高中数学必修二 6 3 2-6 3 4 平面向量数乘运算的坐标表示(第1课时)学案
第6章 6.2 6.2.3 平面向量的坐标及其运算-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册
(1)A [以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系， 因为 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以 2a＝(2,1)，b＝(1,3)， 所以 2a＋b＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即 2a＋b 在平面直角坐标系中 的坐标为(3,4)，故选 A.
]
(2)[解] ①作 AM⊥x 轴于点 M(图略)，
3，即
b＝－32，3
2
3.
②由①知B→A＝－A→B＝－b＝32，－3
2
3.
③O→B＝O→A＋A→B＝(2
2，2
2)＋－32，3
2
3
＝2
2－32，2
2＋3
2
3，
所以点 B 的坐标为2
2－32，2
2＋3
2
3.
求向量坐标的三个步骤
[跟进训练] 1．在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方 向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算 出它们的坐标． [解] 设 a＝(x1，y1)， 则 x1＝2·cos 45°＝ 2，y1＝2·sin 45°＝ 2， ∴a＝( 2， 2)．
[解] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)21a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
向量坐标运算的综合应用 [探究问题] 1．已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及O→P＝O→A＋tA→B.当 t 为何值 时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ [提示] ∵O→P＝O→A＋tA→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，
人教B版必修第二册 6.2.3 第1课时平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式 学案
6.2.3平面向量的坐标及其运算第1课时平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式(教师独具内容)课程标准：1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.教学重点：1.了解正交基底，掌握向量的正交分解及坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.掌握平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式.教学难点：平面向量坐标运算的应用.知识点一平面向量的坐标(1)向量的垂直平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b□01垂直，记作□02a⊥b.(2)正交基底：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为□03正交基底．(3)正交分解：在正交基底下向量的分解称为向量的□04正交分解．(4)坐标的定义①给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝x e1＋y e2，则称□05(x，y)为向量a的坐标，记作□06a＝(x，y)．②如图，在平面上指定一点O作为原点，以e1的方向为x轴的正方向，以e2的方向为y轴的正方向，以e1(或e2)的模为单位长度建立平面直角坐标系，对于平面上任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的□07终点对应的坐标就是向量a的坐标．(5)向量的坐标表示若OA →＝x e 1＋y e 2＝(x ，y )，则□08OA →的坐标为(x ，y )⇔□09点A 的坐标为(x ，y )． 知识点二 向量的运算与坐标的关系 (1)向量坐标的运算已知平面上的两个向量a ，b ，满足a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．①a ＝b ⇔□01x 1＝x 2且y 1＝y 2.即平面上两个向量相等的充要条件是□02它们的坐标对应相等．②a ＋b ＝□03(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．③u a ＋v b ＝□04(ux 1＋v x 2，uy 1＋v y 2)．④u a －v b ＝□05(ux 1－v x 2，uy 1－v y 2)．(2)向量的模向量a ＝(x ，y )，则|a |＝□06 x 2＋y 2.知识点三 两点之间的距离公式与中点坐标公式设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为平面直角坐标系中的两点．(1)两点之间的距离公式AB ＝|AB→|＝□01 (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)中点坐标公式设线段AB 的中点为M (x ，y )，则x ＝□02x 1＋x 22，y ＝□03y 1＋y 22.1．求平面上向量坐标的三种方法(1)将向量用单位向量e 1，e 2表示出来；(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标；(3)用向量终点的坐标减去始点的坐标．2．向量的坐标与点的坐标的区别(1)当且仅当向量的始点为坐标原点时，向量坐标与终点坐标相同．