高代二复习卷

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高等代数复习题

高等代数复习题高等代数重修复习一．填空题1.设V是数域P上的一维线性空间，则V上所有线性变换可表示为 .2.R x 3中的基1 x x2,3x 2x2,1 2x2到基1,x,x2的过度矩阵为3．实对称矩阵A满足A 0，则A的全部特征值为。

4．已知矩阵A n 1a 为正交矩阵，则a . 015.已知A是m n的矩阵且秩(A) s，则方程组Ax 0的解空间的维数为 .6．已知3阶矩阵A的特征值为1,1,2，则2A 2A的特征值为2 17.在线性空间P[x]n {f(x) a0 a1x a2x2 an 1xn 1|a0,a1,a2, ,an 1 P}中,线性变换D(f(x)) f'(x)在基1,x,x2, ,xn 1下的矩阵为 . D的值域为，D的核为8.设1, 2, , n是线性空间V的基，线性变换A满足A( i) i,i 1,2, ,m, 0i m 1,2, ,n则A在基1, 2, , n下的矩阵为，A的值域为，A的核为9.设V是n维欧几里得空间，A为正交线性变换，则, ，(A ,A )= .10.设V L(e1,e2) R3,其中e1 100 ,e2 101 ，则V的正交补为11. 在欧几里得空间R中，1 (__)，2 (5031)，则1, 2的夹角1, 2 为。

12.设线性变换A:V V在基1, 2, , n下的矩阵为A且秩(A) r，则线性变换A的秩为。

二．单选题1．若A,B是正交矩阵，k是非零实数，P是可逆矩阵，则（）(A)A B也是正交矩阵(B) kA也是正交矩阵(C)AB也是正交矩阵(D) PAP也是正交矩阵2. 设是三维向量空间R上的变换，下列不是线性变换的是（）2(A) ( 1, 2, 3) ( 1 3, 2, 3 5) (B) ( 1, 2, 3) ( 1,3 2,3 3) 3 1(C) ( 1, 2, 3) (0, 1,0) (D) ( 1, 2, 3) (2 1 2 3, 2 5 3, 1 3)3．设A是n阶实对称矩阵，则（）(A) 存在正交矩阵P使得PAP为对角矩阵(B)A的特征值的绝对值等于1(C)A的任意n个线性无关的特征向量两两正交也是正交矩阵(D)A有n个不同的特征值4．和矩阵M ' 10 正交相似的矩阵是（）0 1(A) 01 1 1 11 01 (B) (C) (D) 10 1 1 00 105．两个n阶实对称矩阵相似的充要条件是（）(A)它们合同(B)它们的特征值都是实数1, 2, , n(C)它们都是正交矩阵(D)它们的特征值都是实数1, 2, , n，且两两不相等1 12 ，16．设P上的三维列向量空间V上的线性变换在基{e1,e2,e3}下的矩阵是20 12 1则在基{e3,e1,e2}下的矩阵是（）112 1 12 121 2 11 (B) 12 1 (C) 102 (D) 102 1(A)20 210 12 1 21 1 1217. A是n阶矩阵，则为正交矩阵A的充要条件是（）(A)A的特征值全为1或-1 (B)A的列向量组两两正交(C)A正交相似于单位矩阵(D)A的列向量组为标准正交向量组。

