二次根式
第十六章：二次根式
第十六章 二次根式.. 最简二次根式：① ； ② ； ③ . . . . ；文字语言： . ； 文字语言： . . ..①分母形如的二次根式.给分子、分母同时乘以 ；②分母形如.给分子、分母同时乘以 .2的区别与联系：例一：下列各式一定是二次根式的是（）分析：判定一个代数式是否是二次根式，要看该式子是否同时具备两个要素：（1）含有二次根号；（2）被开方数是非负数.对应训练：1.下列各式中，一定是二次根式的是（）A专题二：二次根式有意义的条件对于非负数x,如果有x2=a，那么x就是a的算术平方根，也是a在这里a是x的平方数，它的值是一个正数或零（因为任何数的平方都不可能是负数）.由此得出：只有当a≥0时，.（1a≥0a<0.（2）从具体的情况总结，如下：a≥0； a≥0,n+有意义的条件： b≥0,…n≥0；a>0；1b有意义的条件：a≥0且b≠0；有意义的条件：a≥0且b>0.例二：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1；（2（3；（4；（5（6分析：对于含有二次根式和分式的式子，求其有意义的条件时：首先找出二次根式的被开方数，根据二次根式的被开方数为非负数列不等式，其次找分式的分母，根据分母不为0，列出所需的不等式，将这些不等式组成不等式组，不等式组的解集就是字母的取值范围.解：（1）13103x x-≥≥当，即.（4）32301012x x x x+≥+>≥->-当，且，即且.对应训练：1.x的取值范围是（）A、x>3B、x≥3C、 x>4 D 、x≥3且x≠42.x的取值范围是 .3.有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限例三：若y=++2009，则x+y=分析：式子（a ≥0）， ，y=2009，则x+y=2014对应训练：1.，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2.若x 、y 都是实数，且4，求xy 的值3.当a 1取值最小，并求出这个最小值.专题四：二次根式的整数部分与小数部分例四：已知a b 是12a b ++的值. 分析：因为23<<2，即a=2；其小数部分等于此数本身减去其整数部分，即对应训练：1.若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
二次根式的定义和概念
二次根式1、定义：一般形如a （a≥0）的代数式叫做二次根式。
当a≥0时，a 表示a 的算术平方根；当a 小于0时，非二次根式。
其中，a 叫做被开方数。
2、√ā的简单性质和几何意义（1）双重非负性：a≥0 且a ≥0（2）（a ）2=a （a≥0），任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式。
3、二次根式的性质和最简二次根式 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有)0(,3,2≥x x ；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有31,9,4，2)(y x +最简二次根式同时满足下列三个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开得尽的因式；（3）被开方数不含分母。
4、二次根式的乘法和除法（1）积的算数平方根的性质b a ab ⋅=（a≥0，b ≥0）（2）乘法法则b a ⋅=ab （a≥0，b≥0）（3）除法法则b a ba =（a≥0，b>0） （4）根式有理化如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。
对根式进行有理化处理，其实就是进行根式分母有理化。
5、二次根式的加法和减法（1）同类二次根式概念一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
（2）二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
如：25355=+6、二次根式的混合运算（1）确定运算顺序（2）灵活运用运算定律（3）正确使用乘法公式（4）大多数分母有理化要及时（5）在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化7.分母有理化分母有理化有两种方法I.分母是单项式，进行通分即可b ab bb b a b a =⨯⨯= II.分母是多项式，一般为根式的加减多数时间利用平方差公式形如b a b a b a b a b a b a --=-+-=+))((1根式中分母不能含有根号，且要变为最简，运算才会更加直接简便。
最简二次根式举例
最简二次根式举例
二次根式是一种数学表达式，它由一个二次项和一个常数项组成，可以用来描述一个二次函数的行为。
二次根式的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，x是未知数。
二次根式的最简形式是把二次项的系数a变为1，即ax²+bx+c=0变为
x²+bx+c=0。
例如，2x²+5x+3=0的最简形式是x²+5x+3=0。
二次根式的最简形式有助于我们更好地理解二次函数的行为，并且可以更容易地求解二次根式的根。
例如，x²+5x+3=0的根可以用公式x=-b±√b²-4ac/2a来求解，其中a=1，b=5，c=3，因此x=-5±√25-4×1×3/2×1= -5±√7/2，即x=-
5±√7/2或x=-2.5±√7/2。
二次根式的最简形式也可以用来求解复杂的二次函数。
例如，4x²+7x+3=0的最简形式是x²+7x+3=0，其解为x=-7±√49-4×1×3/2×1= -7±√7/2，即x=-
7±√7/2或x=-3.5±√7/2。
从上面的例子可以看出，二次根式的最简形式可以帮助我们更容易地求解二次根式的根，从而更好地理解二次函数的行为。
二次根式讲解大全
