中考数学 第12讲 二次函数的图象与性质(2)复习课件 (新版)北师大版
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2.2 二次函数的图象与性质二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 课件 初中数学北师大版九年级下册
(1,0).
2
(2)抛物线 y=- (x+3) 的开口向下,对称轴为直线 x=-3,顶点坐标为
(-3,0).
6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物
线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值.
解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单
函数图象如图所示.
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最
小值0,
当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.
1.将二次函数y=-3x 2 的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1) 2 的图
象,平移方法正确的是(
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
而减小.
新知应用
2
1.已知抛物线 y=a(x+m) (m 为常数)的顶点在 y 轴的右侧,且 am<0,则
此图象的开口方向 向上 .
2
2.画出函数 y= (x-3) 的图象,并说出此函数的性质(开口方向、对称
轴、顶点坐标、最值、增减性).
解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2.
新知应用
1.在平面直角坐标平面内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个
单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( D )
A.y=(x+1)2-2
B.y=(x-1)2
C.y=(x+1)2+2
D.y=(x+3)2
2.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向 左
2
(2)抛物线 y=- (x+3) 的开口向下,对称轴为直线 x=-3,顶点坐标为
(-3,0).
6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物
线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值.
解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单
函数图象如图所示.
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最
小值0,
当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.
1.将二次函数y=-3x 2 的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1) 2 的图
象,平移方法正确的是(
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
而减小.
新知应用
2
1.已知抛物线 y=a(x+m) (m 为常数)的顶点在 y 轴的右侧,且 am<0,则
此图象的开口方向 向上 .
2
2.画出函数 y= (x-3) 的图象,并说出此函数的性质(开口方向、对称
轴、顶点坐标、最值、增减性).
解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2.
新知应用
1.在平面直角坐标平面内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个
单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( D )
A.y=(x+1)2-2
B.y=(x-1)2
C.y=(x+1)2+2
D.y=(x+3)2
2.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向 左
二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版) (2)
即可．
【详解】解：抛物线y=(x-3)2的顶点坐标是(3,0)，
故选A．
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图像上，
则下列结论正确的是（
）
A．y3＜y2＜y1
B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，结合-2＜0确定开口向下，
当x>0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，ymax=0.
抛物线关于y轴对称.
-4 -2 0
-3
-6
-9
顶点坐标是（0，0）；是抛物线
上的最高点.
2
4
x
要点归纳
y＝x2
y＝－x2
y
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
O
y
x
O
x
开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 y=x2和y=－x2的图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线；
2、掌握用描点法画y=x2和y=-x2的图象；
3、掌握y=ax2的图象与性质，并灵活运用该图像的性质解决
时呢？
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
【详解】解：抛物线y=(x-3)2的顶点坐标是(3,0)，
故选A．
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图像上，
则下列结论正确的是（
）
A．y3＜y2＜y1
B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，结合-2＜0确定开口向下，
当x>0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，ymax=0.
抛物线关于y轴对称.
-4 -2 0
-3
-6
-9
顶点坐标是（0，0）；是抛物线
上的最高点.
2
4
x
要点归纳
y＝x2
y＝－x2
y
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
O
y
x
O
x
开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 y=x2和y=－x2的图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线；
2、掌握用描点法画y=x2和y=-x2的图象；
3、掌握y=ax2的图象与性质，并灵活运用该图像的性质解决
时呢？
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
九年级下册数学课件(北师版)二次函数的图象与性质 第二课时
2
数y=-2x2+
1 2
的图象有什么关系?
1.y=3x2- 1 的图象：
2
由y=3x2的图象向下平移
1 个单位得到
2
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点坐标：（0，-
1）
2
y=3x2 y=3x2- 1
2
2. y=-2x2- 1 的图象：
2
由y=-2x2+
1
的图象向下平移1个单位得到.
2
1
y=-2x2+ 2
对称轴：y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小，
当x＜0时，y随x的增大而减小，
（2）函数的最值：y最小值=4
随堂练习
1.二次函数y=3x2-
1 2
的图象与二次函数
y=3x2的的开口方向、对称轴、
顶点坐标分别是什么？画图看一看.
2.二次函数y=-2x2-
1 的图象与二次函
最值： 当x=0时，y取得最小值 y最小值=0
归纳
函数y=ax2（a＜0）的图象与性质 图象：
开口方向：__向__下__， 对称轴：__y_轴__. 顶点坐标：__（_0_,_0_）__.