第六章习题与复习题(二次型)----高等代数

习题6.11．写出下列二次型的矩阵.（1）222123123121323(,,)f x x x x x x x x x x x x =+++++（2）12341223(,,,)f x x x x x x x x =-（3）1234135(,,,)246785T f x x x x X X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2．将二次型2221231231223(,,)32810f x x x x x x x x x x =+-+-表成矩阵形式，并求该二次型的秩.3．设A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321000000a a a ，B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13200000a a a 证明A 与B 合同，并求可逆矩阵C ，使得B =TC A C ．4．如果n 阶实对称矩阵A 与B 合同，C 与D 合同，证明A O B O O C O D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与合同.习题6.21．用正交变换法化下列实二次型为标准形，并求出所用的正交变换.（1）22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++2．已知二次型2221231231223(,,)222f x x x x x x cx x x x =++++的秩为2.(1) 求c;(2) 求一正交变换化二次型为标准形.3．已知二次型2212323121323(,,)43248f x x x x x ax x x x x x =-+-+经正交变换化为标准形2221236,,f y y by a b =++求的值与所用正交变换.22224. 222444,,.x x ay z bxy xy yz y Q z a b Q ξηζηζ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+++++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=2已知二次曲面方程可经正交变换化为椭圆柱面方程求的值与正交矩阵5．用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换.（1）222123123121323(,,)25228f x x x x x x x x x x x x =+++++6．在二次型f （x 1，x 2，x 3 ）=213232221)()()(x x x x x x -+-+-中，令⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=133322211xx y x x y x x y 得f =232221y y y ++可否由此认定上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3 ？为什么？若结论是否定的，请你将f 化为标准形并确定f 的秩.7．判断矩阵01111213A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与是否合同.习题6.31．判定下列实二次型的正定性.（1）2221231231223(,,)23442f x x x x x x x x x x =++-- （2）222123123121323(,,)23222f x x x x x x x x x x x x =---+-+（3）123121323(,,)5f x x x x x x x x x =+- （4）∑∑≤<≤=+nj i jini ixx x1122． a 为何值时，实二次型222123123121323(,,)(2)22f x x x x a x ax x x x x x x =++++--是正定的.21013. 020,(),101A B kE A k B k B ⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭ΛΛ设矩阵其中为实数.（1）求对角阵，使与相似；（2）求参数的值，使为正定矩阵.习题六 (A)一、填空题1．二次型222123123121323(,,)23246f x x x x x x x x x x x x =+-+-+的矩阵为 .2．2123123(,,)()f x x x ax bx cx =++二次型的矩阵为.3．已知二次型的矩阵为124214447-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，则该二次型为.4．二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为.5．化二次型222123123(,,)43f x x x x x x =+-为规范形，所用的可逆线性变换矩阵为. 6．二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =++的规范形为 .7．已知实对称矩阵A 与矩阵100012022T X AX ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同，则二次型的规范形为.8．已知2221231231223(,,)22f x x x x x x x x ax x =++++正定，则a =. 9．当t 满足, 2221231231213(,,)4242f x x x x x x tx x x x =---++是负定的. 10．已知二次型222123123121323(,,)222f x x x x ax x x x ax x x x =+++--的正、负惯性指数均为1，则a =.二、单项选择题1. 已知二次型22212312312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为2,则a =( ).(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 32. 设100020005A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 则下列矩阵中与A 合同的矩阵是( ).(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001 (B)100020001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--500010002 (D)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300010002 3. , T T Tn f X AX A A X CY f Y BY ====如果元二次型（其中）可经可逆线性变换化为则下列结论不正确的是（）.(A) A 与B 合同 (B) A 与B 等价 (C) A 与B 相似 (D) A 与B 的秩相等 4. 设A, B 都是正定阵, 则( ).(A) AB, A + B 一定都是正定阵 (B) AB 是正定阵, A + B 不是正定阵 (C) AB 不一定是正定阵, A + B 是正定阵 (D) AB, A + B 都不是正定阵 5. 下列条件不能保证n 阶实对称矩阵A 为正定的是( ). (A) 1A -正定(B) 二次型f=X T AX 的负惯性指数为零 (C) 二次型f=X T AX 的正惯性指数为n (D) A 合同于单位矩阵22212312323123 (,,)(2)(23)(3)( ).() 1 () 1 () 1 ()1f x x x x ax x x x x x ax A a B a C a D a =+-+++++<-≠-≠>6.二次型正定的充要条件是7. 已知实对称矩阵A 满足A 2-5A+6E=O ,则A ( ).(A) 正定 (B) 半正定 (C) 负定 (D) 不定8. 已知二次型222123123121323(,,)22248f x x x x x x ax x x x x x =--+++经正交变换化为 222123227f y y y =+-,则a =( ). (A)1 (B) -1 (C) 2 (D)-2 9. 下列矩阵合同于单位矩阵的是( ).(A) 121242363⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ (B)101040101-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛811172121 (D)212134244--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭10. 设矩阵211112111120A B A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭与矩阵，则与( ).(A) 合同且相似 (B) 合同但不相似(C) 不合同但相似 (D) 既不合同也不相似(B)1．已知22082006B a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似于对角阵.（1）求a 的值；（2）求正交变换使二次型X T BX 为标准形.222123123121323123(,,)55266 2.(1);(2)(,,)1f x x x x x cx x x x x x x c f x x x =++-+-=2. 已知二次型的秩为求和二次型矩阵的特征值指出方程表示哪种二次曲面.3. 已知实二次型f=X T AX 中矩阵A 的特征值为1，2，5，A 属于特征值1与2的特征向量分别为12(0,1,1),(1,0,0),TTαα=-=求该二次型. 4．设二次型123(,,)f x x x 经正交变换1123212331232221231(22)31 (22)31(22)342,x y y y x y y y x y y y f y y y ⎧=++⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=-+⎪⎩=+-化为了标准形求该二次型。