【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b ba a=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质 例1下列各式 1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x例3、 在根式1)222;2);3);4)275xa b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=x yy x x yy x x x ya （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0）0 （a =0）；例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b 2、二次根式的化简与计算 例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.； B. －； C. －； D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512+，b=512-．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---3、在实数范围内分解因式 例. 在实数范围内分解因式。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a (a ≥0)叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。
性质：1、2≥0,等于a;a<0,等于-a3、45612789一.1.【05A.25 B.52 C.542.【05南京】9的算术平方根是（???）.A.-3B.3C.±3D.813.【05南通】已知2x <,的结果是（???）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -4.【05泰州】下列运算正确的是（???）.A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（???）. A.??B. C.???D.7.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：，以下判断正确的是（???）.A.甲的解法正确，乙的解法不正确B.甲的解法不正确，乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D.甲、乙的解法都不正确8.【05(A)a >9.【05A.8 10.【05A.2411.【05A.(-1)312.【05A 、x 213.【05A ．114.【05 A 15.【05A ．aa b ++b a b +=1B ．1÷b a ×a b =1 C ．21()a b +·22a b a b --=1a b +二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+=．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b,那么a,b 的值分别是。
3.【05上海】计算：)11＝4.【05嘉兴5.【05丽水】当a ≥0．6.【05南平=.7.【05漳州，2，(第n 个数).8.【05曲靖】在实数-2，31，0，-1.2，2中，无理数是． 9.【05黄石】若最简根式b a a +3与b a 2+是同类二次根式，则ab =．10.【05太原】将棱长分别为a cm 和bcm 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为．(不计损耗)11.【05黄岗】立方等于–64的数是。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在中学阶段学习的数学知识之一、学好二次根式的知识，不仅可以提高我们的数学实力，还能够帮助我们更好地理解和应用数学。
下面是对二次根式的知识点进行归纳总结。
一、二次根式的定义与性质1.二次根式的定义：如果一个数x的平方等于一个有理数a，那么称x是a的二次根，记作√a=x。
其中，a是被开方数，x是二次根。
2.二次根式的性质：二次根式具有以下基本性质：-非负性：对于所有的a≥0，√a≥0。
-唯一性：对于任意一个正数a，二次根√a是唯一确定的。
-传递性：对于任意的a≥0和b≥0，如果√a=√b，那么a=b。
-加减性：对于任意的a≥0和b≥0，有√a±√b=√(a±b)。
-乘除性：对于任意的a≥0和b≥0，有√(a×b)=√a×√b，√(a/b)=√a/√b（其中，b不为零）。
二、二次根式的化简1.因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用乘除性质化简。
2.合并同类项法：将二次根式中相同的根号项合并，然后根据加减性质化简。
三、二次根式的比较大小1.当被开方数相同时，二次根式相等，即√a=√b，当且仅当a=b。
2.当被开方数不同时，可以通过平方的方式来比较大小。
即对于a≥b≥0，有√a≥√b。
四、二次根式的运算1.加减运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的加减运算。
-加法：√a+√b=√(a+b)。
-减法：√a-√b=√(a-b)（需要满足a≥b）。
2.乘法运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的乘法运算。
-乘法：√a×√b=√(a×b)。
3.除法运算：对于任意的a≥0和b>0，可以进行二次根式的除法运算。
-除法：√a/√b=√(a/b)（需要满足b≠0）。
五、二次根式的应用二次根式在实际问题中的应用非常广泛1.几何问题：二次根式可以用来表示长度、面积、体积等物理量，例如计算一个正方形的对角线长度、一个圆的半径等等。
二次根式的概念
二次根式的概念二次根式是数学中重要的概念之一，它涉及到平方根的运算和性质。
在本文中，我们将详细介绍二次根式的定义、性质以及在实际问题中的应用。
