2018届高中数学苏教版 利用导数研究函数的单调性、极值、最值 单元测试 Word版 含答案
2018届苏教版 导数的应用(单调性、最值、极值) 单元测试
【母题来源一】2016高考山东理数 【母题原题】已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（II ）略【答案】（Ⅰ）当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减；当20<<a 时，)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2(+∞a内单调递增；当2=a 时，)(x f 在),0(+∞内单调递增；当2>a ，)(x f 在)2,0(a 内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(+∞内单调递增.考点：应用导数研究函数的单调性【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性、分类讨论思想.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.【母题来源二】 2016高考天津理数【母题原题】设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈,（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；(II)略；（Ⅲ）略.【答案】（Ⅰ）当0≤a 时，单调递增区间为),(+∞-∞；当0>a 时，单调递减区间为)331,331(a a +-，单调递增区间为)331,(a --∞，),331(+∞+a . 【解析】（Ⅰ）解：由b ax x x f ---=3)1()(，可得a x x f --=2)1(3)('.下面分两种情况讨论：【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数)(x f 的定义域(定义域优先)；(2)求导函数()f x '；(3)在函数)(x f 的定义域内求不等式()0f x '>或()0f x '<的解集．(4)由()0f x '>（()0f x '<）的解集确定函数)(x f 的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2．由函数)(x f 在(,)a b 上的单调性，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥ (或()0f x '≤)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到． 【母题1】 (Ⅰ)讨论函数xx 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>；(Ⅱ)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax a g x x-->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）21(,].24e .考点：函数的单调性、极值与最值. 【名师点睛】求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)解出相应的x 的范围．当f ′(x )＞0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )＜0时，f (x )在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．【母题2】设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值； （2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞. 【解析】（1）因为bx xex f xa +=-)(，所以b e x x f x a +-='-)1()(.依题设，⎩⎨⎧-='+=,1)2(,22)2(e f e f 即⎩⎨⎧-=+-+=+--,1,222222e b e e b e a a 解得e b a ==,2；（2）由（Ⅰ）知ex xe x f x+=-2)(.由)1()(12--+-='x xe x ex f 即02>-x e 知，)(x f '与11-+-x e x 同号.令11)(-+-=x e x x g ，则11)(-+-='x ex g .所以，当)1,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减； 当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),1(+∞上单调递增. 故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值， 从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x ，故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞.考点：导数的应用.【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．【母题3】设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （Ⅰ）讨论f (x )的单调性；（Ⅱ）确定a 的所有可能取值，使得11()xf x e x->-在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数). 【答案】（Ⅰ）当x ∈（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈+)∞时，'()f x >0，()f x 单调递增；（Ⅱ）1[,)2a ??.考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题.【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求'()f x ，解方程'()0f x =，再通过'()f x 的正负确定()f x 的单调性；要证明函数不等式()()f x g x >，一般证明()()f x g x -的最小值大于0，为此要研究函数()()()h x f x g x =-的单调性．本题中注意由于函数()h x 有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度． 【母题4】 已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值. 【答案】（1）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a >时， ()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时， ()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．（2） 1.c =【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点【名师点晴】求函数的单调区间的步骤：①确定函数y ＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；④确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．已知函数的零点个数问题处理方法为：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解．已知不等式解集求参数方法：利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关系.【母题5】设函数2()f x x ax b =-+. （Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22ππ-内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（Ⅱ）记2000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22ππ-,上的最大值D ；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取000a b ==，求24a zb =-满足D 1≤时的最大值.【答案】（Ⅰ）极小值为24a b -；（Ⅱ）00||||D a a b b =-+-； （Ⅲ）1.【解析】（Ⅰ）2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+，22x ππ-<<.[(sin )]'(2sin )cos f x x a x =-，22x ππ-<<.因为22x ππ-<<，所以cos 0,22sin 2x x >-<<.①当2,a b R ≤-∈时，函数(sin )f x 单调递增，无极值. ②当2,a b R ≥∈时，函数(sin )f x 单调递减，无极值.【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.【名师点睛】函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用. 【母题6】已知函数()n ,nf x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21ax x n<+- 【答案】(I) 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.(III)证明：不妨设12x x ≤，由(II)知()()20()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202.ax x n n '=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由(II)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111()()()h x a f x h x '==<，因此11x x '<.由此可得212101ax x x x x n''-<-=+-. 因为2n ≥，所以11112(11)111n n n Cn n ---=+≥+=+-=，故1102n nx -≥=，所以2121ax x n-<+-. 【考点定位】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式. 【名师点睛】本题主要考查函数的性质与导数之间的关系以及利用函数证明不等式.第(I)小题求导后分n 为奇偶数讨论函数的单调性，体现了数学分类讨论的重要思想；第(II)(III)中都利用了构造函数证明不等式这一重要思想方法，体现数学中的构造法在解题中的重要作用，是拨高题.【母题7】已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >. （1）设()g x 是()f x 的导函数，评论()g x 的单调性；（2）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间∞(1,+)内恒成立，且()0f x =在∞(1,+)内有唯一解.【答案】（1）当104a <<时，()g x 在区间)+∞上单调递增，在区间上单调递减；当14a ≥时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.（2）详见解析.【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题作为压轴题，难度系数应在0.3以下.导数与微积分作为大学重要内容，在中学要求学生掌握其基础知识，在高考题中也必有体现.一般地，只要掌握了课本知识，是完全可以解决第（1）题的，所以对难度最大的最后一个题，任何人都不能完全放弃，这里还有不少的分是志在必得的.解决函数题需要的一个重要数学思想是数形结合，联系图形大胆猜想. 在本题中，结合待证结论，可以想象出()f x 的大致图象，要使得()0f x ≥在区间∞(1,+)内恒成立，且()0f x =在∞(1,+)内有唯一解，则这个解0x 应为极小值点，且极小值为0，当0(1,)x x ∈时，()f x 的图象递减；当0(,)x x ∈+∞时，()f x 的图象单调递增，顺着这个思想，便可找到解决方法.【母题8】已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小；（Ⅱ）计算11b a ，1212b b a a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212nnb b b a a a 的公式，并给出证明； （Ⅲ）令112()nn n c a a a = ，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：n n eS T <. 【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞. 1(1)e n n+<；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.【考点定位】导数的应，数列的概念，数学归纳法，基本不等式，不等式的证明. 【名师点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．运用数学归纳法应注意以下三点：(1)n ＝n 0时成立，要弄清楚命题的含义．(2)由假设n ＝k 成立证n ＝k ＋1时，要推导详实，并且一定要运用n ＝k 成立的结论．(3)要注意n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的项数．【母题9】设1a >，函数a e x x f x-+=)1()(2． (1) 求)(x f 的单调区间 ；(2) 证明：)(x f 在(),-∞+∞上仅有一个零点；(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点）,证明：123--≤ea m ． 【答案】（1）(),-∞+∞；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）依题()()()()()222'1'1'10x xx f x x e x e x e =+++=+≥，∴ ()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数； （2）∵ 1a >，∴ ()010f a =-<且()()22110a f a a e a a a =+->+->，【考点定位】导数与函数单调性、零点、不等式，导数的几何意义等知识．【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性、零点、不等式恒成立，导数的几何意义等基础知识，属于中高档题，解答此题关键在于第（1）问要准确求出()f x 的导数，第（2）问首先要说明()0,a 内有零点再结合函数在(),-∞+∞单调性就易证其结论，第（3）问由导数的几何意义易得()221m m e a e+=-对比要证明的结论后要能认清1m e m ≥+的放缩作用并利用导数证明1m e m ≥+成立，则易证1m ≤．【母题10】设函数()()23xx axf x a R e +=∈（1）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围。