高等代数2期末复习参考

1 (1,1,L ,1),2 (0,1,L ,1),L ,n (0,L ,0,1)
并求向量 (a1,a2 ,L ,an )在基1,2 ,L ,n下的坐标.
解：∵
1 1 2 L n
.
2
LLL
n
2
L
L
L L
L
n
n
§6.1 集合映射
1 0 L 0
∴(1,2 ,L
,n )
(log2a ) 2log2a a ∴ 是满射．
故是1—1对应．.
§6.1 集合映射
2、令 f : x a x, g : x a 1 , x R，问：
x
1）g 是不是R＋到R＋的双射？g 是不是 f 的逆映射？
2）g是不是可逆映射？若是的话，求其逆．
解：1）g是R＋到自身的双射．
∵ x, y R，若
. 故R＋是一维的，任一正实数 a( 1)就是R＋的一组基.
§6.1 集合映射
例1 在Pn中，求由基1, 2 ,L , n 到基1,2 ,L ,n 的过渡矩阵及由基1,2 ,L ,n 到基 1, 2 ,L , n 的
过渡矩阵．其中
1 (1,0,L ,0), 2 (0,1,L ,0),L , n (0,L ,0,1)
a b ab, k oa ak a, b R ,k R
构成实数域R上的线性空间，求R＋的维数与一组基. 解: 数1是R＋的零元素. (Q x R , x 1 x1 x).
任取R＋中的一个数 a , 且 a 1，则a是线性无关的.
又x R , 有k logax R, 使k oa ak alogax x. 即 x 可由 a 线性表出.
故，由基 1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的过渡矩阵为

高代复习题及答案

V 2 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) x 1 x 2 x 3 x 4 0 .求 V 1 V 2 与 V 1 V 2 的基与维数.
33.设 V 是 3 维线性空间， 1 , 2 , 3 为它的一个基.线性变换 : V V ，
x1 1 x 2 2 x 3 3 2 x1 1 3 x 2 2 4 x 3 3
1 40.设 1 , 2 , 3 是 3 维欧氏空间 V 的一组基，这组基的度量矩阵为 1 2
1
（3） V
(0)
(V ) .
2.已知是 n 维欧氏空间的正交变换，证明：的不变子空间 W 的正交补 W 也是的不变子空
间．
1 0 3.已知复系数矩阵 A 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 ， 2 1
（1）求矩阵 A 的行列式因子、不变因子和初等因子；（2）求矩阵 A 的若当标准形.（15 分）
6.设 A 为 n 阶方阵，
W1 x R | Ax 0 ， W 2 x R | ( A E ) x 0
n n
n 证明 A 为幂等矩阵，则 R W 1 W 2 .
7.若设 W= f ( x ) f (1) 0 , f ( x ) R [ x ] n , 试证：W 是 R [ x ] n 的子空间，并求出 W 的一组基及维数.
2 3
3 。 6
（１）证明： ( x , y ) 是 R 2 的内积，因而 R 2 按此内积构成一个欧氏空间，（２）求 R 2 的一组标准正交基，（３）求矩阵 P ，使得 A P P .
32.设 R 4 的两个子空间为： V 1

