谈无理方程的解法
解方程的常见方法知识点总结
解方程的常见方法知识点总结一、一次方程的解法一次方程是指未知数的指数为1的方程。
解一次方程的常见方法有：1. 相加相减法：通过加减运算来消去未知数的系数，得到方程的解。
2. 乘法法则：通过乘法运算来消去未知数的系数，得到方程的解。
3. 代入法：将一个方程的解代入另一个方程中，求解未知数的值。
4. 变量转移法：通过将未知数的系数移到等号另一边，得到方程的解。
二、二次方程的解法二次方程是指未知数的指数为2的方程。
解二次方程的常见方法有：1. 因式分解法：将二次方程因式分解后，令各因式等于零，得到方程的解。
2. 公式法：使用二次方程的求根公式，直接计算出方程的解。
3. 完全平方式：将二次方程转换为完全平方式，求解方程的解。
4. 提取根号法：通过提取未知数的平方根，得到方程的解。
三、分式方程的解法分式方程是指未知数出现在分式中的方程。
解分式方程的常见方法有：1. 通分法：将分式方程的分母通分，然后进行运算，求解未知数的值。
2. 消元法：通过消去分式方程的分母，将方程转化为一次方程来求解。
3. 变量替换法：通过引入新的变量或替换未知数，将分式方程转化为一次方程或二次方程进行求解。
四、绝对值方程的解法绝对值方程是指方程中含有绝对值符号的方程。
解绝对值方程的常见方法有：1. 分类讨论法：根据绝对值的定义，分别讨论绝对值内外的正负情况，得到方程的解。
2. 去绝对值法：将方程的绝对值拆分成正负两部分，得到多个方程，分别求解并取并集。
五、方程组的解法方程组是指多个方程同时出现的一组方程。
解方程组的常见方法有：1. 消元法：通过消去方程组中的未知数，将方程组转化为简化的方程组来求解。
2. 代入法：通过将一个方程的解代入另一个方程中，求解未知数的值。
3. 变量替换法：通过引入新的变量或替换未知数，将方程组转化为简化的方程组进行求解。
六、无理方程的解法无理方程是指方程中含有无理数（如根号）的方程。
解无理方程的常见方法有：1. 平方去根法：通过平方运算，将方程中的根号消去，得到方程的解。
高次方程分式方程无理方程的解法教程
高次方程分式方程无理方程的解法教程高次方程的解法教程：高次方程是指方程中的最高次项的指数大于1的方程。
一般来说，高次方程的解法相对比较复杂，需要通过一定的代数运算和分解因式的方法逐步求解。
以下是一个示例来说明解高次方程的步骤：假设我们要解方程：x^3-5x^2+6x=0第一步：因式分解观察方程，我们可以发现x是公因子，所以我们可以将方程进行因式分解，得到：x(x^2-5x+6)=0第二步：化简因式继续观察因式(x^2-5x+6)，我们可以发现它可以被进一步分解成(x-2)(x-3)，所以方程可以进一步化简为：x(x-2)(x-3)=0第三步：等式成立条件我们知道，一个数的乘积等于0的时候，其中至少有一个因子等于0。
所以我们得到以下三个解：x=0,x-2=0,x-3=0解得：x=0,x=2,x=3因此，方程的解是x=0,x=2,x=3分式方程的解法教程：分式方程是指方程中含有分式的方程，需要通过合理的方法消去分式并求出方程的解。
以下是一个示例来说明解分式方程的步骤：假设我们要解方程：2/(x-1)+3/(x+2)=1第一步：通分观察方程，我们可以发现，左边的两个分式的分母互为相反数，所以我们可以通过通分来消去分母。
将方程两边乘以(x-1)(x+2)，得到：2(x+2)+3(x-1)=(x-1)(x+2)第二步：化简将方程进行化简，得到：2x+4+3x-3=x^2+x-2第三步：整理将方程整理为标准形式，得到：x^2-x-3=0第四步：因式分解或使用求根公式我们可以尝试将方程进行因式分解或使用求根公式来求解。
这里我们使用求根公式来求解。
根据求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，我们可以得到：x=(1±√(1+12))/2计算得到：x=(1±√13)/2因此，方程的解是x=(1+√13)/2,x=(1-√13)/2无理方程的解法教程：无理方程是指方程中含有无理数的方程，需要通过合理的方法化简方程并求出方程的解。
(完整版)无理方程的解法