2018届高中数学苏教版 导数及其应用 单元测试 Word版 含答案
导数及其应用一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知直线kx y =是曲线x y ln =的切线,则直线kx y =经过点 （ ） A ．)1,(-eB ．)1,(eC ．)1,1(-eD ．)1,1(e2.已知函数1)(+-=mx e x f x 的图像为曲线C ，若曲线C 不存在与直线x y 21=垂直的切线，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．21-≤mB ．21-＞m C ．2≤m D ．2＞m3.若2()cos f x x α=-,则'()f α等于 A ．2sin αα+B ．cos αC ．sin αD ．2sin αα-4.曲线2)(3-+=x x x f 上点0P 处的切线垂直于直线x y 41-=，则点P 0的坐标是 （ ） A ．)0,1(-B ．)2,0(-C ．)4,1(--或)0,1(D ．)4,1(5.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为t t t s 833123+-=，那么速度为零的时刻是 （ ） A ．1秒 B ．1秒末和2秒末 C ．4秒末D ．2秒末和4秒末6.函数3()21(0)f x ax x a =++≠在x=1处的切线方程为0x y m +-=,则实数a 等于 A 1 B -1 C-2 D 37.函数)(x f 的导函数为)(x f '，对任意的R x ∈都有)()(2x f x f >'成立，则A ．)3ln 2(2)2ln 2(3f f >B ．)3ln 2(2)2ln 2(3f f <C ．)3ln 2(2)2ln 2(3f f =D ．)2ln 2(3f 与)3ln 2(2f 的大小不确定 8.已知点P 是曲线13+-=x x e e y 上一动点，α∠为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α∠的最小值是 （ ） A ．0 B ．4π C ．32πD ．43π9.已知函数)(x f y =，（x ∈R ）上任一点))(,(00x f x 处的切线斜率200)1)(3(+-=x x k ，则该函数的单调递增区间为 （ ）A ．[)+∞,3B ．(]3,-∞C ．(]1,--∞ D ．[)+∞-,1 10.函数)(x f 的导函数图像如图所示，则函数)(x f 的极小值点个数有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11.已知函数)(x f 的导函数为)(x f '，满足3)2(2)(x f x x f +'=，则)2(f '等于A ．8-B ．12-C ．8D ．1212.定义在R 上的函数()f x 满足f （4）=1，f （x ）为f （x ）的导函数，已知函数y=f′（x ）的图象如图所示．若正数a ，b 满足f （2a+b ） <1，则22a b ++的取值范围是A ．（1,23）B ．（1,)(3,)2-∞+∞C ．1(,3)2D ．（,3)-∞二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） 13.函数233x x y -=在x 等于 处取得极小值． 14.x x y cos 21-=的单调递减区间为 ； 15.曲线x x y tan 1tan +=在点)21,4(πM 处的切线的斜率为 ．16.直线x y =是曲线kx y sin =的一条切线，则符合条件的一个实数值 ．三.解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.（本题满分14分）已知函数（1）求函数在上的最大值和最小值； （2）求证：在区间上，函数的图象在的图象的下方。
(新)江苏版2018年高考数学一轮复习专题3.2利用导数研究函数的极值与最值测
专题3.2 利用导数研究函数的极值与最值班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)．1.【2017课标II，理11改编】若2x=-是函数21()(1)xf x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为______【答案】1-【解析】2. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】对于函数()y f x=，若存在区间[],a b，当[],x a b∈时的值域为[],ka kb（0k>），则称()y f x=为k倍值函数．若()lnf x x x=+是k倍值函数，则实数k的取值范围是．【答案】1(1,1)e+【解析】试题分析：由题意得ln x x kx+=有两个不同的解，ln1xkx=+，则21lnxk x ex-'==⇒=，因此当0x e<<时，1(,1)ke∈-∞+，当x e>时，1(0,1)ke∈+，从而要使ln x x kx+=有两个不同的解，需1(0,1)ke∈+3. 【南京市2017届高三年级学情调研】已知函数312,0()2,0x x xf xx x⎧-≤=⎨->⎩，当(,]x m∈-∞时，()f x的取值范围为[16,)-+∞，则实数m的取值范围是 .【答案】[－2，8]【解析】试题分析：320,1212402x y x x y x x '≤=-⇒=-=⇒=-（正舍），(2)16f -=-；由2168x x -=-⇒=，所以当2m <-时，()16f x >-；当28m -≤≤时，()16f x ≥-；当8m >时，min ()16f x <-；因此实数m 的取值范围是28m -≤≤4. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10，则ba的值为 ▲ ． 【答案】12-【解析】5. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】定义在R 上的可导函数()f x ，已知()f x ye=′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 ▲ ．【答案】（﹣∞，2） 【解析】试题分析：由()21()0f x x e f x '≤≥⇒≥′时，()21()0f x x ef x '><⇒<′时，所以()y f x =的增区间是（﹣∞，2）6. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ ．【答案】5 【解析】7. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】已知函数321()213f x x x ax =+-+，若函数()f x 在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】3(,4)2【解析】试题分析：由题意得()f x '在(1,2)上有零点，即221220(2)2x x a a x x +-=⇒=+∈3(,4)28. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】已知函数()312,02,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，当(],m x ∈-∞时，()f x 的取值范围为[)16,-+∞，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】[]2,8- 【解析】试题分析: 因为当0≤x 时,)2)(2(3)(/x x x f -+=,所以当2-<x 时,0)(/<x f ,函数)(x f 单调递减；当02<<-x 时,0)(/>x f ,函数)(x f 单调递增；函数)(x f 在2-=x 处取最小值16)2(-=-f .画出函数的图象,结合函数的图象可以看出当82≤≤-m ,函数)(x f 总能取到最小值16-,故应填答案[]2,8-.y=12x-x3y=-2x-238-2Oyx9.已知函数1ln()xf xx+=，如果当1x≥时，不等式()1kf xx≥+恒成立，则实数k的取值范围________.【答案】2k≤10.已知函数()(ln)f x x x ax=-有两个极值点,则实数a的取值范围是________. 【答案】1(0,)2【解析】因为函数()(ln)f x x x ax=-有两个极值点，由1'()ln()ln21(0)f x x ax x a x ax xx=-+-=-+>.所以'()0f x=有两个不同的正实数根，令()ln21g x x ax=-+，所以112'()2axg x ax x-=-=.令'()0g x=所以12xa=>（小于零不成立）.所以可得max1()()ln202g x g aa==->，解得12a<.综上所以1(0,)2a∈.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指．定区域内．．．．。
[推荐学习]2018版高中数学第二章函数2.2.1第2课时函数的最大值最小值学业分层测评苏教版必修1
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2.2.1 第2课时 函数的最大值、最小值(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设定义在R 上的函数f (x )＝x |x |，则关于f (x )的最值的说法正确的是________．(填序号)①只有最大值； ②只有最小值；③既有最大值，又有最小值； ④既无最大值，又无最小值．【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ，－x 2x ，画出图象(略)可知，既无最大值又无最小值．【答案】 ④2．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是________. 【解析】 由题意知a ≠0，当a >0时，有(2a ＋1)－(a ＋1)＝2，解得a ＝2；当a <0时，有(a ＋1)－(2a ＋1)＝2，解得a ＝－2.综上知a ＝±2.【答案】 ±23．函数f (x )＝|x －2|－2在区间[0,3]上的最小值为________，最大值为________． 【解析】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[0，2]，x －4，x ∈[2，3]，图象如图．由图可知，x ＝2时，f (x )min ＝－2；x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝0.【答案】 －2 04．下列函数在[1,4]上最大值为3的是________．(填序号) ①y ＝1x＋2；②y ＝3x －2；③y ＝x 2；④y ＝1－x .【解析】 ②③在[1,4]上均为增函数，①④在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值．【答案】 ①5．函数f (x )＝|1－x |－|x －3|，x ∈R 的值域是________．【解析】 f (x )＝|1－x |－|x －3|＝|x －1|－|x －3|，利用绝对值的几何意义可知f (x )表示x 到1的距离与x 到3的距离之差，结合数轴(略)可知值域为[－2,2]．【答案】 [－2,2]6．已知函数f (x )是(0，＋∞)上的减函数，则f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系是________．【解析】 ∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34.【答案】 f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫347．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 令f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2)＝－(x 2－2x ＋1)＋1＝－(x －1)2＋1， 图象如下：∴f (x )的最小值为f (0)＝f (2)＝0. 而a <－x 2＋2x 恒成立，∴a <0. 【答案】 a <08．函数f (x )＝x 2－4x ＋5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是________．