归纳
增减性： x＜0时，y随x的增大而增大 x＞0时，y随x的增大而减小
最值： 当x=0时，y取得最大值 y最大值=0
画出二次函数y=2x2+1的图象
y=2x2+1 y=2x2
二次函数y=2x2+1的图象的开口方向、对称轴、
顶点坐标分别是什么？它与二次函数y=2x2的图象有
什么关系？
y=2x2+1的图象：
y=2x2+1 y=2x2
由y=2x2的图象向上平移1
数y=-2x2+
1 2
的图象有什么关系?
1.y=3x2- 1 的图象：
2
由y=3x2的图象向下平移
1 个单位得到
2
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点坐标：（0，-
1）
2
y=3x2 y=3x2- 1
2
2. y=-2x2- 1 的图象：
2
由y=-2x2+
1
的图象向下平移1个单位得到.
2
1
y=-2x2+ 2
对称轴：y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小，
当x＜0时，y随x的增大而减小，
（2）函数的最值：y最小值=4
随堂练习
1.二次函数y=3x2-
1 2
的图象与二次函数
y=3x2的的开口方向、对称轴、
顶点坐标分别是什么？画图看一看.
2.二次函数y=-2x2-
1 的图象与二次函
最值： 当x=0时，y取得最小值 y最小值=0
归纳
函数y=ax2（a＜0）的图象与性质 图象：
开口方向：__向__下__， 对称轴：__y_轴__. 顶点坐标：__（_0_,_0_）__.
归纳
增减性： x＜0时，y随x的增大而增大 x＞0时，y随x的增大而减小
最值： 当x=0时，y取得最大值 y最大值=0
画出二次函数y=2x2+1的图象
y=2x2+1 y=2x2
二次函数y=2x2+1的图象的开口方向、对称轴、
顶点坐标分别是什么？它与二次函数y=2x2的图象有
什么关系？
y=2x2+1的图象：
y=2x2+1 y=2x2
由y=2x2的图象向上平移1
北师大版九年级数学课件-二次函数的图象与性质
大致圖象
開口方向 對稱軸
頂點座標
增減性
最值
向下
y軸(或直線x=0)
原點(0,0) 當x<0時,y隨x的增大而增大;當x>0 時,y隨x的增大而減小
當x=0時,y有最大 值,最小值是0
[知識拓展] 二次函數y=x2的圖象與二次函數 y=-x2的圖象的關係:(1)二次函數y=x2的圖象與二次
函數y=-x2的圖象關於x軸對稱.(2)如果把兩個圖
解析:二次函數y=±x2的函數圖象在對稱軸左右兩邊的 增減性是不一樣的,所以A，B，C均不正確.故選D.
2.已知點A(2，a)，B(b，9)在拋物線y=x2上，則
a= 4 ， b= ±3 .
解析:分別把x=2和y=9代入y=x2 ，解得a=4，b=±3.
3.通過列表、描點、連線的方法畫函數y=-x2的圖象.
象看成一個圖形,這個圖形是中心對稱圖形,對稱
中心是座標原點.
檢測回饋
1.下列說法正確的是 ( D )
A.二次函數y=x2圖象上的點,其縱坐標的值隨著x值的增大而增大 B.二次函數y=-x2圖象上的點,其縱坐標的值隨著x值的增大而增大 C.二次函數y=x2與y=-x2的圖象開口方向不同，其對稱軸都是y軸,y值都隨著x 值的增大而增大 D.當x<0時，y=x2中y隨x的增大而減小；當x>0時，y=-x2中y隨x的增大而減小
8
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
6
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
4
(2)在直角坐標系
中描點.
2
(3)用光滑的曲線連接各點.
