逻辑代数中三种基本逻辑关系
逻辑代数中的三种基本运算
1 1 0 0
+ + B A+ B A + B A+ B A⋅ B ⋅ 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0
相等
相等
五、若干常用公式
(1) AB+ AB = A( B + B) = A +
(2) A+ AB= A(1 + B) = A +
推广
A + A(
)= A
即 ⊙ A⊕ B = A⊙B ⊕ 同理可证 A⊙B = A⊕ B ⊙ ⊕
六、关于异或运算的一些公式 异或 A ⊕ B = A B + AB 同或 A⊙B = AB + A B ⊙ (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 ⊙ A⊕ B = A⊙B ⊕ A⊙B = A⊕ B ⊙ ⊕
(5) 因果互换律
= AB + AC + ABC + ABC = AB+ A + C
推论
AB + A + BCD = AB + A C C
AB + AB = A B + AB
证明： 公式 (5) 证明：
左 = A B ⋅ AB = ( A + B ) ( A + B ) = A ⋅ A + A B + AB + B ⋅ B = A B + AB
曾用符号 A B Y
美国符号 A B A B Y
≥1
Y = A+ B A
B =1 Y = A⊕ B A B
Y
Y
⊕
Y
A B
Y
1.3
基本逻辑关系
基本逻辑关系通常，把反映“条件”和“结果”之间的关系称为逻辑关系。
如果以电路的输入信号反映“条件”，以输出信号反映“结果”，此时电路输入、输出之间也就存在确定的逻辑关系。
数字电路就是实现特定逻辑关系的电路，因此，又称为逻辑电路。
逻辑电路的基本单元是逻辑门，它们反映了基本的逻辑关系。
基本逻辑关系和逻辑门基本逻辑关系和逻辑门逻辑电路中用到的基本逻辑关系有与逻辑、或逻辑和非逻辑，相应的逻辑门为与门、或门及非门。
一、与逻辑及与门与逻辑指的是：只有当决定某一事件的全部条件都具备之后，该事件才发生，否则就不发生的一种因果关系。
如图2.1.1所示电路，只有当开关A 与B 全部闭合时，灯泡Y 才亮；若开关A 或B 其中有一个不闭合，灯泡Ｙ就不亮。
这种因果关系就是与逻辑关系，可表示为Y ＝A •B ，读作“A 与B”。
在逻辑运算中，与逻辑称为逻辑乘。
与门是指能够实现与逻辑关系的门电路。
与门具有两个或多个输入端，一个输出端。
其逻辑符号如图2.1.2所示，为简便计，输入端只用A 和B 两个变量来表示。
与门的输出和输入之间的逻辑关系用逻辑表达式表示为： Y ＝A •B ＝AB两输入端与门的真值表如表2.1.1所示。
波形图如图2.1.3所示。
A B Y0 0 0 0 1 0 1 0（a ）常用符号表2.1.1 与门真值表图2.1.1 与逻辑举例（b ）国标符号图2.1.2 与逻辑符号1 11由此可见，与门的逻辑功能是，输入全部为高电平时，输出才是高电平，否则为低电平。
二、或逻辑及或门或逻辑指的是：在决定某事件的诸条件中，只要有一个或一个以上的条件具备，该事件就会发生；当所有条件都不具备时，该事件才不发生的一种因果关系。
如图2.1.4所示电路，只要开关A 或B 其中任一个闭合，灯泡Y 就亮；A 、B 都不闭合，灯泡Y 才不亮。
这种因果关系就是或逻辑关系。
可表示为：Y ＝A ＋B读作“A 或B”。
在逻辑运算中或逻辑称为逻辑加。
逻辑代数基础知识讲解
2. 与普通代数相似的定律
交换律 A·B=B·A
A+B=B+A
结合律 (A·B)·C=A·(B·C) (A+B)+C=A+(B+C)
分配律 A·(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)
以上定律可以用真值表证明，也可以用公式证明。例如， 证明加对乘的分配律A+BC=(A+B)(A+C)。
事情通过为逻辑“1”， 没通过为逻辑“0”。
第三步：根据题义及上述规定 列出函数的真值表如表。
2007、3、7