【解析】 f (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1，x ∈[0，m ]． 由最小值为1知m ≥2.由最大值为5知f (0)＝5，f (4)＝5. 所以2≤m ≤4. 【答案】 2≤m ≤4 二、解答题9．若函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a ＜b ＜3)上有最大值9，最小值－7，求a 和b 的值．【解】 y ＝－x 2＋6x ＋9＝－(x －3)2＋18，图象对称轴为直线x ＝3，开口向下，因为a ＜b ＜3，所以[a ，b ]是函数的单调递增区间，故f (a )＝－a 2＋6a ＋9＝－7，解得a ＝－2或a ＝8(舍去)；f (b )＝－b 2＋6b ＋9＝9，解得b ＝0或b ＝6(舍去)．所以a 和b 的值分别为－2和0.10．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x(x ∈[2，＋∞)),(1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )>a 恒成立，求a 的取值范围． 【解】 (1)任取x 1，x 2∈[2，＋∞)， 且x 1<x 2，f (x )＝x ＋3x＋2.则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－3x 1x 2.∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0. 又∵x 1≥2，x 2≥2， ∴x 1x 2>4,1－3x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 故f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴当x ＝2时，f (x )有最小值，即f (2)＝112.(2)∵f (x )的最小值为f (2)＝112，∴f (x )>a 恒成立，只须f (x )min >a ，即a <112.[能力提升]1．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．【解析】 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 【答案】 62．对任意的两个实数a ，b ，定义min(a ，b )＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ＜bb a ≥b ，若f (x )＝4－x 2，g (x )＝3x ，则min(f (x )，g (x ))的最大值为________．【解析】 f (x )－g (x )＝4－x 2－3x ，当4－x 2－3x ＝－(x －1)(x ＋4)≥0，即－4≤x ≤1时，f (x )≥g (x )．当4－x 2－3x ＝－(x －1)(x ＋4)＜0，即x ＞1或x ＜－4时，f (x )＜g (x )，所以min(f (x )，g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，－4≤x ≤1，4－x 2，x ＞1或x ＜－4，作出大致图象如图所示，由图象可知函数的最大值在点A 处取得，最大值为f (1)＝3. 【答案】 33．如果函数f (x )＝1－x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12 016＝________.【解析】 ∵f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1－x 21＋x 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝0， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＝f (1)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f2 016＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12 016＝0.【答案】 04．已知二次函数y ＝f (x )＝x 2－2x ＋2. (1)当x ∈[0,4]时，求f (x )的最值； (2)当x ∈[2,3]时，求f (x )的最值；(3)当x ∈[t ，t ＋1]时，求f (x )的最小值g (t )． 【解】 y ＝f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1. (1)∵对称轴x ＝1∈[0,4]， ∴当x ＝1时，y 有最小值，y min ＝f (1)＝1.∵f (0)＝2<f (4)＝10， ∴当x ＝4时，y 有最大值，y max ＝f (4)＝10.(2)∵1∉[2,3]，且1<2，∴f (x )在[2,3]上是单调增函数，∴当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝2， 当x ＝3时，f (x )max ＝f (3)＝5.(3)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，顶点坐标为(1,1)， 当t ＋1<1，即t <0时， 函数在[t ，t ＋1]上为减函数，g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1，当t ＋1≥1且t <1，即0≤t <1时，g (t )＝f (1)＝1，当t ≥1时，函数在[t ，t ＋1]上为增函数，g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2. ∴g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，1，t 2－2t ＋2，t <0，0≤t <1，t ≥1.。
2018年高考真题——数学(江苏卷)+Word版含解析
2018年高考真题——数学(江苏卷)+Word版含解析【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7. 已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间.8. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.9. 函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.10. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．11. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12. 在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l 交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.13. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析【解析】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.16. 已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），则．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y，得．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为．点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.19. 记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．【解析】分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合“S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．（2）函数，，则．设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．因此，a的值为．（3）对任意a>0，设．因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．函数，则．由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得，即（**）此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.20. 设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．【答案】（1）d的取值范围为．（2）d的取值范围为，证明见解析。
高考数学大一轮复习 3.2导数与函数的单调性、极值、最值教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题
§3.2导数与函数的单调性、极值、最值1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( ×)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( √)(3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件．( × ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ ) (6)函数f (x )＝x sin x 有无数个极值点．( √ )1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是________． 答案 (0,1)解析 ∵f ′(x )＝2x －2x＝2x ＋1x －1x(x >0)．∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．2．(2013·某某改编)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x－1)(x －1)k(k ＝1,2)，则下列命题正确的是________．①当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值； ②当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值； ③当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值； ④当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值． 答案 ③解析 当k ＝1时，f ′(x )＝e x·x －1，f ′(1)≠0， ∴x ＝1不是f (x )的极值点．当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x＋e x－2)， 显然f ′(1)＝0，且x 在1附近的左边f ′(x )<0，x 在1附近的右边f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝1处取到极小值．故只有③正确．3．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________． 答案 (－1，＋∞)解析 设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)， ∵m ′(x )＝f ′(x )－2>0， ∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0， ∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}， 即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．4．设1<x <2，则ln x x ，(ln x x )2，ln x2x2的大小关系是__________________．(用“<”连接)答案 (ln x x )2<ln x x <ln x 2x2解析 令f (x )＝x －ln x (1<x <2)， 则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0，∴函数y ＝f (x )(1<x <2)为增函数，∴f (x )>f (1)＝1>0，∴x >ln x >0⇒0<ln x x<1，∴(ln x x)2<ln x x.又ln x2x2－ln x x ＝2ln x －x ln x x 2＝2－x ln xx2>0， ∴(ln x x )2<ln x x <ln x2x2.题型一 利用导数研究函数的单调性 例1 已知函数f (x )＝e x－ax －1. (1)求f (x )的单调增区间；(2)是否存在a ，使f (x )在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a 的取值X 围，若不存在，请说明理由．思维点拨 函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论． 解 f ′(x )＝e x－a ，(1)若a ≤0，则f ′(x )＝e x－a ≥0， 即f (x )在R 上单调递增，若a >0，令e x－a ≥0，则e x ≥a ，x ≥ln a . 因此当a ≤0时，f (x )的单调增区间为R ， 当a >0时，f (x )的单调增区间为[ln a ，＋∞)．