1
-4 - -2 -1 0 1
3
-
2
北师大版九年级下册二次函数的图象与性质课件
2
8
（2）画出 y =
2x2
0
0
的图象．
1
2
2
8
4
···
2
···
－4
－2
2
－2
4
活动探究
10
问题：二次函数 y = 2x2 的图象是什么形状？它与二 次函数
y = 2x2
8
y = x2 的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和
y = x2
6
顶点坐标分别是什么？
4
①二次函数 y = 2x2 的图象：抛物线
y = 2x2
y = x2
y = x2
4
4.抛物线的对称轴：y轴；
2
－4
－2
2
－2
4
10
例题讲授
y = 2x2
y = x2
8
活动三：在图中画出 y =- x2、y = -x2 、y =-2x2
图象有什么相同和不同？
y = x2
4
2
结论：
1.二次函数y =-
6
2
x 图象与
y=
－4 －2
什么
关系
活动探究
三 二次函数y=ax2+c的图象及平移
活动四:(1)画二次函数 y = 2x2+1 、 y =2x2-1的图象，你是怎样画的？与同伴进行交流．
解：先列表：
10
y = 2x2＋1
8
x
··· －2 －1.5 －1
y =2x2＋1 ···
y = 2x 2 －
1
···
9
7
5.5
北师大中考数学总复习《二次函数的图象与性质》课件
考 点 聚 焦
考点1 二次函数的概念
＝ax2＋bx＋c a，b，c是常数， 定义：一般地，如果y ______________( a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
考点2
二次函数的图象及画法 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是
图象
b 4ac－b2 － ， 2 a 4 a 以____________ 为顶点，以直线
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
回 归 教 材
二次函数图象的对称轴与顶点的由来 教材母题 北师大版九下P55例题
求二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标．
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
解
把 y＝ax2＋bx＋c 的右边配方，得
正确；
B．是一次函数，错误；
C．是反比例函数，错误；
D．自变量x在分母中，不是二次函数，错误．
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
利用二次函数的定义判定，二次函数中自变 量的最高次数是2，且二次项的系数不为0.
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
探究二
二次函数的图象与性质
命题角度： 1. 二次函数的图象及画法； 2. 二次函数的性质．
例2 [2012· 烟台] 已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说法： ①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③ 其图象的顶点坐标为(3，－1)；④当x＜3时，y随x的增大而 减小．则其中说法正确的有( A ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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归类探究
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考点1 二次函数的概念
＝ax2＋bx＋c a，b，c是常数， 定义：一般地，如果y ______________( a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
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考点2
二次函数的图象及画法 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是
图象
b 4ac－b2 － ， 2 a 4 a 以____________ 为顶点，以直线
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二次函数图象的对称轴与顶点的由来 教材母题 北师大版九下P55例题
求二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标．
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中考预测
解
把 y＝ax2＋bx＋c 的右边配方，得
正确；
B．是一次函数，错误；
C．是反比例函数，错误；
D．自变量x在分母中，不是二次函数，错误．
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利用二次函数的定义判定，二次函数中自变 量的最高次数是2，且二次项的系数不为0.
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探究二
二次函数的图象与性质
命题角度： 1. 二次函数的图象及画法； 2. 二次函数的性质．
例2 [2012· 烟台] 已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说法： ①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③ 其图象的顶点坐标为(3，－1)；④当x＜3时，y随x的增大而 减小．则其中说法正确的有( A ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点聚焦
归类探究
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新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的图象与性质(2)》公开课课件.ppt
顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1).
位置不同; 最大值不同: 分别是0和-1
二次项系数为正数-3,开口 向下;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同.
请你总结二次函数y=ax2+c的图象和性质.
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
二次函数y=ax2+c的图象和性质
北师大版 九年级（下）
2 二次函数的图象与性质（2）
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象． (1)完成下表：
x
… -3 -2 -1 0
1
2
3…
y=x2 … 9
4
1
0
1
4
9…
y=2x2 … 18 8
2
0
2
8 18 …
(2)分别作出y=x2和y=2x2的图象．
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和y=-3x2的图象,会是 什么样?
二次函数y=-3x2-1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=-3x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
y 3x2 y3x2 1
二次函数y=3x2+1的 图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线.
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
二次函数y=2x2+1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=2x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
y2x2 1
二次函数y=2x2+1的 图象形状与y=2x2 一样,仍是抛物线.
2.2.2 二次函数的图象与性质(课件)九年级数学下册课件(北师大版)
的值和函数解析式 m+1>0 ①
解: 依题意有: m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
随堂练习
1.若二次函数y=axa2－2 的图象开口向下，则a 的值为( )
A.2
B. －2
C.4
D. －4
2.已知二次函数y=(2－a)xa2－14，在其图象对称轴的左侧，y
问题1. 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么
？
二次函数 开口 方向
顶点 坐标
对称轴
10 8
y =2x2 向上 (0,0) y轴
6
y =2x2＋ 1
向上 (0,1)
y轴
4 2
y=2x2－1 向上 (0,-1) y轴 －4 －2 －2
y = 2x2＋1 y = 2x2－1
开口方向 对称轴 顶点
a>0，开口向上， a＜0，开口向下
y轴
原点（0，0）
（0，c）
增减性
a>0时，在对称轴左侧递 a>0时，在对称轴左侧递减， 减，在对称轴右侧递增； 在对称轴右侧递增；a<0时， a<0时，在对称轴左侧递 在对称轴左侧递增，在对 增，在对称轴右侧递减 称轴右侧递减
最值 最大（小）值是0 最大（小）值是c
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a与c，b与d的数量关系.
