高中数学论文应用三角形的面积巧解竞赛题
高中数学竞赛题目解析与解题技巧
高中数学竞赛题目解析与解题技巧引言数学是一门广泛应用于各个领域的学科，它的应用不仅限于解决实际问题，还包括在数学竞赛中展示才华。
高中数学竞赛是对学生数学能力的综合考验，不仅需要深厚的数学知识，还需要良好的解题技巧和思维能力。
本文将介绍高中数学竞赛题目的一些常见类型，并提供解题技巧，帮助读者更好地应对数学竞赛。
数列与序列等差数列等差数列是高中数学竞赛中经常出现的题型之一。
对于给定的等差数列，求解其中某一项或求解前n项和是常见的考点。
解题技巧包括使用通项公式和求和公式来快速求解。
此外，还需要注意将等差数列问题转化为已知条件，利用已知条件推导出所求的未知量。
等比数列等比数列是另一个常见的数列类型。
与等差数列类似，求解等比数列的通项或前n项和也是考点之一。
解题技巧包括使用通项公式和求和公式进行求解。
此外，还需要注意等比数列的特点，如首项、公比以及递推关系等，利用这些特点进行解题分析。
数列极限数列极限是高中数学竞赛中较为复杂和抽象的题目之一。
要求求解数列的极限值，需要运用极限的定义和性质进行分析。
解题技巧包括使用夹逼定理和数列收敛性的判定方法，以及灵活运用数列极限的性质，如极限运算法则、极限不等式和极限的唯一性等。
几何与三角形平面几何平面几何是高中数学竞赛中的一个重要部分。
常见的几何题目包括线段、角度、三角形、四边形和圆等。
解题技巧包括使用几何图形的性质和定理进行分析，灵活运用平行线、垂直线、相似三角形、角平分线和圆的性质等。
此外，还需要注意对等式和不等式进行推导和证明。
三角函数三角函数是高中数学竞赛中的另一个重要内容。
常见的三角函数题目包括求解三角方程、三角恒等式、三角函数图像和三角函数性质等。
解题技巧包括运用三角函数的定义和性质进行分析，灵活运用三角函数的周期性、奇偶性和对称性，以及运用三角函数的图像进行推导和求解。
三角形三角形是几何学的基本要素之一，也是高中数学竞赛中的重要内容。
常见的三角形题目包括求解三角形的面积、周长、角度和边长等。
高中数学必修5解三角形面积相关精选题目(附答案)
高中数学必修5解三角形面积相关精选题目（附答案）三角形的面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .题型一：三角形面积的计算1.(2017·北京高考)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．2.△ABC 中，若a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且2A ＝B ＋C ，a ＝3，△ABC 的面积S △ABC ＝32，求边b 的长和B 的大小． 题型二：与三角形有关的综合问题（一）：与三角形面积有关的综合问题3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C . (1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c . （二）：三角形中的最值问题4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．巩固练习：1．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32C.3D ．232．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( ) A ．－78B.78C ．－87D.873．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的大小为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．5.如图，在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝________.6．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．7．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的边长等于( ) A ．5B ．6C ．7D ．88．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( ) A.3 B ．2 C ．23 D ．49．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D.⎝⎛⎦⎤0，403 10．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .11.如图，在△ABC 中，已知B ＝π3，AC ＝43，D 为BC 边上一点．(1)若AD ＝2，S △DAC ＝23，求DC 的长； (2)若AB ＝AD ，试求△ADC 的周长的最大值．参考答案：1.[解] (1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314.(2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍去)． 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3. 2.解：∵A ＋B ＋C ＝180°，又2A ＝B ＋C ，∴A ＝60°. ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32，sin A ＝32，∴bc ＝2.①又由余弦定理得3＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2×2×12，即b 2＋c 2＝5.② 解①②可得b ＝1或2.由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝b2.当b ＝1时，sin B ＝12，B ＝30°；当b ＝2时，sin B ＝1，B ＝90°.3.解：(1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ， 得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1， 即cos(B ＋C )＝－13，从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)由于0<A <π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.4.解：(1)由题意可知 12ab sin C ＝34×2ab cos C . 所以tan C ＝ 3. 因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)由(1)知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－A －π3 ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤3⎝⎛⎭⎫0<A <2π3. 当A ＝π3时，即△ABC 为等边三角形时取等号，所以sin A ＋sin B 的最大值为 3. 巩固练习：1.解析：选B S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32.2.解析：选B 设等腰三角形的底边长为a ，顶角为θ，则腰长为2a ，由余弦定理得，cos θ＝4a 2＋4a 2－a 28a 2＝78.3.解析：选B ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，由余弦定理得：sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1.又0°<C <180°，∴C ＝45°.4.解析：∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.5.解析：在△ADC 中，cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝72＋32－522×7×3＝1114.又0°<C <180°，∴sin C ＝5314. 在△ABC 中，AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝sin C sin B ·AC ＝5314×2×7＝562.6.解析：不妨设b ＝2，c ＝3，cos A ＝13，则a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝9，∴a ＝3. 又∵sin A ＝1－cos 2 A ＝223，∴外接圆半径为R ＝a 2sin A ＝32·223＝928.7.解析：选C 如图，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，则bc ＝40，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40， ∴a ＝7.8.解析：选B ∵S ＝12bc sin A ，∴3＝12×2c sin 120°， ∴c ＝2，∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，设△ABC 外接圆的半径为R ，∴2R ＝a sin A ＝2332＝4，∴R ＝2.9.解析：选D ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.10.解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B 2，即sin B ＝4(1－cos B )， 故17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1517，cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517 ＝4. 所以b ＝2.11.解：(1)∵S △DAC ＝23， ∴12·AD ·AC ·sin ∠DAC ＝23， ∴sin ∠DAC ＝12.∵∠DAC <∠BAC <π－π3＝2π3，∴∠DAC ＝π6.在△ADC 中，由余弦定理得 DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos π6，∴DC 2＝4＋48－2×2×43×32＝28， ∴DC ＝27.(2)∵AB ＝AD ，B ＝π3，∴△ABD 为正三角形．在△ADC 中，根据正弦定理，可得 AD sin C ＝43sin2π3＝DCsin ⎝⎛⎭⎫π3－C ， ∴AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ， ∴△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ＋43 ＝8⎝⎛⎭⎫sin C ＋32cos C －12sin C ＋43 ＝8⎝⎛⎭⎫12sin C ＋32cos C ＋43＝8sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π3＋43， ∵∠ADC ＝2π3，∴0<C <π3，∴π3<C ＋π3<2π3，∴当C ＋π3＝π2，即C ＝π6时，△ADC 的周长取得最大值，且最大值为8＋4 3.。
高中数学解三角形面积周长问题训练(含解析)
解三角形面积周长问题一、解答题（共16题；共155分）1.（2021高一下·湖南期末）内角，，的对边分别为，，，，.（1）证明：；（2）若，求的周长.2.（2021高一下·玉林期末）在锐角中，，，分别是角，，所对的边，且.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积.3.（2021高一下·湖南期末）已为c分别为三内角的对边，且（1）求.（2）若，的平分线，求的面积.4.（2021高一下·红桥期末）在△ABC中，内角A ，B ，C所对的边分别是a ，b ，c，若.（1）求a ，c的值；（2）求△ABC的面积5.（2021高一下·天津期末）在中，角所对的边分别为，已知（1）若，求角A的大小；（2）若，求的面积．6.（2021高一下·山西期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求角；（2）若，的面积为，求.7.（2021高一下·东丽期末）在△ABC中，acosB＝bsinA．（1）求∠B；（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．8.（2021高一下·重庆期末）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求角A的值；（2）若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长.9.（2021高一下·怀化期末）在中，角，，的对边分别为，，，，，且.（1）求的大小；（2）若，的面积为，求的周长.10.（2021高一下·潍坊期末）在中，、、分别是角、、的对边，_______________，从① ，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．（1）求角的大小；（2）若，的面积，求的周长．11.（2021高一下·红桥期末）在锐角△ABC中，内角A ，B ，C所对的边分别是a ，b ，c，且.（1）求角A的大小：（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长.12.（2021高一下·吉安期末）在中，、、分别是角、、的对边，．（1）求角的大小；（2）若，的周长为，求的面积．13.（2021高一下·河北期末）在① ，② ，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若角A的角平分线，且，求面积的最小值．14.（2021高一下·海南期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若且是锐角三角形，求的面积的取值范围．15.（2021高一下·南昌期末）已知锐角的内角的所对边分别为，其中，.（Ⅰ）若，求角；（Ⅱ）求面积的最大值．16.（2021高一下·赣州期末）在中，内角，，的对边分别为，，，设为直线上一点.（1）求角的大小：（2）若，求面积的最大值.答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）由，可得，所以，所以为锐角，，所以，由正弦定理可得.（2）由（1）知，所以，设，，，则，解得，所以的周长为.（1）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式，从而求出角B的正弦值，再利用sinB>sinA,【解析】【分析】则，所以为锐角，再结合同角三角函数基本关系式求出角A的余弦值，再利用三角形内角和为180度的性质结合诱导公式，再结合两角和的正弦公式，从而求出角C的正弦值，再利用正弦定理证出。
