人教A版高中数学必修第一册同角三角函数的基本关系优秀课件
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高中数学《同角三角函数的基本关系》课件
一 同角三角函数的基本关系
例 6 已知tan α＝k，且角α在第三象限，求sin α，cos α .
解 由角α在第三象限知：sin α ＜0，cos α ＜0.
由
sin cos
tan
k
，得sin
α＝kcos
α
.
将上式代入 sin2α＋cos2α ＝1，
பைடு நூலகம்
得 k2cos2α＋cos2α＝1，
即
cos2α＝
同角三角函数的基本关系
一 同角三角函数的基本关系
我们给一个角α定义了正弦、余弦、正切这三种三角函数．从定义中可以 看出这些函数是相互关联的，我们希望可以由其中一个函数计算出其他函数 的值．
为此我们需找出同一个角的正弦、余弦、正切的关系式．
一 同角三角函数的基本关系
如图5.2-7，设α＝∠xOM是任意角．以点O为圆心作单位圆与角α的终边交于 点P，并作角α的正弦线DP和余弦线OD.在Rt△OPD中，由勾股定理得
图5.2-7
一 同角三角函数的基本关系
例 5 已知 sin 5 ，并且α是第四象限角，求cos α，tan α .
13 解 由sin α，cos α之间的关系式sin2α＋cos2α ＝1及第四象限角的余弦cos α＞0
得
cos
1 sin2
1
5 13
2
12， 13
tan sin 5 13 5 . cos 13 12 12
α＋cos
α＝
1 5
，求sin
α·cos
α的值．
解
因为sin
α＋cos
α＝
1 5
，
两边平方，得(sin α＋cos α)2＝ 1 ， 25
5.2.2同角三角函数的基本关系课件高一上学期数学人教A版(1)
(2)对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,去根号,达到化简的
目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造
sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
变式训练 4
解
sin -cos
tan -1
(2)sin2αtan
sin -cos
化简:(1)
4si
n
α-5cos2α=
=
1
si n 2 +co s 2
4ta n 2 -3tan -5 4×4-3×2-5
=
=1.
2
ta n +1
4+1
规律方法
已知tan α,求关于sin α和cos α的齐次式的值的基本方法
sin +cos
(1)形如
的分式,可将分子、分母同时除以
sin +cos
利用同角三角函数的基本关系求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解.
(2)已知三角函数之间的关系式求三角函数值的问题,我们可利用平方关系
或商数关系求解,其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2=1±2sin
αcos α的等价转化,寻找解决问题的突破口.
自主诊断
1.已知 α 是第四象限角,cos
解析 由题意知 sin α=2.若 cos
1
α= ,且
3
12
α= ,则
13
1-cos 2 =-
所以 tan
1-cos 2 =-
sin
α=cos =-2
2.
1
α=3,
1 2 2
目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造
sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
变式训练 4
解
sin -cos
tan -1
(2)sin2αtan
sin -cos
化简:(1)
4si
n
α-5cos2α=
=
1
si n 2 +co s 2
4ta n 2 -3tan -5 4×4-3×2-5
=
=1.
2
ta n +1
4+1
规律方法
已知tan α,求关于sin α和cos α的齐次式的值的基本方法
sin +cos
(1)形如
的分式,可将分子、分母同时除以
sin +cos
利用同角三角函数的基本关系求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解.
(2)已知三角函数之间的关系式求三角函数值的问题,我们可利用平方关系
或商数关系求解,其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2=1±2sin
αcos α的等价转化,寻找解决问题的突破口.
自主诊断
1.已知 α 是第四象限角,cos
解析 由题意知 sin α=2.若 cos
1
α= ,且
3
12
α= ,则
13
1-cos 2 =-
所以 tan
1-cos 2 =-
sin
α=cos =-2
2.
1
α=3,
1 2 2
新教材人教A版必修第一册 5.2.2 同角三角函数的基本关系 课件(29张)
跟踪训练 3 求证：tan2α－sin2α＝tan2α·sin2α.
证明：左边＝tan2α－sin2α＝csoins22αα－sin2α ＝sin2α－cosisn2α2αcos2α＝sin2αc1o－s2αcos2α ＝sin2α·csoins22αα＝tan2α·sin2α＝右边 ∴原式成立．
题型一 利用同角三角函数的基本关系求值 ——微点探究 微点 1 已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值 例 1 (1)已知 sin α＝－15，且 α 是第三象限角，求 cos α，tan α 的 值；
(2)已知 cos α＝－35，求 sin α，tan α 的值．
状元随笔 在使用开平方关系 sin α＝± 1 －cos2α和 cos α＝
＝|ssiinn113300°°＋－|ccooss
130°|＝sin 130°| sin
130°－cos 130°－cos
113300°°＝1.