1. 定义二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
√a表示a的平方根，即一个数的平方等于a。
例如，√9等于3，因为3的平方等于9。
2. 性质（1）对于任意非负实数a和b，有以下性质：a) √a * √b = √(a * b)b) √(a / b) = √a / √bc) (√a)^2 = a（2）二次根式与有理数的关系：a) 如果a是一个完全平方数，即a = b^2，其中b为有理数，则√a是一个有理数。
b) 如果a不是一个完全平方数，则√a是一个无理数。
（3）二次根式的化简：a) 如果a可以因式分解为完全平方数的乘积，则可以将二次根式化简为一个有理数。
b) 如果a不可因式分解为完全平方数的乘积，则二次根式无法化简。
3. 应用二次根式在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：（1）几何问题：二次根式可以用于计算直角三角形的斜边长度。
例如，在一个边长为a的正方形中，对角线的长度可以表示为√(2a^2)。
（2）物理问题：二次根式可以用于计算物体的速度、加速度等。
例如，在自由落体运动中，物体下落的距离可以表示为h = 1/2 * g * t^2，其中h为下落距离，g为重力加速度，t为时间。
（3）金融问题：二次根式可以用于计算利息、久期等金融指标。
例如，复利计算公式中涉及到年利率的开平方运算。
总结：二次根式作为数学的一个重要概念，涉及到平方根的运算和性质。
通过了解二次根式的定义和性质，我们可以更好地理解和应用它们。
在几何、物理、金融等实际问题中，二次根式都有广泛的应用，帮助我们解决复杂的计算和分析。
因此，对于二次根式的学习和掌握是数学学习的关键之一。
以上是对二次根式概念的详细介绍，希望对您有所帮助。
通过深入学习和练习，相信您会更加熟练地运用二次根式，并在解决实际问题中发挥其重要作用。
二次根式 公式
二次根式是数学中的一个重要概念，它涉及到平方根和根式的运算。
二次根式的一般形式为：
ax2+bx+c其中a,b,c是常数，且a=0。
为了简化二次根式，我们通常会尝试将其转化为最简形式。
这通常涉及到完成平方或使用公式来化简。
1. 完成平方
如果二次根式可以写成完全平方的形式，那么我们可以直接开方。
例如：
x2=∣x∣
2. 使用公式
对于一般的二次根式，我们可以使用公式来化简。
例如，对于形如ax2+bx+c的二次根式，如果b2−4ac≥0，则可以使用求根公式来化简。
求根公式为：
x=2a−b±b2−4ac
3. 二次根式的乘法
当需要计算两个二次根式的乘积时，可以使用以下公式：
a×b=ab
4. 二次根式的除法
当需要计算两个二次根式的商时，可以使用以下公式：
ba=ba
5. 二次根式的加减
对于二次根式的加减，首先需要判断它们是否可以合并。
如果根号下的表达式相同，那么可以进行合并。
例如：
2+2=22
6. 二次根式的有理化
有时，为了简化二次根式，我们可能需要将其有理化。
这通常涉及到乘以共轭式。
例如：21=21×22=22
以上是关于二次根式的一些基本公式和化简方法。
在实际应用中，需要根据具体的问题选择合适的公式和方法进行化简和计算。
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二次根式的初中数学组卷
一．选择题（共11小题）
1．（2014•济宁）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②•=1，③÷=﹣b，其中正确的是（）
．C D．
3．（2014•新泰市模拟）化简的结果是（）
．C D．
4．（2014•南宁模拟）在算式（﹣）□（﹣）的□中填上运算符号，使结果最大的是（）
5．（2014•武汉元月调考）若+=0，则下列各数中，与的积为有理数的是（）
．C D．
6．（2014•绵阳三模）已知a=+2，b=，则a与b的关系是（）
B．a b=1
．C D．
8．（2012•杭州）已知m=，则有（）
9．（2005•绵阳）化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：
==，以下判断正确的是（）
10．（2014•潍坊）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）
11．（2014•义乌市）在式子，，，中，x可以取2和3的是（）
．C D．
12．（2014•白银）已知x、y为实数，且y=﹣+4，则x﹣y=_________．
14．（2014•南充模拟）实数a、b、c，如图，化简﹣|a﹣b|+=_________．
15．（2014•孝感模拟）设，，…，，则S n化简的结果用
n（n为整数）的式子表示为_________．
16．（2012•黄陂区模拟）若3，m，5为三角形三边，则=_________．17．（2012•吴中区一模）若，则实数a的值为_________．
18．（2010•黔东南州）把根号外的因式移到根号内后，其结果是
_________．
19．（2010•拱墅区一模）已知a，b是正整数，且满足也是整数：
（1）写出一对符合条件的数对是 _________；
（2）所有满足条件的有序数对（a，b）共有_________对．
三．解答题（共11小题）
20．（2012•潘集区模拟）观察下列等式：
①；
②；
③；…
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：；
（2）计算：．
21．（2012•香洲区一模）阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：==
方法二：===
（1）请用两种不同的方法化简：；
（2）化简：+．
22．（2009•邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
==；（一）=（二）
==（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
=（四）
（1）请用不同的方法化简．
①参照（三）式得=（）；
②参照（四）式得=（）
（2）化简：．
