刚体定轴转动定律
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刚体定轴转动转动定律
dv c Fe m dt
c
c
c
8/11/2014 3:31:32 PM 4
4.1 刚体的定轴转动 研究作定轴转动的刚体时，只需选取刚体上任意 一点并确定它的运动状态。由于该点绕固定轴线在垂 直于转轴的平面内作圆周运动，取垂直于转轴的平面 为参考面，刚体的位置由确定。 作定轴转动的刚体 可用角位移、角速度、 角加速度描述。
1
4.1 刚体的定轴转动
一.基本概念 如果我们所研究的物体在运动过程中，它的大 小形状基本不变，我们将其抽象为物体在外力的作 用下，内部任意两点间的距离保持恒定，这种理想 化的物体我们称之为刚体。 刚体的运动可分为平 动和转动。若刚体在运动 过程中，所有点的轨迹完 全相等，或者任意两点的 连线总是平行于它的初始 位置。这种运动称作平动。
17
4.2 刚体的转动定律
例题 求通过匀质细棒中垂线和端点垂线的转动惯量。 解: 棒相对通过质心的转动惯量 J x 2dm l / 2 m dm dx dx l
m l/2 2 J x dx l l / 2 l/2 m x 3 l / 2 3l ml 2 J 12
d d , dt dt
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4.1 刚体的定轴转动
平面上刚体的运动可看作是刚体的平动（可以 用质心运动表示）和刚体绕过质心转轴转动（刚体 定轴转动）的叠加。 手榴弹的运动
8/11/2014 3:31:32 PM 6
数理学院
大学物理教学中心
College of Mathematics & Physics
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l/2
y
o
x
dx
c
c
c
8/11/2014 3:31:32 PM 4
4.1 刚体的定轴转动 研究作定轴转动的刚体时，只需选取刚体上任意 一点并确定它的运动状态。由于该点绕固定轴线在垂 直于转轴的平面内作圆周运动，取垂直于转轴的平面 为参考面，刚体的位置由确定。 作定轴转动的刚体 可用角位移、角速度、 角加速度描述。
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4.1 刚体的定轴转动
一.基本概念 如果我们所研究的物体在运动过程中，它的大 小形状基本不变，我们将其抽象为物体在外力的作 用下，内部任意两点间的距离保持恒定，这种理想 化的物体我们称之为刚体。 刚体的运动可分为平 动和转动。若刚体在运动 过程中，所有点的轨迹完 全相等，或者任意两点的 连线总是平行于它的初始 位置。这种运动称作平动。
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4.2 刚体的转动定律
例题 求通过匀质细棒中垂线和端点垂线的转动惯量。 解: 棒相对通过质心的转动惯量 J x 2dm l / 2 m dm dx dx l
m l/2 2 J x dx l l / 2 l/2 m x 3 l / 2 3l ml 2 J 12
d d , dt dt
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4.1 刚体的定轴转动
平面上刚体的运动可看作是刚体的平动（可以 用质心运动表示）和刚体绕过质心转轴转动（刚体 定轴转动）的叠加。 手榴弹的运动
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8/11/2014 3:31:32 PM
l/2
y
o
x
dx
5-刚体的定轴转动
L1 L2
刚体定轴转动的角动量 L=?
z
v
ri mi
O
刚体 定轴
L Li mirivi
m iri(ri) ( miri2)
J M=0的原因，可能
1）F＝0（不受外力） 2）外力作用于转轴上 3）外力作用线通过转轴
4）外力作用线与转轴平行
刚体定轴转动的角动量守恒
L1 L2
J11J22
位置，求它由此下摆角时的角速度。
解：如图建立坐标
x
杆受到的重力矩为：
O
M ＝ gxd g m xdm
X
dm
据质心x定 d＝ m 义 mCx MmgxC
xc
1l 2
cos
M1mgclos
2
dmg
MJJdJ d d J d M dJd
dt d dt d
0 1 2mc go lds 0 Jd
mglsin
端点 o 且与桌面垂直的固定光滑轴转动,另有 一水平运动的质量 m2为的小滑块,从侧面垂直 与杆的另一端 A 相碰撞,设碰撞时间极短,已知 小滑块在碰撞前后的速度分别为 v1 和 v2 ,方 向如图所示,求碰撞后从细杆开始转动到停止 转动过程所需时间,（已知杆绕点 o 的转动惯 量 J= ml2/ 3 )
dLR J2J0m0d2 其中 Jo 12moR2
J J1J2 1 3m LL 21 2m oR 2m o(LR )2
2.对薄平板刚体的正交轴定理
z
Jz miri2
yi
xi
ri
y
m i(x2y2) m ix 2 m iy 2
x
Δmi
Jz JxJy
z
应用
例：已知圆盘
刚体定轴转动定律
角称为角坐标（或角位置）。 角坐标为标量。但可有正负。
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
