应用题——利用线段图解决及倍差倍问题
《运用线段图解决和差倍问题》教学设计
《运用线段图解决和差倍问题》教学设计广州市天河区华景小学尤学武范美容林慕燕马伟豪教学内容：运用线段图解决和差倍问题教材分析：和差倍应用题是中年级数学课本后面的思考题，安排得比较分散，如果按教材出现一题讲解一题，就题说题的话，学生只会被动接受，缺乏自主探究的过程，感悟不了“和差倍”这种典型问题的结构特点，掌握不了这类问题的解题方法，我们认为采用适当归类、集中教学的方式组织学生学习，将会起到事半功倍的作用。
因此，本节课在学生已有的对两数倍数关系的理解基础上，把小学中年级关于“和差倍”问题的思考题归类教学，掌握“和差倍”问题的解题方法，并让学生学会用画线段图的方法帮助自己理解数量关系，为学生在高年段学习应用题打下方法基础。
学情分析：和差倍问题思考题的文字叙述比较抽象，数量关系比较复杂，中年级小学生的思维又处于具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，对于一些抽象问题理解起来困难较大。
如果教师一味的从字面去分析题意，用语言来表述数量关系，虽然老师讲的口干舌燥，学生却难以理解掌握，事倍功半。
即使是学生理解了，也只是局限于会做某个题目而已。
线段图在小学数学应用题教学特别是和差倍问题中起到了奇妙的作用，它可以帮助学生轻松、愉快的学会分析和解答复杂关系的和差倍应用题，既培养了学生的能力，又促进了学生思维的发展，所以运用线段图解决和差倍问题是行之有效的教学方法。
教学目标：1、掌握简单的和倍、差倍、和差应用题的解题方法并能正确解答。
2、学会借助线段图理解和差倍应用题的数量关系，掌握画线段图的分析数量关系的方法。
3、通过数与形有机地结合，让学生经历从抽象的文字到直观的再创造，能调动学生思维的积极性，提高他们分析和解决问题的能力。
教学重点：借助线段图理解和倍、差倍、和差应用题的结构特点和数量关系，并能正确解答。
教学难点：理解和倍、差倍、和差应用题的数量关系。
教学过程：一、复习铺垫，情景引入1、情景导入：为了迎接亚运会的到来，园林工人叔叔要用黄菊花和白菊花装饰一个花圃，在装饰的过程中，他们遇到了一些数学问题，你们能帮帮他们吗？（设计意图：结合亚运的元素，对学生进行爱我广州的教育，提高学生的学习兴趣，体现数学的应用价值。
小学奥数及倍、差倍、及差问题经典例题和练习试题
和倍问题专题简析：已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通常叫做和倍问题。
要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确列式解答。
解答和倍应用题，关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先求出1倍数，再求出几倍数。
数量关系可以这样表示：两数和÷（倍数＋1）=小数（1倍数） 小数×倍数=大数（几倍数） 两数和－小数=大数例题1 学校将360本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的2倍，问二、三两个年级各分得多少本图书？思路导航：将二年级所得图书的本数看作1倍数，则三年级所得本数是这样的2倍。
如图所示：共360本？本？本1倍数三年级二年级由图可知，二、三年级所得图书本数的和360本相当于二年级的（1＋2）倍，则二年级所得图书本数的360÷（1＋2）=120本，三年级为120×2=240本。
练 习 一1，小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是小明的3倍。
小红和小明各有压岁钱多少元？2，学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2倍还多60本。
二、三年级各得图书多少本？3，甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶油是乙桶的5倍？例题2 小宁有圆珠笔芯30枝，小青有圆珠笔芯15枝，问小青给小宁多少枝后，小宁的圆珠笔芯枝数是小青的8倍？思路导航：我们把变化后小青的圆珠笔芯枝数看作1倍数，那么小宁与小青圆珠笔芯的枝数和相当于变化后小青枝数的9倍，所以变化后小青的枝数为（30＋15）÷（1＋8）=5枝，再用15－5=10枝，则表示小青给小宁的枝数。