23．如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．
24．（2013•金湾区一模）观察下列各式及证明过程：（1）；（2）；（3）
．
验证：；．
a．按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证；
b．针对上述各式反映的规律，写出用n（n≥1的自然数）表示的等式，并验证．
25．（2012•蕲春县模拟）观察与思考：形如的根式叫做复合二次根式，把变成
叫做复合二次根式的化简，请将下列复合二次根式进行化简．（1）；
（2）．
26．（2008•广州）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：．
27．已知实数x、y满足y=，求9x+8y的值．
28．若a、b为实数，且a=++3，求．
29．已知﹣=﹣，求m的值．
30．已知+=×，求a的值．
2014年11月16日千羽熏的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．（2014•济宁）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②•=1，③÷=﹣b，其中正确的是（）
①，被开方数应
②=1•=
③÷=，÷=÷=×
．C D．
，故
，故
3．（2014•新泰市模拟）化简的结果是（）
．C D．
4．（2014•南宁模拟）在算式（﹣）□（﹣）的□中填上运算符号，使结果最大的是（）
（﹣（﹣）﹣（﹣
）（﹣，（﹣（﹣
＞＞﹣
5．（2014•武汉元月调考）若+=0，则下列各数中，与的积为有理数的是（）
．C D．解：∵+
×=3
×=
×=
=，积为无理数，此选项错误．
6．（2014•绵阳三模）已知a=+2，b=，则a与b的关系是（）
﹣
．C D．
+1
=2+
8．（2012•杭州）已知m=，则有（）
（
（﹣
，
3
=
∵＜，
＜
9．（2005•绵阳）化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：
==，以下判断正确的是（）
10．（2014•潍坊）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）
11．（2014•义乌市）在式子，，，中，x可以取2和3的是（）．C D．
的分母不可以为
的分母不可以为
二．填空题（共8小题）
12．（2014•白银）已知x、y为实数，且y=﹣+4，则x﹣y=﹣1或﹣7．
13．（2014•黔南州）实数a在数轴上的位置如图，化简+a=1．
14．（2014•南充模拟）实数a、b、c，如图，化简﹣|a﹣b|+=c．
15．（2014•孝感模拟）设，，…，，则S n化简的结果用n（n为整数）的式子表示为S n=．
+==
．
．
16．（2012•黄陂区模拟）若3，m，5为三角形三边，则=2m﹣10．
本题考查了二次根式的性质与化简，三角形三边关系．本题运用了二次根式的性质：17．（2012•吴中区一模）若，则实数a的值为1．
=
a=
解：∵
a=
≥
18．（2010•黔东南州）把根号外的因式移到根号内后，其结果是
﹣．
∴
．
19．（2010•拱墅区一模）已知a，b是正整数，且满足也是整数：
（1）写出一对符合条件的数对是
（15，15）、（60、60）、（15，60）、（60，15）、（240，240）、（135，540）、（540，135）；
（2）所有满足条件的有序数对（a，b）共有
7对．
放在根号下，得出+的值进行讨论，使和
）∵+
时，即
时，即
时，即
时，即
时，即
时，即
时，即
三．解答题（共11小题）
20．（2012•潘集区模拟）观察下列等式：
①；
②；
③；…
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：；
（2）计算：．
=2
；=中的根号去掉，要用（））21．（2012•香洲区一模）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式
的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：==
方法二：===
（1）请用两种不同的方法化简：；
（2）化简：
+
．
）结合题意，可将原式化为（
﹣﹣++﹣）方法一：
==﹣方法二：==﹣（
﹣﹣++﹣=（）﹣22．（2009•邵阳）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，
，
一样的式子，其实我们还可以将其进一步化
简：
==
；（一） =
（二）
==（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
=（四）
（1）请用不同的方法化简．
①参照（三）式得=（）；
②参照（四）式得=（）
（2）化简：．
），
；
+
23．如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．解：∵
∴
∴
24．（2013•金湾区一模）观察下列各式及证明过程：（1）；（2）；（3）
．
验证：；．
a．按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证；
b．针对上述各式反映的规律，写出用n（n≥1的自然数）表示的等式，并验证．
）
或
时，时，时，25．（2012•蕲春县模拟）观察与思考：形如的根式叫做复合二次根式，把变成
叫做复合二次根式的化简，请将下列复合二次根式进行化简．（1）；
（2）．
拆成的平方和，
，再把与可写成完全平方式，然后利用二
=﹣=﹣
=+=2+本题考查了二次根式的性质：
26．（2008•广州）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：．
∴
最后计算
27．已知实数x、y满足y=，求9x+8y的值．
28．若a、b为实数，且a=++3，求．
解：根据题意得：
29．已知﹣=﹣，求m的值．
=
﹣=，得
x=
30．已知+=×，求a的值．
解：∵+×
∴=0。