一般地说，若输入逻辑变量A、B、 C…的取值确定以后，输出逻辑变量L的 值也唯一地确定了，就称L是A、B、C的
逻辑函数，写作：
L=f（A，B，C…）
逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个 突出的特点： （1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。 （2）函数和变量之间的关系是由“与”、 “或”、“非”三种基本运算决定的。
“⊙”的对偶符号，反之亦然。由以上分析可以看出， 两 变量的异或函数和同或函数既互补又对偶，这是一对特殊 函数。
2007、3、7
2.3 逻辑代数的基本定律和规则
2.3.1 基本定律
1. 逻辑变量的取值只有0和1，根据三种基本运算的定 义，可推得以下关系式。 0-1律： A·0 =0 A+1 =1 自等律：A·1=A A+0=A 重叠律：A·A=A A+A=A 互补律：A·A=0 A+A=1
反演规则是反演律的推广，运用它可以简便地求出一个
函数若的F反函A数B 。 C例 D如：AC, 则 F [(A B) C D](A C);
三种基本的逻辑关系_数字逻辑电路基础_[共2页]
![三种基本的逻辑关系_数字逻辑电路基础_[共2页]](https://img.taocdn.com/s3/m/97d8e6da6c85ec3a86c2c5c4.png)
14 数字逻辑电路基础 就是“0”。
显然，上述事件中的“0”和“1”不再表示为数值的大小，而是表示了事件中相互依存的两种对立状态。
客观世界事物的发展和变化通常都具有一定的因果关系。
由二值变量所构成的因果关系称“逻辑”关系。
2．正逻辑和负逻辑在二值变量的逻辑关系中，如果我们把“是”“真”“高”“有”“通”用逻辑“1”表示，把“非”“假”“低”“无”“断”用逻辑“0”表示时，是“正逻辑”的表示方法，反之为负逻辑。
数字信息技术中，我们遇到的大量电信号都是在两个稳定状态之间作阶跃式变化的电平信号或脉冲信号，因此数字信号的输入和输出关系实质上就是二值变量之间的逻辑关系。
当高电平和脉冲到来用逻辑“1”表示，低电平和无脉冲用“0”表示时，即为“正逻辑”的表示方式。
本教材中，如无特别说明，均采用正逻辑。
3．逻辑代数能够反映和处理逻辑关系的数学工具称为逻辑代数．．．．。
逻辑代数是英国数学家格雷·布尔在19世纪中叶创立的，因此又被人们称作布尔代数。
20世纪30年代，美国人克劳德·艾尔伍德·香农把布尔代数运用于开关电路中，使之很快成为分析和计算开关电路的重要数学工具，从此人们又把逻辑代数称为开关代数。
4．逻辑变量逻辑代数和普通代数一样，也是用英文字母表示变量，由于逻辑变量取值只有“0”和“1”，没有第三种可能，因此逻辑变量．．．．是二值变量，二值逻辑变量显然比普通代数变量简单。
值得注意的是：逻辑变量中的0和1，并不表示数字本身的量值，而是表示逻辑问题中相互依存的两种对立“状态”。
5．逻辑函数逻辑代数中，逻辑变量是因，逻辑函数是果，这种因果关系式即逻辑函数表达式。
例如，A 和B 是逻辑变量，F=f(A ，B)就是A 和B 的逻辑函数。
在逻辑代数中，只要逻辑变量的取值确定，则逻辑函数F 的值也就唯一确定了。
1.3.2 三种基本的逻辑关系在逻辑关系中，最基本的逻辑关系是与逻辑、或逻辑、和非逻辑。
数电简明教程第一章 逻辑代数基础知识
10
第六章 脉冲产生与整形电路
概述 6.1 施密特触发器
11
12
概 述
一、逻辑代数（布尔代数、开关代数） 逻辑： 事物因果关系的规律 逻辑函数: 逻辑自变量和逻辑结果的关系
Z f ( A, B, C )
逻辑变量取值：0、1 分别代表两种对立的状态 一种状态 另一状态 高电平 真 低电平 假 是 非 有 无 … … 1 0 0 1
概述 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 组合电路的分析方法和设计方法 加法器和数值比较器 编码器和译码器 数据选择器和分配器 用 MSI 实现组合逻辑函数
8
第四章
概述
触发器