(2)∵f ′(x )＝e x－a ≤0在(－2,3)上恒成立． ∴a ≥e x在x ∈(－2,3)上恒成立． ∴e －2<e x <e 3，只需a ≥e 3.当a ＝e 3时，f ′(x )＝e x －e 3<0在x ∈(－2,3)上恒成立， 即f (x )在(－2,3)上为减函数，∴a ≥e 3.故存在实数a ≥e 3，使f (x )在(－2,3)上为减函数． 思维升华 (1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求参数X 围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(1)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为________________．(2)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在[－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值X 围是_________________．答案 (1)(2,2a ) (2)(－∞，－1]解析 (1)f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )， 由a >1知，当x <2时，f ′(x )>0， 故f (x )在区间(－∞，2)上是增函数； 当2<x <2a 时，f ′(x )<0， 故f (x )在区间(2,2a )上是减函数； 当x >2a 时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上是增函数． 综上，当a >1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a )上是减函数． (2)转化为f ′(x )＝－x ＋bx ＋2≤0在[－1，＋∞)上恒成立，即b ≤x (x ＋2)在[－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1， 所以g (x )min ＝－1，则b 的取值X 围是(－∞，－1]． 题型二 利用导数求函数的极值例2 (2014·某某)已知函数f (x )＝e x－ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1. (1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x.(1)解 由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x－a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x－2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )取得极小值， 且极小值f (ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，f (x )无极大值．(2)证明 令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x－2x . 由(1)得g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)>0. 故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0， 因此，当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x.思维升华 (1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间内单调函数没有极值．设f (x )＝ex1＋ax2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值X 围． 解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax1＋ax22.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝2是极小值点，x 2＝2是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值X 围为{a |0<a ≤1}．题型三 利用导数求函数的最值例3(2014·某某改编)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值． 解 由f (x )＝e x－ax 2－bx －1， 有g (x )＝f ′(x )＝e x－2ax －b . 所以g ′(x )＝e x－2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减， 在区间[ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .思维升华 (1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在(a ，b )内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． (2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．已知函数f (x )＝(x －k )e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． 解 (1)由题意知f ′(x )＝(x －k ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )的情况如下：x (－∞，k －1)k －1(k －1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )－ek －1所以，f (x )(2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1]上单调递减，在[k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1；当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.利用导数求函数的最值问题典例：(16分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规X 解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，[2分]①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．[4分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a，＋∞.[6分](2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .[8分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[10分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．[12分] 又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.[14分]综上可知，当0<a<ln 2时，函数f(x)的最小值是－a；当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是ln 2－2a.[16分]用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题：第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f′(x)；第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规X．温馨提醒(1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间[1,2]上的最值，属常规题型．(2)本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况．(3)思维不流畅，答题不规X，是解答中的突出问题．方法与技巧1．注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(X围)时，隐含恒成立思想．2．求极值、最值时，要求步骤规X、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．失误与防X1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较再下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．函数y ＝(3－x 2)e x的单调递增区间是________． 答案 (－3,1)解析 y ′＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝e x (－x 2－2x ＋3)， 由y ′>0⇒x 2＋2x －3<0⇒－3<x <1，故函数y ＝(3－x 2)e x的单调递增区间是(－3,1)．2．若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为________．答案 ③解析 根据f ′(x )的符号，f (x )图象应该是先下降后上升，最后下降，故①④不正确；从适合f ′(x )＝0的点可以排除②，图③符合条件，f (x )的图象可能为③.3．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.答案 3解析 因为f ′(x )＝2xx ＋1－x 2＋ax ＋12，因为函数f (x )在x ＝1处取得极大值，所以f ′(1)＝3－a4＝0，所以a ＝3. 4．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值X 围是________．答案 1<a ≤2解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x(x >0)，当x －9x≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.5．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________． 答案 －13解析 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ， 易知f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下， 且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.6．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．答案 (0,1]解析 y ′＝x －1x ＝x 2－1x＝x －1x ＋1x(x >0)．令y ′≤0，得0<x ≤1.∴函数的单调递减区间为(0,1]． 7．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________．答案 －173解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0，x ∈[0,2]， 得x ＝1.比较f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，可知最小值为－173.8．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值X 围是________． 答案 (－1,0)解析 当a ＝0时，则f ′(x )＝0，函数f (x )不存在极值． 当a ≠0时，令f ′(x )＝0，则x 1＝－1，x 2＝a .若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)2≤0，函数f (x )不存在极值；若a >0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意；若－1<a <0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )>0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极大值；若a <－1，当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，－1)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意，所以a ∈(－1,0)． 9．已知函数f (x )＝1x＋ln x ，求函数f (x )的极值和单调区间．解 因为f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以x ＝1时，f (f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． 10．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，某某数m 的取值X 围．解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x)． 若x <0，则1－e x>0，∴f ′(x )<0； 若x >0，则1－e x<0，∴f ′(x )<0； 若x ＝0，则f ′(x )＝0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知f (x )在[－2,2]上单调递减， ∴[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2.