如图，直线a∥b，直线分别与a、b相交于A、B两点，A⊥AB于点A，交直线b于点．已知∠1=42°，则∠2的度数是（）A．38° B．42°．48° D．8°【考点】平行线的性质．【分析】先根据平行线的性质求出∠AB的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出∠2的度数．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠1=∠BA，∵∠1=42°，∴∠BA=42°，∵A⊥AB，∴∠2+∠BA=90°，∴∠2=48°，故选．【达标检测答案】一、选择题1．（2016•长沙）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（）A．B．．D．【分析】如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．依此定义结合图形即可求解．【解答】解：∵三角形的内角和为180°，∴选项B中，∠1+∠2=90°，即∠1与∠2互为余角，故选B．【点评】本题考查了余角的定义，掌握定义并且准确识图是解题的关键．2．（2016•绍兴）如图是一个正方体，则它的表面展开图可以是（）A．B．．D．【分析】根据含有田字形和凹字形的图形不能折成正方体可判断A、，D，故此可得到答案．【解答】解：A、含有田字形，不能折成正方体，故A错误；B、能折成正方体，故B正确；、凹字形，不能折成正方体，故错误；D、含有田字形，不能折成正方体，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查的是几何体的展开图，明确含有田字形和凹字形的图形不能折成正方体是解题的关键．3．（2016•宿迁）如图，已知直线a、b被直线所截．若a∥b，∠1=120°，则∠2的度数为（）A．0° B．60°．120° D．130°【分析】根据邻补角的定义求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等解答．【解答】解：如图，∠3=180°﹣∠1=180°﹣120°=60°，∵a∥b，∴∠2=∠3=60°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．4如图，AB=12，为AB的中点，点D在线段A上，且AD：B=1：3，则DB的长度为（）A．4 B．6 ．8 D．10【答案】D．【解析】∵为AB的中点，∴A=B= AB= ×12=6，∵AD：B=1：3，∴AD=2，∴DB=AB-AD=12-2=10（）．故选D．如图，点B是△AD的边AD的延长线上一点，DE∥A，若∠=0°，∠BDE=60°，则∠DB的度数等于（）A70° B100° 110° D120°【答案】．【解析】∵DE∥A，∠BDE=60°，∠=0°，∴∠BDE=∠A=60°，∴∠BD=∠A+∠=60°+0°=110°．故选．6 （2016•重庆市B卷•4分）如图，直线a，b被直线所截，且a∥b，若∠1=°，则∠2等于（）A．3°B．4°．°D．12°【考点】平行线的性质．【分析】由两直线平行，同位角相等即可得出结果．【解答】解：∵a∥b，∠1=°，∴∠2=∠1=°；故选：．【点评】本题考查了平行线的性质；熟记两直线平行，同位角相等是解决问题的关键．7如图，已知直线AB∥D，直线EF与AB、D相交于N，两点，G 平分∠ED，若∠BNE=30°，则∠EG等于（）A．1° B．30°．7° D．10°【答案】A．【解析】∵直线AB∥D，∠BNE=30°，∴∠DE=∠BNE=30°．∵G 是∠ED的角平分线，∴∠EG= ∠ED=1°．故选A．8如图，已知AB∥D,∠A=0°，∠=∠E，则∠=（）A、20°B、2°、30° D、40°【答案】B【解析】如图：∵AB∥D∴∠1=∠A=0°而∠1=∠+∠E又∠=∠E∴∠=2°故选B二、填空题9已知∠A=40°，则∠A的余角的度数是【答案】0°．【解析】设∠A的余角是∠B，则∠A+∠B=90°，∵∠A=40°，∴∠B=90°-40°=0°．10．(2013浙江湖州,12,4分)把1°30′化成度的形式，则1°30′＝__▲__度．【答案】1．【解析】1°30′=1°+ =1．°，故填1【方法指导】本题考查了角的单位：度分秒的换算。
初等数论初步
第一讲 整数的整除 §1.1 整除
一、数论中的著名问题：
数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数 学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因此， 数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题叫 做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。
1.费马大定理：当整数n>2时，关于x,y,z的不定方程 xn+yn=zn无正整数解(x=0或y=0不在考虑之列).1994 年德国数学家维尔斯解决了这个问题，并获得了沃 尔夫奖. 2.孪素数猜想：孪素数应有无穷多对。著名数学家 陈景润研究哥德巴赫问题时证明了：存在无穷多个
素数 p ,使 p 2 为素数或至多为两个素数的乘积。
(相邻两个奇数同时为素数，这样的数叫做孪素数)
3.哥德巴赫猜想：大致可分为两个猜想：每个不小于6 的偶数都可以表示为两个奇素数之和；每个不小于9的 奇数都可以表示为三个奇素数之和。1966年陈景润证 明了任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素 因子不超过2个的数之和”。
例1：判断710316能否被9，11整除.
