勾股定理练习题及标准答案(共6套)

勾股定理课时练（1）1.在直角三角形 ABC 中，斜边 AB=1 ，则 AB 2BC 2AC 2的值是（）A.2B.4C.6D.82.如图 18－2－ 4 所示 ,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥ BC，斜腰 DC 的长为10 cm，∠ D=120°，则该零件另一腰 AB 的长是 ______ cm（结果不取近似值） .3.直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为 _______．4.一根旗杆于离地面12 m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16 m，旗杆在断裂之前高多少m ？5. 如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米 .3m“路”4m第5题图第2题图6. 飞机在空中水平飞行, 某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000 米处 , 过了 20 秒, 飞机距离这个男孩头顶 5000 米, 求飞机每小时飞行多少千米 ?7.如图所示，无盖玻璃容器，高 18 cm，底面周长为 60 cm，在外侧距下底 1 cm的点 C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口 1 cm的 F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度 .8.一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm， AB=4cm，BD=12cm。

求 CD的长 .9.如图，在四边形 ABCD中，∠ A=60°，∠ B=∠ D=90°， BC=2，CD=3，求 AB 的长 .10. 如图，一个牧童在小河的南4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋B 第的西7 8km题图北 7km处，第 8题图. 他要完成这件事情所走的最短路程是多少？他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家11 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m, 长 13m，宽2m 的楼道上铺地毯 , 已知地毯平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼第9题图道至少需要多少元钱 ?12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻13m5m 找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为 15 千米．早晨 8：00甲先出发，他以 6 千米 / 时的第 11题速度向东行走， 1 小时后乙出发，他以 5 千米 / 时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还第一课时答案：1.A ，提示：根据勾股定理得BC2AC21，所以 AB2BC 2AC 2=1+1=2 ；2.4 ，提示：由勾股定理可得斜边的长为 5 m ，而 3+4-5=2 m ，所以他们少走了4 步.3.60 ，提示：设斜边的高为 x ，根据勾股定理求斜边为12252169 13 ，再利13用面积法得，15 12 1 13 x, x60 ； 2 2134. 解：依题意， AB=16 m ， AC=12 m ，在直角三角形 ABC 中 ,由勾股定理 ,BC 2 AB 2AC 2162 122202,所以 BC=20 m ,20+12=32( m ), 故旗杆在断裂之前有 32 m 高.5.86. 解: 如图 , 由题意得 ,AC=4000 米 , ∠C=90° ,AB=5000 米 , 由勾股定理得BC=50002 400023000 ( 米 ),3所以飞机飞行的速度为540( 千米 / 小时 )2036007. 解：将曲线沿 AB 展开，如图所示，过点 C 作 CE ⊥ AB 于 E.在Rt CEF , CEF 90 ， EF=18-1-1=16 （ cm ），1CE= 30(cm) ，2. 60CE2EF230 2 16 234( )由勾股定理，得 CF=8. 解：在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理，得22222在直角三角形 CBD 中，根据勾股定理，得 2222CD=BC+BD=25+12 =169，所以 CD=13.9. 解：延长 BC 、AD 交于点 E. （如图所示）∵∠ B=90°，∠ A=60°，∴∠ E=30°又∵ CD=3，∴ CE=6，∴ BE=8， 设 AB=x ，则 AE=2x ，由勾股定理。