∴当m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立． 即实数m 的取值X 围为(－∞，2－e 2)．B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x·f (x )>e x＋1的解集是________．答案 {x |x >0}解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x－1，求导得到g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x[f (x )＋f ′(x )－1]． 由已知f (x )＋f ′(x )>1，可得到g ′(x )>0， 所以g (x )为R 上的增函数； 又g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0， 所以e x ·f (x )>e x＋1， 即g (x )>0的解集为{x |x >0}．2．已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则下列不等式成立的是________．①f (1)<e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) ②f (1)>e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) ③f (1)>e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) ④f (1)<e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)答案 ④ 解析 令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝(f xex)′＝f ′x e x －f x e xe2x＝f ′x －f xex<0，所以函数g (x )＝f xex是单调减函数，所以g (1)<g (0)，g (2 016)<g (0)， 即f 1e1<f 01，f 2 016e2 016<f 01，故f (1)<e f (0)，f (2 016)<e2 016f (0)．3．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论： ①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0； ④f (0)f (3)<0.其中正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 ∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)， 由f ′(x )<0，得1<x <3， 由f ′(x )>0，得x <1或x >3，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)， (3，＋∞)上是增函数．又a <b <c ，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0， ∴y 极大值＝f (1)＝4－abc >0，y 极小值＝f (3)＝－abc <0， ∴0<abc <4.∴a ，b ，c 均大于零，或者a <0，b <0，c >0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图．∴f (0)<0，∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0， ∴正确结论的序号是②③.4．(2013·某某)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．5．(2014·某某)设函数f (x )＝e xx 2－k (2x＋ln x )(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值X 围． 解 (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k (－2x 2＋1x ) ＝x e x －2e x x 3－k x －2x 2＝x －2e x－kxx 3.由k ≤0可得e x－kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增． 所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． (2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减， 故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x－kx ，x ∈(0，＋∞)． 所以g ′(x )＝e x－k ＝e x－e ln k，当0<k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x－k >0，y ＝g (x )单调递增． 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点． 当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减；x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增．所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g 0>0，g ln k <0，g 2>0，0<ln k <2.解得e<k <e22.e2 2)．综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值X围为(e，。
高考数学一轮总复习 3.2 利用导数研究函数的单调性、极值与最值课件 理 苏教版
考点一 利用导数研究函数的单调性 【例1】 (2013·广东卷改编)设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2.
(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围． 解 (1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2， ∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)． 令f′(x)>0，即x(ex－2)>0，∴x>ln 2或x<0. 令f′(x)<0，即x(ex－2)<0，∴0<x<ln 2. 因此函数f(x)的递减区间是(0，ln 2)； 递增区间是(－∞，0)和(ln 2，＋∞)．
解 (1)由 f(x)＝aln x＋21x＋32x＋1， ∴f′(x)＝ax－21x2＋32. 由于曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于 y 轴， ∴该切线斜率为 0，即 f′(1)＝0. 从而 a－12＋32＝0，∴a＝－1.
极值点．
极大值
3．函数的最值与导数
设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]
上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与
比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值． f(a)，f(b)
辨析感悟
1．对函数的单调性与导数关系的理解
第2讲 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
1．函数的单调性与导数的关系
已知函数f(x)在某个区间(a，b)内可导，
(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内
；
(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内 单凋递增．
(2018版)导数题型追根溯源第一讲：单调极值最值
2018版导数题型追根溯源新泰一中北校 闫辉第一讲 单调性、极值、最值一、学习目标1.理解单调性与导数的关系；2.理解极值与最值的定义；3.掌握利用导数研究函数的单调性、极值、最值的步骤和方法。
二、重难点重点：最值难点：据单调性、极值、最值求参数三、教学引入通过前面几节课的学习我们了解了导数的作用，你还能回忆起有哪些吗？四、过程【知识点一】单调考法：判断单调性、求单调区间、利用单调性求参、证明不等式。
方法：构造函数、分类讨论、数形结合。
知识： 导函数0)('>x f ，则原函数为增；导函数0)('<x f ，则原函数为减。
但是要注意利用导数求参时增函数要用0)('≥x f 。
例题1.【2014年温州市高三第一次适应性测试】设函数2()ln f x ax x =+.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()(21)g x a x =+，若当(1,)x ∈+∞时，()()f x g x <恒成立，求a 的取值范围.【巩固练习】1.若曲线x ax y ln 2+=存在与y 轴垂直的切线，则a 的范围为_______.2.3()31f x ax x =-+对于[11]x ∈-，总有()0f x ≥成立，则a = .3.【2014年浙江省嘉兴市2014届高三3月教学测试（一）】设函数x a bx ax x f )21(2131)(23-++=，R b a ∈,，0≠a . （1）若4b a =，求)(x f 的单调递增区间；（2）若曲线)(x f y =与x 轴相切于异于原点的一点，且)(x f 的极小值为a 34-，求b a ,的值.【知识点二】极值与最值考法：正向考察直接求极值最值；逆向考察已知极值最值求参数。
方法：分类讨论、数形结合。
知识：极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点；极值可能是最值，最值可能是极值（最值是要通过把极值与端点值比较得到）。
2018届高中数学苏教版 导数的应用 单元测试 Word版 含答案
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考点39 导数的应用一、选择题1.（2016·重庆高考理科·Ｔ8）设函数)(x f 在R 上可导,其导函数为)(x f ',且函数)()1(x f x y '-=的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )(A)函数)(x f 有极大值)2(f 和极小值)1(f(B)函数)(x f 有极大值)2(-f 和极小值)1(f(C)函数)(x f 有极大值)2(f 和极小值)2(-f(D)函数)(x f 有极大值)2(-f 和极小值)2(f【解题指南】利用函数的导数的应用即不等式的性质,分类讨论求解.【解析】选D.由图象可知,当2-<x 时,01,0>->x y ,所以0)(>'x f , 当12<<-x 时,01,0>-<x y ，所以0)(<'x f ，当21<<x 时,01,0<->x y ，所以0)(<'x f ，当2>x 时,01,0<-<x y ，所以0)(>'x f ，所以函数)(x f 有极大值f (2)-和极小值f (2).2.（2016·重庆高考文科·Ｔ8）设函数)(x f 在R 上可导,其导函数为)(x f ',且函数)(x f 在2-=x 处取得极小值,则函数)(x f x y '=的图象可能是( )【解题指南】根据函数极值的概念结合函数的性质进行求解.【解析】选 C.由极小值的定义可知,当2-<x 时,0)(<'x f ,此时0)(>'=x f x y ,当2-=x 时,0)(='x f ,此时0)(='=x f x y ,当02<<-x 时,0)(>'x f ,此时0)(<'=x f x y ,当0>x 时,0)(>'x f ,此时0)(>'=x f x y .二、解答题3.（2016·大纲版全国卷高考理科·Ｔ20）设函数x ax x f cos )(+=，x [o,]∈π.（Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）设)(x f ≤x sin 1+，求a 的取值范围.【解题指南】函数中含有三角函数，要利用三角函数的有界性，结合导数判断函数)(x f 的单调性；构造函数求参数a 的取值范围.由于本题的特殊性，也可将)(x f ≤x sin 1+变形为ax ≤1)4sin(2+-πx ，采用数形结合法求解.【解析】（Ⅰ） 函数x ax x f cos )(+=，则x a x f sin )(-='. x [o,]∈π，1sin 0≤≤∴x ，①当1≥a 时，0)(≥'x f ，当且仅当2,1π==x a 时，0)(='x f ，)(x f 在x [o,]∈π上单调递增； ②当0≤a 时，0)(≤'x f ，当且仅当π==x a ,0或0=x 时，0)(='x f ，)(x f 在x [o,]∈π上单调递减；③当10<<a 时，令0)(='x f ，则1x arcsin a =，a x arcsin 2-=π.当a x arcsin 0<<时 0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增；当a x a arcsin arcsin -<<π时，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减； 当ππ<<-x a arcsin 时，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增；（Ⅱ）由)(x f ≤x sin 1+，得x ax cos +≤x sin 1+，即ax ≤1)4sin(2+-πx ， 构造函数ax x g =)(1，=)(2x g 1)4sin(2+-πx ，如图所示，若使ax ≤1)4sin(2+-πx 恒成立，则 函数ax x g =)(1的图象总在函数=)(2x g 1)4sin(2+-πx 的图象的下方.当x [o,]∈π，)2,(πA ,π2=OA k ,∴a 的取值范围为]2,(π-∞.4.（2016·大纲版全国卷高考文科·Ｔ21）已知函数ax x x x f ++=2331)(. （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，若过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线)(x f y =上，求a 的值.【解题指南】（Ⅰ）对函数ax x x x f ++=2331)(求导之后进行讨论；（Ⅱ）中的求解，抓住)(x f 有两个极值点1x ，2x 及过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线)(x f y =上这个关键的条件，确定)(1x f 及)(2x f 与a 之间的关系. 【解析】（Ⅰ）由函数ax x x x f ++=2331)(，1)1(2)(22-++=++='a x a x x x f ， (ⅰ)当1≥a 时，0)(≥'x f ，当且仅当1=a ，1-=x 时，0)(='x f ，所以)(x f 在R 上是增函数.(ⅱ)当1<a 时，令0)(='x f ，即01)1(2=-++a x ， 解得a x ---=111，2x 1=-当∈x )11,(a ----∞时，0)(>'x f ，)(x f 是增函数；当∈x ,11(a --- )11a -+-时，0)(<'x f ，)(x f 是减函数； 当∈x ),11(+∞-+-a 时，0)(>'x f ，)(x f 是增函数.（Ⅱ）由题设知，1x ，2x 是方程0)(='x f 的两个根，故有1<a ，a x x --=1212，a x x --=2222. 12131131)(ax x x x f ++= =12111)2(31ax x a x x ++-- 1213231ax x +=。