4.1 基本触发器 4.2 同步触发器 4.3 边沿触发器 4.4 触发器的电气特性
9
第五章
时序逻辑电路
概述 5.1 时序电路的基本分析和设计方法 5.2 计数器 5.3 寄存器和读/写存储器
( 26 )10 = 16 + 8 + 2 = 24 +23 + 21 = ( 1 1 0 1 0 )2
16 8 4 2 1
20
(3) 二-八转换: 每 3 位二进制数相当一位 8 进制数
( 0 10 101 111 ) 2 ( 257 )8
2 5 7
( 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1. 0 0 0 1 1 0 )2 ( 2 3 4 1 . 0 6 )8
(4) 八-二转换: 每位 8 进制数转换为相应 3 位二进制数
( 31. 47 )8 ( 011 001 . 100 111
)2
)2
( 375.64 )8 ( 011 111 101 . 110 100
逻辑代数的三种基本逻辑关系
逻辑代数的三种基本逻辑关系
逻辑代数中有三种基本逻辑关系，分别是：
1. 关系恒等：表示两个命题或逻辑表达式等价。
用符号"="表示。
例如，A=B 表示命题 A 等价于命题 B。
2. 关系包含：表示一个命题或逻辑表达式在另一个命题或逻辑表达式中的包含关系。
用符号"⊆"表示。
例如，A⊆B 表示命题 A 包含于命题 B。
3. 关系互斥：表示两个命题或逻辑表达式之间的互斥关系，即两者不能同时为真。
用符号"∨"表示。
例如，A∨B 表示命题A 和命题 B 互斥。
这三种关系在逻辑代数中常用于判断命题之间的等价性、包含关系和互斥关系。
一逻辑代数的三个基本运算
＝∑m (3,5,6,7)
最小项得简写形式
西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计
逻辑代数中的三个重要规则
代入规则
可以扩大基本定律的应用
任何一个含有变量X的等式，如果将所有出现X的 位置都 1、不能破坏原式的运算顺序－先括号后与、或 代之以一个函数F, 则等式仍然成立。 2 、不属于单变量上的非号应保留 用于快速的求一个函数的反函数 反演规则 号,将“+”号变为“ ·、 ”号 ,常量“0”变为“1”,“1”变为 性质： 1 F与 F*互为对偶函数 1 、不能破坏原式的运算顺序－先括号后与、或 “0” ,原变量变为反变量 ,反变量变为原变量,便可求得F的反演 2、任何函数均存在对偶函数 2、不属于单变量上的非号应保留 式。 3、若F=G成立，则F*=G*成立 用于逻辑关系的证明 对偶规则
最小项
与项 :
ABC B C A C
三变量最小项（标准与项） : 与或表达式：
A B C
A B C A BC
F =AB + AC + ABC
最小项表达式： F AB C A B C A BC ABC 最小项通常用符号mi来表示。
西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计
三变量的最小项
（1）最小项 最小项定义：
n个变量的最小项是含n个变量的“与项”，其中每 个变量都以原变量或反变量的形式出现一次。
1个变量 最小项
A A
2个变量 最小项 AB AB AB AB 3个变量 最小项 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计
冗余律
AB A C BC AB A C
逻辑代数的基本定律及规则
逻辑代数的基本定律及规则文章来源：互联网作者：佚名发布时间：2012年05月26日浏览次数： 1 次评论：[已关闭] 功能：打印本文一、逻辑代数相等：假定Ｆ、Ｇ都具有ｎ个相同变量的逻辑函数，对于这ｎ个变量中的任意一组输入，如Ｆ和Ｇ都有相同的输出值，则称这两个函数相等。
在实际中，可以通过列真值表来判断。
二、逻辑代数的基本定律：在逻辑代数中，三个基本运算符的运算优先级别依次为：非、与、或。