高等代数复习题II

2 2 25. 要使二次型q (x1 , x2 , x3 ) = x2 1 + 4x2 + 4x3 + 2tx1 x2 − 2x1 x3 + 4x2 x3 正定, t的取值
范围是
2 2 ; 要使二次型f (x1 , x2 , x3 ) = 2x2 1 + x2 + x3 +2x1 x2 + tx2 x3 正
4. 以下定义的变换为线性变换的是 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( A). 在F2 中, σ (a, b) = (a2 , a − b);
)
B). 在F3 中,σ (a, b, c) = (a + 1, a + b, c);
19. 已知三阶A的特征值是−1, 1, 2, f (x) = x2 +2x+2.则A2 特征值是征值是 , trAk = ; 而f (A)的特征值是 ,|f (A)|=
20. 设A, B 是n阶非零矩阵, 且AB = B . 则A必有特征值 2E )B = O, E 为n阶单位矩阵, 则A必有特征值 21. 在欧氏空间C [−1, 1]中, | − 1| = 关的单位向量是 . .
)
B). σ (f (x)) = xf 2 (x), ∀f (x) ∈ F[x];
C). σ (f (x)) = f (x0 ), ∀f (x) ∈ F[x], x0 是F中固定的数; D). σ (f (x)) =
x 0
f (t) sin tdt, ∀f (x) ∈ F[x].
高等代数复习题II 第 3 页共 10 页

2023届高三化学高考备考二轮复习训练有机大题课件

(5)化合物Ⅵ有多种同分异构体，其中含
结构的有____2____种，
核磁共振氢谱图上只有一组峰的结构简式为____________。
(6)选用含二个羧基的化合物作为唯一的含氧有机原料，参考上述信息，制备高分子化合物Ⅷ的单体。
写出Ⅷ的单体的合成路线___________(不用注明反应条件)。
2．[2022·湖南卷]物质J是一种具有生物活性的化合物。该化合物的合成路线如下：
(5)M为C的一种同分异构体。已知：1 mol M与饱和碳酸氢钠溶液充分反应能放出2 mol二氧化碳；M与酸性高锰酸钾溶液反应生成对苯二甲酸。M的结构简式为___________________。
(6)对于
，选用不同的取代基R′，在催化剂作用下与PCBO发
生的[4＋2]反应进行深入研究，R′对产率的影响见下表：
(2)C的结构简式为______________。 (3)写出由E生成F反应的化学方程式
________________________________。
(4)E中含氧官能团的名称为__羧_基_、__羟_基______。 (5)由G生成H的反应类型为__取_代_反__应_____。 (6)I是一种有机物形成的盐，结构简式为
；
；
（5）写出同时符合下列条件的化合物F的同分异构体的结构简式
。 ①1HNMR谱和IR谱检测表明：分子中共有3种不同化学环境的氢原子，有N—H键。 ②分子中含一个环，其成环原子数≥4。
4．[2021·广东卷]天然产物Ⅴ具有抗疟活性，某研究小组以化合物Ⅰ 为原料合成Ⅴ及其衍生物Ⅵ的路线如下（部分反应条件省略，Ph表
________________。
(7)在E的同分异构体中，同时满足下列条件的总数为____10____种。 a)含有一个苯环和三个甲基； b)与饱和碳酸氢钠溶液反应产生二氧化碳； c)能发生银镜反应，不能发生水解反应。上述同分异构体经银镜反应后酸化，所得产物中，核磁共振氢谱显示有四组氢(氢原子数量比为6∶3∶2∶1)的结构简式为

2009-2011高等代数(下)考试卷(A)

2009-2010学学年第二期数高等代(下)期末考试试卷(A 卷)选择题题（本大共5题题小，每小3分，共15分） 1．( )义变换下列所定的σ哪个线变换，一是性(A)线间在性空V 设中，α为对一固定的非零向量，于任意的V ξ∈，义定()σξξα=+;(B) 在3R 义中，定221231233(,,)(,,)x x x x x x x σ=+;(C) 在3R 义中，定222222123131223(,,)(,,)x x x x x x x x x σ=+++;(D) 在[]P x 义中，定()0()()f x f x σ=,其中0x 为P 个数中一固定的。