2018高考一轮江苏数学文练习第4章 第18课 利用导数研究函数的极值、最值 含答案 精品
第18课利用导数研究函数的极值、最值[最新考纲]1．函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫作函数的极小值点，f(a)叫作函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫作函数的极大值点，f(b)叫作函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的极大值一定比极小值大．( )(2)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件．( )(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( ) (4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图18-1所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极小值点的个数为________．图18-11 [导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点中，左侧图象在x 轴下方，右侧图象在x 轴上方的只有一个，所以f (x )在区间(a ，b )内有一个极小值点．]3．(2016·四川高考改编)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝________.2 [由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，∴当x <－2或x >2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.]4．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________． 8 [y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0， 得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827，f (2)＝8，∴最大值为8.]5．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．[－4，－2] [由题意－2≤－m－2≤－1，解得－4≤m ≤－2.]☞角度1根据函数图象判断极值设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图18-2所示，则下列结论中一定成立的是________．(填序号)①函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；②函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)；③函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)；④函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)．图18-2④[由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]☞角度2求函数的极值求函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)的极值. 【导学号：62172099】[解]由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x＞0知：(1)当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；(2)当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．☞角度3已知极值求参数(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.(2)已知函数f (x )＝23x 3＋x 2＋ax ＋1在(－1,0)上有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．(1)－7 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [(1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎨⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7.(2)∵f ′(x )＝2x 2＋2x ＋a ，由题意可知方程2x 2＋2x ＋a ＝0在(－1,0)上有两个不等实根，设g (x )＝2x 2＋2x ＋a ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝a >0，g (0)＝a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12＋(－1)＋a <0，解得0<a <12.][规律方法] 1.求函数f (x )极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．2．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数.(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．[解](1)由f(x)＝(x－k)e x，得f′(x)＝(x－k＋1)e x，令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的变化情况如下：∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1＜k＜2时，f(x)min＝－e k－1；当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.[规律方法]求函数f(x)在[a，b]上的最大值、最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值．[变式训练1]若函数f(x)＝ax＋ln x－1，求f(x)在区间(0，e]上的最小值．[解]因为f(x)＝ax＋ln x－1，所以f′(x)＝－ax2＋1x＝x－ax2.令f′(x)＝0，得x＝a.①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值．②若0<a <e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减，当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增，所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值ln a .③若a ≥e ，则当x ∈(0，e]时，f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减， 所以当x ＝e 时，函数f (x )取得最小值a e .综上可知，当a ≤0时，函数f (x )在区间(0，e]上无最小值； 当0<a <e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ln a ； 当a ≥e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ae.l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c ，的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值. 【导学号：62172100】 [解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 由x ＝1时，切线l 的斜率为3， 可得2a ＋b ＝0，① 当x ＝23时，y ＝f (x )有极值， 则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0，② 由①②，解得a ＝2，b ＝－4. 由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4. 所以1＋a ＋b ＋c ＝4，得c ＝5. (2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝23.当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为95 27.[规律方法]求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．[变式训练2]已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．－13[对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.][思想与方法]1．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．2．求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可．3．如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．4．若函数f(x)在定义域A上存在最大值与最小值，则：(1)对任意x∈A，f(x)＞0⇔f(x)min＞0；(2)存在x∈A，f(x)＞0⇔f(x)max＞0.[易错与防范]1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．课时分层训练(十八)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．当函数y＝x·2x取极小值时，x等于________．－1ln 2[令y′＝2x＋x·2x ln 2＝0，∴x＝－1 ln 2.经验证，－1ln 2为函数y＝x·2x的极小值点．]2．函数y＝ln x－x在x∈(0，e]上的最大值为________．－1[函数y＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)．又y′＝1x－1＝1－xx，令y′＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，y′＞0，函数单调递增；当x∈(1，e]时，y′＜0，函数单调递减．当x＝1时，函数取得最大值－1.]3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是________．(－∞，－3)∪(6，＋∞)[∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，即a2－3a－18＞0，∴a＞6或a＜－3.]4．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是________．(填序号)【导学号：62172101】①②③④图18-3④ [因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0.选项④中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.]5．函数f (x )＝13x 3＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________．