解：（1）由抛物线的开口方向， 知a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0. 由抛物线的开口大小，知|a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d.∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. （2）∵①与③，②与④分别关于x 轴对称， ∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
解: 依题意有: m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
随堂练习
1.若二次函数y=axa2－2 的图象开口向下，则a 的值为( )
A.2
B. －2
C.4
D. －4
2.已知二次函数y=(2－a)xa2－14，在其图象对称轴的左侧，y
问题1. 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么
？
二次函数 开口 方向
顶点 坐标
对称轴
10 8
y =2x2 向上 (0,0) y轴
6
y =2x2＋ 1
向上 (0,1)
y轴
4 2
y=2x2－1 向上 (0,-1) y轴 －4 －2 －2
y = 2x2＋1 y = 2x2－1
开口方向 对称轴 顶点
a>0，开口向上， a＜0，开口向下
y轴
原点（0，0）
（0，c）
增减性
a>0时，在对称轴左侧递 a>0时，在对称轴左侧递减， 减，在对称轴右侧递增； 在对称轴右侧递增；a<0时， a<0时，在对称轴左侧递 在对称轴左侧递增，在对 增，在对称轴右侧递减 称轴右侧递减
最值 最大（小）值是0 最大（小）值是c
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a与c，b与d的数量关系.
解：（1）由抛物线的开口方向， 知a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0. 由抛物线的开口大小，知|a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d.∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. （2）∵①与③，②与④分别关于x 轴对称， ∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
北师大版九年级下册数学《二次函数的图象与性质》二次函数研讨说课复习课件
当a<0时，开口向下．
- - - - - O1 2 3 4 5 x
5 4 3 2 1联 系： 二次项系数互为相反数，开
2
1
y =- x
口相反，大小相同，它们关
2
-3
于x轴对称.
4
5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知讲解
5
4
3
2
y
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？
解：先列表：
8
2
9
3
1
3
7
1
-1
1
0
2
8
9
7
观察发现
再描点，连线
y
8
6
1、因为a值相同，所以开口方向，
4
大小都相同；
2
2、二次函数y=2x2+1的图象，可以看作是由y=2x2
的图象向上平移1个单位得到；
3、二次函数
的图象，可以看作是由y=2x2
的图象向下平移1个单位得到.
2
-4
-2
2
O
-1
4
x
归纳
开口方向
上
y = 2x2+1
上
y = 2x2 -1
对称轴
y轴
y轴
顶点坐标
（0,1）
（0,-1）
y
y = 2x2+1
8
y = 2x2 -1
6
4
相同点：开口方向相同、形状相同，
对称轴都是y轴。
不同点：顶点坐标发生了改变。
- - - - - O1 2 3 4 5 x
5 4 3 2 1联 系： 二次项系数互为相反数，开
2
1
y =- x
口相反，大小相同，它们关
2
-3
于x轴对称.
4
5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知讲解
5
4
3
2
y
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？
解：先列表：
8
2
9
3
1
3
7
1
-1
1
0
2
8
9
7
观察发现
再描点，连线
y
8
6
1、因为a值相同，所以开口方向，
4
大小都相同；
2
2、二次函数y=2x2+1的图象，可以看作是由y=2x2
的图象向上平移1个单位得到；
3、二次函数
的图象，可以看作是由y=2x2
的图象向下平移1个单位得到.
2
-4
-2
2
O
-1
4
x
归纳
开口方向
上
y = 2x2+1
上
y = 2x2 -1
对称轴
y轴
y轴
顶点坐标
（0,1）
（0,-1）
y
y = 2x2+1
8
y = 2x2 -1
6
4
相同点：开口方向相同、形状相同，
对称轴都是y轴。
不同点：顶点坐标发生了改变。
北师大版中考数学知识点复习课件第12讲二次函数的图象与性质
3.二次函数的图象和性质
图象
（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.
失分点警示
（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
知识点三：二次函数的平移
4.平移与解析式的关系
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
a、b
决定对称轴（x=-b/2a）的位置
当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时，-b/2a=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
第12讲二次函数的图象与性质
一、知识清单梳理
知识点一：二次函数的概念及解析式
关键点拨与对应举例
1.一次函数的定义
形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.