(2)(x ，y )在直角坐标系中有双重含义，既可以表示一个点，也可以表示一个向量．为了区分，我们通常说点(x ，y )，向量(x ，y )．(3)向量坐标前带“＝”而点的坐标前不带．注意：两个相等向量的始点和终点可以不同．3．向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．若a ＝(a 1，a 2)，则将a 任意平移后其坐标仍为(a 1，a 2)．4．通过平面直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对也表示一个向量．也就是说，一个平面向量就是一个有序实数对．这样就可以把许多几何问题代数化．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把一个向量分解成两个互相垂直的基向量，叫做向量的正交分解．( ) (2)AB→＝(－2，－1)即表示B (－2，－1)，A (0,0)．( ) (3)两个相等向量的始点和终点相同．( )答案 (1)√ (2)× (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知AB→＝(x ，y )，B 的坐标是(－2,1)，那么OA →的坐标为________． (2)在平面直角坐标系内，已知i ，j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若a ＝i －2j ，则向量用坐标表示为a ＝________.(3)若点A (3,5)，B (2,1)，则向量AB→的坐标为________． (4)若a ＝(3,2)，b ＝(0，－1)，则2b －a 的坐标是________．答案 (1)(－2－x,1－y ) (2)(1，－2) (3)(－1，－4) (4)(－3，－4)题型一 平面向量的坐标表示例1 已知向量e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的始点是原点O ；④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由平面向量基本定理，知①正确；例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的始点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．[答案] A向量的坐标与其终点的坐标不一定相同．由于向量的起点可以任意选取，如果向量是以坐标原点为始点的，则向量的坐标就与其终点的坐标相同；如果向量不以坐标原点为始点，则向量的坐标就与其终点的坐标不同．如图，分别用单位正交基底{i ，j }表示向量a ，b ，c ，d ，并求出它们的坐标．解 由图可知a ＝AA 1→＋AA 2→＝2i ＋3j ，∴a ＝(2,3)．同理可得b ＝－2i ＋3j ＝(－2,3)，c ＝－2i －3j ＝(－2，－3)，d ＝2i －3j ＝(2，－3).题型二 平面向量的坐标运算例2 设向量a ，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求下列各向量的坐标．(1)a ＋b ；(2)a －b ；(3)3a ；(4)2a ＋5b .[解] (1)a ＋b ＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)．(2)a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)．(3)3a ＝3(－1,2)＝(－3,6)．(4)2a ＋5b ＝2(－1,2)＋5(3，－5)＝(－2,4)＋(15，－25)＝(13，－21)．平面向量坐标的线性运算(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及数乘的运算法则进行．(2)向量坐标的线性运算可完全类比数的运算进行．(1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则|c |＝________；(2)已知向量a ＝(x 2－3x －4，x ＋3)，b ＝(0,2)，若a ＝b ，求x 的值．答案 (1)1853 (2)见解析解析 (1)由已知得3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43， ∴|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝1853. (2)根据“两向量相等，则其对应坐标相等”列方程组求解．∵a ＝b ，∴⎩⎨⎧x 2－3x －4＝0，x ＋3＝2，解得x ＝－1. 题型三 两点间的距离公式与中点坐标公式例3 已知平面内的三个点A (1，－2)，B (7,0)，C (－5,6)．(1)求AB →＋12AC →的坐标；(2)求AB ＋AC 的长．[解] (1)∵A (1，－2)，B (7,0)，C (－5,6)，∴AB →＝(7－1,0＋2)＝(6,2)，AC →＝(－5－1,6＋2)＝(－6,8)．∴12AC →＝(－3,4)， ∴AB →＋12AC →＝(6,2)＋(－3,4)＝(3,6)． (2)由两点间的距离公式得，AB ＝(7－1)2＋(0＋2)2＝36＋4＝210.AC ＝(－5－1)2＋(6＋2)2＝36＋64＝10.∴AB ＋AC ＝10＋210.故AB ＋AC 的长为10＋210.(1)在求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再用终点坐标减去始点坐标即可得到该向量的坐标．(2)求线段的长度时，注意利用两点间的距离公式求解．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，点M 为BC 的中点． (1)求点M 的坐标；(2)求BC ＋2BM 的长．