【推荐】高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第1章 1.1 1.1.1 四种命题含解析

1．1.1四种命题观察下列语句的特点：(1)这幅画真漂亮！(2)求证3是无理数；(3)菱形是平行四边形吗？(4)等腰三角形的两底角相等；(5)x>2 012；(6)若x2＝2 0122，则x＝2 012.问题：在这些语句中哪些能判断出真假，哪些不能判断出真假． 提示：(1)(2)(3)(5)不能判断真假；(4)(6)能判断真假．1．能够判断真假的语句叫做命题．2．命题⎩⎪⎨⎪⎧真命题：判断为真的命题.假命题：判断为假的命题.观察下列四个命题：(1)若两个三角形全等，则这两个三角形相似； (2)若两个三角形相似，则这两个三角形全等； (3)若两个三角形不全等，则这两个三角形不相似； (4)若两个三角形不相似，则这两个三角形不全等．问题：命题(1)与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间分别有什么关系？ 提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件．对于命题(1)和(3)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)和(4)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．1．四种命题的概念(1)如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题．(2)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题．(3)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题．2．命题的四种形式原命题：若p ，则q ；逆命题：若q ，则p ；否命题：若非p ，则非q ；逆否命题：若非q ，则非p . 3．四种命题之间的关系观察下列命题，回答后面的问题：(1)如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；(2)如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；(3)如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；(4)如果两个三角形面积不相等，那么它们不全等．问题1：若把命题(1)看作原命题，这四个命题之间有什么关系？提示：(1)与(2)、(3)与(4)为互逆关系；(1)与(3)、(2)与(4)为互否关系；(1)与(4)、(2)与(3)为互为逆否关系．问题2：判断四个命题的真假．提示：命题(1)(4)是真命题；命题(2)(3)是假命题．1．四种命题的真假性2．四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．1．原命题是相对其他三种命题而言的．事实上，可以把任意一个命题看成原命题，来研究它的其他形式的命题．2．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，大前提仍作大前提．3．若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性，即它们同真同假．所以，当一个命题的真假不易判断时，可以通过对其逆否命题的真假的判断来判断原命题的真假．[对应学生用书P3][例1]判断下列语句是否为命题？若是命题，则判断其真假：(1)2是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(5)当x＝4时，2x＋1>0；(6)把门关上．[思路点拨]首先判断是不是命题，如果是，然后再判断它是真命题还是假命题．[精解详析](1)能判断真假，是命题，是假命题．(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)．(3)不能判断真假，不是命题．(4)是命题，当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列是递减数列，因此是一个假命题．(5)能判断真假，是命题，是真命题．(6)因为没有作出判断，所以不是命题．[一点通]1．判断一个语句是不是命题，关键是看能不能判断真假．2．判定一个命题是真命题时，一般需要经过严格的推理论证，论证要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断；而判定一个命题为假命题时，只需举出一个反例即可．1．下列语句：(1)2＋2 2是有理数；(2)1＋1>2；(3)2100是个大数； (4)968能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎样传播的？ 其中是命题的是________．解析：(1)能判断真假，是命题，是假命题； (2)能判断真假，是命题，是假命题； (3)不能判断真假，不是命题； (4)是命题，是真命题； (5)不能判断真假，不是命题． 答案：(1)、(2)、(4) 2．判断下列命题的真假：(1)函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π； (2)斜率相等的两条直线平行；(3)不等式|3x －2|>4的解集是(－∞，－23)∪(2，＋∞)；(4)平行于同一平面的两条直线平行．解：(1)y ＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，显然其最小正周期为π，故(1)为真命题．(2)斜率相等的两条直线有可能平行，也有可能重合，故(2)是假命题． (3)由|3x －2|>4得，3x －2>4或3x －2<－4， ∴x >2或x <－23，∴|3x －2|>4的解集是(－∞，－23)∪(2，＋∞)．故(3)为真命题．(4)平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，可能异面，故(4)为假命题.[例2] 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假： (1)若实数a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ；(2)函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数时，log a 2<0.[思路点拨] 先分清所给命题的条件和结论，再按要求写出逆命题、否命题和逆否命题，并做出真假判断．[精解详析](1)原命题可以写成：若实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac，为真命题．逆命题：若实数a，b，c满足b2＝ac，则a，b，c成等比数列，为假命题．否命题：若实数a，b，c不成等比数列，则b2≠ac，为假命题．逆否命题：若实数a，b，c，满足b2≠ac，则a，b，c不成等比数列，为真命题．(2)原命题可以写成：若函数y＝log a x(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数，则log a2<0，为真命题．逆命题：若log a2<0，则函数y＝log a x(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数，为真命题．否命题：若函数y＝log a x(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上不是减函数，则log a2≥0，为真命题．逆否命题：若log a2≥0，则函数y＝log a x(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上不是减函数，为真命题．[一点通]1．四种命题进行转化时应首先找出原命题的条件和结论，然后利用四种命题的概念直接转化即可．2．对于命题的真假判断，当直接判断有难度时，可以通过判断它的逆否命题的真假来判断．3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：(1)等腰三角形的两个底角相等；(2)当x＝2或x＝4时，x2－6x＋8＝0；(3)已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.解：(1)原命题可改写成：若一个三角形是等腰三角形，则两个底角相等，真命题．(2)原命题可改写成：若x＝2或x＝4，则x2－6x＋8＝0，真命题．(3)原命题可改写成：已知x、y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.假命题．4．写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断其真假：(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；(2)正偶数不是质数；(3)若x∈A则x∈(A∪B)．