三、带余除法(欧式除法算式)
一般地，设a,b为整数，且b≠0，则存在唯一的 一对整数q和r，使得a=bq+r,0≤r<|b|.其中唯一 的q和r分别叫做a除以b的商和余数.
例2：2004除以某个整数，其商为74，求除数 和余数.
探ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
我们用符号[x]表示不超过实数x的最大整数，试 用a,b表示a除以正整数b的商q和余数r.
结论：如果b除a的余数为r，那么(a，b)=(b，r).
结论：(a,b,c)=((a,b),c)
结论：设整数a,b不同时为零，则存在一对整 数m,n，使得(a,b)=am+bn.
(完整word版)2017年中考数学第一轮总复习资料(华师大版)
2015年中考复习提纲我坚信：去拼搏才能胜利要不断鼓舞自己想成功就得努力相信自己相信自己细节成就未来眉山映天学校初中数学组编制目录：一.数与式1.实数的有关概念2.实数的运算与大小比较3.整式及其运算4．因式分解5．分式6．二次根式二.方程（组）与不等式（组）7.一次方程及方程组8．一元二次方程及其应用9．分式方程及其应用10．一元一次不等式(组).三. 函数及其图像11. 平面直角坐标系与函数的概念12. 一次函数13．反比例函数14．二次函数及其图像15．函数的综合应用四. 统计与概率16. 统计17. 概率五. 图形的认识与三角形18．几何初步及平行线、相交线19．三角形的有关概念20．全等三角形和相似三角形21．锐角三角函数和解直角三角形)六. 四边形22．多边形与平行四边形23．矩形、菱形、正方形、梯形七. 圆24．圆八. 图形与变换25．视图与投影26．轴对称与中心对称27．平移与旋转)如何进行中考数学第一轮复习一、应掌握知识结构与课标要求的考点第一轮的知识梳理，应从基础知识、基本概念入手。
摸清初中数学内容的脉络，开展基础知识系统复习，按初中数学的知识体系，可以把二十九章内容归纳成八个单元：一.数与式（1.实数的有关概念2.实数的运算与大小比较3.整式及其运算4．因式分解5．分式6．二次根式）二.方程（组）与不等式（组）（7.一次方程及方程组8．一元二次方程及其应用9．分式方程及其应用10．一元一次不等式(组).三. 函数及其图像（11. 平面直角坐标系与函数的概念12. 一次函数13．反比例函数14．二次函数及其图像15．函数的综合应用）四. 统计与概率(16. 统计17. 概率)五. 图形的认识与三角形(18．几何初步及平行线、相交线19．三角形的有关概念20．全等三角形和相似三角形21．锐角三角函数和解直角三角形)六. 四边形(22．多边形与平行四边形23．矩形、菱形、正方形、梯形)七. 圆课时24．圆八. 图形与变换(25．视图与投影课时26．轴对称与中心对称课时27．平移与旋转)二、学习方法与学习习惯归纳和梳理教材知识点，记清概念，夯实基础。
数论初步精品文档
整除具有传递性、加减性、倍数性等基本性质。
最大公因数和最小公倍数
最大公因数
两个或多个整数共有约数 中最大的一个。
最小公倍数
两个或多个整数的公倍数 中最小的一个。
性质与关系
两数的乘积等于它们的最 大公因数与最小公倍数的 乘积。
素数与合数的概念及性质
素数
大于1的自然数，除了1和它本身 以外不再有其他因数的数。
近年来，随着计算机技术的飞速发展，数学家们得以对更大范围内的数进行验证 和计算。同时，一些新的数学方法和理论的提出也为解决这些未解之谜提供了新 的思路。虽然仍有许多问题等待解决，但数学家们对数论的研究热情从未减退。
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数论函数的应用