解 (1)设C (x ，y )，则AC→＝(x －0，y －1)＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，即⎩⎨⎧ x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝－2，所以C (－4，－2)，由中点坐标公式知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－42，2－22， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. (2)由两点间的距离公式，可知BC ＝(－4－3)2＋(－2－2)2＝49＋16＝65.BM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＋(0－2)2＝494＋4＝652. ∴BC ＋2BM ＝65＋65＝265.∴BC ＋2BM 的长为265.题型四 平面向量坐标运算的应用例4 已知平面上三个点的坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．[解] 设点D 的坐标为(x ，y )，(1)当平行四边形为ABCD 时，AB→＝DC →， ∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎨⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1，∴⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1.∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，同(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，同(1)可得D (6,15)．综上所述，点D 可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．1.进行向量坐标运算的常见方法(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用．(2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等向量的坐标对应相等这一原则，通过列方程(组)进行求解．(3)利用坐标运算求向量的基底表示，一般是先求出基底向量和被表示向量的坐标，再利用待定系数法求出相应系数．2．利用向量的坐标运算求参数的思路已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用该点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)进行求解．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1,2)，B (4,3)，C (3,6)，AP→＝AB →＋λAC →(λ∈R )．(1)试求实数λ为何值时，点P 在第二、四象限的角平分线上；(2)试求实数λ为何值时，点P 在第三象限内．解 设P (x ，y )，因为AP→＝AB →＋λAC →， 所以OP →＝O A →＋AP →＝O A →＋AB→＋λAC →＝OB →＋λAC →＝(4,3)＋λ(4,4)＝(4＋4λ，3＋4λ)．(1)因为点P 在第二、四象限的角平分线上，所以x ＝－y ，所以4＋4λ＝－(3＋4λ)，解得λ＝－78，所以当λ＝－78时，点P 在第二、四象限的角平分线上．(2)因为点P 在第三象限内，所以⎩⎨⎧ x <0，y <0，所以⎩⎨⎧4＋4λ<0，3＋4λ<0，解得λ<－1. 所以当λ<－1时，点P 在第三象限内．1．已知MA →＝(－2,4)，MB →＝(2,6)，则12AB →＝( )A ．(0,5)B ．(0,1)C ．(2,5)D ．(2,1) 答案 D解析 ∵AB→＝MB →－MA →＝(2,6)－(－2,4)＝(4,2)， ∴12AB →＝(2,1)．2．若向量a ＝(x －2,3)与向量b ＝(1，y ＋2)相等，则x ＝________，y ＝________. 答案 3 1解析 ⎩⎨⎧ x －2＝1，3＝y ＋2，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.3．如下图，向量a ，b ，c 的坐标分别是________、________、________.答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5)解析 解法一：将各向量向基底所在直线分解．a ＝－4i ＋0j ，∴a ＝(－4,0)．b ＝0i ＋6j ，∴b ＝(0,6)，c ＝－2i －5j ，∴c ＝(－2，－5)．解法二：分别将向量a ，b ，c 的始点平移到原点，则终点坐标即为向量的坐标，得a ＝(－4,0)，b ＝(0,6)，c ＝(－2，－5)．解法三：根据一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，知a ＝(－6,2)－(－2,2)＝(－4,0)；b ＝(2,6)－(2,0)＝(0,6)；c ＝(－3，－6)－(－1，－1)＝(－2，－5)．4．设AB→＝(－2，－5)，B 点坐标为(－1,3)，则A 点坐标为________． 答案 (1,8)解析 设A (x ，y )，则⎩⎨⎧－1－x ＝－23－y ＝－5，解得x ＝1，y ＝8，即A (1,8)．5．已知a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8,16)，求a 和b . 解 解法一：设a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，则有⎩⎨⎧ m ＋p ＝2，n ＋q ＝－8，m －p ＝－8，n －q ＝16，解得⎩⎨⎧ m ＝－3，n ＝4，p ＝5，q ＝－12.所以a ＝(－3,4)，b ＝(5，－12)．解法二：a ＝12[(a ＋b )＋(a －b )]＝(－3,4)，b ＝12[(a ＋b )－(a －b )]＝(5，－12)．。