(2)原式＝sin2α·csoins
αα＋2sin
αcos
α＋cos2α·csoins
α α
＝sin4α＋2ssiinn2ααccooss2αα＋cos4α＝sinsi2nα＋αccoossα2α2
)
A．－4
B．－14
1 C.4
D．4
解析：(2)ssiinnθθ－＋2ccoossθθ＝ttaann θθ＋ －12＝21，解得 tan θ＝－4. 答案： A
(3)已知 sin θ＋cos θ＝15，且 0<θ<π，则 sin θ－cos θ＝________.
解析：∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝215，
化，利用csoins αα＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． (2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，
新教材高中数学第五章三角函数5.2.2同角三角函数的基本关系课件新人教A版必修第一册
cos α= 1 sin2＝ 1，
2
所以tan α= sin ＝ 3.
cos
答案： 3
时3，
2
【跟踪训练】
1.已知 sin cos =2，计算下列各式的值.
sin－cos
(1) 3sin－cos .
2sin 3cos
(2)sin2α-2sin αcos α+1.
2.(1)已知sin α+cos α= 7 ，α∈(0，π)，则tan α=_______.
13
(2)已知tan α= 4 ，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.
C. 5
D.12
13
13
【解析】选A.利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二
象限角，所以cos α= － 1－sin2＝－12
13
关键能力·合作学习
类型一 利用同角三角函数的关系求特殊值(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·通州高一检测)已知cos α= 5 ，且α∈(0，π)，则tan α=
(2)本质：同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系. (3)应用：正弦、余弦、正切的知一求二，三角函数的证明、化简.
【思考】
“同角”一词的含义是什么？
提示：一是“角相同”，如sin2α+cos2β=1就不一定成立.二是对任意一个角
(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，
(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另 一边，其依据是相等关系的传递性. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量 的两个量相等. (3)作差法：两式作差，对差式变形化简，差式为零即得证.
2
所以tan α= sin ＝ 3.
cos
答案： 3
时3，
2
【跟踪训练】
1.已知 sin cos =2，计算下列各式的值.
sin－cos
(1) 3sin－cos .
2sin 3cos
(2)sin2α-2sin αcos α+1.
2.(1)已知sin α+cos α= 7 ，α∈(0，π)，则tan α=_______.
13
(2)已知tan α= 4 ，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.
C. 5
D.12
13
13
【解析】选A.利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二
象限角，所以cos α= － 1－sin2＝－12
13
关键能力·合作学习
类型一 利用同角三角函数的关系求特殊值(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·通州高一检测)已知cos α= 5 ，且α∈(0，π)，则tan α=
(2)本质：同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系. (3)应用：正弦、余弦、正切的知一求二，三角函数的证明、化简.
【思考】
“同角”一词的含义是什么？
提示：一是“角相同”，如sin2α+cos2β=1就不一定成立.二是对任意一个角
(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，
(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另 一边，其依据是相等关系的传递性. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量 的两个量相等. (3)作差法：两式作差，对差式变形化简，差式为零即得证.
同角三角函数的基本关系 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
sin tan cos cos sin
tan
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于角α的正切．
注意事项：
1. 公式中的角一定是同角，否则公式可能不成立. 如sin230º+cos260º≠1.
2.同角不要拘泥于形式，关系式中的角可以是具体的度数，也可以是变
量，也可以是代数式。比如 ：sin2 16 cos2 16 1，sin2 cos2 1
tan sin tan sin
左边
类型五：同角三角函数的证明
思路点拨： 法1.作差法
法2.左推右或右推左：从一边开始，证他等于另一边 法3.两边证：等式左右两边都比较复杂，证明左右两 边等于同一个式子
课堂小结
x
25
sin x cos x2 sin x2 2 sin x cos x cos x2 1 2sin x cosx 1 24 49
25 25
又 x 0sin x 0，cosx 0
2 sin x cosx 7
5
sin x cosx 0
类型三：利用sin α±cos α与 sin α cos α之间的关系求值
例5：求证： 2 tan sin tan sin
tan sin tan sin
法1（两边凑）：
sin sin
左边
cos sin sin
cos
sin2
sin
cos sin
cos
cos
sin sin
右边
cos s in
s in
cos
sin sin cos
cos sin2
cos
sin cos
1
sin cos
5.2.2同角三角函数的基本关系课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
2
cos
成立.