无理方程的解法未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．例1 解方程解移项得两边平方后整理得再两边平方后整理得x2＋3x-28＝0，所以 x1=4，x2=-7．经检验知，x2=-7为增根，所以原方程的根为x=4．说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．例2 解方程方公式将方程的左端配方．将原方程变形为所以两边平方得 3x2+x=9-6x＋x2，两边平方得 3x2+x=x2＋6x＋9，即所以移项得解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为配方得利用非负数的性质得所以 x=1，y=2，z=3．经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．所以将①两边平方、并利用②得x2y2＋2xy-8=0，(xy＋4)(xy-2)=0．xy=2．③例6 解方程解观察到题中两个根号的平方差是13，即②÷①便得由①，③得例7 解方程分析与解注意到(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)．设则u2-v2＝w2-t2，①u+v=w+t．②因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得u-v=w-t．③②＋③得u=w，即解得x=-2．经检验，x=-2是原方程的根．例8 解方程整理得y3-1=(1-y)2，即(y-1)(y2+2)=0．解得y=1，即x=-1．经检验知，x=-1是原方程的根．整理得y3-2y2+3y=0．解得y=0，从而x=-1．例9 解方程边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得x2=4a2．解得x=±2a．经检验，x=±2a是原方程的根．。
高次、无理、指数、对数不等式的解法及应用分析
高次、无理、指数、对数不等式的解法及应用分析解不等式是中学数学解决问题的重要工具，在研究函数的性质、确立问题成立的条件等方面都有广泛的应用。
本阶段的重点是不等式的“等价转化”，将高次不等式低次化，无理不等式有理化、超越不等式代数化，最终回归到一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。
难点是解含参数的不等式，对于如何选择参数分类的标准、如何把握分类的时机是有难度和深度的。
一、高次不等式1．概念：形如不等式(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0（其中x1, x2, ……,x n是互不相等的实常数）叫做一元n次不等式(n∈N)。
2．解题思路：作出相应函数的图象草图。
具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）。
然后根据图象草图，写出满足不等式的解集。
3．例题：例1．解不等式：(1) (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)>0；(2)(x2-5x-6)(1-x)>0。
解：(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图（图1）。
所以不等式的解集为(-∞,-2)(-1,1)(2,+∞)。
(2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)<0。
作出函数y=(x+1)(x-6)(x-1)的草图（图2），所以解集为(-∞,-1)(1,6)。
注意：(1)解题中首先观察关于x的最高次项的系数是否为正数，如果为正数，函数y在最右边的开区间上的函数值总为正数，因此曲线总在x轴的上方，这样作草图就可以一蹴而就了，如果不是正数，那么首先化为正数；(2)解高次不等式的步骤可以概括为：找零点、分区间、画草图、写解集。
例2．解不等式(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0。
分析：此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)出现了重因式，当x值从大于-1变化到小于-1时（不含-1），y值符号没有发生变化，而x值从大于1到小于1时（不含1），y值符号发生了变化，如图3，故解集为(-2,-1)(-1,1)(3,+∞)。
初中数学 无理数方程的解如何计算
初中数学无理数方程的解如何计算无理数方程是含有无理数的方程，其中无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。
解决无理数方程的关键是找到方程中无理数的近似解。
下面将介绍一些常见的无理数方程类型及其解法，以帮助初中数学学生更好地理解和解决无理数方程。
一、平方根无理数方程平方根无理数方程是指含有平方根的方程。
例如，√x = 3是一个平方根无理数方程，其中√x是一个无理数。
1. 消去平方根法：对于方程√x = a，其中a是已知的有理数，可以将方程两边平方，得到x = a^2。
例如，对于方程√x = 3，可以平方得到x = 3^2 = 9。
因此，方程的解是x = 9。