得(2x)2x282, x8 3310. 如图，作出 A 点关于 MN 的对称点 A ′，连接 A ′B 交 MN 于点 P ，则 A ′ B 就是最短路线 . 在 Rt △A ′ DB 中，由勾股定理求得 A ′ B=17km11.解：根据勾股定理求得水平长为132 5212m ，地毯的总长 为 12+5=17 （ m ），地毯的面积为 17×2=34 （ m 2) ，铺完这个楼道至少需要花为：34× 18=612（元）12. 解：如图，甲从上午 8：00 到上午 10： 00 一共走了 2 小时，走了 12 千米，即 OA=12．乙从上午 9： 00 到上午 10：00 一共走了 1 小时，走了 5 千米，即 OB=5．在 Rt △OAB 中， AB 2 =122 十 52 ＝169 ，∴ AB=13，因此，上午 10： 00 时，甲、乙两人相距 13 千米 ．∵15＞ 13， ∴甲、乙两人还能保持联系．A ′MPADB第 1O A勾股定理的逆定理（ 2）一、 选择题1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）A.9，12，15B. 5 ,1, 3C.0.2， 0.3， 0.4D.40 ， 41， 94 42.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A. 三个内角比为 1∶ 2∶1B.三边之比为 1∶2∶511. 如图， AB 为一棵大树， 在树上距地面 10m 的 D 处有两只猴子， 它们同时发现地面上的 C 处有一筐水果，一只猴子从 D 处上爬到树顶 A 处，利用拉在 A 处的滑绳 AC ，滑到 C 处，另一只猴子从 D 处滑到地面 B ，再由 B 跑到 C ，已知两猴子所经路程都是 15m ，求树高 AB .A 12. 如图，为修通铁路凿通隧道 AC ，量出∠ A=40°∠B ＝50°， AB ＝ 5 公里， BC ＝4 公里，若每天凿隧道 .0.3 公里，问几天才能把隧道 AB 凿通？D18.2 勾股定理的逆定理答案：C.三边之比为3 ∶2∶5D. 三个内角比为 1∶ 2∶3B C222 10;一、1.C ；2.C ；3.C ，提示：当已经给出的两边分别为直角边时， 第三边为斜边 =2 63. 已知三角形两边长为 2 和 6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）第 11 题A.2B.2 10C.4 2或 2 10 D. 以上都不对当 6 为斜边时，第三边为直角边 = 6 2224 2；4.C ；二、 5.90 °提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为 4. 五根小木棒，其长度分别为 7， 15， 20， 24， 25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）790°.6.54 ，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为19 12 54. 7.22520252024直角，提示：24242520241572071571515 25(a b)2100, 得 a2b 22ab 100, a2b 2100218648 2 c 2(A)(B)(C)(D)；AB C D60，提示：先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形，再利用面积法求得二、填空题8.5. △ABC 的三边分别是 7、 24、 25，则三角形的最大内角的度数是 .1311136. 三边为 9、 12、 15 的三角形，其面积为.12 5AD；7. 已知三角形 ABC 的三边长为 a, b, c 满足 a b 10, ab 18，c8，则此三角形为三角形 . 22三、 9. 解：连接 AC ，在 Rt △ABC 中，8. 在三角形 ABC 中， AB=12， AC=5，BC=13，则 BC 边上的高为 AD=cm .AC 2=AB2＋ BC 2=32＋42=25 ， ∴ AC=5.cmcmcm在△ ACD 中，∵ AC 2 ＋CD 2=25＋ 122=169，三、解答题而 AB2=132=169 ，9. 如图，已知四边形 ABCD 中，∠ B=90°， AB=3， BC=4， CD=12，AD =13，求四边形 ABCD 的∴ AC 2＋ CD 2=AB 2，∴ ∠ ACD=90°．面积 .111 ×3× 4＋ 1× 5×12=6＋ 30=36.故 S四边形ABCD =S △ ABC ＋S △ACD =AB · BC ＋ AC ·CD =2 2 2 2110. 解：由勾股定理得AE 2=25， EF 2=5，10. 如图， E 、F 分别是正方形ABCD 中 BC 和 CD 边上的点，且 AB=4，CE = 4BC ，F 为 CD 的中AF 2=20，∵ AE2= EF2+ AF2，点，连接 AF 、AE ，问△ AEF 是什么三角形？请说明理由 .∴△ AEF 是直角三角形11. 设 AD=x 米，则 AB 为（ 10+x ）米， AC 为（ 15- x ）米， BC 为 5 米，∴ ( x+10)2+52=( 15- x)2，解第 9题图得 x=2，∴ 10+x=12（米）12. 解：第七组， a 2 7 1 15, b 2 7 (7 1) 112,c 112 1 113. 第n组，a 2n1,b 2n(n 1),c2n(n 1) 1勾股定理的逆定理 （3）一、基础 ·巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（） A.三内角之比为 1∶ 2∶3 B.三边长的平方之比为 1∶2∶3 C.三边长之比为 3∶4∶5D.三内角之比为 3∶ 4∶ 52.如图 18－2－ 4 所示 ,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥ BC ，斜腰 DC 的长为 10 cm ，∠ D=120°，则该零件另一腰 AB 的长是 ________ cm （结果不取近似值） .图 18图 18－ 2－5 图 18－ 2－63.如图 18－ 2－5，以 Rt △ ABC 的三边为边向外作正方形， 其面积分别为 S 1、S 2、S 3，且 S1=4，S 2=8，则 AB 的长为 _________.4.