2.解析式
（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
图象
（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.
失分点警示
（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
知识点三：二次函数的平移
4.平移与解析式的关系
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
a、b
决定对称轴（x=-b/2a）的位置
当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时，-b/2a=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
第12讲二次函数的图象与性质
一、知识清单梳理
知识点一：二次函数的概念及解析式
关键点拨与对应举例
1.一次函数的定义
形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.
2.解析式
（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
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(1)若花园的面积为192 m2，求x的值； (2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)， 求花园面积S的最大值．
7. 在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与 “关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20
元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得 利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的 价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价 格销售时，每天能卖出21件，假定每天销售件数 y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一 次函数．
(1)求y与x满足的函数关系式；(不要求写出x的 取值范围)
(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售 价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？
类型一：实物抛物线型问题
【例 1】如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线 由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三边 AE，ED，DB 组成，已知 河底 ED 是水平的，ED＝16 m，AE＝8 m，抛物线的顶点 C 到 ED 的距离是 11 m，以 ED 所在的直线为 x 轴，抛物线的对称轴 为 y 轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式； (2)已知从某时刻开始的 40 h 内，水面与河底 ED 的距离 h(单
位：m)随时间 t(单位：h)的变化满足函数关系 h＝－1128(t－19)2 ＋8(0≤t≤40)且当水面到顶点 C 的距离不大于 5 m 时，需禁止船 只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只 通行？
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？ 请说明理由. （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.
y
A
2
球网
边界 O
类型二：二次函数在销售利润中的应用
【例2】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50 元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查， 销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售 单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单 价不得低于成本． (1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的 函数关系式； (2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？ 最大利润是多少
解：(1)依题意有顶点 C 的坐标为(0，11)，点 B 的坐标为(8，8)，
设抛物线解析式为 y＝ax2＋c，有181＝＝6c4，a＋c，解得ac＝＝1－1，634，
∴抛物线解析式为 y＝－634x2＋11 (2)令－1128(t－19)2＋8＝11
－5，解得 t1＝35，t2＝3.因为 a＝－1128＜0，所以当 3≤t≤35 时， 水面到顶点 C 的距离不大于 5 米，需禁止船只通行，禁止船只 通行时间为 35－3＝32(时)
燃烧你的激情！
1.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点 正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m ）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球 网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界 距O点的水平距离为18m.
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式.（不要求写出自变 量x的取值范围）
第三单元 第十二讲 二次函数
燃烧你的激情！
1.某市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷 水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为0.5米， 在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是( )
A. y＝－(x－0.5)2＋3 B．y＝－12(x－0.5)2＋3 C. y＝－(x＋0.5)2＋3 D．y＝－12(x＋0.5)2＋3 2.小王在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－x2 ＋3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的 距离l是( ) A. 3.5 m B．4 m C．4.5 m D．4.6 m
Байду номын сангаас
5.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20 m，如果水位上升3 m时，水面CD的宽是10 m．建立如图所示的直角坐标系，则此抛物线的解析式 为____．
6.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的 直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花 园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m.
燃烧你的激情！
3.如图，教练对小明推铅球的录像进行技术分析， 发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为
＝－(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是____m. 4.如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF
的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD的长度为x， △ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图 象中能表示y与x之间的函数关系的是( )
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元， 且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制 在什么范围内？(每天的总成本＝每件的成本×每天 的销售量)
28705)020＋，4∴5解Y0＝0，：－∵5A(X＝12＋－)y850＜＝00X，－(x∴2抛7－5物005线0开()2口[)Y5向＝0下－＋，5∵X520＋(≤18X00≤010X0－－0，27对x5)称0]0轴＝＝是－(直5x(线X－－X (35)当0Y)＝(－40050时x，＋－＝558(5X0－，0)8∴＝0当)2X＋＝－485050时0x，＝2Y4＋最00大08，值0解＝0得4x5X－010＝2707，5X020＝，90，∴∴当y＝ 7得0≤5X0－≤(9－055时Xx，＋2每5＋5天0)的8≤7销0000售0x利，－润解不得2低X7≥于58240，000∴08元2≤．(X2由≤9)每0y，天＝即的销－总售成单5本x价不2应超＋该过控780制00在00元8x2，－
27500＝－5(x－元80至)920元＋之4间5. 00，∵a＝－5＜0， ∴抛物线开口向下，∵50≤x≤100，对称轴是 直线x＝80，∴当x＝80时，y最大值＝4500 (3)当y＝4000时，－5(x－80)2＋4500＝4000， 解得x1＝70，x2＝90，∴当70≤x≤90时，每天 的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不 超过7000元，得50(－5x＋550)≤7000，解得
7. 在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与 “关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20
元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得 利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的 价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价 格销售时，每天能卖出21件，假定每天销售件数 y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一 次函数．
(1)求y与x满足的函数关系式；(不要求写出x的 取值范围)
(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售 价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？
类型一：实物抛物线型问题
【例 1】如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线 由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三边 AE，ED，DB 组成，已知 河底 ED 是水平的，ED＝16 m，AE＝8 m，抛物线的顶点 C 到 ED 的距离是 11 m，以 ED 所在的直线为 x 轴，抛物线的对称轴 为 y 轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式； (2)已知从某时刻开始的 40 h 内，水面与河底 ED 的距离 h(单
位：m)随时间 t(单位：h)的变化满足函数关系 h＝－1128(t－19)2 ＋8(0≤t≤40)且当水面到顶点 C 的距离不大于 5 m 时，需禁止船 只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只 通行？
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？ 请说明理由. （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.