练习二1，红红有邮票80张，佳佳有邮票60张，要使红红的邮票张数是佳佳的4倍，那么佳佳必须给红红多少张邮票？2，甲水池有水69吨，乙水池有水36吨，如果甲水池中的水以每分钟2吨的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的2倍？3，甲书架有图书18本，乙书架有图书8本，班图书管理员又买来图书16本，怎样分配才能使甲书架图书的本数是乙书架的2倍？例题3 被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数各是多少？思路导航：由商是7可知，被除数是除数的7倍，把除数看作1份数，被除数就有这样的7份，一共7＋1=8份。
小学应用题和倍差倍问题练习详细讲解
⼩学应⽤题和倍差倍问题练习详细讲解⼩学应⽤题和倍差倍问题和倍问题是已知两个数的和与两个数间的倍数关系,求这两个数分别是多少的应⽤题。
要想顺利地解答和倍应⽤题,最好的⽅法就是根据题意,画出线段图,使数量关系⼀⽬了然,从⽽正确列式解答。
解答和倍问题,关键是找出两数的和以及与其对应的倍数和,从⽽先求出1倍数,再求出⼏倍数,数量关系是:两数和÷(倍数+1)=⼩数(1倍数)⼩数×倍数=⼤数(⼏倍数)两数和⼀⼩数=⼤数已知两个数量的差,与这两个数量之间的倍数关系,求这两个数量各是多少的应⽤题叫差倍问题解答差倍问题与解答和倍问题常⽤的分析⽅法类似,都是要在已知的条件中确定⼀个数为标准数(即1倍数),再根据其他的数与这个较⼩数(1倍数)的倍数关系,确定两数的差相当于这样的多少倍(份)即⼏倍数,就可以求出1倍数(较⼩数),再算出其他各数。
因此,我们仍然可以根据已知条件和问题画线段图使数量关系⼀⽇了然,差倍问题的数量关系式是:两数差÷(倍数-1)=⼩数(1倍数)⼩数×倍数=⼤数(⼏倍数)或较⼩数+差=较⼤数。
例题精讲例1有两个仓库共存货物360吨,已知甲仓库所存货物是⼄仓库的2倍,甲、⼄两个仓库各存货物多少吨分析:根据题中“甲仓库所存货物是⼄仓库的2倍”这⼀条件,确定⼄仓库所存货物量为标准数(即1倍数),那么甲仓库所存货物就是2倍数,甲、⼄两仓库的倍数和就是(2+1);正好是两仓库所存货物总数即360吨,就可求出1倍数的存货量,⽤线段图表⽰为解:(1)甲、⼄两个仓库共存货物是⼄仓库的多少倍2+1=32)⼄仓库存货物多少吨360÷3=120(吨)(3)甲仓库存货物多少吨120×2=240(吨)或36 240(吨)综合算式：甲仓库:360÷(2+1)×2=240(吨)或360-360÷(2+1)=240(吨)⼄仓库:360÷(2+1)=120(吨答:甲仓库存货物240吨,⼄仓库存货物120吨。
和倍差倍问题
和倍问题“和倍问题”是利用大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数各是多少的应用题。
能够根据画线段图的办法，找到解题的途径，和倍问题的解答要点是：和÷（倍数＋1）＝小数1.今年爸爸年龄是儿子的4倍，10年后父子年龄和是65岁，那么爸爸今年多少岁？2.张军有12张邮票，王明有72张邮票，要使王明的邮票是张军的3倍，王明应该给张军多少张？3..水果店批来苹果，桔子，香蕉三种水果共420千克，苹果质量是香蕉的4倍，桔子质量是香蕉的2倍，三种水果各多少千克？4.睿源外语学校共有老师120，女老师人数是男老师人数的2倍，问男、女老师各有多少名？5.被除数与除数的和是140，商是6，被除数、除数各是多少？6.大熊猫的年龄是小熊猫的3倍，再过4年，大熊猫的年龄与小熊猫年龄的和是28岁，问大、小熊猫现在各是几岁？7.张磊的书架上层有书26本，下层有书19本，从下层拿几本到上层后，上层的书是下层的2倍？8.有两堆棋子，第一堆有53个，第二堆有83个，那么从第一堆拿多少个到第二堆，能使第二堆的棋子刚好是第一堆的3倍？9.三个水桶中共有160千克，第一桶的水的质量是第二桶的4倍，第三桶的水的质量是第二桶的3倍，那么第三桶水多少千克？10.学校体育室有篮球和排球共48个，篮球个数是排球的3倍，那么篮球、排球各有多少个？11.两个数的和是2005，大数除以小数的商是4，则两数相差多少？12.一家三口，母亲年龄是女儿的6倍，母亲和父亲同岁。
4年后，三个人的年龄之和是90岁，问三人现在个为多少岁？13.运动会场四周有红，黄，绿三种颜色的旗共168面，红旗的面数是绿旗的3倍，黄旗面数是绿旗的4倍，红旗有多少面？差倍问题解决差倍问题应用题的基本数量关系：差÷（倍数－1）＝小数（一倍数）小数×倍数＝大数（几倍数）小数＋差＝大数1.小磊今年7岁，妈妈今年31岁，问再过多少年，妈妈的年龄刚好是小磊的年龄的32.有大小两个书架，大书架上的书是小书架上的4倍，如果从大书架上取出150本放到小书架上，这时，两书架上的书的本数相等。
小学奥数趣味学习《差倍问题》典型例题及解答
小学奥数趣味学习《差倍问题》典型例题及解答已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