三角形面积的多种求法 论文(3篇)
三角形面积的多种求法论文（精选3篇）作为一名教师，编写教案是必不可少的，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。
那么优秀的教案是什么样的呢？这次漂亮的我为亲带来了3篇《三角形面积的多种求法论文》，希望能为您的思路提供一些参考。
三角形面积的多种求法篇一三角形面积的多种求法我在做GMET试题中，自己推出来的`关于三角形面积的多种求法，不对之处还请指出。
点此处下载三角形面积公式是什么篇二三角形面积公式是指使用算式计算出三角形的'面积，同一平面内，且不在同一直线的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形，符号为△。
常见的三角形按边分有等腰三角形（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）、不等腰三角形；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
已知三角形底a，高h，则S=ah/2已知三角形三边a,b,c，则p=(a+b+c)/2，S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]=sqrt[(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]=1/4sqrt[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]。
已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=absinC/2，即两夹边之积乘夹角的正弦值。
设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r，则三角形面积=(a+b+c)r/2。
设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R，则三角形面积=abc/4R。
三角形的面积说课稿篇三今天我说课的内容是《三角形的面积》，（板书课题：三角形的面积），它是义务教育阶段数学课程标准实验教科书人教版五年级上册第五单元一课时的教学内容，属于空间与图形领域的知识。
一、说教材：本课内容是在学生掌握了三角形的相关特征，已经具有长方形和平行四边形的面积计算方法的基础上进行的。
掌握三角形面积的计算是进一步学习圆面积和立体图形表面积的基础知识之一。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》经典测试题附答案
【高中数学】数学《三角函数与解三角形》高考知识点(1)一、选择题1．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状． 【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．2．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①④D ．③④【答案】B 【解析】 【分析】 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证.【详解】 ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即-1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈，当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误． 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，0AB BC ⋅>u ur u u r u u，2a =，则bc +的取值范围是( ) A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．32⎫⎪⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，可得3A π=，由|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r，可得B为钝角，由正弦定理可得sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解【详解】由余弦定理有：222cos 2b c a A bc+-=，又222b c a bc +-=故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又A 为三角形的内角，故3A π=又2a=sin sin sin(120)ob c c B C B ==- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r故cos 0B B <∴为钝角3sin sin(120)sin 30)22o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+(90,120)o o B ∈Q ，可得130(120150)sin(30)(,22o o o o B B +∈∴+∈，330))22o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题5．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.6．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解． 【详解】∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，∴由余弦定理：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，所以cosC=2222a b cab+-=2224916223x x x x x +-⨯⨯=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角． 故选B ． 【点睛】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．7．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（）A ．5-B ．CD 【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式可确定()max f x =sin 2cos θθ-=平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】()()sin 2cos f x x x x ϕ=-=+Q ，其中tan 2ϕ=- ()max f x ∴sin 2cos θθ-=又22sin cos 1θθ+= cos θ∴=【点睛】本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.8．△ABC 中，已知tanA =13，tanB =12，则∠C 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】在△ABC 中，11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132A BC A B A B A B π++=--=-=-=---⋅，所以135C ?o .故选：D. 【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.9．在△ABC 中，7b =，5c =，3B π∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】D 【解析】 【分析】根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值. 【详解】因为7,5,3b c B π==∠=，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即214925252a a =+-⨯⨯，整理得25240a a --=， 解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.10．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R>⇔>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C.11．函数y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图象是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】首先根据二倍角余弦公式化简得到函数的解析式，再由函数表达式得到函数的单调性和周期，进而得到选项. 【详解】根据两角和差公式展开得到： y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22πππcos sin cos 2424x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎝⎭⎭=-sin2x ,函数在0的右侧是单调递减的，且周期为π，故选B. 故答案选B . 【点睛】这个题目考查了三角函数的恒等变换，题型为已知函数表达式选择函数的图像，这种题目，一般是先根据函数的表达式得到函数的定义域，或者值域，进行排除；也可以根据函数的表达式判断函数的单调性,周期性等，之后结合选项选择.12．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C 3D ．22【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 22111cos 222223x x x π⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13．在OAB ∆中，已知OB =u u u v 1AB u u u v=，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v的最小值为（ ）ABCD【答案】A 【解析】 【分析】根据OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r的最小值.【详解】在OAB ∆中,已知OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OBAOB OAB=∠∠u u u r u u u rsin 2OAB =∠,解得sin 1OAB ∠=即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A 坐标为22⎝⎭所以2222OA ⎛= ⎝⎭u u u r ,)2,0OB =u u u r因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r则)222,022OP λμ⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=则2222222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r2222λλμμ=++因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得()()22322232λλλλ+-+-218518λλ-=+299555λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以当95λ=时, min 93555OP ==u u u r 故选:A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.14．若函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（ ）A ．)+∞ B ．)+∞C ．()+∞D ．()【答案】A 【解析】 【分析】计算tan 203x π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，得到答案. 【详解】∵0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2033x ππ-<-<，∴tan 203x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方， 即对任意的0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有tan 203x k π⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，∵tan 23x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭k -≤，k ≥ 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.15．