（3）sin2α与sinα2之间的区分：前者是(sinα)2的简写，是α的正弦
的平方，读作“sinα的平方”，后者是α的平方的正弦，两者是截然
不同的。
对同角三角函数的基本关系式的理解
（1）同角三角函数的基本关系式中的角都是“同一个角”，而sin2α+cos2β=1不一定
成立. “同角”与角的表示情势无关，如
仅对 k
2
(k Z ) 成立.
（3）sin2α与sinα2之间的区分：前者是(sinα)2的简写，是α的正弦的平方，读作
“sinα的平方”，后者是α的平方的正弦，两者是截然不同的。
新知探究
问题5
些变形？
对于平方关系
+
= 和商数关系 =
2
2
法2:同除以cosα或cos2α
sin 2 2sin cos cos 2
(2)
;
2
2
4 cos 3sin
1
(3)
; 分子为1
2
2
cos 3sin
1 sin 2 cos2
3 2
1 2
(4) sin sin . 暗含:分母为1
4
2
巩固练习
课本P184
5. 求证：
sin sin cos cos 1.
4
2
2
2
sin 4 sin 2 cos 2 cos 2
sin 2 (sin 2 cos 2 ) cos 2
sin cos
2
1
2
典例解析：化简
cos
成立.
（3）sin2α与sinα2之间的区分：前者是(sinα)2的简写，是α的正弦
的平方，读作“sinα的平方”，后者是α的平方的正弦，两者是截然
不同的。
对同角三角函数的基本关系式的理解
（1）同角三角函数的基本关系式中的角都是“同一个角”，而sin2α+cos2β=1不一定
成立. “同角”与角的表示情势无关，如
仅对 k
2
(k Z ) 成立.
（3）sin2α与sinα2之间的区分：前者是(sinα)2的简写，是α的正弦的平方，读作
“sinα的平方”，后者是α的平方的正弦，两者是截然不同的。
新知探究
问题5
些变形？
对于平方关系
+
= 和商数关系 =
2
2
法2:同除以cosα或cos2α
sin 2 2sin cos cos 2
(2)
;
2
2
4 cos 3sin
1
(3)
; 分子为1
2
2
cos 3sin
1 sin 2 cos2
3 2
1 2
(4) sin sin . 暗含:分母为1
4
2
巩固练习
课本P184
5. 求证：
sin sin cos cos 1.
4
2
2
2
sin 4 sin 2 cos 2 cos 2
sin 2 (sin 2 cos 2 ) cos 2
sin cos
2
1
2
典例解析：化简
数学人教A版(2019)必修第一册5.2.2同角三角函数的基本关系(共29张ppt)
1.两个公式的结构特点:
(1)
是
的简写,
不能将
写成
,
(2)
同角三角函数基本关系的理解与认识
2.同角的理解: (1) 关系式中的角要相同，与角的形式无关。
同角三角函数基本关系的理解与认识
3.公式等价变形 (1)
(2)
学以致用
例1 解：
∵ 为第三象限角 ∴
学以致用
变式 思考2： 若把题目中的条件“角 该解如：何解答？
是第三象限角”这个条件舍去，
学以致用
小结:如果已知某个三角函数值,且角所在象限是确定,那么可以通 过同角三角函数关系式,求出其它三角函数,而且只有一种结果. 如果只给了某个三角函数值,那么要按角所在象限进行讨论,分别 写出答案,这时一般有两组结果.所以在求值中,确定角所在象限是 解题关键。
学以致用 练习：
作业布置
1、复习本节课内容 2、课本P185-186（6、11、12、15）
科作业纸 3、预习下节课内容
学以致用
学以致用
例2
学以致用
例2 解：
学以致用
变式：
解：
学以致用
变式：
学以致用
变式：
解：方法一
综上所述：
学以致用
变式：
解：方法二
学以致用
变式：
解：方法三
学以致用
变式：
方法一：
解：
方法二：
解：
课堂小结
本节课你收获了什么？ 同角三角函数的基本关系 1、平方关系：
2、商数关系：
数形结合、化归转化思想
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题2:给一个角 ,在单位圆中你能找到与点 P 坐标 对应的线段吗?从而建立 与 关系吗?