刚体的定轴转动
第3章 刚体的定轴转动刚体定轴转动所遵从的力学规律，实际上是质点运动的基本概念和原理在刚体中的应用。
重要的概念有转动惯量和力矩。
刚体的动能和角动量都有其特殊的表达式，但守恒定律同样适用于包括刚体的系统。
§1 刚体的运动一 刚体刚体是固体物件的理想化模型。
实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。
如果在讨论一个固体的运动时，这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当做刚体处理。
这就是说，刚体是受力时不改变形状和体积的物体。
刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
既然是一个质点系。
所以关于质点系的基本定律就都可以应用。
当然，由于刚体这一质点系有其特点，所以这些基本定律就表现为更适合于研究刚体运动的特殊形式。
二 刚体的运动形式刚体的运动可以是平动、转动或二者的结合。
如果刚体在运动中，连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行，这样的运动就叫平动。
在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，而且在同一时刻的速度和加速度都相等。
因此在描述刚体的平动时，就可以用一点的运动来代表，通常就用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。
平动是刚体的基本运动形式之一。
转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和定点转动。
定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。
定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
刚体不受任何限制的的任意运动。
它可分解为以下两种刚体的基本运动：随基点（可任选）的平动，绕通过基点的瞬时轴的定点转动。
三 刚体定轴转动的运动学描述刚体的定轴转动是最简单的转动情况。
在这种运动中各质元均做圆周运动，而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴。
刚体绕某一固定转轴转动时，各质元作圆周运动的轨道半径不同，所以各质元的线速度、加速度一般是不同的。
刚体定轴转动定律
R
例题8：
普通物理学教案
如图所示，滑轮半径为r 。 （设绳与滑 轮间无相对滑动）①若m2与桌面间的摩擦系 数为μ，求系统的加速度a 及张力 T1 与 T2； ②若桌面光滑，再求。 解：方法1 按隔离法 力和力矩分析、 建坐标
m2 g
m
T
2
2
J
0
1
Tm 2 g m a 2 2
T r T r J 1 2
线分布
面分布
体分布
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的 刚体才能用积分计算出刚体的转动惯量。
例题1 ：
普通物理学教案
如图套两个质点的细杆长l ， 杆绕空端 转动，分析整个系统绕 o 点的转动惯量。将 两质点换位再作计算。
2 解： 由 J mr i i i
l 2 2 3 2 J 2 m ( ) m l m l 1 2 2
J1 J2
例题3 ：
普通物理学教案
求质量为m 、半径为R 的均匀圆环的转 动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。 解： 取质量元
d m d x
2 J Rd m
O
R
dm
R2 dm
mR2
例题4 ：
普通物理学教案
求质量为m 、半径为R 均匀圆盘的转动 惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 解： 这样的一个圆盘可以视 为半径不等的有宽度的 dr 圆环拼接而成。 r 任取其中一环 d m 2 r d r R 利用前例环的转动惯量结果 2 3 d J rd m 2 rd r R 1 3 rd r R 4 J dJ 2 0 2 m 1 2 J mR 2 R 2
与牛顿定律比较： M J 或
刚体定轴转动定律公式
刚体定轴转动定律公式刚体定轴转动定律是描述刚体绕定轴做转动运动的数学公式。
本文将详细介绍刚体定轴转动定律的公式及相关参考内容。
1.刚体定轴转动定律公式1.1角位移公式刚体绕定轴做转动运动时，它的每一个质点都有一个角位移，角位移是一个标量，用Δθ表示。
角位移与刚体绕定轴转动的弧长有关，它们之间的关系可以用以下公式表示：Δθ = Δl / r其中，Δl表示弧长的长度，r表示刚体绕定轴的半径。
1.2角速度公式角速度是描述刚体绕定轴的旋转速度的物理量，用ω表示，角速度是一个矢量，它的方向垂直于刚体绕定轴的平面，符号和方向由右手定则确定。
角速度与角位移之间的关系可以用以下公式表示：ω = Δθ / Δt其中，Δt表示时间间隔。
1.3角加速度公式角加速度是描述刚体绕定轴转动加速度的物理量，用α表示，角加速度是一个矢量，它的方向也垂直于刚体绕定轴的平面，符号和方向由右手定则确定。
角加速度与角速度之间的关系可以用以下公式表示：α = Δω / Δt其中，Δt表示时间间隔。