函数()22sin 3cos 2f x x x =+-，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为（ ） A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()23sin 2sin 1f x x x =-++，设sin t x =，利用二次函数性质得到答案. 【详解】根据22sin cos 1x x +=，得()23sin 2sin 1f x x x =-++，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 令sin t x =，由2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得1sin 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故[]0,1t ∈，有2321y t t =-++，[]0,1t ∈，二次函数对称轴为13t =， 当13t =时，最大值43y =；当1t =时，最小值0y =，综上，函数()f x 的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数值域，换元可以简化运算，是解题的关键.16．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（ ） A ．152km B ．30kmC ．15kmD ．153km【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离． 【详解】设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示，可得60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，45BC =30ABC ∴∠=︒，120BAC ∠=︒在三角形ABC 中，利用正弦定理可得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠，可得sin 1153sin 23BC ABC AC km BAC ∠===∠ 故选D 【点睛】本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．17．已知函数()3)(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是()A ．2(23k -，42)3k +，k Z ∈ B ．2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C ．2(43k -，44)3k +，k Z ∈ D ．2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数图像的性质可求得：2πω=，6πϕ=-，即()sin()26f x x ππ=-，再令222262k x k ππππππ--+剟，求出函数的单调增区间即可.【详解】解：函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<， 因为1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，又4BC =，∴222()42T +=，即221216πω+=，求得2πω=．再根据123k πϕπ+=g ，k Z ∈，可得6πϕ=-，()3sin()26f x x ππ∴=-，令222262k x k ππππππ--+剟，求得244433k x k -+剟， 故()f x 的单调递增区间为2(43k -，44)3k +，k Z ∈， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题.18．4cos2d cos sin xx x xπ=+⎰（ ）A ．1)B 1C 1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分. 【详解】因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x xx x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0xx x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰，故选C ． 【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.19．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π=【答案】D 【解析】 【分析】先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6x π=代入 3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断D .【详解】()sin f x x x = 23sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 周期22,1T A ππ==正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，25,,,63326x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ， ()f x ∴在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，C 正确； 6x π=时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，6x π=不是3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.20．关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论： ①()f x 是奇函数； ②()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ③π是()f x 的周期； ④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】 【分析】计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，()()f x f x π+=③正确，假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，得到矛盾，④错误，得到答案. 【详解】()()()sin tan cos tan f x x x =-，()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--，所以()f x 为非奇非偶函数，①错误；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令tan t x =，()0,1t ∈， 又()0,1t ∈时sin y t =单调递增，cos y t =单调递减，根据复合函数单调性判断法则， 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin tan y x =，()cos tan y x =-均为增函数， 所以()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以②正确； ()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=，所以π是()f x 的周期，所以③正确；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()sin tan 1a =，()cos tan 1a =-， 则tan 22a k ππ=+，k Z ∈与tan 2a k ππ=+，k Z ∈矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误. 故选：C . 【点睛】本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.。
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题3 三角函数(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题3 三角函数 （50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·吉林·高三竞赛）已知()sin 2cos xf x x=+，则对任意x ∈R ，下列说法中错误的是（ ） A ．()1sin 3f x x ≥B ．()f x x ≤C ．()f x ≤D ．()()0f x f x ππ++-=【答案】A 【解析】 【详解】由()1sin 3f x x ≥得sin (1cos 01cos 0x x x ），-≥-≥，所以该式不一定成立，sinx 有可能是负数，所以选项A 错误； ()sin sin 2cos x f x x x x =≤≤+.所以选项B 正确；()sin 2cos x f x x=+=sin 0||cos (2)x x ---表示单位圆上的点和（-2,0）所在直线的斜率的绝对值，数形结合观察得到()f x ≤C 正确； ()()f x f x ππ++-=sin sin 002-cos 2-cos 2-cos x x x x x-+==，所以选项D 正确.故答案为A2．（2018·四川·高三竞赛）函数()()()sin 1cos 12sin 2x x y x R x--=∈+的最大值为（ ）.A ．2B ．1C ．12+D【答案】B 【解析】 【详解】因为()sin cos sin cos 122sin cosxx x x x y x ⋅-++=+⋅，令sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 则()21sin cos 12x x t ⋅=-，于是()()22211112.2121t t t y t t --+==-++- 令()(21t g t t t =+，则()()22211t g t t '-=+. 由()0g t '=知1t =-或1.因为(()()111,1,22g g g g =-=-==()g t 的最小值是()112g -=-，所以y 的最大值是11122⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为:B3．（2019·全国·高三竞赛）函数[][]sin cos sin cos y x x x x =⋅++的值域为（ ）（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）. A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}2,1,0,1-- C ．{}1,0,1- D ．{}2,1,1--【答案】D 【解析】 【详解】1sin224y x x π⎤⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦..下面的讨论均视k Z ∈. （1）当222k x k πππ≤≤+时，1y =； （2）当32224k x k ππππ+<≤+时，1y =-； （3）当3224k x k ππππ+<<+时，2y =-； （4）当2x k ππ=+或322k ππ+时，1y =-；（5）当3222k x k ππππ+<<+时，2y =-； （6）当372224k x k ππππ+<<+时，2y =-； （7）当72224k x k ππππ+≤<+时，1y =-. 综上，{}2,1,1y ∈--. 故答案为D4．（2010·四川·高三竞赛）已知条件43p =和条件4:sin cos 3q αα+=．则p 是q 的（ ）． A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【详解】sin cos αα+，所以，p 是q 的充要条件．5．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，A B C ∠≤∠≤∠，sin sin sin cos cos cos A B CA B C++=++则B 的取值范围是（ ）.A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3π D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【详解】由条件有)sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++=++2sincos sin 22A C A C B +-⇒︒+ 2cos cos cos 22A C A C B +-⎫=︒+⎪⎭2sin cos222A C A C A C ++-⎛⎫⇒- ⎪⎝⎭ sin B B =. 