高中数学人教A版(2019)必修第二册 6.3.1平面向量基本定理说课稿
高中数学人教A版（2019）必修第二册6.3.1平面向量基本定理说课稿一、教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修2第六章《平面向量及其应用》第三节《平面向量基本定理及其坐标表示》第一课时。
本节首先由向量的概念和运算得出平面向量基本定理.平面向量基本定理是平面向量中的重要内容.此定理表明平面内的任一向量可以由同一平面内的两个取定的不共线向量表示，而且表示式是唯一的.因而向量的运算可以归结为两个取定的不共线向量的运算，这为利用向量运算解决问题带来了方便.由此定理还可引出向量的坐标的概念，进而引出向量运算的坐标表示。
1.平面向量基本定理平面向量基本定理告诉我们，同一平面内任一向量都可表示为两个取定的不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一个点都可以通过取定的两个不共线的向量得到表示。
也就是说，平面内的任意一个点可以由平面内的一个点及两个取定的不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因，下面对其中的思想作一概述.用向量表示几何元素是容易的，并且很直接.选一个定点，那么，任何一个点都可以用一个向量来表示.对于一条直线l，如果我们的兴趣只在于它的方向，那么用一个与l平行的非零向量图片就行了；如果想确定这条直线的位置，则还要在l上任选一点。
这样，一个点A，一个向量图片就在原则上确定了直线l，这是对直线的一种定性刻画。
如果想具体地表示l上的每一个点，我们需要实数k和向量图片的乘法图片.这时，l上的任意一点X都可以通过点A和某个图片来表示（图6-17）.希望在“实际”上控制直线l，可以看作是引入图片的一个原因.再来看平面.两条相交直线确定一个平面 a.一个定点，两个不共线的向量便“原则”上确定了平面α，这是对平面的一种定性刻画.但在讨论几何问题时，常常涉及平面α上的某一点X，为了具体地表示它，我们需要引进向量的加法.这时，平面α上的点X就可以表示为（相对于定点A），这样点X 就成为可操作的对象了（图6-18）.在解决几何问题时，这种表示能发挥很重要的作用.虽然向量的加法、数乘运算有非常坚实的物理背景，但当我们舍弃了这种背景而只从纯粹数学的角度来看问题的话，上述考虑可使我们看到引进相应的向量运算的理由，这可以使我们更容易接受并喜爱向量运算。
6.3平面向量基本定理及坐标表示
数学 必修 第二册
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【变式 2】 在△ABC 中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，点 M，N 分别是 AB，AC 的中点，点 D 是 BC 的中点，MN 与 AD 交于点 F， 求D→F的坐标．
解析 因为 A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，所以A→B＝(3－7，5－8) ＝(－4，－3)，A→C＝(4－7，3－8)＝(－3，－5)．又 D 是 BC 的中 点，所以A→D＝12(A→B＋A→C)＝－72，－4.因为 M，N 分别为 AB，AC 的中点，所以 F 为 AD 的中点．所以D→F＝－21A→D＝74，2.
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【例题 2】 已知平面上三个点 A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求A→B， A→C，A→B＋A→C，A→B－A→C，2A→B＋12A→C.
思维导引：先求出向量的坐标，再根据运算法则进行求解． 解析 因为 A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，所以A→B＝(7－4，5－6) ＝(3，－1)，A→C＝(1－4，8－6)＝(－3,2)，所以A→B＋A→C＝(3，－ 1)＋(－3,2)＝(0,1)，A→B－A→C＝(3，－1)－(－3，2)＝(6，－3)，2A→B
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3．向量的坐标表示 在向量 a＝(x，y)的直角坐标平面中，___x___叫做 a 在 x 轴上 的坐标，___y___叫做 a 在 y 轴上的坐标，___a_＝__(x_，__y_)_叫做向量 a 的坐标表示． 4．在向量的直角坐标平面中，i＝__(_1_,0_)__，j＝__(_0_,1_)__，0＝ (0,0)．
平面向量数乘运算的坐标表示课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
问题2 如何用坐标表示向量共线的条件?
设
a // b (b 0) 存在实数λ，使
a b
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x2 , y2 )
消去λ，得 x1 y2 x2 y1 0
重要结论2：
a // b (b 0) x1 y2 x2 y1 0
们是同向还是反向?
解:法一
ห้องสมุดไป่ตู้
ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数λ,使 ka+b=λ(a-3b).
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4).
- = ,
得
解得 k=λ=- .
,
2
2
所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,
解得 k=- .
所以 ka+b=(- , )=- (10,-4)=- (a-3b),
故 ka+b 与 a-3b 反向.