如图 18－ 2－6，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 AB 中点，F 为 AD 上的一点，且 AF= 1AD ，4试判断 △ EFC 的形状 .5.一个零件的形状如图 18－ 2－7，按规定这个零件中∠ A 与∠ BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸： AD=4 ，AB=3,BD=5 ， DC=12 , BC=13 ，这个零件符合要求吗？图 18－2－76.已知 △ ABC 的三边分别为 k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞ 1），求证： △ ABC 是直角三角形 .二、综合 ·应用7.已知 a 、b 、c 是 Rt △ ABC 的三 边长， △A 1B 1C 1 的三边长分别是2a 、2b 、2c ，那么 △ A 1B 1C 1 是直角三角形吗？为什么？28.已知：如图 18－2－8，在 △ ABC 中， CD 是 AB 边上的高，且 CD =AD ·BD.图 18－2－89.如图 18－ 2－9 所示，在平面直角坐标系中， 点 A 、B 的坐标分别为 A （ 3，1），B （2，4），△ OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论. 图 18－2－910.已知：在 △ ABC 中，∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边分别是 a 、b 、c ，满足 a 2+b 2 +c 2+338=10a+24b+26c.试判断 △ ABC 的形状 .12.已知：如图 18－2－ 10，四边形 ABCD ，AD ∥ BC ，AB=4 ，BC=6 ，CD=5 ，AD=3. 求：四边形ABCD 的面积 .图 18－2－10参考答案一、基础 ·巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A. 三内角之比为 1∶ 2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶ 3C.三边长之比为 3∶4∶5D.三内角之比为 3∶ 4∶5思路分析： 判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互余； ②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半 .由 A 得有一个角是直角；B 、C 满足勾股定理的逆定理，所以应选 D.答案： D2.如图 18－2－ 4 所示 ,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰 DC 的长为 10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰 AB 的长是 ________ cm （结果不取近似值） .图 18－2－4解：过 D 点作 DE ∥AB 交 BC 于 E,则 △DEC 是直角三角形 .四边形 ABED 是矩形，∴ AB=DE.∵∠ D=120°，∴∠ CDE=30° .又∵在直角三角形中， 30°所对的直角边等于斜边的一半，∴ CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得， DE= 102525 3 cm.∴AB=102525 3 cm.3.如图 18－ 2－5，以 Rt △ ABC 的三边为边向外作正方形， 其面积分别为 S 1、S 2、S 3，且 S1=4，S 2=8，则 AB 的长为 _________.图 18－ 2－5图 18－2－6思路分析： 因为△ ABC 是 Rt △，所以 BC 2+AC2=AB 2,即 S 1+S 2 =S 3，所以 S 3=12，因为 S 3=AB 2,所以 AB=S 3122 3 .答案： 231 4.如图 18－ 2－6，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 AB 中点，F 为 AD 上的一点，且 AF= AD ，4试判断 △ EFC 的形状 .思路分析： 分别计算 EF 、 CE 、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可 .解：∵ E 为 AB 中点，∴ BE=2. ∴CE2=BE 2+BC2=22+42=20.同理可求得 ,EF2=AE2+AF2=2 2+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.∵CE2+EF2=CF 2,∴△ EFC 是以∠ CEF 为直角的直角三角形 .5.一个零件的形状如图 18－ 2－7，按规定这个零件中∠ A 与∠ BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸： AD=4 ， AB=3,BD=5 ，DC=12 , BC=13 ，这个零件符合要求吗？图 18－2－ 7思路分析：要检验这个零件是否符合要求， 只要判断△ ADB 和△ DBC 是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在△ ABD 中， AB2+AD 2 =32+42=9+16=25=BD 2，所以△ ABD 为直角三角形，∠A =90°.在△ BDC 中,222222BD +DC =5 +12 =25+144=169=13 =BC . 所以△ BDC 是直角三角形，∠ CDB =90°.6.已知 △ ABC 的三边分别为 k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞ 1），求证： △ ABC 是直角三角形 .