数论函数在数论、组合数学、密码学等领域 都有着广泛的应用，如利用欧拉函数可以求 解同余方程、利用莫比乌斯函数可以研究素 数的分布规律等。同时，随着计算机科学的 发展，数论函数也在算法设计和优化中发挥 着越来越重要的作用。
06
数论中的著名问题
哥德巴赫猜想与孪生素数猜想
哥德巴赫猜想
任一大于2的偶数都可表示成两个质数之和。虽然至今仍未被证明或证伪，但数学家们 已经验证了许多大偶数都符合这一猜想。
03
同余理论
同余式的定义与性质
定义
若两个整数a和b除以正整数m所得的余数相同，则称a和b对 模m同余，记作$a equiv b pmod{m}$。
性质
同余式满足自反性、对称性、传递性，以及加法、乘法等运 算性质。
剩余类与完全剩余系
剩余类
模m的剩余类是指模m同余的整数集合，即形如$bar{a} = { x mid x equiv a pmod{m} }$的集合，其中$0 leq a < m$。
2017年湖南中考数学复习资料(湘教版)
2017年中考数学总复习资料代数部分第一章：实数基础知识点：一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成qp 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。
2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.1001……；特定意义的数，如π、45sin °等。
3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。
二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=02、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-==0,0,00,πφa a a a a a（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
4、n次方根（1）平方根，算术平方根：设a≥0，称a叫a的平方根，a叫a的算术平方根。
（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（3）立方根：3a叫实数a的立方根。
（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。
三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。
初等数论初步(1)
二、整除的性质和概念
定义：设a,b为整数，且b≠0. 如果存在整数q，使得 a=bq，那么称b整除a，或者a能被b整除，记作b|a， 并且称b是a的因数，a是b的倍数. 如果这样的整数q 不存在，就称b不整除a，记作b | a . 性质: 若 a 0, b 0 ，则 (1)若 a | b, b | a ，则 a b或a b ； (2)若 a | b, b | c ，则 a | c ； (3)若 a | b, b | c ，则对任意整数x,y，恒有a|bx+cy； (4)若 a | b, a | c ，且a,b互质，则ab|c； (5)若p为质数，p|ab，则p|a或p|b，特别地，若
p | an , n N , 则p | a
结论：一个正整数的各位数字之和能被3整除， 那么这个正整数能被3整除.
请根据上面整除的性质证明这个命题.
探究：
利用类似的方法证明能被9,11,7整除的正整数的特征。 1、一个正整数的各位数字之和能被9整除，那么这个正 整数能被9整除。 2、一个正整数的奇数位数字之和与偶数为数字之和的 差能被11整除，那么这个整数能被11整除. 3、一个正整数的末三位数字组成的数与末三位数字之 前的数字组成的数之差能被7(或11)整除，那么这个正 整数能被7(或11)整除.