２．（）实数在域R 中，由全体3阶阵构线间矩所成的性空V 维数为的（A ）2；（B ）4；（C ）6；（D ）9。

3. ( ) 如果1V , 2V 线间是性空V 两个间的子空, 且()1dim 5V =, ()2dim 3V =,()12dim 6V V +=, 么那()12dim V V ∩为(A) 2 (B)3 (C)4 (D)5 ４．（设）σ为欧间氏空V 个线变换号的一性，符(,)αβ表示向量α和β内积的，则哪说与下列一法σ为变换正交不等价（A ）对任意V α∈，有()(),()(,)σασααα=；（B ）对任意,V αβ∈，有()(),()(,)σασβαβ=; （C ）对任意,V αβ∈，有()()(),,()σαβασβ=;( D) σ组标阵阵在任意一准正交基下的矩是正交矩.５. ( ) 设A 和B 为数域P 上的n 阶阵则方，A 和B 当仅当相似且(A) A 和B 值有相同的特征； (B) A 和B 有相同的秩； (C) 为存在着行列式不零的n 阶阵方T 使得1B T AT −= ； ( D) A 和B 有相同的迹。

二、填题空题（本大共5题题小，每小3分，共15分）1、设阶阵三方A 项为的特征多式32()225f λλλλ=−−−则， =||A ________。

高等代数II期末复习提纲及题型

例如：〔1〕中，子空间，，那么有。
〔2〕中，子空间由一些偶函数组成的，，那么有。
22、两个子空间的正交：设V1与V2都是欧氏空间V的子空间，如果对于，都有，则称V1与V2是正交的，记作。
例如：〔1〕中，子空间，，那么有。
〔2〕中，子空间由一些偶函数组成的，由一些奇函数组成的，那么有。
15、等价的矩阵有相同的秩与相同的各级行列式因子。
16、矩阵的标准形是唯一的。的标准形的主对角线上的非零元素称为的不变因子。
17、数字矩阵A与B相似的充分必要条件是：
〔1〕特征矩阵与等价；
〔2〕特征矩阵与有相同的标准形；
〔3〕特征矩阵与有相同的不变因子〔的不变因子以后就简称为A的不变因子〕；
20、正交变换的性质
〔1〕正交变换是可逆的〔因为正交变换在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵，而正交矩阵的行列式= ，是可逆的，所以正交变换是可逆的。〕
〔2〕正交变换的逆变换也是正交变换。〔证明过程？〕
〔3〕两个正交变换的乘积也是正交变换。〔证明过程？〕
〔4〕正交变换是欧氏空间V到V自身的同构映射〔满足同构映射的条件〕。
〔5〕正交变换的分类：如果正交变换的矩阵A的行列式|A|=1，此时的正交变换就称是第一类的〔旋转〕；如果矩阵A的行列式|A|=-1，则称正交变换是第二类的。判断上面18的正交变换是第几类的？
21、一个向量与一个子空间正交：设W是欧氏空间V的一个子空间，如果对于，都Biblioteka ，称向量与子空间W正交，记作。
〔4〕A与B有相同的不变因子；
〔5〕A与B有相同的初等因子。
18、不变因子与初等因子都是矩阵相似的不变量。
19、行列式因子与不变因子的关系：

高等代数2期末试卷

《高等代数2》期末试卷(B)(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2教育科学系14级小学教育（科学与数学）专业2014—2015学年度春学期期末考试《高等代数Ⅱ》试卷(B )试卷说明：1.本试卷共2页，4个大题，满分100分，120分钟完卷； 2.试题解答全部书写在本试卷上。

班号：学号姓名一、选择题：（每题3分，共15分）1．当λ=（）时，方程组1231231222x x x x x x λ++=⎧⎨++=⎩，有无穷多解。

A 1B 2C 3D 42．若向量组中含有零向量，则此向量组（）。

A 线性相关B 线性无关C 线性相关或线性无关D 不一定3．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（）的特征向量。

A 2()A E +B -3AC *AD T A4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1P A P -为（）。

A 实对称阵 B 正交阵 C 非奇异阵 D 奇异阵 5．设矩阵A ，B ，C 均为n 阶矩阵，则矩阵AB 的充分条件是（）。

A A 与B 有相同的特征值 B A 与B 有相同的特征向量C A 与B 与同一矩阵相似D A 一定有n 个不同的特征值1．已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(4=α，则向量=+-+4321αααα 。

