初高中数学衔接课程教案18-子集与推出关系

初高中数学衔接课程教案18 子集与推出关系
一、知识点梳理 1、子集与推出关系：
设{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质，则A B ⊆与αβ⇒等价． 2、子集与推出关系的各种表述形式：
已知集合{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质 （1）若A B ⊆，则α是β的充分条件； （2）若A B ⊂，则α是β的充分非必要条件； （3）若A B ⊇，则α是β的必要条件； （4）若A B ⊃，则α是β的必要非充分条件； （4）若A B =，则α是β的充要条件．
3、推出关系具有传递性：若αβ⇒，βγ⇒，则αγ⇒，若αβ⇒，βα⇒，则αβ⇔，称α与β等价．
设{}|A a a α=具有性质，{}
|B b b β=具有性质，则集合A 、B 之间的关系与α、β之间的关系，可用下表表示：
二、典型例题
例1、试用子集与推出关系判断α是β（甲是乙）的什么条件： （1）α：2>x ；β：2≥x （2）α：2
1x =；β：1x =
（3）甲：220x y +=，乙：0,0x y ==
（4）设{2},{6}A x x B x x =>=<，甲：x A x B ∈∈或，乙：x A B ∈⋂ 解：(1)设{}2>=x x A ，{}
2≥=x x B ， ∵ A ⊂B ，∴ α是β的充分非必要条件．
(2) 设{}12
==x x A ，{}
1==x x B ，
∵{}1,1-=A ，{}1=B ，A ⊃B ，∴ α是β的必要非充分条件． （3）甲是乙的充分必要条件 （4）甲是乙的必要不充分条件
例2、利用子集与推出关系的等价性，写出下列语句的相关条件． 写出31x -<<的充分条件 写出31x -<<的必要条件 写出31x -<<的充要条件 解：答案不唯一
例3、判断集合{}
*
,5N k k n n A ∈==，{}
5,n Z B n n =∈的个位数是之间的关系．
解：设*
,5:N k k n ∈=α，: 5 n β是个位数是的整数，
αβ⇒ ，∴B A ⊂．
例4、设集合{03},{02}M x x N x x =<≤=<≤，那么“a M ∈”是“a N ∈”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：B
例5、“22x -<<”是“2
60x x --<”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：A
例6、设:13,:124,x m x m m R αβ≤≤+≤≤+∈，α是β的充分条件，求m 的范围． 解：设{}|13A x x =≤≤，{}|124B x m x m =+≤≤+ 因为α是β的充分条件，即αβ⇒，所以A B ⊆
由右图可得11324
m m +≤⎧⎨
≤+⎩，解得1
02m -≤≤
所以m 的取值范围是1
02
m -≤≤．
例7、设:23,:11,x x m x m m R αβ≤<≤->+∈或，α是β的充分条件，求m 的范围． 解：设{}|23A x x =≤<，{}|11,B x x m x m m R =≤->+∈或
α是β的充分条件，即αβ⇒，A B ∴⊆
画数轴分析可得13m -≥或12m +<，解得4m ≥或1m < 所以m 的取值范围是4m ≥或1m <．
11324m m x ++
例8、若命题α是命题β的充要条件，命题β是命题γ的必要非充分条件，则命题γ是命题α的______条件．
解：设命题α对应的集合为A ，命题β对应的集合为B ，命题γ对应的集合为C
α是β的充要条件，A B ∴=
又β是γ的必要非充分条件，C B ∴⊆
C A ∴⊆，γα⇒，所以γ是α的充分非必要条件．
例9、设A 、B 、C 三个集合，A B 是A
(B ∪C)的（）
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：A
分析可以结合图形分析．请同学们自己画图．
∴A
(B ∪C)．
但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时， 显然A
(B ∪C)，但A
B 不成立，
综上所述：“A B”“A (B ∪C)”，而
“A (B ∪C)”“A
B”．
即“A B”是“A
(B ∪C)”的充分条件(不必要)．
A=B
C
三、巩固练习
1．若非空集合M N ⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈⋂”的条件． 答案：必要非充分
2．一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：A
3．如果,,a b c 都是实数，那么p ：0ac <，是q ：关于x 的方程2
0ax bx c ++=有一个正
根和一个负根的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：C
4．p 是q 的充要条件的是：（）
A ．p ：1a >，q ：二元一次方程组1
1x y ax y +=⎧⎨
+=⎩
有唯一解
B ．p ：两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形
C ．p ：325x +>，q ：325x --<-
D ．p ：两个三角形相似，q ：两个三角形面积之比等于对应的高之比 答案：C
5．若A 是B 成立的充分条件，D 是C 成立的必要条件，C 是B 成立的充要条件，则D 是A 成立的（）
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：B
6．命题“2
2530x x --<”的一个必要不充分条件是（ ）
Ａ．1
32
x -<< Ｂ．142x -
<< Ｃ．1
32
x -<< Ｄ．12x -<< 答案：B
7．（1）“()2
00ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________；
（2）“ABC A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________． 答案：（1）必要不充分条件，（2）充分不必要条件
8．已知A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，A ⌝是E 的充分条件，D 是C 是必要条件，则D 是E ⌝的_____________条件． 答案：必要不充分条件
9．判断下列集合A 与B 的关系．
(1) A ＝{x | x 是12的约数}，B ＝{x | x 是36的约数}； (2) A ＝{x | x ＞3}，B ＝{x | x ＞5}；
(3) A ＝{x | x 是矩形}，B ＝{x | x 是有一个角为直角的平行四边形}． 解：(1) 因为x 是12的约数⇒x 是36的约数，所以A ⊆B ． (2) 因为x ＞5 ⇒x ＞3，所以B ⊆A ．
(3) 因为x 是矩形⇔x 是有一个角为直角的平行四边形，所以A ⇔B ．
10．已知A ＝{x | x 是等腰三角形}，B ＝{x | p (x )}，试确定一个集合B ，使A ⊆B ． 解：因为A ⊆B ，则x 是等腰三角形⇒x 具有性质p (x )， p (x )：x 是三角形，所以 B ＝{x | x 是三角形}．
11．试用子集与推出的关系来说明α是β的什么条件． （1）:1x α=且2y =；:3x y β+= （2）:0a b α+>；:0,0a b β>> （3）:0xy α>；:x y x y β+=+
解：（1）充分非必要条件；（2）必要非充分条件；（3）充分非必要条件
12．设:14x α≤<，:x m β<，α是β的充分条件，求实数m 的取值范围． 解：4m ≥
13．设α，β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a ＞2且b ＞1是两根α，β均大于1的什么条件？
解： ∴q
p ．
（2）举反例，取1
4,2
αβ==
上述讨论可知：a ＞2，b ＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分条件．
(1)1a 2b 1由α＞β＞得＝α＋β＞，＝αβ＞，1
⎧⎨⎩。