【课本例题8】已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），判断A，B，
C三点之间的位置关系．
【解析】在平面直角坐标系中作出A,B,C三点，观察图形，
＝(1 , 1 )，＝(2 , 2 )
向量与共线
(1 , 1 )，(2 , 2 )
点满足＝
(1 , 1 )，(2 , 2 )
点为中点
1 2 －2 1 ＝0
1 + 2 1 + ��2
必修第二册6.3.2-6.3.4向量正交分解,坐标运算,共线判断 课件(共16张PPT)
3 4
2 5
x y
0得 0
x 5
y
1
F3
(5,1)
例3.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标
分别是(- 2,1),(-1,3),(3,4),求顶点D的坐标. y
解：设顶点D的坐标为（x, y)
AB (1 (2),31) (1,2)
DC (3 x,4 y)
C B
D A
思考:已知 a (x1, y1),b (x2, y2),求a b, a b,a的坐标.
(1)a b x1i y1 j x2i y2 j x1 x2 i y1 y2 j
(x1 x2 , y1 y2 )
(2)a b (x1 x2, y1 y2 )
(3)a (x1, y1)
D3
C B
A
D1
O
x
当平行四边形为ACDB时，得D2=(4, 6)
当平行四边形为DACB时，得D3=(6, 0)
思考：如何用坐标来表示两个向量的共线关系？
a
b
共线向量的坐标关系：a//b x1y2 x2 y1 0
例 4.(1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 λ a＋b 与 c＝(－4,－7)共线，
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便.
思考：在平面直角坐标系中
点 向量(x, y)？ Nhomakorabea向量的坐标表示： a = ( x, y )
y
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、 yj
a
j作为基底.
任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只 j
有一对实数x、 y, 使得 a= x i+y j
复习回顾：平面向量基本定理
高中数学必修二课件：平面向量数乘运算的坐标表示
【讲评】 准确运用向量线性运算的坐标公式，利用“坐标对应成比例” 熟记向量共线的坐标表示，应用时写为等积式形式．
(2)O是坐标原点， O→A ＝(k，12)， O→B ＝(4，5)， O→C ＝(10，k)．当k为何值 时，A，B，C三点共线？
【思路】 由A，B，C三点共线可知，A→B，A→C，B→C中任意两个共线，用坐 标表示共线条件，解方程可求得k值．
【解析】 ①12×(－3)－34×(－2)＝－32＋32＝0， ∴a∥b. ②0.5×64－4×(－8)＝32＋32＝64≠0，∴a不平行于b. ③2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a不平行于b. ④2×2－3×－43＝4＋4＝8≠0，∴a不平行于b.
(2)已知 O→A ＝(k，2)， O→B ＝(1，2k)， O→C ＝(1－k，－1)，且相异三点A，B， C共线，则实数k＝___－_14____．
(3)已知a＝(10，－4)，b＝(3，1)，c＝(－2，3)，试用b，c表示a.
【思路】 关键是找到实数λ，μ，使得a＝λb＋μc. 【解析】 设a＝λb＋μc(λ，μ∈R)，
则(10，－4)＝λ(3，1)＋μ(－2，3)
＝(3λ，λ)＋(－2μ，3μ)＝(3λ－2μ，λ＋3μ)． 依题设得3λλ＋－32μμ＝＝－104，，解得λμ＝ ＝2－，2.
方法二：∵G为△ABC的重心，设G(x0，y0)， 则xy00＝ ＝21＋＋323＋＋（ 34＝－731，）＝43，即G43，73， ∴A→G＝43，73－(2，1)＝－23，43.
课后巩固
1．若O (0，0)，A(1，2)，且O→A′＝2O→A. 则A′点坐标为( C )
A．(1，4)
B．(2，2)
答：(1)× (2)× (3)√ (4)√
6-3-3平面向量加、减、数乘运算的坐标表示 课件20张-人教A版(2019)高中数学必修第二册
6.3.3 平面向量加、减、数乘运算的坐标
表示
复习引入
平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于
这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a=λ1e1+λ2e2.