数量关系：两个数的差÷（几倍－1）=较小的数较小的数×几倍=较大的数解题思路和方法：简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例题1：莉莉的科技书比故事书多16本，科技书是故事书3倍，莉莉有科技书（）本。
A、8B、12C、16D、24解：1、解决差倍问题，可以画线段图解决，也可以直接套用公式解决。
2、把故事书的本数看作1倍数，科技书的本数就是3倍数，科技书比故事书多16本，所以根据差倍公式两个数的差÷（几倍－1）=较小的数，可以求出故事书有16÷2=8本。
3、根据差倍公式较小的数×几倍=较大的数，可以求出科技书有8×3=24本。
例题2：甲桶油是乙桶油4倍，如果从甲桶倒出15千克给乙桶，两桶油的重量就相等了，则原来甲桶有油 ____ 千克，乙桶有油 ____ 千克。
解：1、根据题意，从甲桶倒出15千克给乙桶，两桶油的重量就相等了，说明原来甲桶油比乙桶油多15×2=30（千克）。
2、根据差倍公式两个数的差÷（几倍-1）=较小的数，可以求出乙桶有油30÷（4-1）=10（千克）。
3、根据差倍公式较小的数×几倍=较大的数，可以求出甲桶原有油10×4=40（千克）。
例题3：每件成品需要5个甲零件，2个乙零件。
开始时，甲零件的数量是乙零件数量的2倍，加工了30个成品之后甲零件和乙零件的数量一样多，那么还可以加工 _____ 个成品。
解：1、加工一个成品，甲零件比乙零件多用5-2=3（个），加工30个成品，甲零件比乙零件多用3×30=90（个）。
根据“加工了30个成品之后甲零件和乙零件的数量一样多”说明原来甲零件比乙零件多90个。
2、把乙原来的零件数看成1倍，甲就是这样的2倍，甲比乙多1倍，对应90个，求出乙原来有90÷（2-1）=90（个）3、那么甲原来有90×2=180（个）零件。
应用题——利用线段图解决及倍差倍问题
应用题——利用线段图解决及倍差倍问题线段图是一种常见的数据可视化工具，可以用来解决各种计量问题。
在实际应用中，我们经常会遇到一种问题，即如何利用线段图解决及倍差倍问题。
通过分析线段图上的长度关系，我们可以得到满足题目要求的解答。
本文将详细介绍如何应用线段图解决及倍差倍问题。
一、线段图的基本概念在开始介绍如何应用线段图解决及倍差倍问题之前，我们先来了解一下线段图的基本概念。
线段图由多个线段组成，每个线段表示一个数值。
线段的长度代表相应数值的大小。
线段图可以用来展示不同类别或不同变量之间的比较关系，使数据更加直观和易于理解。
二、及倍差倍问题的定义及倍差倍问题是一类常见的数学问题，通常涉及到人口增长、物体搬运等领域。
具体而言，及倍差倍问题要求我们在已知某个数值的前提下，求解相对于该数值的倍数增长或倍数减少的另一个数值。
三、利用线段图解决及倍差倍问题的步骤下面我们将具体介绍如何利用线段图解决及倍差倍问题的步骤，以帮助读者更好地理解和应用。
1. 收集已知信息并绘制线段图首先，我们需要收集已知信息，并按照线段的长度进行绘制。
根据题目要求，确定线段的长度代表的数值，并在坐标轴上进行标注。
2. 分析线段长度接下来，我们要分析线段的长度之间的关系。
根据题目要求，判断哪些线段表示及倍差倍关系。
通常，及倍差倍关系的线段长度之间会存在一定的比例关系。
3. 计算未知数值在分析线段长度之间的关系后，我们可以利用已知数值推导出未知数值。
根据线段的比例关系，进行简单的数学计算，求解未知数值。
4. 检验答案最后，我们应该检验所得的答案是否满足题目要求。
将求得的未知数值代入题目中进行验证，确保结果的准确性。
四、应用实例为了更好地理解如何应用线段图解决及倍差倍问题，我们来看一个具体的实例。
假设某城市人口在2000年为500万，按照每年人口增长20%，我们需要求解该城市在2020年的人口。
首先，我们根据已知信息绘制线段图。
将2000年的人口表示为一条线段，长度为500万。
小学奥数和差和倍差倍问题
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30
为美化校园，学校 买来松树、柏树和樟树共250 棵，松树的棵树比柏树的2倍多3棵，樟树比柏树 少5棵。求学校买回松树、柏树、樟树各多少棵？
•列式如下： • 柏树：（250+5-3）÷（1+1+2）=63（棵） • 松树：63×2+3=129（棵） • 樟树：63-5=58（棵）
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31
练一练 • 1，三筐苹果共130个，第二筐苹果的个数是第一筐
的3倍，第三筐苹果的个数比第一筐的6倍多10个。 问三筐苹果各是多少个？
• 2，少先队一、二、三中队共植树165棵，二中队植 树的棵树比一中队的2倍多5棵，三中队植树的棵树 比一中队的3倍少20棵。三个中队各植树多少棵？
.