利用辅助角公式有2sin cossin 3223A C A C B ππ+-⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos 262B A C π-⎛⎫⇒- ⎪⎝⎭ 2sin cos 2626B B ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭60602sin cos cos 0222B A C B -︒--︒⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭606060sinsin sin 0244B AC B B A C -︒-+-︒-+-︒⇒︒︒=， 所以，600B ∠-︒=或者600A C B ∠-∠+∠-︒=或者600B A C ∠-∠+∠-︒=, 即60B ∠=︒或者60C ∠=︒或者60A ∠=︒,亦即A B C ∠∠∠、、中有一个为60︒.若60B ∠<︒,则60A B ∠≤∠<︒，所以，只能60C ∠=︒，此时，180A B C ∠+∠+∠<︒,矛盾； 若60B ∠>︒，则60C B ∠≥∠>︒,所以，只能60A ∠=︒，从而，180A B C ∠+∠+∠>︒，亦矛盾. 选C. 二、填空题6．（2018·江西·高三竞赛）若三个角x 、y 、z 成等差数列，公差为π3，则tan tan tan tan tan tan x y y z z x ++=______．【答案】3- 【解析】 【详解】 根据π3x y =-，π3z y =+，则tan x =tan z =所以tan tan x y tan tan y z 22tan 3tan tan 13tan y z x y -=-． 则229tan 3tan tan tan tan tan tan 313tan y x y y z z x y-++==--． 故答案为-37．（2018·广东·高三竞赛）已知△ABC 的三个角A 、B 、C 成等差数列，对应的三边为a 、b 、c ，且a 、c成等比数列，则2:ABC S a ∆=___________.【解析】 【详解】因为A 、B 、C 成等差数列，2B A C =+，3180B A B C =++=︒，因此60B =︒.又因为a 、c成等比数列，所以c qa =，b =由正弦定理()sin sin 120a qa A A ==︒-，整理得22sin A q =221A q q=-，()()232235420q q q q ⎡⎤-+++-=⎣⎦. 所以2q =，1sin 2A =，30A =︒，90C =︒.故212ABC S ab ∆==，所以2:ABC S a ∆=8．（2019·全国·高三竞赛）设锐角α、β满足αβ≠，且()()22cos cos 1tan tan 2αβαβ++⋅=，则αβ+=__________． 【答案】90 【解析】 【详解】由已知等式得()()()()22222tan tan 1tan tan 21tan 1tan αβαβαβ+++⋅=++，()()2tan tan tan tan 10αβαβ-⋅-=.但锐角αβ≠，故tan tan 10αβ⋅-=()cos 090αβαβ⇒+=⇒+=︒.故答案为909．（2021·全国·高三竞赛）函数sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭的最小正周期为____________．【答案】2π 【解析】 【详解】解析：当=2,x k k Z π∈时，sin 1tan tan 02x y x x ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭，当2,x k k Z π≠∈时，sin 1cos sin 1tan cos sin x x y x x x x -⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭，其中2x k ππ≠+且2x k ππ≠+，画出图象可得函数周期为2π．故答案为：2π.10．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）设()()πcos 2243x f x x x =++为定义在R 上的函数．若正整数n 满足()12021nk f k ==∏，则n 的所有可能值之和为______．【答案】12121 【解析】 【详解】()cos cos cos 2222()41(1)(3)xxxf k k k k k πππ=++=++,111()(11)(13)(21)(23)nk f k --==++++⨯∏00(431)(433)m m ⨯-+-+11(421)(423)m m --⨯-+-+0011(411)(413)(41)(43)m m m m ⨯-+-+++,考虑cos2x π的周期为4,分四种情况考虑(1)当43k m =-(m 为正整数)时,4311111001()(21)(23)(41)(43)(443)(431)(433)m k f k m m m ---==++++⨯-+-+-+∏13(41)2021m -=⨯-=,所以416063,436061m n m -==-=;(2)当42k m =-时，42111()3(41)2021m k f k m ---==⨯+=∏,无正整数解;(3)当41k m =-时，41111()3(41)2021m k f k m ---==⨯+=∏,无正整数解;(4)当4k m =时，41111()3(43)2021m k f k m --==⨯+=∏,此时46060n m ==，综上,6060n =或6061n =, 故答案为：12121.11．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，1155,tantantan222AC AC B =+-=，则+BC AB 的值为__________． 【答案】7 【解析】 【详解】解析：记ABC 中A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ， 如图，设内切圆的半径为r ，则tan22A r b c a =+-，tan 22C r a b c =+-，tan 22B r a c b =+-，故5()b c a a b c a c b +-++-=+-，故()57a c b +=， 即7a c +=， 故答案为：712．（2021·全国·高三竞赛）已知ABC 满足2sin sin 2sin A B C +=，则59sin sin A C+的最小值是_______． 【答案】16 【解析】【详解】解析：2sin sin 2sin sin 2(sin sin )A B C B C A +=⇒=-2sincos 4sin cos 2222A C A C C A A C ++-+⇒⋅=⋅sin 2sin tan 3tan 2222A C C A C A+-⇒=⇒=． 令tan 2A t =，则222259595527326sin sin 22191t t t t A C t t t t +++=+=+++216416t t +=≥=．当113,tan ,tan 22222A C t ===时，tan02A C+>，所以180A C +<︒， 故min5916sin sin A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 故答案为：1613．（2020·浙江·高三竞赛）已知,,0,2παβγ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos 2cos cos cos()2cos()αβγαγβγ++-+-+的最大值为___________.【答案】【解析】 【详解】()cos cos 2sin sin 2sin 222γγγααγα⎛⎫-+=+≤ ⎪⎝⎭，同理()cos cos 2sin2γββγ-+≤，故cos 2cos cos cos()6sin22cos()cos αβγαγβγγγ++-+-++≤，而22cos 2sin 3116sin 6sin 12sin 222222γγγγγ⎛⎫+++=--+ -⎪=⎝⎭，因为0sin 2γ≤≤23112sin 222γ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭当且仅当,24ππγαβ===时，各等号成立，故答案为：14．（2021·全国·高三竞赛）已知三角形ABC 的三个边长a b c 、、成等比数列，并且满足a b c ≥≥.则A ∠的取值范围为___________.【答案】2[,)33ππ【解析】 【详解】由条件2b ac =，结合余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，则有11cos (1)22a c B c a =+-≥，从而(0,]3B π∈，而A 是最大角，从而2,33A ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：2,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 15．（2021·全国·高三竞赛）设02πθ<<，且333cos sin 1(cos sin 1)m θθθθ++=++，则实数m 的取值范是___________.【答案】14⎫⎪⎣⎭ 【解析】 【详解】解析：333cos sin 1(cos sin 1)m θθθθ++=++ ()223(cos sin )cos cos sin sin 1(cos sin 1)θθθθθθθθ+-++=++.令cos sin x θθ=+，则4x πθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且21sin cos 2x θθ-=， 于是2323321112232231(1)2(1)2(1)2(1)2(1)2x x x x x x x m x x x x x ⎛⎫--+ ⎪+-+--⎝⎭=====-+++++， 为然m是上的减函数，所以()(1)f f m f ≤<，即14m ⎫∈⎪⎣⎭.故答案为：41,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 16．（2021·浙江·高三竞赛）在ABC 中，30B C ∠=∠=︒，2AB =.若动点P ，Q 分别在AB ，BC 边上，且直线PQ 把ABC 的面积等分，则线段PQ 的取值范围为______.【答案】 【解析】 【分析】【详解】如图所示，设,BP x BQ y ==,所以113sin 30222BPQBBCSxy S ︒===,所以23xy =由余弦定理可得,2222222312266PQ x y xy x y x x=+-=+-=+-, 易得[1,2]x ∈,所以2[1,4]x ∈, 所以2367PQ ≤≤,则PQ 的取值范围为[436,7]-. 故答案为：[436,7]-.17．（2021·浙江·高三竞赛）若π3,π44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则函数4sin cos 3sin cos x x y x x +=+的最小值为______.【答案】22【解析】 【分析】 【详解】令(sin cos 224t x x x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭， ()22213211222t t y t tt t-++===+≥当且仅当12t t =即2t =.故答案为：2218．（2021·全国·高三竞赛）已知等腰直角PQR 的三个顶点分别在等腰直角ABC 的三条边上，记PQR 、ABC 的面积分别为PQR S、ABCS，则PQR ABCS S的最小值为__________．【答案】15【解析】 【分析】 【详解】（1）当PQR 的直角顶点在ABC 的斜边上，如图1所示，则P ，C 、Q ，R 四点共圆，180APR CQR BQR ∠=∠=︒-∠，所以sin sin APR BQR ∠=∠．在APR △、BQR 中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BRA APRB BQR==∠∠． 又45,A B PR QR ∠=∠=︒=，故AR BR =，即R 为AB 的中点． 过R 作RH AC ⊥于H ，则12PR RH BC ≥=， 所以22221124PQR ABCBC SPR SBC BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=≥=，此时PQR ABCS S 的最小值为14．（2）当PQR 的直角顶点在ABC 的直角边上，如图2所示．设1,(01),02BC CR x x BRQ παα⎛⎫==≤≤∠=<< ⎪⎝⎭，则90CPR PRC BRQ α∠=︒-∠=∠=． 在Rt CPR 中，sin sin CR xPR αα==，在BRQ 中， 31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=-， 由正弦定理，11sin 3sin sin sin cos 2sin sin sin 44x RQ RB x x B RQB απαααπα-=⇔=⇔=∠+⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此222111122sin 2cos 2sin PQRx SPR ααα⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭． 这样，()()2222111cos 2sin 512cos sin PQR ABCS Sαααα⎛⎫=≥= ⎪+++⎝⎭，当且仅当arctan 2α=时取等号，此时PQR ABCS S的最小值为15．故答案为：15.19．（2021·全国·高三竞赛）满足方程223cos cos 22cos cos2cos4,[0,2]4x x x x x x π+-=∈的实数x 构成的集合的元素个数为________． 【答案】14 【解析】 【分析】 【详解】将方程变形为，1cos2cos44cos cos2cos42x x x x x +-=-．两边同乘2sin x ，运用积化和差和正弦的倍角公式，得：(sin3sin )(sin5sin3)sin8sin x x x x x x -+--=-，即sin5sin8x x =，故58(21),x x k k π+=+∈Z 或852,x x k k π=+∈Z ， 即21,13k x k π+=∈Z 或2,3k x k π=∈Z ． 