思路分析： 根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可 .证明：∵ k2+1>k 2－ 1,k 2+1－2k=(k －1)2 >0,即 k 2+1>2k ，∴ k 2+1 是最长边 .∵ (k 2－ 1)2+(2k )2=k 4－ 2k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,∴△ ABC 是直角三角形 . 二、综合 ·应用7.已知 a 、b 、c 是 Rt △ ABC 的三 边长， △ A 1B 1C 1的三边长分别是2a 、2b 、2c ，那么 △ A 1B 1C 1 是直角三角形吗？为什么？思路分析： 如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例 2 已证） .解：略28.已知：如图 18 －2－8，在 △ ABC 中， CD 是 AB 边上的高，且CD =AD ·BD.图 18－2－ 8思路分析： 根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可 .证明：∵ AC2=AD 2 +CD 2 ，BC2=CD 2 +BD 2，∴ AC2+BC2=AD 2+2CD2+BD 2=AD 2+2AD ·BD+BD2=（AD+BD ）2=AB 2. ∴△ ABC 是直角三角形 .-6-/10是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.又∵ a2+b2=169=c2,∴△ ABC 是直角三角形 .12.已知：如图 18－2－10，四边形 ABCD ， AD ∥ BC ， AB=4 ，BC=6 ，CD=5 ， AD=3.求：四边形 ABCD 的面积 .图 18－2－ 9思路分析： 借助于网格，利用勾股定理分别计算 OA 、AB 、OB 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ OAB 是否是直角三角形即可 .图 18－2－ 10解：∵ OA2=OA 1 2+A 1 A 2 =32+12=10,思路分析：（ 1）作 DE ∥AB ，连结 BD ，则可以证明 △ABD ≌△ EDB （ASA ）；OB 2=OB 1 2 +B 1B 2=22 +42=20,(2)DE=AB=4 ，BE=AD=3 ，EC=EB =3；(3) 在△ DEC 中， 3、4、5 为勾股数， △ DEC 为直角三 AB 2=AC 2+BC 2=12+32=10, 角形， DE ⊥BC ； (4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解. ∴OA2+AB2=O B2.解：作 DE ∥ AB ，连结 BD ，则可以证明 △ ABD ≌△ EDB （ ASA ） , ∴△ OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形 .∴ DE=AB=4 ， BE=AD=3.10.阅读下列解题过程：已知a 、b 、c 为 △ ABC 的三边，且满足 a2c2－b2c 2=a4－b 4，试判断 △ ABC∵ BC=6,∴ EC=EB=3.的形状 .∵ DE2+CE2=32+42=25=CD2,解：∵ a2c2－b2c 2=a 4－ b 4，(A) ∴ c2(a2－ b2)=(a 2+b 2)(a2－b 2) ，(B) ∴c 2=a2+b2，（ C)∴△ ABC 是直∴△ DEC 为直角三角形 . 角三角形 .又∵ EC=EB=3,问：①上述解题 过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号 _______ ；∴△ DBC 为等腰三角形， DB=DC=5.②错误的原因是 ______________；③本题的正确结论是 __________.在 △BDA 中 AD 2+AB2=32+42=25=BD2,思路分析： 做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视 ∴△ BDA 是直角三角形 .了 a 有可能等于 b 这一条件，从而得出的结论不全面 .11答案： ①(B) ②没有考虑 a=b 这种可能，当 a=b 时△ ABC 是等腰三角形；③△ ABC 是等腰 它们的面积分别为S△ BDA =×3×4=6;S △ DBC =×6×4=12.22三角形或直角三角形 .∴S四边形 ABCD =S △BDA +S △ DBC =6+12=18.11.已知：在 △ ABC 中，∠ A 、∠B 、∠ C 的对边分别是 a 、b 、c ，满足 a 2+b 2 +c 2+338=10a+24b+26c.试判断 △ ABC 的形状 .思路分析：（1）移项，配成三个完全平方； (2)三个非负数的和为 0，则都为 0； (3)已知 a 、b 、c ，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形. 解：由已知可得 a 2－ 10a+25+b 2－ 24b+144+c 2－ 26c+169=0,配方并化简得 ,(a －5)2+(b － 12)2+(c －13)2=0.∵(a －5) 2≥ 0,(b － 12)2≥ 0,(c － 13)2≥ 0. ∴a － 5=0,b － 12=0,c － 13=0.解得 a=5,b=12,c=13.勾股定理的应用（4）1.三个半圆的面积分别为 S1=4.5 π，S2 =8π，S3=12.5 π，把三个半圆拼成如图所示的图形，则△A BC一定是直角三角形吗？说明理由。