1.4力矩公式力矩是描述外力对刚体绕定轴转动影响的物理量，用M表示，力矩是一个矢量，它的方向垂直于刚体绕定轴的平面，符号和方向由右手定则确定。
力矩与角加速度之间的关系可以用以下公式表示：M = I α其中，I表示刚体绕定轴的转动惯量，α表示角加速度。
2.参考内容2.1转动惯量的定义转动惯量是描述刚体绕定轴转动惯性的物理量，用I表示，它反映了刚体对于绕定轴转动的惯性大小。
转动惯量的计算方法取决于刚体的形状和密度分布。
常见的刚体的转动惯量计算公式：(1)矩形薄板绕转轴的转动惯量Izz = 1/12m(a²+b²)其中，m表示薄板的质量，a和b表示薄板的长和宽。
(2)圆环绕轴的转动惯量Izz = mr²其中，m表示圆环的质量，r表示圆环的半径。
2.2角动量的定义角动量是描述刚体绕定轴转动动量的物理量，用L表示，它反映了刚体绕定轴转动的惯性大小和角速度大小。
刚体定轴转动
刚体定轴转动
1.刚体的转动 刚体的转动 在圆盘上任意取一个质元 切向速度： 切向速度：
ω
c
vi = ωri = θri
mi , ri
r i
mi
r ai = ωri = θi = αri 切向加速度： 切向加速度：
角加速度rad
s2
由于质元是任取的，所以刚体上各质元的v 由于质元是任取的，所以刚体上各质元的v、a一般 角加速度α 不同，但角量（角位移θ、角速度ω 、角加速度α）都 不同， 角位移θ 角速度ω 相同，所以描述刚体定轴转动用角量最方便 用角量最方便。 相同，所以描述刚体定轴转动用角量最方便。
刚体定轴 转动定律 对 比 牛顿第二定律
dLc = d (I cω ) = I dω = I α Mc = c c dt dt dt
dp d(mv) dv F= = =m =ma dt dt dt
刚体定轴转动定律在转动问题中的地位相当于质 刚体定轴转动定律在转动问题中的地位相当于质 点运动中牛顿第二定律 牛顿第二定律的 点运动中牛顿第二定律的，各物理量间存在明显的 对应关系。 对应关系。
刚体定轴转动
1
安徽工业大学 数理学院 刘畅
2. 刚体的转动动能和转动惯量 刚体的转动动能 转动动能和 1 2 1 2 2 质元 mi的动能 Eki = mivi = miω ri m i 2 2 r c i 总动能 Ek = ∑Eki 2 1 ω 2 2 2 = ∑ miω ri = ∑miri 2 2 1 I—转动惯量 = Ic ω2 2 单个质点绕定轴转动的转动惯量 单个质点绕定轴转动的转动惯量 I = mr 2 质量连续分布的刚体的转动惯量 I = r dm
dt 若 M =0LΒιβλιοθήκη M =dL∫
1.刚体的转动 刚体的转动 在圆盘上任意取一个质元 切向速度： 切向速度：
ω
c
vi = ωri = θri
mi , ri
r i
mi
r ai = ωri = θi = αri 切向加速度： 切向加速度：
角加速度rad
s2
由于质元是任取的，所以刚体上各质元的v 由于质元是任取的，所以刚体上各质元的v、a一般 角加速度α 不同，但角量（角位移θ、角速度ω 、角加速度α）都 不同， 角位移θ 角速度ω 相同，所以描述刚体定轴转动用角量最方便 用角量最方便。 相同，所以描述刚体定轴转动用角量最方便。
刚体定轴 转动定律 对 比 牛顿第二定律
dLc = d (I cω ) = I dω = I α Mc = c c dt dt dt
dp d(mv) dv F= = =m =ma dt dt dt
刚体定轴转动定律在转动问题中的地位相当于质 刚体定轴转动定律在转动问题中的地位相当于质 点运动中牛顿第二定律 牛顿第二定律的 点运动中牛顿第二定律的，各物理量间存在明显的 对应关系。 对应关系。
刚体定轴转动
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安徽工业大学 数理学院 刘畅
2. 刚体的转动动能和转动惯量 刚体的转动动能 转动动能和 1 2 1 2 2 质元 mi的动能 Eki = mivi = miω ri m i 2 2 r c i 总动能 Ek = ∑Eki 2 1 ω 2 2 2 = ∑ miω ri = ∑miri 2 2 1 I—转动惯量 = Ic ω2 2 单个质点绕定轴转动的转动惯量 单个质点绕定轴转动的转动惯量 I = mr 2 质量连续分布的刚体的转动惯量 I = r dm
dt 若 M =0LΒιβλιοθήκη M =dL∫
大学物理Ⅰ刚体定轴转动的转动定律
第五章 刚体的定轴转动
5.1刚体运动的描述
一.刚体
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组）
（1）刚体的运动
刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
F F11 F
其中F11对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的力矩
M zk r F
z
k F11
F
O r
F
M z rF sin
2）合力矩等于各分 力矩的 矢量和 M M1 M2 M3
第五章 刚体的定轴转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M
rdf
l
grdr
0
1 gl 2
2
1 mgl
2
dm dl
dm ds