高一数学人教A版必修一5.2.2同角三角函数的基本关系课件
cos 5 4 4
如果α是第四象限角,那么 cos 4 , tan 3
5
4
例3、 已 知tan 3，为 第 三 象 限 角 ， 求sin ,cos的 值 。
4
联 立 方 程 组
tan sin cos
方程(组)思想
si n2 cos2 1
练 习1、 已 知sin cos 5 ，180 270， 求tan的 值 。
5
所 以tan sin 2 cos
类型二：应用同角三角函数的基本关系化简三角函数式
例4、 化 简(：1) sin cos tan 1
切化弦
si n si n
co s
1
co s
si n si n
cos cos
2cos2 1
(2)
1 2sin2
“1”的代换
2cos2 (sin2 cos2 )
(2)求
s
i
n2 5
si
sin cos n cos si
n2
3co
s2 1
(3)求2sin2 sin cos 3cos2
小结 1、同角三角函数的基本关系
平方关系: sin2 cos2 1
商数关系: tan si n ( k , k Z )
cos
2
2、已知sinα(或cosα)求其它
4
3
例2、 已 知sin 3 ,求cos , tan的 值 。
5
解：因为sinα<0，sinα≠-1, 所以α是第三或第四象限角
由sin2α+cos2α=1得 cos2 1 sin2 1 ( 3)2 16 .
5 25
如果α是第三象限角,那么 cos 16 4
人教A版高中数学必修第一册5.2.2同角三角函数的基本关系【课件】
=
=
=左边,
(-)
-
∴原等式成立.
(+)
(方法二)∵左边=
-
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
同角三角函数的基本关系
1.计算下列式子的值:
(1)sin20°+cos20°;
(2)sin245°+cos245°;
(3)sin260°+cos260°.
由此你能得出什么结论?尝试证明它.
提示:3个式子的值均为1.由此可以猜想:
对于任意角α,有sin2α+cos2α=1,下面用三角函数的定义证明:
设角α的终边与单位圆☉O的交点为P(x,y),
则由三角函数的定义,得sin α=y,cos α=x.
故sin2α+cos2α=x2+y2=|OP|2=1.
2.由三角函数的定义,tan α与sin α,cos α之间具有怎样的等量
4.(1)sin24 092°+cos24 092°=(
A.0
B.1
C.4 092 D.4 092°
(2)若sin θ+cos θ=0,则tan θ=
)
.
解析:(1)由平方关系知sin24 092°+cos24 092°=1.
(2)由sin θ+cos θ=0,得sin θ=-cos θ,
所以 tan
θ=
=
答案:(1)B (2)-1
-
=-1.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误
的打“×”.
【课件】同角三角函数的基本关系课件-2022-2023学年高一上数学人教A版(2019)必修第一册
1
cos
公式变形
2
2
cos 1
2
cos
1
sin
商数关系： =
其中（ ≠
应用一：已知, 求, .
+ ， ∈ )
sin
2
sin
cos 1 sin
以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”．
(2)sinθ±cosθ 的符号的判定方法
sinθ－cosθ 的符号的判定方法：由
三角函数的定义知，当 θ 的终边落在
直线 y＝x 上时，sinθ＝cosθ，即 sinθ
－cosθ＝0，当 θ 的终边落在直线 y＝x
的上半平面区域内时，sinθ>cosθ，即 sinθ－cosθ>0；当 θ 的终边落在直线 y
课本182页、大本172页 双色笔、
演草纸、课堂笔记
5.2.2 同角三角函数的基本关系
学习目标
1.根据三角函数的定义推导出同角三角函
数的基本关系式，
2.熟练掌握同角三角函数平方关系和商的
关系，并能正用、逆用、变形用。
3、会用同角三角函数基本关系求值、化简
与证明．
复习巩固：二定义、一法则、三公式
二定义：
证明：法一：由cosx≠0，知sinx≠±1,所以1±sinx≠0
cos x(1 sin x)
再将分母 1 变形为
解.