32
• 被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除 数各是多少？
？
•
除数
被除数
解：现在每层书数：270÷3=90本
第一层：90+20=110本
第二层：90-20=70本
第三层：90+17=107本
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16
和倍问题
方法教学： 让解题过程变得清晰可见。
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17
专题简析：
• 已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求 这两个数分别是多少，像这样的应用题，通 常叫做和倍问题。要想顺利地解答和倍应用 题，最好的方法就是根据题意，画出线段图， 使数量关系一目了然，从而正确列式解答。
.
21
练一练
• 1，小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是 小明的3倍。小红和小明、三年级，已知三年 级所得本数是二年级的2倍。二、三年级各得图书 多少本？
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22
例2：学校食堂里运来大米和面粉共1450千克，其 中大米比面粉重量的3倍少150千克，求运来大米 和面粉各多少千克？
解差倍问题的“金钥匙”——线段图
解差倍问题的“金钥匙”——线段图作者：李云霞来源：《数学小灵通·3-4年级》2015年第02期已知两个数的差与两个数的倍数关系，求两个数各是多少，这类问题就是差倍问题。
解答这类问题时，如果我们能画出线段图分析，就能迅速找到解题的“金钥匙”。
例1.有大小两个鱼缸，原有鱼数相等。
如果从小鱼缸里拿出5尾鱼放到大鱼缸里，大鱼缸里的鱼数是小鱼缸里鱼数的3倍，大、小鱼缸原来各有多少尾鱼？我是这样解的。
从“这时大鱼缸里的鱼数是小鱼缸里鱼数的3倍”，很容易求出大、小鱼缸里鱼数的倍数差为3-1=2倍，但是与2倍相对应的两缸鱼数的差是多少呢？我们画出线段图就能看得很清楚。
从线段图上可以清楚地看出：大小两个鱼缸，原有鱼数相等，如果从小鱼缸里拿出5尾鱼放到大鱼缸里，大鱼缸里的鱼数就比小鱼缸里的鱼数多了两个5尾，即多了5+5=10（尾），而这1 0尾鱼正好与“大、小鱼缸里鱼数的倍数差2倍”相对应，这样就可以求出1倍数是10÷2=5（尾），进而求出大、小鱼缸原来各有鱼5×2=10（尾）。
综合算式为：（5+5）÷（3-1）×2=10（尾）。
例2.男、女学生参加劳动，如果少去1名男生，男女生人数相等；如果少去1名女生，男生人数是女生人数的2倍，男、女学生各有多少人？我是这样解的。
这道题是数量关系比较复杂而隐蔽的差倍问题，我们可以画出线段图从中寻求解题思路。
从线段图上可以清楚地看出：如果少去1名男生，男女生人数相等，可见男生比女生多1人；少去1名女生，男生比女生多1+1=2（人）；与2人相对应的倍数差是2-1=1倍，这说明1倍数正好是2人，所以女生有2+1=3（人），男生有2+1+1=4（人）。
综合算式为：女生有（1 +1）÷（2-1）+1 =3（人），男生有3+1=4（人）。
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用线段图解决简单的和倍差倍问题
一、内容概括
本讲为三年级较易接受且重要思维训练内容，本讲通过线段图来掌握和差倍问题，线段图是小学阶段数学中重要内容.掌握线段图对小学数学的学习，和数学的理解有着十分重要的意义 .
二
、知识导航
1 .和倍问题，顾名思义就是两个数的和以及这两个数的
倍数关系，
求这两个数分别是多少的应用题，
它是常见的典型应用题之一.要想顺利地解答和倍问题，最好的方法就是根据题目中
所给的条件和问
题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确迅
速地列出算式.