dm dV
其中、、分别
为质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
第五章 刚体的定轴转动
m 例1 一质量为 、长为 l 的均匀细长棒，求通过棒中
心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质
fi
第五章 刚体的定轴转动
M i外 M i内 miri2
i
i
i
Mi内 0
i
M i外 ( miri2 )
i
i
z
O rj
5.1刚体运动的描述
一.刚体
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组）
（1）刚体的运动
刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
F F11 F
其中F11对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的力矩
M zk r F
z
k F11
F
O r
F
M z rF sin
2）合力矩等于各分 力矩的 矢量和 M M1 M2 M3
第五章 刚体的定轴转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M
rdf
l
grdr
0
1 gl 2
2
1 mgl
2
dm dl
dm ds
dm dV
其中、、分别
为质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
第五章 刚体的定轴转动
m 例1 一质量为 、长为 l 的均匀细长棒，求通过棒中
心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质
fi
第五章 刚体的定轴转动
M i外 M i内 miri2
i
i
i
Mi内 0
i
M i外 ( miri2 )
i
i
z
O rj
[理学]第5章 刚体的定轴转动_OK
J 2
x 2dm l x2dx 1 ml 2
0
3
o
dx
dm
17 x
图(2)
记住几个典型的转动惯量：
*圆环（通过中心轴）………………… J = mR2
*圆盘、圆柱（通过中心轴）………… J 1 mR2 2
*细棒（端点垂直轴）…………………J A
1 3
m L2
*细棒（质心垂直轴）…………………J c
滑轮的角速度．
解：两重物加速度大小a相同，滑轮角加速度为
隔离物体分析力方向如图
由牛顿第二定律： m1g－T1＝m1a T2－m2g＝m2a
转动定律： (T1－T2)r＝Jb 且有： a＝rb
T1 T1 a m1 m1g
r T2
m2 T2 a
m2g
解方程组得：
m1 m2 gr m1 m2 r 2 J
转动平面: 取垂直于转轴 的平面为参考系, 称转动平面。,
转轴
Z 转动方向
vi
Δmi
转动平面
P
o θ
x
op r
2.定轴转动的角量描述
1.角位置θ
6
2.角位移
3.角速度: d 角速度是矢量 。dt
单位：rad/s
Zω 转动方向
v
方向与转动方向成 右手螺旋法则。
P点线速度 v r
Ｐ
o θ 转动平面 op r
第五章 刚体的定轴转动
转轴
1
一、力矩
复习
M rF
1. 大小：M = rFsinθ
2.方向：由右手螺旋定则确定。
Z F// F
O r F⊥ p
注意：上式中F指的是与转轴垂直平面(转动平面)上的力，
第五章 刚体的定轴转动
单位: 单位:rad / s 角速度
刚体定轴转动
ω
v 的方向按右手螺旋法则确定. 的方向按右手螺旋法则确定.
在定轴转动中, 在定轴转动中,角速度的方向 沿转轴方向. 沿转轴方向.
角加速度α 角加速度
v ω
2
ω dω d θ = = 2 α = lim t →0 t dt dt
单位: 单位:rad /s 2 角加速度也是矢量, 角加速度也是矢量,方向与角速度增量 的极限方向相同,在定轴转动中, 与 同向 的极限方向相同,在定轴转动中,α与ω同向 或反向. 或反向. 刚体的转动其转轴是可以改变的, 刚体的转动其转轴是可以改变的,为反映瞬时轴的方 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 注意 退化为代数量. :定轴转动时, ω,α退化为代数量. 定轴转动时, 退化为代数量
刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合. 刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合.
1. 用角量描述转动 (1) 角位移 θ : ) 时间内刚体转动角度. 在 t 时间内刚体转动角度. 单位: 单位:rad (2)角速度 ω : )
z θ
B A
θ dθ ω = lim = t →0 t dt
●
r2
转动惯量的定义: 转动惯量的定义:
J = ∑mi ri
2
对质量连续分布的刚体, 对质量连续分布的刚体,上式可写成积分形式
J = ∫ r dm
2
dm—质元的质量 质元的质量 r—质元到转轴的距离 质元到转轴的距离
线分布 dm = λdx 面分布 dm = σds 体分布 dm = ρdV
λ 是质量的线密度
F iz
ri = roi sinθ
刚体定轴转动
ω
v 的方向按右手螺旋法则确定. 的方向按右手螺旋法则确定.