e1
e1
a
O
e2
e2
a
探究新知
思考：向量的坐标与点的坐标有何联系与区别？
(-2, 1)，(-1, 3)，(3, 4)，求顶点D的坐标．
解法2：如图，由向量加法的平行四边形
法则可知 BD ＝ BA ＋BC ＝(-2-(-1),1-3)
＋(3-(-1),4-3)＝(3,-1)，
而 OD ＝ OB ＋ BD ＝(-1,3)＋(3,-1)
＝(2,2)，
所以顶点D的坐标为(2，2)．
∴a＋b＝(2,1) ＋(－3，4)＝(－1，5)，a－b＝(2,1) －(－3，4)＝(5，－3)，
3a＋4b＝3(2,1) ＋4(－3，4)＝(6,3) ＋(－12，16)＝(－6,19)。
典例分析
例3 如图，已知□ABCD的三个顶点A, B, C的坐标分别是
(-2, 1)，(-1, 3)，(3, 4)，求顶点D的坐标．
目标检测
2．在下列各小题中，已知A、B两点的坐标，分别求 AB ， BA
的坐标：
（1）A（3，5），B（6，9）；
（2）A（－3，4），B（6，3） ；
（3）A （0，3）， B（0，5）；
（4）A （3，0）， B（8，0）．
的位置的坐标．
2.求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点
坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该
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6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（第1课时）【学习目标】一．平面向量的正交分解把一个向量分解为 的向量，叫做把向量正交分解． 二．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使a ＝x i ＋y j ，我们把有序实数对 叫做向量a 的坐标，记作a ＝ ，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．在向量的直角坐标中i ，j ，0的坐标分别为i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． 三．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，λ∈R ，则①a ＋b ＝ ； ②a －b ＝ ； ③λa ＝ ．(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 坐标减去 坐标． 注意：(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．(2)已知向量AB→的起点A (x 1，y 1)，终点B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )．( )(2)若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2.( ) (3)若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的始点是原点O .( ) (4)若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )．( )2.已知A (3，1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( )A ．(－2，－1)B ．(2，1)C ．(1，2)D ．(－1，－2)【经典例题】题型一 平面向量的坐标表示点拨： (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．例1 分别用基底{ i ，j }表示向量a ，b ，c ，d ，并求出它们的坐标。
【跟踪训练】1 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，（1）求向量OA→的坐标；（2）若B (3，－1)，求BA →的坐标．【跟踪训练】3题型二 平面向量的坐标运算点拨： (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行例2 已知a ＝(2,1)，b ＝(－3，4)，求a ＋b ， a －b ，3a ＋4b 坐标。
【跟踪训练】2（1）已知A ，B ，C 的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，则AB →＋2BC →＝____________，BC→－12AC →＝____________．题型三 向量坐标运算的综合应用例3.已知▱ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(－2,1)，(－1,3)，(3,4)，求顶点D 的坐标． 分析：教材P30例，解法1利用向量相等(即AB →＝DC →)求解，解法2利用向量的加法求解．想一想还有别的方法吗？【跟踪训练】3已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)，及OP →＝OA →＋tAB →.(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？(2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【当堂达标】1.设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA→＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( ) A ．(1，－2) B ．(7,6) C ．(5,0) D ．(11,8) 2.已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6) D ．(2,0)3．已知MA→＝(－2，4)，MB →＝(2，6)，则12AB →等于( )A ．(0，5)B ．(0，1)C ．(2，5)D ．(2，1)4.在▱ABCD 中，A ＝(1,2)，B ＝(3,5)，AD→＝(－1,2)，则AC →＋BD →＝( )A ．(－2,4)B ．(4,6)C ．(－6，－2)D ．(－1,9)5.已知A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，0)，D (x ，y )，且AC→＝2BD →，则x ＋y ＝________．6.已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n的值．【课堂小结】平面向量坐标运算的技巧:(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．【参考答案】【自主学习】两个互相垂直 (x ，y ) (x ，y ) (x 1＋x 2，y 1＋y 2) (x 1－x 2，y 1－y 2) (λx 1，λy 1) 终点 起点 【小试牛刀】1. (1)√ (2)× (3)× (4)×2.C【经典例题】 例1 解：由图可知a ＝2i ＋3j ＝(2，3)，b ＝－2i ＋3j ＝(－2，3)，c ＝－2i －3j ＝(－2，－3)，d ＝2i －3j ＝(2，－3). 【跟踪训练】1解：(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos 60°＝23，y ＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，OA→＝(23，6)． (2) BA→＝OA →－OB →＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7). 例2解：∵a ＝(2,1)，b ＝(－3，4)，∴a ＋b ＝(2,1) ＋(－3，4)＝(－1，5)，a －b ＝(2,1) －(－3，4)＝(5，－3)， 3a ＋4b ＝3(2,1) ＋4(－3，4)＝(6,3) ＋(－12，16)＝(－6,19)。