小数：
大数：
数量关系式可以这样表示：
两数和÷〔倍数+1〕＝一倍量
两数和—小数
＝大数
2 .差倍问题就是两个数的差和它们的倍数关系，求这两
个数
.解答差倍问题的关键是找出
两个数的
差，以及与差相对应的倍数差，从而求出一倍数，再
求出其它的数
.解题时，我们一般也是先借助线
段图帮助自己分析题目的数量关系.
小数：
大数：
数量关系可以这样表示：
两数差÷〔倍数-1〕＝一倍量
两数差+小数＝大数
课前热身
1 .7的四倍
是〔
〕，48
是〔
〕的6倍，57是3
的〔〕倍.
2 .泡泡有91颗黑色的巧克力豆，是白色
巧克力豆的
7倍，问泡泡的白色巧克力豆有多少颗？
3. 二班有图书60本，一班的图书本书是二班的的3倍，求一班有图书多少本？
4. 哥哥种了72棵树，哥哥种的数是弟弟的3倍，问兄弟两人共种多少棵树？
三、例题精讲
根底局部
例题1. 小华和爷爷今年共72岁，爷爷的年纪是小华的8倍，问小华和爷爷各多少岁？
【练习1】
1. 泡泡和小新一共做了300道计算题，泡泡做的题目数量是小新的2倍，泡泡和小新各做了多少道计算题？
2. 一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米
例题2. 小白兔和小灰兔共有50个萝卜，小灰兔的比小白兔的2倍多2个，小白兔和小灰兔各有多少个
萝卜？
【练习2】新东方小学三年级共有328人，男生人数是女生人数的2倍还多7人，求男生和女生各有多
少人？
例题3. 小猴子聪聪和明明共有28个桃子，聪聪的桃子比明明的2倍少2个，聪聪和明明各有几个桃子？
【练习3】数学兴趣小组共有成员30人，其中女生比男生的2倍少3人，问男生女生各有多少人？
例题4. 李爷爷家养的鸭子比鸡多18只，鸭子的只数是鸡的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鸡各有多少
只吗？
【
练习
4】
本？
小新的课外书比迈
斯多30本，小新的课外书是迈
斯的
4倍.问小新和迈斯各有课外书多少
例题5. 新东方学校买来的白色粉笔比彩色粉笔多15箱，白色粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍少3箱.新东
方买来的白色粉笔和彩色粉笔各有多少箱？
【练习5】
妈妈的年龄比泡泡大
24岁，今年妈妈的年
龄比泡泡的
3
倍少
2岁，问妈妈和泡泡今年
各多
少岁？
例题6. 新东方学校买来的白色粉笔比彩色粉笔多15箱，白色粉笔的箱数比彩色粉笔的4倍还多3箱.新
东方买来的白色粉笔和彩色粉笔各有多少箱？
【练习6】
爸爸的年龄比小新大30岁，今年爸爸的年龄比
小新的
3倍还
多
2岁，问爸爸和小新今年各
多少岁？
四、拓展局部
例题7. 果园里有桃树、梨树、苹果树共392棵，桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求
桃树、梨树和苹果树各有多少棵？
作业填空题
1 )小红和妈妈的年龄加
在一起是
40岁,妈妈年龄是小
红年龄的
4倍,小红
有〔
〕岁,妈妈有
〔
〕
岁.
2 )生产队养公鸡、
母鸡共
4
04
只,其中公鸡是母鸡的3倍,公
鸡养了〔
〕只,母鸡养
了〔
〕
只.
3 )小明买大单和小
单线共
25本,其中大单线的本数比小单线
的本数的
2
倍多4
本,大单线的本
数有〔
本,小单线的
本数有〔〕本.
4 )师傅和徒弟共生
产零件
1
90
个,师傅生产的个数比徒
弟的3
倍
少10
个;师、徒各
生产〔〕个.
两个数的和是84，大数是小数的6倍，求这两个数
3. 甲乙两个生产队人收桔子1000千克，甲队收的是乙队的3倍，甲、乙两队各收了桔子多少千克？
4. 大村有两个粮仓共存粮食300吨.甲仓存粮比乙仓的2倍还多57吨，两个粮仓各存粮多少吨？
5. 书店运来一批书，其中科技书和文艺书390本，科技书比文艺书的3倍少10本，科技书、文艺书各
多少倍？
6. 足球是排球的3倍，足球比排球多18只.足球和排球各多少只？
7. 参加科技小组的人数，今年比去年多41人，今年人数比去年的3倍少3人.今年有多少人参加？
8.山坡上有一群羊，其中有绵羊和山羊
.绵羊比山羊
的
3倍多55只，绵羊比山
羊多
345
只，两
种羊各有多少只？。