在定轴转动中, 在定轴转动中,角速度的方向 沿转轴方向. 沿转轴方向.
角加速度α 角加速度
v ω
2
ω dω d θ = = 2 α = lim t →0 t dt dt
单位: 单位:rad /s 2 角加速度也是矢量, 角加速度也是矢量,方向与角速度增量 的极限方向相同,在定轴转动中, 与 同向 的极限方向相同,在定轴转动中,α与ω同向 或反向. 或反向. 刚体的转动其转轴是可以改变的, 刚体的转动其转轴是可以改变的,为反映瞬时轴的方 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 注意 退化为代数量. :定轴转动时, ω,α退化为代数量. 定轴转动时, 退化为代数量
刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合. 刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合.
1. 用角量描述转动 (1) 角位移 θ : ) 时间内刚体转动角度. 在 t 时间内刚体转动角度. 单位: 单位:rad (2)角速度 ω : )
z θ
B A
θ dθ ω = lim = t →0 t dt
●
r2
转动惯量的定义: 转动惯量的定义:
J = ∑mi ri
2
对质量连续分布的刚体, 对质量连续分布的刚体,上式可写成积分形式
J = ∫ r dm
2
dm—质元的质量 质元的质量 r—质元到转轴的距离 质元到转轴的距离
线分布 dm = λdx 面分布 dm = σds 体分布 dm = ρdV
λ 是质量的线密度
F iz
ri = roi sinθ
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M z＝ M zi
5
合外力矩
o
二. 刚体定轴转动定律 1 。一个质点的情况 见右下平面图 法向力 切向力
o
F
Fn 对轴的矩为零
F ma mr
对轴的矩
F F
Mz rF mr 2
r
Fn
F
2。连续质量分布刚体的情况 设某刚体绕固定轴—Z轴转动 （刚体类似于多质点系） Z 取质量元mi，其到转轴的距离 Fi ri 受力如图示，根据牛顿定律： f
A
二. 刚体平动的描述
刚体的平动 1。质心的位矢 设N个质点m1,m2,,mN， 定义： 质心的位矢 对应的位矢 可用质心运动来代表整体的运动
miri rc mi
xc 1 xdm M yc 1 ydm M zc 1 zdm M
r1, r2 rN
xc 1 mi xi M yc 1 mi yi M
zc 1 mi zi M
质心 重心
2。质心运动定理
drc d 1 质心的速度： Vc ( miri ) dt dt M 1 m dri 1 m v i i M i dt M dVc d ( 1 m v ) 质心的加速度： ac dt M i i dt 1 m dvi 1 miai i dt M M 设mi 受力 Fi外、fi内 则： miai Fi fi 0 M miai Fi fi F合外 对所有质点求和： M F合外 Mac —— 质心运动定理
2
若桌面光滑，摩擦力矩为零
解法2
由系统角动量定理
取 m1 、m2 、 J 为系统
m2 g
m2
T2
J 0
（任一时刻）（对滑轮转轴） 外力矩
T1 m1 m1 g y
M m1 gr m2 g r
L m1r 2 m2r 2 J 系统的角动量
由角动量定理
dL M dt
d 2 2 m1 gr m2 g r (m1r m2 r J ) dt
M rF sin roF
F 2） 不在垂直oo 的平面内 o o F// F F 总可分解成两个分量： F r 对刚体绕oo
. P
ro
r F
. P
o
F F F// 轴转动无贡献 计算力矩时只需考虑 F 的力矩
2.转动 如果刚体上所有各点绕同 一直线（转轴）作圆周运动， 则称为刚体的转动。
转动时，轴外各 点在同一时间间隔内 走过的弧长虽然不一 样，但角位移全同。
固定转轴：转轴不随时间变化 —— 刚体定轴转动 瞬时转轴：转轴随时间变化 —— 一般转动
3.刚体的一般运动 在研究刚体一般运动时，我们一般将它分解为 质心的平动（应用质心运动定理）和刚体绕过质心 轴的转动（应用转动定律）。
d Mz J J dt
M
a
m
F
m 反映质点的平动惯性 J 反映刚体的转动惯性
J
3。理解注意
dω Jβ dLz （1） M z M iz dt J dt i 1 这是角动量定理在刚体定轴转动情形下的特例 M z 是合外力矩
n
（2） 这条定律表明，刚体绕定轴转动时，它的角加 速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对 转轴的转动惯量成反比。 （3） 内力矩成对抵消，不能改变刚体的角动量，因 而不能改变刚体的角速度。