一、最小公倍数
定义：任给两个非零整数a,b，一定存在一个 整数，它同时为a,b的倍数，这个倍数叫做a,b 的公倍数。我们把a,b的最小的正公倍数叫做 a,b的最小公倍数，记作[a，b]. 类似地，我们也可以定义三个非零整数或更多 个非零整数的最小公倍数的概念，将a,b,c的 最小公倍数记作[a,b,c]，依此类推。
第1讲 数论初步(生)
中预数学竞赛辅导 第1讲 数 论 初 步一、赛点归纳研究整数性质的数学分支叫数论，它是数学竞赛中的一项重要内容。
虽然数论问题看似简明，但要解释清楚，并且证明它却是困难的；又因为整数及相关的一些数学知识正是中小学学习的重点，所以，在各类数学竞赛中，数论问题占有相当大的比重。
中小学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇偶性、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分析等等。
要解答这方面的问题，首先应熟悉关于整数的某些知识，此外还要掌握考试问题的基本方法和技巧，后者自然是更重要的。
本讲主要介绍整数的整除和余数问题。
（一） 整除问题对整数a 和b （b 不为0），如果存在一个整数q ，使q b a ⨯=, 则称a 能被b 整除，记作a b |, 否则就称a 不能被b 整除。
例如：9436⨯=，于是36能被4（或9）整除。
性质1若a c |, b c |, 则)(|nb ma c ±，这里m ，n 是任意整数。
性质2若b a c ∙|，且（c ，b ）=1，则a c |。
性质3 若a b |，a c |，且（b ，c ）=1，则a bc |。
性质4 a 个连续自然数中必恰有一个数能被a 整除。
整除问题是各类数学竞赛中必考的热点问题，必须掌握好解决整除问题的方法与技巧。
（二） 同余问题如果两个正整数a 与b 被正整数m 除时所得余数相同，即,,r pm b r qm a +=+= 则称a 与b 关于模m 同余，其中p 、q 、r 都是整数，而且m r <≤0。
可见，如果a 与b 关于模m 同余，则)(|b a m -。
性质1两数的和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和。
性质2两数的差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差。
性质3两数的积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积。
在解决同余问题时，常常把同余问题转化为整除问题来处理。
二、解题指导【例1】有0、1、4、7、9五个数，从中选出四个数字组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是几？【例2】有这样的整数，它除以8所得到的商与余数相同，求所有这样的整数。
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性质：最大公约数 与最小公倍数之间 存在一定的关系， 即最大公约数乘以 最小公倍数等于这 两个数的乘积。
求法：最大公约数 可以通过辗转相除 法或更相减损法求 得，最小公倍数可 以通过最大公约数 求得。
应用：最大公约数 与最小公倍数在数 论中有广泛的应用 ，如求解线性方程 、分解因式等。
同余与模运算
20XX
数论初步
汇报人：XX
目录
01
数论的基本 概念
02
数论中的重 要定理
03
数论的应用
04
数论的进一 步学习
1
数论的基本概念
整数的性质
整数的定义：自然 数、零和负整数的
统称
整数的分类：奇数、 偶数、质数、合数、
正数、负数等
整数的运算：加法、 减法、乘法、除法
等
整数的性质：整除 性、余数性、分配
数论在数学竞 赛中的重要性
数论在数学竞 赛中的常见题 型和解题方法
数论在数学竞 赛中的创新应
用
数论在数学竞 赛中的发展趋
势和挑战
在日常生活中的应用
密码学：数论在密码学中有广泛应 用，如RSA加密算法
游戏：数论在游戏中也有应用，如 数独游戏
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计算机科学：数论在计算机科学中 也有广泛应用，如算法分析和设计
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数论与几何的联系：数论中的许多 问题可以通过几何方法来解决，例 如用几何方法求解面积、体积等。
数论与分析的析方法求解极限、导数等。
数论在物理学中的应用
数论在量子力学中的应用：量子数、角动量等概念与数论紧密相关
数论在弦理学中的应用：弦理学中的对称性与数论中的群论有密切联系
2017年中考数学复习资料
2017年中考数学复习资料第一章 实数考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的 相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关 于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互 为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根 做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正 的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算 术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的 立方根； 一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
数论初步——精选推荐
数论初步质数合数质数定义除了1和它本⾝以外不再有其他因数的数注意1既不是质数也不是合数；2是最⼩的质数，且是唯⼀的偶质数。
证明：假设素数只有有限个，按照⼤⼩顺序，.分别记为：.。
最⼤的素数.。
设所有乘积加1为s如果s是素数，与假设⽭盾。
如果s是合数，s不能被已知素数整除。
得出⽭盾。