又因为在方程两边同时乘sin x 时，所以引入了增根,x k k π=∈Z （代入原方程检验可得）． 再结合[0,2]xπ，得所求结果为14．故答案为：14.20．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若2b c a +-=，则2222sin sin 2sin sin sin 22222C B A B Cb c bc +-值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】 【详解】2222sin sin 2sin sin sin 22222C B A B Cb c bc +- 2211(1cos )(1cos )12(cos cos cos 1)22b Cc B bc A B C =-+--++- 22(2)(cos cos 1114)(cos cos 22)b c bc b C b c B c c B b C =++-+-+221(2cos )4b c bc A ++-22221111(2)()142242b c a b c bc ba ca a +-=++--+==． 故答案为：1.21．（2021·全国·高三竞赛）ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 是ABC 的外心，点P 满足OP OA OB OC =++，若3B π=，且4BP BC ⋅=，则ABC 的面积为_________．【答案】【解析】 【分析】 【详解】由OP OA OB OC =++，得OP OA OB OC -=+，即AP OB OC =+． 注意到()OB OC BC +⊥，所以AP BC ⊥． 同理，BP AC ⊥，所以P 是ABC 的垂心， ()BP BC BA AP BC BA BC ⋅=+⋅=⋅，所以cos 4ac B =，8ac =，所以1sin 2ABC S ac B ==△故答案为：22．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，并且sin cos sin A B C 、、成等比数列，cos sin cos A B C 、、成等差数列，则B 为____________. 【答案】23π【解析】 【分析】 【详解】依题意，2sin sin cos ,cos cos 2sin A C B A C B =+=， 前一式积化和差可得2cos()2cos cos A C B B -=-，后一式和差化积可得cos2cos 22A C B-=， 所以22cos()2cos18cos 14cos 322A CB AC B --=-=-=+，联立两式得1cos 2B =-或3（舍去），所以23B π=. 故答案为：23π. 23．（2021·全国·高三竞赛）如果三个正实数x y 、、z 满足2225x xy y ++=，22144y yz z ++=，22169z zx x ++=，则xy yz zx ++=_________.【答案】【解析】 【分析】 【详解】易知三个等式可化为2222222222cos1205,2cos12012,2cos12013.x y xy y z yz z x zx ⎧+-︒=⎪+-︒=⎨⎪+-︒=⎩构造Rt ABC ，其中13,5,12AB BC CA ===.设P 为ABC 内一点，使得,,,120PB x PC y PA z BPC CPA APB ===∠=∠=∠=︒. 因BPCCPAAPBABCSSSS++=，则11()sin12051222xy yz zx ++︒=⨯⨯，所以xy yz zx ++=故答案为：24．（2021·全国·高三竞赛）设()cos ()cos 30xf x x =︒-，则()()()1260f f f ︒+︒++︒=_________．【解析】 【分析】 【详解】 因为()cos ()cos 30xf x x =︒-，所以：()()()()cos 60cos ()60cos 30cos 30x xf x f x x x ︒-+︒-=+︒--︒()()()()cos cos 602cos30cos 30cos 30cos 30x x x x x +︒-︒-︒===-︒-︒令：()()()1259s f f f =︒+︒++︒，① ()()()()595821s f f f f =︒+︒++︒+︒，②①+②得：：()()()()()()2159258591s f f f f f f =︒+︒+︒+︒++︒+︒=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以s =()()()59312592f f f +++=．又()()1cos6060cos 3060f ︒︒==︒=︒-，则()()()()125960f f f f ︒+︒++︒+︒==． 25．（2021·全国·高三竞赛）已知cos cos 1x y +=，则sin sin xy -的取值范围是________. 【答案】⎡⎣【解析】 【分析】 【详解】设sin sin x y t -=，易得2cos in sin 1cos s 2y x y t x --=，即21cos()2t x y -+=. 由于()1cos 1x y -≤+≤，所以21112t --≤≤，解得t≤故答案为：⎡⎣.26．（2020·全国·高三竞赛）在ABC中，6,4AB BC ==，边AC 66sin cos 22A A+的值为_______． 【答案】211256． 【解析】【分析】由中线长公式计算出AC 的长度，然后运用余弦定理计算出cos A 的值，化简后即可求出结果. 【详解】记M 为AC 的中点，由中线长公式得()222242BM AC AB BC +=+，可8AC ==．由余弦定理得2222228647cos 22868CA AB BC A CA AB +-+-===⋅⋅⋅，所以66224224sin cos sin cos sin sin cos cos 22222222A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22222sin cos 3sin cos 2222A A A A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭231sin 4A =-213211cos 44256A =+=． 故答案为：211256【点睛】关键点点睛：解答本题关键是能够熟练运用中线长公式、余弦定理、倍角公式等进行计算，考查综合能力.27．（2019·江苏·高三竞赛）已知函数()4sin 23cos 22sin 4cos f x x x a x a x =+++的最小值为－6，则实数a 的值为________ .【答案】【解析】 【详解】令sin 2cos x x t +=，则[t ∈， ∴224sin 23cos 25t x x =++，∴2()()225,[f x g t t at t ==+-∈，当2a-≤a ≥函数的最小值为：(((22256g a =⨯+⨯⨯-=-，解得：a =当2a-a ≤-函数的最小值为：22256g a =⨯+⨯⨯-=-，解得：a =，不合题意，舍去；当2a-<a -< 函数的最小值为：22256222a a a g a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：a =.故答案为：28．（2019·福建·高三竞赛）在△ABC中，若AC =AB =25tan 12π=，则BC =____________ .【解析】 【详解】5tan 12π=，得2sin 56tan 122cos 6A A πππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即5tan tan 612A ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5,612A k k πππ+=+∈Z . 结合0A π<<，得5,6124A A πππ+==. 所以由余弦定理，得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅⋅22222cos4π=+-⋅2=所以BC29．（2018·全国·高三竞赛）设 A B C ∠∠∠、、是ABC 的三个内角.若sin ,A a =cos B b =,其中,a ＞0,0b >,且221a b +≤,则tan C =______.【解析】 【详解】因为cos 0B b =>,所以,B ∠为锐角,sin B又221a b +≤,则sin sin A a B =≤. 于是()sin sin A B π-≤. 若A ∠为钝角,则A π-∠为锐角.又B ∠为锐角,则A B A B ππ-∠≤∠⇒∠+∠≥矛盾.从而,A ∠为锐角,且cos A .故sin tan cos A A A ==sin tan cos B B B ==则tan tan tan tan tan 1A B C A B +==⋅-30．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别是A ∠、B 、C ∠的对边．若4cos a b C b a +=，()1cos 6A B -=，则cos C ______． 【答案】23【解析】 【详解】由题设及余弦定理知222222422a b a b c a b c b a ab+-+=⋅⇒+=()()2221cos21cos22sin sin sin 1cos cos 22A BC A B A B A B --⇒=+=+=-+⋅-()2111cos 1cos 21cos 66C C C =+⇒+=-2cos 3C ⇒=或34-． 而()3cos cos 2sin sin 0cos 4C A B A B C ++=⋅>⇒=-（舍去）．因此，2cos 3C =． 31．（2018·全国·高三竞赛）若对任意的ABC ∆，只要()+p q r p q R 、+=∈，就有222sin sin sin p A q B pq C +>，则正数r 的取值范围是______.【答案】01r <≤ 【解析】 【详解】设的三边长分别为a 、b 、c . 则222sin sin sin p A q B pq C +>①22211a b c q p⇔+>. 若1r ≤，则()22221111a b q p a b q p qp ⎛⎫+≥++ ⎪⎝⎭ ()22a b c ≥+>；若1r >，令2rp q ==. 当a b =，C π∠→时，2221 22a b rc +→<，式①不成立.综上，01r <≤.32．（2018·全国·高三竞赛）在锐角ABC ∆中，cos cos sin sin A B A B +--的取值范围是______. 【答案】()2,0- 【解析】 【详解】由02A B C π<∠∠∠<、、 22A B AB πππ⇒<∠+∠⇒∠-∠，2B A π∠>-∠.则0cos sin 1A B <<<，0cos sin 1B A <<<故2cos cos sin sin 0A B A B -<+--<. 所以取值范围是()2,0-.33．（2019·全国·高三竞赛）已知单位圆221x y +=上三个点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y满足1231230x x x y y y ++=++= .则222222123123x x x y y y ++=++=__________.【答案】32【解析】 【详解】设1cos x α=，2cos x β=，3cos x γ=，1sin y α=，2sin y β= 3sin y γ=. 由题设知ABC ∆的外心、重心、垂心重合，其为正三角形.故()222313cos cos cos cos2cos2cos2222αβγαβγ++=+++=， ()222313sin sin sin cos2cos2cos2222αβγαβγ++=-++=. 故答案为3234．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，2cos 3cos 6cos A B C +=，则cos C 的最大值为_______________．【解析】 【分析】 【详解】令cos ,cos ,cos A x B y C z ===，则236x y z +=，即223y z x =-． 因为222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=， 所以22222212233x z x z x z x z ⎛⎫⎛⎫+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得222134********z x z z x z ⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2228134Δ44510393z z z z ⎛⎫⎛⎫=----≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2413(1)(1)4039z z z z ⎛⎫+-+-≥ ⎪⎝⎭， 于是24134039z z +-≤，得z ≤ 所以cos C．16. 35．（2021·全国·高三竞赛）已知正整数n p 、，且2p ≥，设正实数12,,,n m m m 满足1111npi im ==+∑，则12n m m m 的最小值为_______．【答案】(1)mp n - 【解析】 【分析】【详解】令2tan ,0,,1,2,,2p i i i m x x i n π⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭．由题设可得22212cos cos cos 1n x x x +++=，于是：2222121cos cos cos sin n n x x x x -+++=，222221221cos cos cos cos sin n n n x x x x x --++++=，……2222231cos cos cos sin n x x x x +++=，将上述各式利用均值不等式得：2221(1)cos sin n n n x x --≤， 22221(1)cos sin n n n x x ---≤，……2231(1)cos sin n n x x -≤，再把上述n 个不等式相乘，得()2222221212(1)cos cos cos sin sin sin n n n n x x x x x x -≤，即22212tan tan tan (1)n n x x x n ≥-．