解：(1)原命题：在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B，真命题；逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题；否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题；逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．(2)原命题：若一个数是正偶数，则它一定不是质数，假命题，例如2；逆命题：若一个数不是质数，则它一定是正偶数，假命题，例如9；否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是质数，假命题，例如9；逆否命题：若一个数是质数，则它一定不是正偶数，假命题，例如2.(3)原命题：若x∈A，则x∈(A∪B)，真命题；逆命题：若x∈(A∪B)，则x∈A，假命题；否命题：若x∉A，则x∉(A∪B)，假命题；逆否命题：若x∉(A∪B)，则x∉A，真命题.[例3]证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.[思路点拨]根据原命题与逆否命题的等价性，先证逆否命题即可．[精解详析]法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．”证明如下：若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.[一点通]由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．5．已知c>0，设p：函数y＝c x在R上单调递减，q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R，如果p和q有且仅有一个正确，求c的取值范围．解：函数y＝c x在R上单调递减⇔0<c<1.记P ＝{c |0<c <1}不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R ⇔函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1.∵x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2c ，x ≥2c ，2c ，x <2c ，∴函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c . ∴不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R ⇔2c >1⇔c >12.记Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c | c >12.如果p 正确，且q 不正确， 借助数轴得0<c ≤12.如果p 不正确，且q 正确， 借助数轴得c ≥1.∴c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞)． 6．证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1.证明：“若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”．∵a ＝2b ＋1，∴a 2－4b 2－2a ＋1＝(2b ＋1)2－4b 2－2(2b ＋1)＋1 ＝4b 2＋1＋4b －4b 2－4b －2＋1 ＝0.∴命题“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”为真命题． 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．1．写四种命题时，可以按下列步骤进行： (1)找出原命题的条件p 和结论q ；(2)写出条件p 的否定非p 和结论q 的否定非q ； (3)按照四种命题的概念写出所有命题．2．判断命题的真假时，可以根据互为逆否的命题的真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．[对应课时跟踪训练(一)]1．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②三角函数是周期函数吗？③一个数不是正数就是负数；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5>0.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．解析：①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是假命题，因为数0既不是正数，也不是负数；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1>0恒成立，所以是真命题．答案：①③⑤ ⑤2．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是________________________． 答案：若|a |＝|b |，则a ＝－b3．命题“对于正数a ，若a >1，则lg a >0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________．解析：逆命题：对于正数a ，若lg a >0，则a >1. 否命题：对于正数a ，若a ≤1，则lg a ≤0. 逆否命题：对于正数a ，若lg a ≤0，则a ≤1. 根据对数的性质可知都是真命题． 答案：44．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________．解析：将条件与结论分别否定，再交换即可． 答案：若tan α≠1，则α≠π45．给出下列命题：①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题；②“若{a n }既是等差数列，又是等比数列，则a n ＝a n ＋1(n ∈N *)”的逆命题；③“若m >1，则不等式x 2＋2x ＋m >0的解集为R ”的逆否命题．其中所有真命题的序号是________．解析：①的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”是真命题；②的逆命题为“数列{a n }中，若a n ＝a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列”是假命题，如0,0,0……；对于③当m >1时，Δ＝4－4m <0恒成立，x 2＋2x ＋m >0的解集为R 是真命题．因此逆否命题是真命题．答案：①③6．把下列命题写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假． (1)奇函数的图像关于原点对称； (2)当x 2－2x －3＝0时，x ＝－3或x ＝1；(3)a <0时，函数y ＝ax ＋b 的值随x 值的增大而增大．解：(1)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称，是真命题． (2)若x 2－2x －3＝0，则x ＝－3或x ＝1，是假命题．(3)若a <0，则函数y ＝ax ＋b 的值随着x 值的增大而增大，是假命题． 7．证明：若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2.证明：将“若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m ＋n >2，则m 2＋n 2≠2”．由于m ＋n >2，则m 2＋n 2≥12(m ＋n )2>12×22＝2，所以m 2＋n 2≠2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．8．判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假． (1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，b 2－4ac <0，则该函数图像与x 轴有交点． 解：(1)该命题为真．逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真． 否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真． 逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真． (2)该命题为假．逆命题：若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴有交点，则b 2－4ac <0，为假． 否命题：若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中b 2－4ac ≥0，则函数图像与x 轴无交点，为假． 逆否命题：若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴无交点，则b 2－4ac ≥0，为假．。