筛素数试除法：若⼀个正整数n为合数，则存在⼀个能整除n的数k，其中2≤k≤sqrt（n）埃⽒筛法,线性筛:基本思想：质数的倍数⼀定不是质数,每个合数只被它最⼤的⾮⾃⾝的因数筛掉⽤合数=质数*合数的形式来筛数，保证质数是最⼩质因数#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int f[10000002],p[10000002],cnt=0;int main(){int n,m;cin>>n>>m;for(int i=2;i<=n;i++){if(f[i]==0) p[++cnt]=i;for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){f[i*p[j]]=1;if(i%p[j]==0) break;//后⾯的p1[j]⼀定⽐当前p[j]⼤，所以后⾯的i*p1[j]可以换成i/p[j]*p1[j]与p[j]的乘积筛掉，i/p[j]*p1[j]要⽐i*p1[j]⼤且p[j]是i的因数}}int x;f[1]=1;for(int i=1;i<=m;i++){cin>>x;if(f[x]==1) cout<<"No"<<"\n";else cout<<"Yes"<<"\n";}return 0;}整除性质①若a|b且a|c，则有a|xb+yc②若a|b且b|c，则a|c③设m≠0，则ma|mb时，有a|b，反之亦然④若a|b且b|a，则a=±b特别地对于任何整数a，总有1|a对于任何整数a,a≠0，则a|0数的整除特征能被4、25整除的数：末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必能被4（25）整除能被8，125整除的数：末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除能被3，9整除的数：各个数位上数字之和能被3或9整除的整数必能被3或9整除能被11整除的数：⼀个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差如果是11的倍数，则这个数就能被11整除．能被7，11，13整除的数：⼀个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表⽰的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以⼤减⼩）能否被7（11或13）整除．算数基本定理（惟⼀分解定理）及其推论每个正整数都可以惟⼀地表⽰成质数的乘积。
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中考专题复习 数论初步
1．方程k k k x k x (02)13(722=--++-是实数)有两个实根α、β，且0＜
α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是（ ）
（A ）3＜k ＜4； （B ）－2＜k ＜－1； （C ）3＜k ＜4或－2＜k ＜－1 （D ）无解。
2．方程012=--x x 的解是（ ）
（A ）251±； （B ）251±-；（C ）251±或251±-； （D ）2
51±-± 3．若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式
20)2(b ax M +=的关系是( )
(A)∆>M (B)∆=M (C)∆<M ; (D)不确定.
4．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m
的取值范围是（ ）
（A ）10≤≤m ； （B ）43≥
m ； （C ）143≤<m ； （D ）143≤≤m 5．设21,x x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么，1942231+-x x 的值等于（ ）
（A ）;4- （B ）8； （C ）6； （D ）0.
6．已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b .则b
a a a
b b +的值为（ ）.
（A ）23 （B ）23- （C ）2- （D ）13-
7．如果x 和y 是非零实数，使得3=+y x 和03=+x y x ，那么x +y 等于（ ）.
（A ）3 （B ）13 （C ）
2131- （D ）134- 8．已知b 2-4ac 是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ） (A) 18ab ≥ (B) 18ab ≤ (C) 14ab ≥ (D) 14
ab ≤ 9．在R t A B C 中，斜边AB=5，而直角边BC ，AC 之长是一元二次方程2(21)4(1)0x m x m --+-=的两根，则m 的值是（ ）
A 、4
B 、-1
C 、 4或 -1
D 、-4 或 1
10．方程01)8)((=---x a x ，有两个整数根，则=a
11．已知关于x 的一元二次方程02
=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，
误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a
c b 32 ． 12．若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,
则k =____________.
13．已知m ，n 是有理数，并且方程02
=++n mx x 有一个根是25-，那么m+n 的值是
______。
14．已知且，则＝________。
15．设m 是整数，且方程2320x mx +-=的两根都大于9-而小于3，则m =____________． 16．已知实数a 、b 、x 、y 满足2=+=+y x b a ，5=+by ax ，则
=+++)()(2222y x ab xy b a .
17．实数x 、y 、z 满足x+y +z =5，xy +yz +zx =3，则z 的最大值是 .
18．已知a 为实数，且使关于x 的二次方程22
0x a x a ++=有实根，该方程的根x 所能
取到的最大值是 。
19．求所有正实数a ，使得方程042=+-a ax x 仅有整数根。
20．已知：a ，b ，c 三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+48
c 38c ab 8b a 2，试求方程bx 2+cx-a=0的根。
21．已知a ，b 是实数，关于x ，y 的方程组
⎩
⎨⎧+=--=b ax y bx ax x y ,23 有整数解),(y x ，求a ，b 满足的关系式。
22．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式 141622
22++=+a a c b ①及 542--=a a bc ， ②
求a 的取值范围．
23. ⑴如果a 是小于20的质数，且
a
1可化为一个循环小数，那么a 的取值有哪几个？ ⑵如果a 是小于20的合数，且a 1可化为一个循环小数，那么a 的取值有哪几个？。