由于2tan ,1,2,,p i i m x i n ==，故12(1)n pn m mm n ≥-，当且仅当1(1)p i m n =-时上式等号成立．故答案为：(1)mp n -.36．（2021·全国·高三竞赛）设锐角ABC 的三个内角、、A B C ，满足sin sin sin A B C =⋅，则tan tan tan A B C ⋅⋅的最小值为_______．【答案】163【解析】 【分析】 【详解】由题设可知，0,,2A B C π<<，则cos 0,cos 0B C >>．又由A B C π++=及sin sin sin A B C =⋅ 得()()sin sin sin B C B C π-+=⋅， 即()sin sin sin B C B C +=⋅，则sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=⋅， ① 由cos 0,cos 0B C >>，①式两边同时除以cos cos B C ⋅， 可得tan tan tan tan B C B C +=⋅． 设tan tan B C s +=，则tan tan B C s ⋅=， 由0,2B C π<<知，tan 0,tan 0B C >>，则0s >． 于是有()tan tan B s B s ⋅-=，故2tan tan 0B s B s -+=，从而有22(tan )(4)244s s sB s s -=-=-．又2(tan )02s B -≥，得(4)04s s -≥，而0s >．所以4s ≥．故4s ≥．tan tan tan tan(())tan tan A B C B C B C π⋅⋅=-+⋅⋅2tan tan tan tan 1tan tan 1B C s B C B C s +=-⋅⋅=-⋅-． 因为4s ≥，于是求tan tan tan A B C ⋅⋅的最小值转化为求函数2()(4)1x f x x x =≥-的最小值．考虑函数221()(4),()(1)2(4)111x x f x x f x x x x x x =≥==-++≥---，即()f x 在[)4,+∞上单调递增，从而()()4,4x f x f ≥≥． 因此()f x 的最小值在4x =时取得，为2416(4)413f ==-． 由tan tan tan tan 4B C B C +=⋅=得，tan tan 2B C ==，从而4tan 3A =， 故当4tan 3A =，tan tan 2BC ==时，tan tan tan A B C ⋅⋅取得最小值163． 故答案为：163. 37．（2019·贵州·高三竞赛）在△ABC 中，0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=.则(tan tan )tan tan tan A B CA B+⋅=____________ .【答案】12 【解析】 【详解】设△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .由0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=，知G 为△ABC 的重心. 又GA ⊥GB ，所以22222222211221122GA GB c GA GB a GB GA b ⎧⎪+=⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩.得到2225a b c +=.故：(tan tan )tan (sin cos cos sin )sin tan tan sin sin cos A B C A B A B C A B A B C++=⋅2sin sin sin cos C A B C =()22222abc ab a b c =+-2222212c a b c ==+-. 故答案为：12．38．（2019·江西·高三竞赛）△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A =3B =9C ，则cos cos A B +cos cos cos cos B C C A +=____________ .【答案】14-【解析】 【详解】设,3,9C B A θθθ===，由39θθθπ++=得13πθ=，所以cos cos cos cos cos cos S A B B C C A =++9339coscos cos cos cos cos 131313131313ππππππ=++112642108cos cos cos cos cos cos 2131313131313ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 注意括号中的诸角度构成公差为213π的等差数列，两边同乘4sin 13π，得到 246810124sin2sincos cos cos cos cos cos 1313131313131313S ππππππππ⎛⎫⋅=+++++⎪⎝⎭35375sin sin sin sin sin sin 131313131313ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭971191311sin sin sin sin sin sin 131313131313ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ sin13π=-.所以，14S =-.故答案为：14-．三、解答题39．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，三内角A 、B 、C 满足tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，求cos C 的最小值．【答案】23【解析】 【分析】 【详解】由tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，得： sin sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos A B B C C AA B B C C A =+sin (sin cos sin cos )cos cos cos C B A A B A B C +=sin sin()cos cos cos C A B A B C+=2sin cos cos cos C A B C=， 所以2sin sin cos sin A B C C =．由正余弦定理，得22222a b c abc ab+-=， 所以2222222sin 223,cos sin sin 333C c a b ab a b c C A B ab ab ab ++====≥=， 当且仅当a b =时等号成立，所以cos C 的最小值为23．40．（2021·全国·高三竞赛）解关于实数x 的方程：{}202020201arctan k x x k==∑（这里{}[][],x x x x =-为不超过实数x 的最大整数） 【答案】{}0 【解析】 【分析】 【详解】（1）当0x <时，{}202020201arctan 0(1,2,,2020),arctan 0k x x k x k k =<=<≤⋅⋅⋅∑，此时原方程无解．（2）当0x =时，有{}202020001arctan0k x x k===∑． （3）当01x <<时，令arct ()1)2an (0x xf x x =-<<，则211()0(01)12f x x x '=-><<+， 故()f x 在()0,1上递增．有()()00f x f >=，即arctan 2x x > 于是，此时{}202020204202020201111125arctan 2224k k k x x x xx x x k k k =====>>=>∑∑∑，即1x >，矛盾．故无解．（4）当1≥x 时，注意到111123tan(arctan arctan )112316++==-， 且由110arctan arctan arctan1arctan1232π<+<+=，知11arctan arctan 234+=π．则{}20202020202011111arctan arctan arctan1arctan arctan 1232k k x x k k π===≥>++=>∑∑，与{}202001x <<，矛盾．故此时无解．由（1）（2）（3）（4），知原方程的解集为{}0．41．（2021·全国·高三竞赛）已知点(2cos ,sin ),(2cos ,sin ),(2cos ,sin )A B C ααββγγ，其中,,[0,2)αβγπ∈，且坐标原点O 恰好为ABC 的重心，判断ABCS是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】三角形ABC【解析】 【分析】 【详解】先证明一个引理：若()()1122,,,,(0,0)A x y B x y C ，则122112ABCS x y x y =-． 因为()()1122,,,CA x y CB x y ==， 所以21cosCA CB C CA CBx⋅==⨯所以sin C ==所以：1sin 2ABCSCACB C =⋅⋅ 12211122x y x y ==-回到原题，连结OA 、OB 、OC ，则： ABCOABOBCOACSSSS=++112cos sin 2sin cos 2cos sin 2sin cos 22αβαββγβγ=-+- 12cos sin 2sin cos 2αγαγ+- sin()sin()sin()αββγαγ=-+-+-．由三角形的重心为原点得sin sin sin 0,2cos 2cos 2cos 0.αβγαβγ++=⎧⎨++=⎩即sin sin sin ,cos cos cos .αβγαβγ+=-⎧⎨+=-⎩ 所以两式平方相加可得1cos()2αβ-=-，所以sin()αβ-=，同理sin()sin()βγαγ-=-=， 所以sin()sin()sin()3ABCSαββγαγ=-+-+-==故三角形ABC 42．（2019·上海·高三竞赛）已知,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin sin A B =()sin A B +，求tanA 的最大值.【答案】43【解析】 【详解】由题设等式可得sin sin (sin cos cos sin )A B A B A B =+， 所以tan sin (tan cos sin )A B A B B =+. 令tan t A =，则2sin cos sin t t B B B =+，于是2sin 21cos2t t B B =+-，21)t B θ--， 这里θ是锐角，sin θ=.所以2|21|1t t -+，注意到t >0，可得43t. 当413arctan ,arcsin 3225A B π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭时，题设等式成立.所以，tanA 的最大值为43.43．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，证明：coscos cos cos cos cos 222222cos cos cos 222B C C A A BA B C ⋅⋅⋅++≥ABC ∆为正三角形时，上式等号成立.【答案】见解析 【解析】 【详解】如图，对ABC ∆，作其相伴111A B C ∆. 则11cos 2B E B B O =，111cos 2C G C A C =，111cos 2C G A B C =. 故11111111111111coscos 22cos2B E C G B C B O A C B E B C A C G B O A C B C ⋅⋅⋅==⋅. 由O 、E 、1C 、F 四点共圆得11111B E B C B O B F ⋅=⋅则111cos cos 22cos 2B C B F A AC ⋅=.类似地，111coscos 22cos 2B C C G A A B ⋅=，111cos cos 22cos2B C A E A B C ⋅= 记111A B C ∆的三边111111B C C A A B 、、分别为111a b c 、、，相应边上的高111A E B F C G 、、分别为123h h h 、、，且其面积为S 、则312222222111111111cos cos 222111222cos2B C h h h S S S S A a b c a b c a b c ⋅⎛⎫∑=++=++=++ ⎪⎝⎭.其中，“∑”表示轮换对称和.由熟知的不等式222111111334a b c S++≥，得coscos 33222cos 2B CA ⋅∑≥. 当且仅当ABC ∆为正三角形时，上式等号成立.44．（2019·全国·高三竞赛）在△ABC 中，若cos cos 2sin sin A BB A+=，证明:∠A ＋∠B ＝90° 【答案】见解析 【解析】 【详解】由sin cos sinB sin sin sin sinB 0A A cosB A B A ⇒⋅+⋅-⋅-⋅=()()sin cos sin sinB cosB sinA 0A A B ⇒-+-=()()sinA sin 90sinB sinB sin 90sinA 0A B ⎡⎤⎡⎤⇒︒--+︒--=⎣⎦⎣⎦909090902sinA cossin 2sin cos sin 2222A B A B B A B AB ︒-+︒--︒-+︒--⇒⋅⋅+⋅⋅ 902sin sin cos 45?sin cos 450222A B A B A B A B ⎡⎤︒----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒⋅︒-+⋅︒+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=0902A B ︒--⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭sin cos sin sin cos sin 02222A B A B A B A B A B ⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.