2．若120s ααα+++=，则向量组12,,,s ααα必线性。

3．设向量空间1212{(,,)|0,}n n i V x x x x x x x R =+++=∈，则V 是维空间。

4．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*A B B += 。

5．设矩阵A 满足条件2560A A E -+=，则矩阵A 的特征值是。

6.二次型yz xz xy z y x z y x f 222),,(222---++=的矩阵是____________。

《高等代数》各章习题+参考答案期末复习用

1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。

2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。

3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。

4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。

5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。

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高代复习卷（时间150分钟）
一、选择题。

1、设向量组为
s 21ααα，，，，则下列结论中不正确的是（）
A ．s 21ααα，，
，线性无关⇔每个向量都不是其余向量的线性组合
B ．s 21ααα，，
，线性相关⇔其中每一个向量是其余向量的线性组合.
C ．σ为向量空间V 的线性变换，1α、2α、…、r α∈V ，且1α、2α、…、
r α线性无关，则()1ασ、()2ασ、…、()r ασ也线性无关。

D ．σ为向量空间V 的线性变换，
1α、2α、…、r α∈V ，且()1ασ、()2ασ、…、()r ασ线性无关，则1α、2α、…、r α也线性无关。

2、下列不能作为n 元实二次型AX X x x x f n '=),,,(21 正定的充要条件的
是（）
A ．A 的主对角元素ii a 全大于零
B ．A 合同于单位矩阵I
C ．A 的正惯性指数n p =
D ．A 的顺序主子式大于零
二、填空题。

1、设)1,3,1,1(1=α，)1,0,3,1(2-=α，)1,3,1,0(3-=α，则L （321,,ααα）的维数为_________。

2、已知标准欧氏空间4R 中向量(1,1,1),(2,,)a b αβ=-=，则向量α与β的正交，向量β与(1,0,0)γ=的夹角为4
π
，则a 与b 分别为_____________________。

3、二次型2221231231223(,,)22q x x x x x x x x tx x =++++正定，t 的取值范围是
______________。

4、若A 有特征值λ， |A|≠0,，,则A *- 23A A I +-必有特征值__________。

3123R ααα===∈1、设（1，1，0），（1，3，-1），（5，3，t)，
t = 时，123ααα，，线性相关。

1
6、方程组1231321
22x x x x x +-=⎧⎨
-+=⎩
的全部解为__________________。

7、实二次型222123123121323(,,)222q x x x x x ax x x x x x x =+++++与二次型
2212312(,,)f x x x x x =-等价，当且仅当____________。

三、判断题
1、设(){}R a a a a V ∈=2121，，定义向量加法与标量与向量的乘法如下：
()()()1212110a a b b a b +=+，，，
()()121k a a ka ∙=，，0
V 关于上述向量加法与标量与向量的乘法作成一个向量空间。

2.在里对于任意两个向量规定：
验证向量空间是否是欧式空间
3、令123(,,)x x x α=是3R 的任意向量则1()(sin ,0,0)x σα=是3R 到线性变换。

n R ),,,
,(21n x x x =ξ),,,(21n y y y =ηn
n n y x y x y x )1(,2211-++->=< ηξn R
四、计算题。

41234
441234i i 41234
123412341231,,,,,()()i 14,,,2,,,,,,,,R R R R ηηηηεεεεσσεηηηηηξηηηησεεεεσηηη====∈===、设(1,1,0,0)(1,-1,0,0)(0,0,1,1)(0,0,1,-1)的自然基为，上有线性变换，使得，，，1）证明为的基。

）求向量(1，0，1，0)在基的坐标
3）求在自然基下的矩阵。

4）求在自然基4
,η下的矩阵。

2、已知()n M F 上的线性变换为10(),(),01n X M F X AX XA A σ⎛⎫
∀∈=-=
⎪-⎝⎭
， σσσ1)求在自然基下的矩阵;2)判断是否为可逆线性变换;
3）求ker()的维数。

3、求向量组
1(1,1,1,1)
α=，
2(1,1,1,2)
α=-的生成子空间W的正交补，
2(1,1,1,2)
α=-在W的正交补上的最佳逼近元。

4、已知11111111A 11111111⎛⎫ ⎪--
⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭
，求10A 。

5、把二次型22212312312(,,)2232q x x x x x x x x =+++用可逆线性替换化为标准型，并写出相应的可逆线性替换。

五、证明题
1、设
是欧氏空间V 的一个标准正交基,线性变换σ，使得 321113
23231)(αααβασ--== 321223
23
13
2
)(αααβασ+-==
321233
13232)(αααβασ-+==
证明：σ为正交变换。

{}321,,ααα。