a r
T1
对质点用牛顿定律
m1 m1 g y
对刚体用转动定律
限制性条件
解得：
m1 m2 a g 2 m1 m2 J / r
( m2 m2 J / r ) T1 m1 g 2 m1 m2 J / r
2
(m1 m1 J / r ) T2 m2 g 2 m1 m2 J / r
例如，一个车轮的滚 动，可以分解为车轮随着 转轴的平动和整个车轮绕 转轴的转动。
A
B
一个汽车轮子在 地上的滚动
A、B、C、…各点的
C
B
o
A A C
C
A C
运动都不相同
o
B
o
B
B C
刚体的运动＝平动＋转动
平动：刚体上所有点运动状态都相同 转动：各质元均作圆周运动
o o轮子的平动
o
绕过o 轴的转动
三. 转动惯量及计算 对刚体定义
J r 2dm
—转动惯量
单位：kg∙m2
质量连续分布 质量离散分布
J r 2dm
J mi ri 2
i
单质点
dm ─质量元
J mr
2
mi ─第 i 个质点的质量 ri
─ m到转轴的距离 i
r ─ dm到转轴的距离
质量为线分布 质量为面分布
转动平 面
o
r
·
p
6.2 刚体的定轴转动定律
一. 刚体定轴转动所受力矩
M r F
力矩
一般定义：
此处 M
即可是对某点也可是对某轴而言
o
当刚体作定轴转动时，力矩 就可以用标量来表示。 习惯上 把定轴用z表示 力矩 表示为
Mz
oห้องสมุดไป่ตู้
F 1） 在垂直oo 的平面内
o
ro fj fi
M (m r 2) ii | ri Fi | 合外
0
由
定义
M合外 ( m r 2)
ii 2
J miri
——刚体对定轴（z 轴）的 转动惯量
则有 M z J ——定轴转动定律
与牛顿定律比较： M J 或
F ma
6.1 刚体的运动与描述
质点的运动只代表物体的平动，物体实际上是 有形状、大小的，它可以平动、转动，甚至更复杂 的运动。因此，对于机械运动的研究，只限于质点 的情况是不够的。
刚体是一种特殊的质点系，无论在多大外力作 用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。 即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体（rigid body ）。 刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑它的 形变，刚体同质点一样，也是一个理想化模型。
一、刚体的运动 1.平动
固联在刚体上的任一 条直线，在各个时刻的位 臵始终保持彼此平行的运 动，叫做刚体的平动。 刚才的动画演示了一个圆柱体的平动。在运动 过程中，我们看到，刚体中所有质点的位移都是相 同的。 而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也 都相同。这时我们可以选取刚体上任一点的运动来 代表刚体的运动。
m1 gr m2 g r (m1r 2 m2r 2 J )
这也是定轴转动定律(整体分析方法) 由
a/r
m2 g
m2
T2
J 0
m1 m2 g 解得： a 2 m1 m2 J / r
再由牛顿定律可得张力。
T1 m1 m1 g y
例题9 ：
普通物理学教案
例题3 ：
普通物理学教案
求质量为m 、半径为R 的均匀圆环的转 动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。 解： 取质量元
dm dx
J R2dm R2 dm
mR 2
O
R
dm
例题4 ：
普通物理学教案
求质量为m 、半径为R 均匀圆盘的转动 惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 解： 这样的一个圆盘可以视 为半径不等的有宽度的 圆环拼接而成。 任取其中一环 dm 2 rdr 利用前例环的转动惯量结果 dJ r 2dm 2 r 3dr R 1 3 J dJ 2 r dr R 4 0 2 m 2 R
即：质心运动如同一质点，只是将质量全部集中于该点， 所受的力是质点系受的所有外力。 注：质心上可能既无质量，又未受力。
miri rc mi
2
三. 刚体（定轴）转动的角量描述
角位臵θ
角速度ω
d ＝lim dt t 0 t
角加速度α
d d 2 ＝lim 2 dt dt t 0 t
1 2 m ( R2 R12 ) 2
R2
R1
R2
例题6 ：
普通物理学教案
质量为m 半径为R 的匀质薄球壳绕过中 心轴的转动惯量。 解：在球面取一圆环带， 半径 r R sin m dm 2 rRd 2 4 R
R sin d
J r 2dm
2 2 mR sin d mR 2 3 0
2 3
2
例题7 ：
普通物理学教案
质量为m 半径为R 的匀质球体绕过球心 轴的转动惯量。 解： 把球体看作无数个同心薄球壳的组合