()()90cos sin sin sin sin sin 0222A B A B A B A B A B ︒----⎛⎫⎡⎤⇒++-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦222cos sin 2sin cos 02222A B A B A B A B -+-+⋅+⋅>sin cos sin sin cos sin 02222A B A B A B A B A B ⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 90sin 02A B ︒--⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭ 90A B ⇒∠+∠=︒()10A a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，. 45．（2018·全国·高三竞赛）已知ABC 的三个内角满足2A C B ∠+∠=∠,cos cos A C +=cos 2A C -的值.【解析】 【详解】由题设知60,B ∠= 120A C ∠+∠=︒. 设2A Cα∠-∠=,则2A C α∠-∠=,于是,60,60A C αα∠=+∠=-. 故()()cos cos cos 60cos 602cos60cos cos A C αααα+=++-=⋅=.()()()260cos 6032cos2cos120cos cos604αααα+⋅-⎫==+︒=-⎪⎭.故223cos cos 2cos 04αααα⎫=--⇒+-=⎪⎭()(32cos 0αα⇒+=.若3cos 1αα+⇒=<-舍，从而,2cos 0cos αα=⇒=. 46．（2018·全国·高三竞赛）已知函数()()()3333sin cos sin cos f x x x m x x =+++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有最大值2.求实数m 的值.【答案】1m =- 【解析】 【详解】注意到，()()233sin cos sin cos sin cos 3sin cos x x x x x x x x ⎡⎤+=++-⋅⎣⎦()()()223sin cos sin cos sin cos 12x x x x x x ⎧⎫⎡⎤=++-+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭.令sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭. 则()()()223333931222f x t t t mt m t t g t ⎡⎤⎛⎫=--+=-+∆ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.由()233322g t m t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，有以下两种情形.（1）32m ≥. 由()0g t '>，知()max 92322g t g m ⎫==-+=⎪⎭ 230m ⇒-<，矛盾.（2）32m <. 若32132m -<-，即0m <时，()()max 1321g t g m m ==+=⇒=-；若32132m -≤≤-3012m ⎛≤≤ ⎝⎭时， ()max271523248g t g m m ==⇒=-⇒=-，矛盾；若3232m ->-33122m ⎛<< ⎝⎭时，()max 3 222g t g m ⎫==+=⎪⎭34m ⇒=-. 综上，1m =-.47．（2019·全国·高三竞赛）求(),f xy =【答案】42 【解析】 【详解】注意到，2cos472cos 26x x +=+ ()2222cos 16x =-+ ()428cos cos 1x x =-+，同理，()42cos478cos cos 1y y y +=-+，而22cos4cos48sin sin 6x y x y +-⋅+ ()()22cos47cos478sin sin 8x x x y =+++-⋅-()428cos cos 1x x =-++ ()428cos cos 1y y -+- ()()2281cos 1cos 8x y ---()44228cos cos 8cos cos x y x y =+-⋅，()()42424422,8cos cos 1cos cos 1cos cos cos cos f x y x x y y x y x y =-++-+++-⋅，如图，作边长为1的正SAB ∆、SBC ∆、SCD ∆，在SB 、SC 上分别取点X 、Y 使得2cos SX x =，2cos SY y =，联结AX 、AY ，则(),f x y ()8AX XY YD =++，其最小值就是线段ASD 的长度，即当2x y π==时，min 2842f ==.48．（2021·全国·高三竞赛）求证：对任意的n +∈N ，都有21111arctan arctan arctanarctan 37114n n n π++++=+++．【答案】证明见解析. 【解析】 【详解】由于1111tan arctan 1412111n n n n n π-⎛⎫+-== ⎪++⎝⎭+⨯+，只需证： 2111arctan arctan arctanarctan 3712nn n n +++=+++．设*(),2nf n n n =∈+N ，注意到：21()(1)12111()(1)1121n n f n f n n n n n f n f n n n n n ----++==-+-+++⋅++，即21tan[arctan ()arctan (1)]tan arctan 1f n f n n n ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭， 又由于()f n 、(1)f n -、211n n ++均大于0，则21[arctan ()arctan (1)],,arctan 0,2212f n f n n n πππ⎛⎫⎛⎫--∈-∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 从而21arctanarctan ()arctan (1)1f n f n n n =--++． 所以2111arctan arctan arctan371n n +++=++arctan ()arctan (0)arctan 2nf n f n -=+，所以对任意的n +∈N ，都有21111arctan arctan arctanarctan 37114n n n π++++=+++．49．（2021·全国·高三竞赛）设αβγ、、是锐角，满足αβγ+=，求证：cos cos cos 1αβγ++-≥【答案】证明见解析 【解析】 【详解】2cos cos cos 12coscos2sin 222αβαβγαβγ+-++-=⋅- 2cos cos sin sin 2222γαβγαβ-+⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭.由于0,224αβγπ+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以cos cos cos sin 2222αβαβγγ-+>=>. 由恒等式()()222222()()ac bd ad bc a b c d ---=--可知，如果0a b >>且0c d >>，则ac bd -≥cos cossinsin2222γαβγαβ-+⋅≥-⋅===所以cos cos cos 1αβγ++-≥50．（2019·河南·高二竞赛）锐角三角形ABC 中，求证：cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C ---.【答案】证明见解析 【解析】 【详解】 原不等式等价于cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C---.在三角形ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=， cos()sin sin cos cos cos sin sin cos cos B C B C B C A B C B C -+=-tan tan 1tan tan 1B C B C +=-tan (tan tan 1)tan tan A B C B C +=+2tan tan tan tan tan A B CB C++=+.令tan tan tan tan tan tan A B xB C y C A z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则原不等式等价于()()()8z x y z x y yxz +++. 而上式左边228zx yxz⋅=，故原不等式得证【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题3 三角函数 （50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·吉林·高三竞赛）已知()sin 2cos xf x x=+，则对任意x ∈R ，下列说法中错误的是（ ） A ．()1sin 3f x x ≥B ．()f x x ≤C ．()f x ≤D ．()()0f x f x ππ++-=2．（2018·四川·高三竞赛）函数()()()sin 1cos 12sin 2x x y x R x--=∈+的最大值为（ ）.A ．2B ．1C ．12+D3．（2019·全国·高三竞赛）函数[][]sin cos sin cos y x x x x =⋅++的值域为（ ）（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）. A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}2,1,0,1-- C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,1--4．（2010·四川·高三竞赛）已知条件43p =和条件4:sin cos 3q αα+=．则p 是q 的（ ）． A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，A B C ∠≤∠≤∠，sin sin sin cos cos cos A B CA B C++=++则B 的取值范围是（ ）.A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3π D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题6．（2018·江西·高三竞赛）若三个角x 、y 、z 成等差数列，公差为π3，则tan tan tan tan tan tan x y y z z x ++=______．。
高考数学三角形面积问题专项练习题讲解(含答案解析)
高考数学三角形面积问题专项练习题讲解（含答案解析）一、解答题1．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且124A A =,P 为椭圆上异于1A ，2A 的点，1PA 和2PA 的斜率之积为34−． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为椭圆中心，M ，N 是椭圆上异于顶点的两个动点，求OMN 面积的最大值． 【答案】（1） （2）3【解析】试题分析：第（1）问首先由124A A =得到椭圆左、右顶点的坐标，再由1PA 和2PA 的斜率之积为34−求出几何量b 的值即得椭圆标准方程；第（2）问先列出OMN 的面积，需要求直线被椭圆截得的弦长，计算点到直线的距离，再讨论OMN 的面积最值．试题解析：（1）由1224A A a ==，得2a =，所以1(2,0)A −，2(2,0)A ．设00(,)P x y ，则，解得23b =．于是椭圆C 的标准方程为．（2）①当直线MN 垂直于x 轴时，设MN 的方程为x n =，由221{43x y x n+==，得(M n ，(,N n ， 从而12OMNSn =⨯⨯= 当n =OMN②当直线线MN 与x 轴不垂直时，设MN 的方程为y kx m =+，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得222(34)84120k x kmx m +++−=． 2222644(34)(412)0k m k m =−+−>，化简得22430k m −+>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122834km x x k −+=+，212241234m x x k−=+，MN ==，原点O 到直线MN的距离d =，所以1122OMNSMN d =⋅=≤= 当且仅当22342k m +=时，OMNS综合①②知，OMN考点：椭圆标准方程，直线和椭圆的位置关系，三角形面积．2．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的离心率为2，过椭圆C 的左焦点和上顶点的直线与圆223:4O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,2)P −的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，点O '与原点O 关于直线l 对称，试求四边形OAO B '的面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）2 【分析】（1）由题得：过椭圆C 的左焦点和上顶点的直线方程为1x yc b+=−，又由该直线与圆相切得到：=，联立2c a =，解方程组即得； （2）由题得直线l 的斜率k 一定存在，可设直线:2l y kx =−，代入椭圆方程，消元化简得：()221416120k x kx +−+=，由弦长公式求得||AB =O 到直线AB 的距离d =，算出2||14OAO BS d AB k '=⋅=+四边形，最后求出四边形OAO B '的面积的最大值.