4_2刚体的定轴转动定律(2)

y
y
dA
x
dy
hy
x
O
Q
O
解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积元 dA Ldy
作用在此面积元上的力
dF pdA pLdy
§2-2 刚体的定轴转动定律
h 100m
L 1000m
dF pdA pLdy
y
令大气压为 p0 ，则
p p0 g(h y) h y
dF [ p0 g(h y)]Ldy O
FT1 mAa
mBg FT2 mBa
RFT2 RFT1 J
a R
§2-2 刚体的定轴转动定律
a
mB g
mA mB mC 2
FT1
mA
mAmB g mB mC
2
A mA
FT1
C mC FT2
FT2
(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
§2-2 刚体的定轴转动定律
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
d
rj
ri
i
j
Fji Fij
M ji
Mij M ji
§2-2 刚体的定轴转动定律
例6 有一大型水坝高110 m、长1000m，水深100m， 水面与大坝表面垂直，如图所示 . 求作用在大坝上的力， 以及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
dA
dy
x
F
h
0 [ p0 g(h y)]Ldy
p0
Lh
1 2
gLh2
代入数据，得
F 5.911010 N
§2-2 刚体的定轴转动定律
h 100m L 1000m
dF
[
p0
g (h
y)]Ldy
dF 对通过点 Q 的轴的力矩 h
y
dF
dy
y
dM ydF
O
Q
dM y[ p0 g(h y)]Ldy
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
z
M
Ft
F
O
r m
Fn
z
O rj
Fej
m j
Fij
§2-2 刚体的定轴转动定律
Mej Mij mjrj2
j
j
Mij M ji Mij 0
j
Mej ( mjrj2 )
j
定义转动惯量 J mjrj2
j
转动定律
M J
z
O rj
F
F
Fi 0 , Mi 0
§2-2 刚体的定轴转动定律
讨论
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方向的两个分量
F Fz F
其中 Fz 对转轴的力
矩为零，故 F 对转轴的
力矩
Mzk
r
F
M z rF sin
z
k
Fz
F
O r F
2）合力矩等于各分力矩的矢量和 M M1 M2 M3
mB B
擦力矩为 M f 再求线加速度及绳的张力.
§2-2 刚体的定轴转动定律
A
mA
FT1
C
mC
FN mA FT1
FT2
PA
O
x mB B
FT1
FC
FT2
O
PC
FT2
mB PB y
解 （1）隔离物体分 别对物体A、B 及滑轮作 受力分析，取坐标如图， 运用牛顿第二定律 、转 动定律列方程 .
➢ 质量连续分布刚体的转动惯量
J mjrj2 r2dm dm ：质量元 j
对质量线分布的刚体： dm dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体： dm dS
：质量面密度
对质量体分布的刚体：dm dV
：质量体密度
§2-2 刚体的定轴转动定律
注意 转动惯量的大小取决于刚体的质量、形
0
3
§2-2 刚体的定轴转动定律
例4 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通
过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ，
r 在盘上取半径为 ，宽为 dr
的圆环
圆环质量 dm 2π rdr
O
RR
r
dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r2dm 2π r3dr
J R 2π r3dr π R4
h
M 0 y[ p0 g(h y)]Ldy
1 2
p0 Lh2
1 6
gLh3
代入数据，得
M 2.141012 N m
§2-2 刚体的定轴转动定律
六 转动定律
1）单个质点m 与转
轴刚性连接
Ft mat mr
M rF sin
M
rFt M
mr
mr
2
2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
§2-2 刚体的定轴转动定律
四 转动惯量
J mjrj2 , J r2dm j
➢ 物理意义：转动惯性的量度 .
转动惯量的计算方法
➢ 质量离散分布刚体的转动惯量
J mjrj2 m1r12 m2r22
j
➢ 质量连续分布刚体的转动惯量
J mjrj2 r2dm dm ：质量元 j
§2-2 刚体的定轴转动定律
状及转轴的位置 .
五 平行轴定理
质量为m 的刚体，如果对
其质心轴的转动惯量为 JC ，则
对任一与该轴平行，相距为 d
的转轴的转动惯量
d
C mO
JO JC md 2
P
圆盘对P 轴 的转动惯量
JP
1 mR2 2
mR2
R Om
§2-2 刚体的定轴转动定律
例3 一质量为 m、长为 l 的均匀细长棒，求
通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为
处的质量元 dm dr dJ r2dm r2dr
J 2 l /2 r 2dr 1 l3
0
12
1 ml2
12
如转轴过端点垂直于棒
J l r 2dr 1 ml2
0
2
而 m π R2
所以 J 1 mR2 2
§2-2 刚体的定轴转动定律
五 力矩
刚体绕 O z 轴旋转 , 力F
作平用面在内刚, 体r上为点由点P ,O且到在力转的动
作用点 P 的径矢 .
F
对转轴Z M
的力r矩F
M Frsin Fd
M
O
z
M
r
d
P*
F
d : 力臂
F
F
Fi 0 , Mi 0
Fej
m j
Fij
2
J r dm
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
§2-2 刚体的定轴转动定律
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
源自文库
安
飞轮的质量为什么
全
大都分布于外轮缘？
？
§2-2 刚体的定轴转动定律
例7 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 m的C 圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB的物
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体
A mA
C
mC
B 从静止落下距离 y时，
其速率是多少？（3）若 滑轮与轴承间的摩擦力不
能忽略，并设它们间的摩