由此推出10个基本定律如下：1.交换律Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ；Ａ·Ｂ＝Ｂ·Ａ2.结合律Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ；Ａ·（ＢＣ）＝（ＡＢ）·Ｃ3.分配律Ａ·（Ｂ＋Ｃ）＝ＡＢ＋ＡＣ；Ａ＋ＢＣ＝（Ａ＋Ｂ）·（Ａ＋Ｃ）4.0－1律Ａ＋0＝Ａ；Ａ·1＝ＡＡ＋1＝1 ；Ａ·0＝05.互补律Ａ＋＝1 ；Ａ·＝06.重叠律Ａ·Ａ＝Ａ；Ａ＋Ａ＝Ａ7.对合律＝Ａ8.吸收律Ａ＋ＡＢ＝Ａ；Ａ·（Ａ＋Ｂ）＝ＡＡ＋Ｂ＝Ａ＋Ｂ；Ａ·（＋Ｂ）＝ＡＢＡＢ＋Ｂ＝Ｂ；（Ａ＋Ｂ）·（＋Ｂ）＝Ｂ9.反演律＝·；＝＋10.多余项律ＡＢ＋Ｃ＋ＢＣ＝ＡＢ＋Ｃ；(Ａ＋Ｂ）·（＋Ｃ）·（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）·（＋Ｃ）上述的定律都可用真值表加以证明，它们都可以用在后面的代数化简中。
三、逻辑代数的基本规则：逻辑代数中有三个基本规则：代入规则、反演规则和对偶规则。
1.代入规则：在任何逻辑代数等式中，如果等式两边所有出现某一变量（如Ａ）的位置都代以一个逻辑函数（如Ｆ），则等式仍成立。
利用代入规则可以扩大定理的应用范围。
例：＝＋，若用Ｆ＝ＡＣ代替Ａ，可得＝＋＋2.反演规则：已知函数Ｆ，欲求其反函数时，只要将Ｆ式中所有的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”；“0”换成“1”，“1”换成“0”时，原变量变成反变量，反变量变成原变量，便得到。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
逻辑代数中三种基本逻辑关系
逻辑代数中的三种基本逻辑关系
逻辑代数是研究逻辑关系的一门学科，其基础是三种基本逻辑关系：包含关系、等价关系和互斥关系。
这三种关系在逻辑推理和数学证明中起着重要的作用，下面将逐一介绍它们。
一、包含关系
包含关系是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合的关系。
在逻辑代数中，我们用符号“⊆”表示包含关系。
例如，若集合A包含集合B中的所有元素，则可以表示为A⊆B。
包含关系具有以下性质：
1. 自反性：对于任意集合A，都有A⊆A。
2. 反对称性：对于任意集合A和B，如果A⊆B且B⊆A，则A和B 是相等的集合，即A=B。
3. 传递性：对于任意集合A、B和C，如果A⊆B且B⊆C，则A⊆C。
包含关系在逻辑推理中常用于判断一个集合是否是另一个集合的子集，或者用于证明一些集合之间的关系。
二、等价关系
等价关系是指一个集合中的元素之间具有相等关系的关系。
在逻辑代数中，我们用符号“≡”表示等价关系。
例如，若元素a和b具有等价关系，则可以表示为a≡b。
等价关系具有以下性质：
1. 自反性：对于任意元素a，都有a≡a。
2. 对称性：对于任意元素a和b，如果a≡b，则b≡a。
3. 传递性：对于任意元素a、b和c，如果a≡b且b≡c，则a≡c。
等价关系在逻辑推理和数学证明中常用于判断两个元素是否具有相等关系，或者用于构建等价类等概念。
三、互斥关系
互斥关系是指两个命题或集合之间不存在交集的关系。
在逻辑代数中，我们用符号“∩”表示互斥关系。
例如，若集合A和集合B互斥，则可以表示为A∩B=∅。
互斥关系具有以下性质：
1. 自反性：对于任意集合A，都有A∩A=∅。
2. 对称性：对于任意集合A和B，如果A∩B=∅，则B∩A=∅。
3. 传递性：对于任意集合A、B和C，如果A∩B=∅且B∩C=∅，则A∩C=∅。
互斥关系在逻辑推理中常用于判断两个命题或集合是否具有矛盾关系，或者用于构建互斥事件等概念。
包含关系、等价关系和互斥关系是逻辑代数中的三种基本逻辑关系。
它们分别描述了集合元素之间的包含关系、相等关系和互斥关系。
这三种关系在逻辑推理和数学证明中具有重要的作用，能够帮助我们理清思路，准确表达问题，推导出正确的结论。
在学习和应用逻辑代数的过程中，我们需要深入理解和熟练运用这三种基本逻辑关
系，以提高我们的逻辑思维能力和分析问题的能力。