y
A
2
球网
边界 O
类型二：二次函数在销售利润中的应用
【例2】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50 元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查， 销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售 单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单 价不得低于成本． (1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的 函数关系式； (2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？ 最大利润是多少
解：(1)依题意有顶点 C 的坐标为(0，11)，点 B 的坐标为(8，8)，
设抛物线解析式为 y＝ax2＋c，有181＝＝6c4，a＋c，解得ac＝＝1－1，634，
∴抛物线解析式为 y＝－634x2＋11 (2)令－1128(t－19)2＋8＝11
－5，解得 t1＝35，t2＝3.因为 a＝－1128＜0，所以当 3≤t≤35 时， 水面到顶点 C 的距离不大于 5 米，需禁止船只通行，禁止船只 通行时间为 35－3＝32(时)
燃烧你的激情！
1.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点 正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m ）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球 网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界 距O点的水平距离为18m.
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式.（不要求写出自变 量x的取值范围）
第三单元 第十二讲 二次函数
燃烧你的激情！
1.某市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷 水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为0.5米， 在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是( )
A. y＝－(x－0.5)2＋3 B．y＝－12(x－0.5)2＋3 C. y＝－(x＋0.5)2＋3 D．y＝－12(x＋0.5)2＋3 2.小王在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－x2 ＋3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的 距离l是( ) A. 3.5 m B．4 m C．4.5 m D．4.6 m
Байду номын сангаас
5.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20 m，如果水位上升3 m时，水面CD的宽是10 m．建立如图所示的直角坐标系，则此抛物线的解析式 为____．
6.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的 直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花 园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m.
燃烧你的激情！
3.如图，教练对小明推铅球的录像进行技术分析， 发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为
＝－(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是____m. 4.如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF
的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD的长度为x， △ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图 象中能表示y与x之间的函数关系的是( )
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元， 且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制 在什么范围内？(每天的总成本＝每件的成本×每天 的销售量)
28705)020＋，4∴5解Y0＝0，：－∵5A(X＝12＋－)y850＜＝00X，－(x∴2抛7－5物005线0开()2口[)Y5向＝0下－＋，5∵X520＋(≤18X00≤010X0－－0，27对x5)称0]0轴＝＝是－(直5x(线X－－X (35)当0Y)＝(－40050时x，＋－＝558(5X0－，0)8∴＝0当)2X＋＝－485050时0x，＝2Y4＋最00大08，值0解＝0得4x5X－010＝2707，5X020＝，90，∴∴当y＝ 7得0≤5X0－≤(9－055时Xx，＋2每5＋5天0)的8≤7销0000售0x利，－润解不得2低X7≥于58240，000∴08元2≤．(X2由≤9)每0y，天＝即的销－总售成单5本x价不2应超＋该过控780制00在00元8x2，－
27500＝－5(x－元80至)920元＋之4间5. 00，∵a＝－5＜0， ∴抛物线开口向下，∵50≤x≤100，对称轴是 直线x＝80，∴当x＝80时，y最大值＝4500 (3)当y＝4000时，－5(x－80)2＋4500＝4000， 解得x1＝70，x2＝90，∴当70≤x≤90时，每天 的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不 超过7000元，得50(－5x＋550)≤7000，解得