－173 [f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0得x ＝1(x ＝－3舍去)，又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)＝－173.]6．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－1) [∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1.]7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)＝________.【导学号：62172102】18 [∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，且f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，即⎩⎨⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11.而当⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16. ∴f (2)＝18.]8．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是________．(－1,1) [∵f ′(x )＝3x 2－3a ，由f ′(x )＝0得x ＝±a . 由f ′(x )>0得x >a 或x <－a ； 由f ′(x )<0得－a <x <a .∴x ＝－a 是极大值点，x ＝a 为极小值点． ∴⎩⎨⎧ f (a )＝2，f (－a )＝6.即⎩⎨⎧a a －3a a ＋b ＝2，－a a ＋3a a ＋b ＝6. 解得a ＝1，b ＝4，∴f ′(x )＝3x 2－3. 由f ′(x )<0得3x 2－3<0，即－1<x <1. ∴f (x )的递减区间为(－1,1)．]9．(2017·南京模拟)若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是________．[－3,0) [∵f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (2＋x )， 由f (x )>0得x <－2或x >0， 由f ′(x )<0得0<x <2.∴要使f (x )在(a ，a ＋5)上存在最小值，则 ⎩⎨⎧a <0<a ＋5，f (a )≥f (0)， 即⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <0，13a 3＋a 2≥0. 解得－3≤a <0.]10．(2017·南通模拟)函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是________. 【导学号：62172103】20 [因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.]二、解答题11．已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值． [解] (1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ， 故f ′(x )＝3ax 2＋b .由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16， 故有⎩⎨⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎨⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ， f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0， 故f (x )在(－2,2)上为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(2，＋∞)上为增函数． 由此可知f (x )在x ＝－2处取得极大值， f (－2)＝16＋c ，f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝c －16. 由题设条件知16＋c ＝28，解得c ＝12. 此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3， f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4. 12．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值. 【导学号：62172104】[解] (1)f ′(x )＝1x －a (x >0)．①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． ②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ， 当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0； 当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0， 故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.(2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ； 当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象与x 轴相切于一点A (m,0)(m ≠0)，且f (x )的极大值为12，则m 的值为________．32[由题意可得f (m )＝m 3＋am 2＋bm ＝0，m ≠0，则m 2＋am ＋b ＝0 ①，且f ′(m )＝3m 2＋2am ＋b ＝0 ②，由①②解得⎩⎨⎧a ＝－2m ，b ＝m 2，∴f ′(x )＝(3x －m )(x －m )，m >0时，令f ′(x )>0，解得x >m 或x <m 3，令f ′(x )<0，解得m3<x <m ，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，m 3递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 递减，在(m ，＋∞)递增，∴f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3＝12，解得m ＝32，m <0时，令f ′(x )>0得x <m 或x >m 3，令f ′(x )<0得m3>x >m ，∴f (x )在(－∞，m )⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，＋∞递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 3递减，∴f (x )极大值＝f (m )＝12，而f (m )＝0，不成立．综上，m ＝32.]2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0，则f (x )的最大值为________．2 [当x ＞0时，f (x )＝－2x ＜0；当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x ＜－1时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数，当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数，∴f (x )≤f (－1)＝2，∴f (x )的最大值为2.]3．设函数f (x )＝(x －1)e x－kx 2，当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M .[解] 因为f (x )＝(x －1)e x －kx 2， 所以f ′(x )＝x e x －2kx ＝x (e x －2k )， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝ln 2k ，因为k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以2k ∈(1,2]，所以0＜ln 2k ≤ln 2.设g (k )＝k －ln 2k ，k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，g ′(k )＝1－1k ＝k －1k ≤0，所以g (k )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上是减函数，所以g (k )≥g (1)＝1－ln 2＞0，即0＜ln 2k ＜k . 所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：f (0)＝－1，f (k )＝(k －1)e k －k 3，f (k )－f (0)＝(k －1)e k －k 3＋1＝(k －1)e k －(k 3－1) ＝(k －1)e k －(k －1)(k 2＋k ＋1) ＝(k －1)[e k －(k 2＋k ＋1)]． 因为k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以k －1≤0.令h (k )＝e k －(k 2＋k ＋1)，则h ′(k )＝e k －(2k ＋1)．对任意的k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，y ＝e k 的图象恒在y ＝2k ＋1的图象的下方，所以e k －(2k＋1)＜0，即h ′(k )＜0，所以函数h (k )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上为减函数，故h (1)≤h (k )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋12＋1＝e －74＜0，所以f (k )－f (0)≥0，即f (k )≥f (0)．所以函数f (x )在[0，k ]上的最大值M ＝f (k )＝(k －1)e k －k 3. 4．设a ＞0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )．(1)求曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处与直线y ＝－x ＋1垂直的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．[解] (1)由已知，得x ＞0，f ′(x )＝x －(a ＋1)＋ax ， y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为1， 所以f ′(2)＝1，即2－(a＋1)＋a2＝1，所以a＝0，此时f(2)＝2－2＝0，故所求的切线方程为y＝x－2.(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋a x＝x2－(a＋1)x＋ax＝(x－1)(x－a)x.a．当0＜a＜1时，若x∈(0，a)，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；若x∈(a,1)，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；若x∈(1，＋∞)，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a)＝－12a2＋a ln a，极小值是f(1)＝－12.b．当a＝1时，f′(x)＝(x－1)2x≥0，所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)内单调递增，此时f(x)没有极值点，故无极值．c．当a＞1时，若x∈(0,1)，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；若x∈(1，a)，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；若x∈(a，＋∞)，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(1)＝－12，极小值是f(a)＝－12a2＋a ln a.综上，当0＜a＜1时，f(x)的极大值是－12a2＋a ln a，极小值是－12；当a＝1时，f(x)没有极值；当a＞1时，f(x)的极大值是－12，极小值是－12a2＋a ln a.。
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考点10 利用导数研究函数的单调性、极值、
最值
一、选择题
1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f(x)=x-13
sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是 ( )
A.[-1,1]
B.11,3⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦ C.11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.11,3⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦ 【解析】选C.方法一:用特殊值法:
取a=-1,f(x)=x-13
sin2x-sinx, f'(x)=1-23cos2x-cosx,
但f'(0)=1-23-1=-23<0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A,B,D.