3m 2 dm 4 r dr 3 r dr 4 R R3 3
2
m
2 J dJ dm r 2 3
M
R
2 2m 4 mR 2 3 r dr 5 R 0
一根均质细杆（ m 、L ），一端可在竖直平 面内自由转动。杆最初静止在水平位臵，由 此下摆 角求角加速度和角速度。 解： 以杆为对象 下摆过程重力矩做功 取质元 dm dl 当杆处在下摆 角时，该质 量元所受重力对 o 点的矩为 dM dm g l cos λgl cos dl θ θ o
ri
i
i mi
i
Fi fi miai
各质元加速度不同， 但角加速度相同
Fi sini fi sini miai 用 ri乘以上式：Fi sini ri fi sini miriai ri 2 a r ri Fi sini ri fi sini miri 2 将所有质元相加： ri Fi sini ri fi sini miri
5
合外力矩
o
二. 刚体定轴转动定律 1 。一个质点的情况 见右下平面图 法向力 切向力
o
F
Fn 对轴的矩为零
F ma mr
对轴的矩
F F
Mz rF mr 2
r
Fn
F
2。连续质量分布刚体的情况 设某刚体绕固定轴—Z轴转动 （刚体类似于多质点系） Z 取质量元mi，其到转轴的距离 Fi ri 受力如图示，根据牛顿定律： f
A
二. 刚体平动的描述
刚体的平动 1。质心的位矢 设N个质点m1,m2,,mN， 定义： 质心的位矢 对应的位矢 可用质心运动来代表整体的运动
miri rc mi
xc 1 xdm M yc 1 ydm M zc 1 zdm M
r1, r2 rN
xc 1 mi xi M yc 1 mi yi M
zc 1 mi zi M
质心 重心
2。质心运动定理
drc d 1 质心的速度： Vc ( miri ) dt dt M 1 m dri 1 m v i i M i dt M dVc d ( 1 m v ) 质心的加速度： ac dt M i i dt 1 m dvi 1 miai i dt M M 设mi 受力 Fi外、fi内 则： miai Fi fi 0 M miai Fi fi F合外 对所有质点求和： M F合外 Mac —— 质心运动定理
2
若桌面光滑，摩擦力矩为零
解法2
由系统角动量定理
取 m1 、m2 、 J 为系统
m2 g
m2
T2
J 0
（任一时刻）（对滑轮转轴） 外力矩
T1 m1 m1 g y
M m1 gr m2 g r
L m1r 2 m2r 2 J 系统的角动量
由角动量定理
dL M dt
d 2 2 m1 gr m2 g r (m1r m2 r J ) dt
M rF sin roF
F 2） 不在垂直oo 的平面内 o o F// F F 总可分解成两个分量： F r 对刚体绕oo
. P
ro
r F
. P
o
F F F// 轴转动无贡献 计算力矩时只需考虑 F 的力矩
2.转动 如果刚体上所有各点绕同 一直线（转轴）作圆周运动， 则称为刚体的转动。
转动时，轴外各 点在同一时间间隔内 走过的弧长虽然不一 样，但角位移全同。
固定转轴：转轴不随时间变化 —— 刚体定轴转动 瞬时转轴：转轴随时间变化 —— 一般转动
3.刚体的一般运动 在研究刚体一般运动时，我们一般将它分解为 质心的平动（应用质心运动定理）和刚体绕过质心 轴的转动（应用转动定律）。
d Mz J J dt
M
a
m
F
m 反映质点的平动惯性 J 反映刚体的转动惯性
J
3。理解注意
dω Jβ dLz （1） M z M iz dt J dt i 1 这是角动量定理在刚体定轴转动情形下的特例 M z 是合外力矩
n
（2） 这条定律表明，刚体绕定轴转动时，它的角加 速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对 转轴的转动惯量成反比。 （3） 内力矩成对抵消，不能改变刚体的角动量，因 而不能改变刚体的角速度。
a r
T1
对质点用牛顿定律
m1 m1 g y
对刚体用转动定律
限制性条件
解得：
m1 m2 a g 2 m1 m2 J / r
( m2 m2 J / r ) T1 m1 g 2 m1 m2 J / r
2
(m1 m1 J / r ) T2 m2 g 2 m1 m2 J / r
例如，一个车轮的滚 动，可以分解为车轮随着 转轴的平动和整个车轮绕 转轴的转动。
A
B
一个汽车轮子在 地上的滚动
A、B、C、…各点的
C
B
o
A A C
C
A C
运动都不相同
o
B
o
B
B C
刚体的运动＝平动＋转动
平动：刚体上所有点运动状态都相同 转动：各质元均作圆周运动
o o轮子的平动
o
绕过o 轴的转动
三. 转动惯量及计算 对刚体定义
J r 2dm
—转动惯量
单位：kg∙m2
质量连续分布 质量离散分布
J r 2dm
J mi ri 2
i
单质点