2. 迭代法：迭代法是一种逼近法，通过不断逼近无理数的近似值来解方程。
对于方程√x = a，可以使用迭代法求解。
- 初始值：选择一个合适的初始值，例如取x = 1作为初始值。
- 迭代过程：通过迭代公式x' = (x + a/x)/2，不断更新x的值，直到x的值足够接近无理数的近似值。
- 迭代停止条件：可以设置一个迭代停止条件，例如当两次迭代之间的差值小于某个给定的精度时，停止迭代。
- 迭代结果：最终得到的x值即为方程的近似解。
二、立方根无理数方程立方根无理数方程是指含有立方根的方程。
例如，∛x = 2是一个立方根无理数方程，其中∛x是一个无理数。
1. 消去立方根法：对于方程∛x = a，其中a是已知的有理数，可以将方程两边立方，得到x = a^3。
例如，对于方程∛x = 2，可以立方得到x = 2^3 = 8。
因此，方程的解是x = 8。
2. 迭代法：对于立方根无理数方程，可以使用迭代法求解。
- 初始值：选择一个合适的初始值，例如取x = 1作为初始值。
- 迭代过程：通过迭代公式x' = (2*x + a/(x^2))/3，不断更新x的值，直到x的值足够接近无理数的近似值。
- 迭代停止条件：设置一个迭代停止条件，例如当两次迭代之间的差值小于某个给定的精度时，停止迭代。
无理方程的十种特殊解法
作者： NULL
出版物刊名： 玉溪师范学院学报
页码： 104-106页
摘要：解无理方程,中学课本主要讲述了“两边平方法”和“换元法”解一些简单的无理方程。
实际上,很多无理方程仅用这两种常规方法是不易解出的,必须根据不同形式的无理方程,寻求其特殊解法。
现举例介绍无理方程的十种特殊解法,供教学参考。
一、利用定义域例1 解方程2ｘ-3-4-5ｘ=6ｘ。
解:由2ｘ-3≥0得ｘ≥32;由4-5ｘ≥0得ｘ≤45。
因两者矛盾,故原方程无解。
二、利用非负数性质例2 解方程ｘ+ｙ-4+9ｘ2+ｙ2=6ｘｙ。
解:原方程变形为ｘ+ｙ-4+(3ｘ-ｙ)2=0∵两个非负数之和为零,必然两个数均为零,∴ｘ+ｙ=43ｘ-ｙ=0。
解之ｘ=1ｙ=3即为原方程的解。
三、分段讨论法例3 解方程ｘ2-3ｘ+ｘ2-6ｘ+9=2。
解:按ｘ2-3ｘ≥0的解集ｘ≤0或ｘ≥3,分两段讨论。
当ｘ≤0时,原方程为ｘ2-3ｘ=2-(3-ｘ),解之ｘ=-1。
经检验ｘ=-1是增根;当ｘ≥3时,原方程为ｘ2-3ｘ=2-(ｘ-3),解之ｘ=257。
经检验ｘ=257是原方程的解。
四、配方法例4 解方程22ｘ(ｘ+7)-2ｘ-ｘ+7=13-3ｘ。
解:围绕中间项22ｘ(ｘ+7)进行配方,即(2ｘ)2+22ｘ(ｘ+7)+(ｘ+7)2-3ｘ-7-13+3ｘ...。
运用换元法解几类特殊的无理方程(组)
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解 无 理 方程 ( 组 通 常 的方 法 是
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【免费下载】初高中数学衔接内容第七讲 分式方程和无理方程的解法
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
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宿城区中扬中学 张家旭
根号下含有未知数的方程叫无理方程。
解无理方程的指导思想是通过乘方把无理方程转化为有理方程。
由于在乘方过程中扩大了方程中未知数的取值范围，可能会产生增根，所以，解无理方程一定要验根，验根是必不可少的步骤。
但对一些特殊的方程可考虑用特殊的方法来解，比较方便。
现将解无理方程的基本方法和几种特殊方法归纳如下，供参考。
一、观察法
例1、 解方程 )2(5222+-=+x x
解：无论x 取什么值时，522+x 恒为正，而)2(2+-x 恒为负，矛盾。
所以，此方程无解。
例2、 解方程 53-=-x x
解：根据算术根的定义，要保证x -3有意义，必须要x ≤3，而要使53-=-x x 有意义，必须要使x ≥5，这显然矛盾。
所以，原方程无解。
例3、解方程 638=---x x
解：要使8-x 有意义，x ≥8，要使x -3有意义，x ≤3，显然不存在同时满足这两个条件的x 值。
故此方程无解。
例4、解方程 x x x 21679-=-+-
分析：这个方程的特点是：左边两个根号下的被开方式的和等于右边根号下的被开方式。
所以，由观察可得其解。
解：原方程可化为)7()9(79x x x x -+-=-+- 由观察得x=7或者x=9 显然x=9是增根。
所以，原方程的解为x=7。
注：我们对一些较为简单的或者是有特殊关系的无理方程，可通过观察，根据算术根的定义或利用根式的有关性质，直接判断它们解的情况。
这样，可不必盲目的去解方程，避免走弯路。