++
sin2α+cos2α,转化为形如
的分式求
+
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人教A版(高20中19数)高学中必数修学第必一修册第同一角册三第角 五函章数的5. 基2.本2同关角系三优角秀函p数pt的课 基件本关 系课件
归纳小结
问题3 请大家回顾本单元学习内容，并回答下面问题：
（1）概述本单元知识发生发展过程的基本脉络，能不能画一个结构 图来反映本单元的研究思路及内容？ （2）任意角三角函数的现实背景是什么？ （3）叙述任意角三角函数的定义过程，说明任意角三角函数与锐角三 角函数区别与联系．
新知探究
例2 求证： cos α 1 sin α ． 1 sin α cos α
证法一：由cos x≠0，知sin x≠－1，所以1＋sin x≠0，
于左边
cos x(1 sin x) (1 sin x)(1 sin x)
cos x(1 sin 1 sin2 x
x)
cos
x(1 cos2
人教A版(高20中19数)高学中必数修学第必一修册第同一角册三第角 五函章数的5. 基2.本2同关角系三优角秀函p数pt的课 基件本关 系课件
人教A版(高20中19数)高学中必数修学第必一修册第同一角册三第角 五函章数的5. 基2.本2同关角系三优角秀函p数pt的课 基件本关 系课件
新知探究
追问 你能对这种“已知一个三角函数值，求同角的另两个三角函数 值”（简称“知一求二”）题型总结出解题步骤吗？
新知探究
问题2 总结上述研究过程，你能说说我们是从哪些角度入 手发现三角函数性质的？你认为还可以从哪些方面入手研 究三角函数的性质？
借助单位圆，从三角函数的定义出发，我们从三角函数值的符号规律、 终边相同的角的三角函数的关系入手发现了诱导公式一和同角三角函 数的基本关系．自然而然地，我们还可以研究“终边不同的角的三角 函数有什么关系”．
5.2.2 同角三角函数的基本关系
新知探究
问题1 诱导公式一表明，终边相同的角的同一三角函数的值 相等．因为三个三角函数的值都是由角的终边与单位圆的交点 坐标所唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系．那么，终 边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢？
sin2 α cos2 α 1 sin α tan α cos α
新知探究
例1 已知sin α 3，求cos α，tan α的值． 5
解：因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角． 由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝16 ； 25 如果α是第三象限角，那么cos α＜0．于是cosα＝ 4 ， 5 从而 tan α sin α 3 ； cos α 4
解题步骤如下： 第一步，先根据条件判断角所在的象限； 第二步，确定各三角函数值的符号； 第三步，利用基本关系求解．
人教A版(高20中19数)高学中必数修学第必一修册第同一角册三第角 五函章数的5. 基2.本2同关角系三优角秀函p数pt的课 基件本关 系课件
人教A版(2019)高中数学必修第一册第 五章5. 2.2同 角三角 函数的 基本关 系课件
sin x
x)
1 sin x ＝右边． cos x
所以，原式成立．
人教A版(2019)高中数学必修第一册第 五章5. 2.2同 角三角 函数的 基本关 系课件
人教A版(高20中19数)高学中必数修学第必一修册第同一角册三第角 五函章数的5. 基2.本2同关角系三优角秀函p数pt的课 基件本关 系课件
人教A版(高20中19数)高学中必数修学第必一修册第同一角册三第角 五函章数的5. 基2.本2同关角系三优角秀函p数pt的课 基件本关 系课件
归纳小结
问题3 请大家回顾本单元学习内容，并回答下面问题：
（1）概述本单元知识发生发展过程的基本脉络，能不能画一个结构 图来反映本单元的研究思路及内容？
单位圆上点的 运动规律
（4）我们是如何发现诱导公式一和同角三角函数的基本关系的？在发 现这些性质的过程中，有哪些值得总结的思想方法或有益经验？
人教A版(高20中19数)高学中必数修学第必一修册第同一角册三第角 五函章数的5. 基2.本2同关角系三优角秀函p数pt的课 基件本关 系课件
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新知探究
例2 求证： cos α 1 sin α ． 1 sin α cos α
证法二：因为（1－sin x）（1＋sin x）＝1－sin2x＝cos2x＝cos xcos x， 且1－sin x≠0，cos x≠0，所以 cos α 1 sin α ． 1 sin α cos α
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课堂练习
教科书第184页练习第1，2，3，4，5题．
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归纳小结
问题3 请大家回顾本单元学习内容，并回答下面问题：
（1）概述本单元知识发生发展过程的基本脉络，能不能画一个结构 图来反映本单元的研究思路及内容？
（1）基本脉络是“现实背景—获得研究对象—分析对应关系的本质 —下定义—研究性质”；
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新知探究
例1 已知sin α 3，求cos α，tan α的值． 5
如果α是第四象限角，那么cos α＞0．于是cos α＝ 4 ， 5
从而tan α sin α 3 ． cos α 4