dm ─质量元
J mr
2
mi ─第 i 个质点的质量 ri
─ m到转轴的距离 i
r ─ dm到转轴的距离
质量为线分布 质量为面分布
转动平 面
o
r
·
p
6.2 刚体的定轴转动定律
一. 刚体定轴转动所受力矩
M r F
力矩
一般定义：
此处 M
即可是对某点也可是对某轴而言
o
当刚体作定轴转动时，力矩 就可以用标量来表示。 习惯上 把定轴用z表示 力矩 表示为
Mz
oห้องสมุดไป่ตู้
F 1） 在垂直oo 的平面内
o
ro fj fi
M (m r 2) ii | ri Fi | 合外
0
由
定义
M合外 ( m r 2)
ii 2
J miri
——刚体对定轴（z 轴）的 转动惯量
则有 M z J ——定轴转动定律
与牛顿定律比较： M J 或
F ma
6.1 刚体的运动与描述
质点的运动只代表物体的平动，物体实际上是 有形状、大小的，它可以平动、转动，甚至更复杂 的运动。因此，对于机械运动的研究，只限于质点 的情况是不够的。
刚体是一种特殊的质点系，无论在多大外力作 用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。 即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体（rigid body ）。 刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑它的 形变，刚体同质点一样，也是一个理想化模型。
一、刚体的运动 1.平动
固联在刚体上的任一 条直线，在各个时刻的位 臵始终保持彼此平行的运 动，叫做刚体的平动。 刚才的动画演示了一个圆柱体的平动。在运动 过程中，我们看到，刚体中所有质点的位移都是相 同的。 而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也 都相同。这时我们可以选取刚体上任一点的运动来 代表刚体的运动。
m1 gr m2 g r (m1r 2 m2r 2 J )
这也是定轴转动定律(整体分析方法) 由
a/r
m2 g
m2
T2
J 0
m1 m2 g 解得： a 2 m1 m2 J / r
再由牛顿定律可得张力。
T1 m1 m1 g y
例题9 ：
普通物理学教案
例题3 ：
普通物理学教案
求质量为m 、半径为R 的均匀圆环的转 动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。 解： 取质量元
dm dx
J R2dm R2 dm
mR 2
O
R
dm
例题4 ：
普通物理学教案
求质量为m 、半径为R 均匀圆盘的转动 惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 解： 这样的一个圆盘可以视 为半径不等的有宽度的 圆环拼接而成。 任取其中一环 dm 2 rdr 利用前例环的转动惯量结果 dJ r 2dm 2 r 3dr R 1 3 J dJ 2 r dr R 4 0 2 m 2 R
即：质心运动如同一质点，只是将质量全部集中于该点， 所受的力是质点系受的所有外力。 注：质心上可能既无质量，又未受力。
miri rc mi
2
三. 刚体（定轴）转动的角量描述
角位臵θ
角速度ω
d ＝lim dt t 0 t
角加速度α
d d 2 ＝lim 2 dt dt t 0 t
1 2 m ( R2 R12 ) 2
R2
R1
R2
例题6 ：
普通物理学教案
质量为m 半径为R 的匀质薄球壳绕过中 心轴的转动惯量。 解：在球面取一圆环带， 半径 r R sin m dm 2 rRd 2 4 R
R sin d
J r 2dm
2 2 mR sin d mR 2 3 0
2 3
2
例题7 ：
普通物理学教案
质量为m 半径为R 的匀质球体绕过球心 轴的转动惯量。 解： 把球体看作无数个同心薄球壳的组合
3m 2 dm 4 r dr 3 r dr 4 R R3 3
2
m
2 J dJ dm r 2 3
M
R
2 2m 4 mR 2 3 r dr 5 R 0
一根均质细杆（ m 、L ），一端可在竖直平 面内自由转动。杆最初静止在水平位臵，由 此下摆 角求角加速度和角速度。 解： 以杆为对象 下摆过程重力矩做功 取质元 dm dl 当杆处在下摆 角时，该质 量元所受重力对 o 点的矩为 dM dm g l cos λgl cos dl θ θ o
ri
i
i mi
i
Fi fi miai
各质元加速度不同， 但角加速度相同
Fi sini fi sini miai 用 ri乘以上式：Fi sini ri fi sini miriai ri 2 a r ri Fi sini ri fi sini miri 2 将所有质元相加： ri Fi sini ri fi sini miri