二、直接平方法
例5、解方程 x x x =-+2722
解：移项得，=+x x 722x+2 两边平方整理得，0432=-+x x 解得，4,121-==x x
经检验，42-=x 是增根。
所以，原方程的解为x=1 。
注：含有一个根式的无理方程，通过整理后，通常要进行一次平方，即可把无理方程转化为有理方程。
例6、解方程 1542=+--x x 解：移项、两边平方并整理得，5210+=-x x 两边再平方并整理得， 080242=+-x x 解得
x =20， 或者x=4， 经检验，x=4是增根。
所以，原方程的解为x=20。
注：含有两个根式的无理方程，通过整理后，通常要进行两次平方才能获得方程的解。
三、换元法
例7、解方程 0393253222=+++-+x x x x
解：设y x x =++9322 原方程可化为 0652=--y y 解得y=6，或者y= - 1（舍去）。
所以，当y=6时，即 69322=++x x 解得x=3，或者x=29-。
经检验x=3，或者x=29-都是原方程的解。
例8、解方程56135222+=---x x x x
解：原方程可变形为 03135)13(222=------x x x x 设y x x =--132 原方程可化为
03522=--y y 解得 y=3，或者y= 2
1-（舍去）。
所以，当y=3时，即 3132=--x x 解得，x=5 或者x= - 2。
经检验 x=5， 或者x= - 2 都是原方程的解。
注：若被开方式中各项的系数（或者某项系数与常数项）与不在根号内的式子中所含未知数的项的系数（或者某项系数与常数项）对应相等或者对应成比例，可考虑用换元法来解。
例9、解方程 1542=+-
-x x 解：设y x =+5 则52-=y x 所以，原方程可化为y y +=-11422 平方、整理得01522=--y y 解得 y=5 或者y= - 3 （舍去）。
当y=5时， 即55=+x ∴ x=20 经检验 x=20 是原方程的解。
注：利用换元法来解，避免了增根的产生。
请与例6进行比较。
例10、解方程 x x x =--+572
解：∵已知方程中x ≥5，∴x ≠0 两边同除以x 得，15172=--+x x （1） 设y x =-51 则5112y x -=（2） 将（2）代入（1）得 y y +=-15
7172
（3） 解（3）得y=32 ，或者y=2
3- （舍去） 把32=y 代入（2）得 x=9 经检验，x=9是原方程的解。
注：根据假设y 表示算术根，若求得的 y 值是负数，则应舍去，这样就避免了产生增根的可能。
如： 例7、例8、例9、例10
四、配方法
例11、解方程 36525222=+-+-x x x x x
解：原方程可化为 965265222=++-++-x x x x x x ∴9)65(22=++-x x x ∴3652±=++-x x x 解之得，x=3 或者x=113-（增根，舍去） ∴原方程的解为x=3 注：本题若通过平方来解，则会出现高次，这会给解题带来一定的困难。
而通过拆项、添项的办法，把原方程的左边配成完全平方式，利用直接开平方的方法来解，这就比利用平方的方法来解要简单的多。
五、平方公式法
例12、解方程 2652522=-+--+x x x x
分析：本题若采用平方法来解，较繁；用换元法来解，亦较繁，都会出现高次。
根据方程中被开方式的
特点，可考虑利用平方差公式来解。
解：∵4)65()25(2222=-+--+x x x x ∴4)6525)(6525(2222=-+--+-++-+x x x x x x x x （1） 已知2652522=-+--+x x x x (2)
)
2()1(得∴2)6525(22=-++-+x x x x （3） （2）+（3）得 2252=-+x x 解得 x= - 6 或者x=1
检验 x= - 6 或者x=1 是原方程的解。
六、利用互为倒数关系来解
例13、解方程 2
52112=+-+-+x x x x 解：∵12-+x x 与2
1+-x x 互为倒数， 又∵21225+= 2与21 亦互为倒数 ∴ 可令12-+x x =2 或者12-+x x =2
1 从而解得 x=
2 或者x= -
3 x= - 3是增根 ∴原方程的解为x=2
七、利用分母有理化来解
例14、解方程 024*******
22=++-+++x x x x
分析：这个方程的特点是左边两个式子的分母是共轭根式，利用分母有理化即可把分母中的根号化去。
解：把原方程分母有理化，得 2)42(4422)42(4422222
222-=+-++++-+-x x x x x x x x 易得x=1 经检验x=1就是原方程的根。
邮 编：223800
电 话：0527— （单位） 0527— （住宅）。