方法二:f'(x)=1-23cos2x+acosx ≥0对x ∈R 恒成立,
故1-23 (2cos 2x-1)+acosx ≥0,
即acosx-43cos 2x+53≥0恒成立,
令t=cosx,所以-43t 2+at+53≥0对t ∈[-1,1]恒成立,
构造函数f(t)=- 43 t 2+at+53, 开口向下的二次函数f(t)的最小值的可能值为端点值,
故只需()()1f 1a 0,31f 1a 0,3
⎧-=-≥⎪⎪⎨⎪=+≥⎪⎩
解得-13≤a ≤13.
2.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f(x)=lnx,0x 1,
lnx,x 1,⎧-<<⎨>⎩图象上点
P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A,B,则△PAB 的面积的取值范围是 ( )
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(0,+∞)
D.(1,+∞)
【解题指南】设出两切点的坐标,两切线方程,从而求出点P 的坐标,表示出三角形的面积,进而求出取值范围.
【解析】选A.由题设知:不妨设P 1,P 2点的坐标分别为:
P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),其中0<x 1<1<x 2,则由于l 1,l 2分别是点P 1,P 2处的切线,而 f'(x)=1,0x 1,x 1,x 1,x
⎧-<<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩得l 1的斜率k 1为-11 x ,l 2的斜率k 2为21x ;又l 1与l 2垂直,且0<x 1<x 2,可得:k 1·k 2=-11 x ·
21x =-1⇒x 1·x 2=1,我们写出l 1与l 2的方程分别为:l 1:y=-11 x (x-x 1)-lnx 1…①,l 2:y=2
1x (x-x 2)+lnx 2…②,此时点A 的坐标为(0,1-lnx 1),点B 的坐标为(0,-1+lnx 2),由此可得:|AB|=2-lnx 1-lnx 2=2-ln(x 1·x 2)=2,①,②两式联立可解得交点P 的横坐标为x=
1212122lnx x 2=x x x x -++,△PAB 的面积为:S △PAB =12|AB|·|P x |=12×2×122x x +=1121x x +≤1,当且仅当x 1=1
1 x 即x 1=1时等号成立,而0<x 1<1,所以S △PAB <1. 3.(2016·四川高考文科·T6)已知a 为函数f(x)=x 3-12x 的极小值点,则a= ( )
A.-4
B.-2
C.4
D.2
【解题指南】求出f'(x),解出方程f'(x)=0的根,再根据不等式f'(x)>0,f'(x)<0的解集得出函数的极值点.
【解析】选D. f'(x)=3x 2-12=3()()x 2x 2-+,令f'(x)=0,得x=-2或x=2,易知f(x)在()2,2-上单调递减,在()2,∞+上单调递增,故f(x)的极小值为f ()2,所以a=2. 二、解答题
4.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T21)已知函数f(x)=(x-2)e x +a(x-1)2有两个零点.
(1)求a 的取值范围.
(2)设x 1,x 2是f(x)的两个零点,证明:x 1+x 2<2.
【解析】(1)f'(x)=(x-1)e x +2a(x-1)=(x-1)(e x +2a).
①设a=0,则f(x)=(x-2)e x ,f(x)只有一个零点;
②设a>0,则当x ∈(-∞,1)时,f'(x)<0;
当x ∈(1,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
又f(1)=-e,f(2)=a,取b 满足b<0且b<ln a 2,
则f(b)>a 2 (b-2)+a(b-1)2=a 23b b 2⎛⎫- ⎪⎝⎭
>0, 故f(x)存在两个零点;
③设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).
若a ≥-e 2
,则ln(-2a)≤1,故当x ∈(1,+∞)时,
f'(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)内单调递增.
又当x ≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.
若a<-e 2,则ln(-2a)>1,故当x ∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0;
当x ∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0.
因此f(x)在(1,ln(-2a))内单调递减,在(ln(-2a),+∞)内单调递增, 又当x ≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点,
综上,a 的取值范围为(0,+∞).
(2)不妨设x 1<x 2,由(1)知,x 1∈(-∞,1),x 2∈(1,+∞),2-x 2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)内单调递减, 所以x 1+x 2<2等价于f(x 1)>f(2-x 2),即f(2-x 2)<0,
由于f(2-x 2)=-x 22
2x e -+a(x 2-1)2, 而f(x 2)=(x 2-2)2
x e +a(x 2-1)2=0, 所以f(2-x 2)=-x 222x e --(x 2-2)2
x e , 设g(x)=-x 2-x e -(x-2)e x ,
则g'(x)=(x-1)( 2x e - -e x ).
所以当x>1时,g'(x)<0,而g(1)=0,
故当x>1时,g(x)<0.
从而g(x 2)=f(2-x 2)<0,故x 1+x 2<2.
5.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T21)(本小题满分12分)
设函数f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1),其中a>0,记|f(x)|的最大值为A.
(1)求f'(x).
(2)求A.
(3)证明|f'(x)|≤2A.
【解析】(1)f'(x)=-2asin2x-(a-1)sinx.
(2)当a ≥1时,()()()()() cos 21cosx 11232,||0f a x a a a a f x =+-+≤+-⨯=-= 当0<a<1时,()()()()2cos 21cosx 12cos a 1cos 1,f x a x a a x x =+-+=+--
令cosx=t ∈1,1⎡⎤-⎣⎦,则f(x)=g(t)=2at 2+()a 1-t-1,其对称轴为t=1a
4a -, 当t=1a 4a -∈()1,1-时,解得a<-()1舍去3或a>15
, 所以当1
5<a<1时,因为g(1)=a,g(1)=3a-2,
则g(-1)-g(1)=2-2a>0,。