【跟踪训练】2（1）(－18，18) (－3，－3) 解析：因为A (2，－4)，B (0，6)，C (－8，10)， 所以AB→＝(－2，10)，BC →＝(－8，4)，AC →＝(－10，14)， 所以AB →＋2BC →＝(－18，18)，BC →－12AC →＝(－3，－3)．（2）已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求点M ，N 的坐标．（2）[解] 解法一：∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，∴CA→＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，CB →＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)． ∵CM→＝3CA →，CN →＝2CB →，∴CM →＝3(1,8)＝(3,24)，CN →＝2(6,3)＝(12,6)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3,24)，CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12,6)，∴⎩⎨⎧ x 1＋3＝3，y 1＋4＝24，⎩⎨⎧ x 2＋3＝12，y 2＋4＝6.解得⎩⎨⎧ x 1＝0，y 1＝20，⎩⎨⎧x 2＝9，y 2＝2.∴M (0,20)，N (9,2)． 解法二：设O 为坐标原点，则由CM→＝3CA →，CN →＝2CB →， 可得OM→－OC →＝3(OA →－OC →)，ON →－OC →＝2(OB →－OC →)， ∴OM→＝3OA →－2OC →，ON →＝2OB →－OC →.∴OM→＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(0,20)，ON →＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9,2)． ∴M (0,20)，N (9,2)．例3 解：方法1(利用平行四边形对边对应的向量相等，即AD →＝BC →)如图①，设顶点D 的坐标为(x ，y )，在▱ABCD 中，AD →＝BC →，又AD→＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(4,1)， ∴(x ＋2，y －1)＝(4,1)，即⎩⎨⎧ x ＋2＝4，y －1＝1，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，∴顶点D 的坐标为(2,2)．方法2(利用向量加法)如图②，设顶点D 的坐标为(x ，y )，并连接OA ，OD ，则OD →＝OA →＋AD →.∵AD→＝BC →， ∴OD→＝OA →＋BC →， ∴(x ，y )＝(－2,1)＋(4,1)＝(2,2)． ∴顶点D 的坐标为(2,2)．方法3(利用向量减法)如图③，设顶点D 的坐标为(x ，y )，并连接OA ，OD ，则OD →＝AD →－AO →，∵AD→＝BC →，∴OD →＝BC →－AO →， ∴(x ，y )＝(4,1)－(2，－1)＝(2,2)， ∴顶点D 的坐标为(2,2)．方法4(利用中点的向量表达式)如图④，在▱ABCD 中，设AC 的中点为M ，则点M 也是BD 的中点．∵OM→＝12(OA →＋OC →)＝12(OB →＋OD →)， ∴OA→＋OC →＝OB →＋OD →，∴OD→＝OA →＋OC →－OB →＝(－2,1)＋(3,4)－(－1,3)＝(2,2)． ∴顶点D 的坐标为(2,2)．【跟踪训练】3【解】 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1，2)＋t (3，3)＝(1＋3t ，2＋3t )．若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13. 若点P 在第二象限，则⎩⎨⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，所以－23＜t ＜－13.(2)OA→＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →，所以⎩⎨⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能为平行四边形．【当堂达标】1.D 解析：选D 因为OA→＝(4,2)，OB →＝(3,4)，所以2OA →＋OB →＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．故选D.2.A 解析：选A b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．故选A ．3.D 解析：选D.12AB →＝12(MB →－MA →)＝12(2，6)－12(－2，4)＝(2，1)．4.A 解析：在▱ABCD 中，因为A (1,2)，B (3,5)，所以AB→＝(2,3)．又AD →＝(－1,2)，所以AC →＝AB →＋AD→＝(1,5)，BD →＝AD →－AB →＝(－3，－1)，所以AC →＋BD →＝(－2,4)，故选A ． 5. 112 解析：因为AC→＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，BD →＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)，又2BD→＝AC →，即(2x －4，2y －6)＝(－1，2)， 所以⎩⎨⎧2x －4＝－1，2y －6＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，所以x ＋y ＝112.6.解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎨⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－1.。