【详解】（1）过椭圆C 的左焦点和上顶点的直线方程为1x yc b+=−，即0bx cy bc −+=，又该直线与圆O 相切，2bc a ==，又离心率c e a ==1b ∴=， 222213114b e a a ∴=−=−=，24a ∴=，∴椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由点O '与原点O 关于直线l 对称，得2OAB OAO B S S '=△四边形. 当直线l 的斜率不存在时，l x ⊥轴，四边形OAO B '不存在，不合题意.当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线:2l y kx =−，设()11,A x y ，()22,B x y ，将2y kx =−代入2214x y +=，得()221416120k x kx +−+=，当()216430k ∆=−>，即234k >时，1221614k x x k +=+，1221214x x k =+，从而12AB x =−== 又点O 到直线AB 的距离d =，2OABOAO B S S '∴==△四边形2||14d AB k ⋅=+，t =，则0t >，288244OAO B t S t t t'==≤++四边形，当且仅当2t =，即2k =±>0∆，∴四边形OAO B '的面积的最大值为2.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，求椭圆的面积的最值等问题，运用了弦长公式，点到直线的距离公式，属于难题；同时考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.3．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的四个顶点围成的菱形的面积为2220x y x +−=的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为12,k k ，当1234k k =−时，△MON 的面积是否为定值若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）MON S ∆【分析】(1)根据菱形的面积和焦点建立方程组，解方程组可得； (2)先求弦长和三角形的高，再求面积的表达式，求出定值. 【详解】解：（1）由题意可知，2ab =，圆2220x y x +−=的圆心为(1,0)，所以1c =， 因此221a b −=，联立221ab a b ⎧=⎪⎨−=⎪⎩，解之224,3a b ==， 故椭圆的方程为22143x y +=.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 可得，222(34)84120k x kmx m +++−= 则有222222644(34)(412)48(43)0k m k m k m ∆=−+−=−+>，即2243m k <+，21212228412,3434km m x x x x k k −−+==++，所以12MN x =−===点O 到直线MN的距离d =，所以1||2MON S MN d ∆== 又因为12121234y y k k x x ⋅==−， 所以22222121221228()()334412434km km mk x x km x x mk k m x x k −+++++=+=−−+，化简可得22243m k =+，满足>0∆， 代入MONS ∆=222m==， 当直线MN 的斜率不存在时，由于1234k k =−，考虑到,OM ON 关于x轴对称，不妨设1222k k ==−，则点,M N的坐标分别为),22M N −,此时12MON S ∆=综上，MON ∆法二：设1122(2cos ),(2cos )M N θθθθ， 由题意12121212123sin sin 34cos cos 4y y k k x x θθθθ⋅===−，可得12cos()0θθ−=， 所以12()2k k πθθπ−=+∈Z ，而12211sin sin |2MON S θθθθ∆=⨯−12sin()|θθ=−因为122k πθθπ−=+，所以12sin(=1θθ−±），故MON S ∆=.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解和定值问题，侧重考查数学运算的核心素养.4．已知椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）过点12⎫−⎪⎭.（1）求椭圆C 的方程.（2）若A ，B 是椭圆C 上的两个动点（A ，B 两点不关于x 轴对称），O 为坐标原点，OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，问是否存在非零常数λ，使k 1k 2＝λ时，AOB 的面积S 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，14λ=−. 【分析】（1,,a b c 之间的关系即可求出椭圆的方程；（2）设AB 的直线方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB ，及O 到直线AB 的距离，由直线OA ，OB 的斜率之积的值, 得参数之间的关系，求出面积的表达式，由AOB 的面积S 为定值，可得对应比成比例，即可求出λ的值. 【详解】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点1,2⎫−⎪⎭所以223114a b +=,c = 从而 22224a b c b =+=联立方程组 2222311,44,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解得 224,1,a b ⎧=⎨=⎩ 所以 22 1.4x y +=（2）设存在这样的常数,λ使 12,k k AOB λ=的面积S 为定值.因为A ，B 两点不关于x 轴对称，故斜率存在，设直线AB 的方程为,y kx m =+ 点()11,,A x y 点()22,,B x y 则由12k k λ=知1212y y x x λ⋅=即12120y y x x λ−= 即(1kx +()212)0m kx m x x λ+−=所以()(2121k x x km x λ−++)220x m += ①联立方程组 221,4,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()222148440.kxkmx m +++−=由韦达定理有12221228 1444 14km x x k m x x k −⎧+=⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩代入①得()()22222448k mk m m λ−−−+()2140k +=化简得()22414k m λλ−=− ②点O 到直线AB的距离d =AOB 的面积121||22m S AB d x x =⋅=⋅−=将②代入上式，再平方得()()()()22222222414(14)162(14)41k k k S k λλλλ+⋅−−−−⎛⎫= ⎪⎝⎭−+()42242264644411681(14)k k k k λλλλ−++−=⋅++−要使上式为定值, 只需26464441681λλλ−+−==即需2(41)0λ+= 从而1,4λ=− 此时21,24S ⎛⎫= ⎪⎝⎭1S = 所以存在这样的常数1,4λ=− 此时1AOBS =为定值.【点睛】 本题的结论是：若A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的两个动点，O 为坐标原点，OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，若2122b k k a⋅=−，则AOB 的面积S 为定值12ab .5．已知12F F ，分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，点12P ⎛− ⎝⎭，在椭圆E 上，且抛物线24y x =的焦点是椭圆E 的一个焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点2F 作不与x 轴重合的直线l ，设l 与圆2222x y a b +=+相交于A B ，两点，且与椭圆E 相交于C D ，两点，当11·1F A F B =时，求1FCD 的面积.【答案】（1）22 1.2x y +=（2 【分析】（1）由已知结合抛物线的性质可得()110F −，、()210F ，，由椭圆性质可得122a PF PF =+，进而可求出a ，b ，即可得解；（2）设直线l 方程为1x ty =+，联立直线与圆的方程可以求出2t ，再联立直线和椭圆的方程，化简后由根与系数的关系与三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由24y x =焦点为()10F ，可得()110F −，，()210F ，，因为点1P ⎛− ⎝⎭在椭圆E 上，所以122a PF PF =+=所以a =1c =，所以2221b a c =−=，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=；（2）由已知，可设直线l 方程为1x ty =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立2213x ty x y =+⎧⎨+=⎩ 得()221220t y ty ++−=，则1221222121t y y t y y t ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=−⎪+⎩， 所以()()()()1112121212·1122F A F B x x y y ty ty y y +++=+++= =()()2212122221241t t y y t y y t −++++=+，因为11·1F A F B =，所以22221t t −=+ 1，解得213t =， 联立22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()222210t y ty ++−=，()2810t ∆=+>， 设()33C x y ，，()44B x y ，，则3423422212t y y t y y t ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=−⎪+⎩，所以11234121122F CDSF F y y F F ⋅−===△3==. 【点睛】本题考查了抛物线性质的应用，考查了直线与椭圆的综合问题以及运算求解能力，属于中档题．6．已知F 1，F 2是椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x +y =1被椭圆截得的弦的中点坐标为3144P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，当△ABF 2面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（Ⅰ）23x +y 2=1；（Ⅱ）x ﹣y =0或x +y =0. 【分析】（Ⅰ）根据直线椭圆的过上顶点，得b =1，再利用点差法以及弦中点坐标解得a 2=3，即得椭圆方程； （Ⅱ）先设直线l 方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理，并以|F 1F 2|为底边长求△ABF 2面积函数关系式，在根据基本不等式求△ABF 2面积最大值，进而确定直线l 的方程. 【详解】（Ⅰ）直线x +y =1与y 轴的交于（0，1）点，∴b =1， 设直线x +y =1与椭圆C 交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1+x 232=，y 1+y 212=，∴221122x y a b +=1，222222x y a b+=1， 两式相减可得21a（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）21b +（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=0， ∴()2121221212()y y b x x x x a y y −+=−−+，∴22b a− ⋅3212=−1，解得a 2=3，∴椭圆C 的方程为23x +y 2=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F 1（，0），F 20），设A （x 3，y 3），B （x 4，y 4），可设直线l 的方程x =my 将直线l 的方程x =my 代入23x +y 2=1，可得（m 2+3）y 2﹣﹣1=0， 则y 3+y4=，y 3y 4213m −=+，|y 3﹣y 4|3m ==+∴212ABF S=|F 1F 2|⋅|y 3﹣y 4|=⋅|y 3﹣y 4|==≤=，=，即m =±1，△ABF 2面积最大， 即直线l 的方程为x ﹣y =0或x +y =0. 【点睛】本题考查椭圆标准方程、点差法、基本不等式求最值以及利用韦达定理研究直线与椭圆位置关系，考查综合分析与求解能力，属中档题.7．已知点1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点，椭圆上一点P 满足1PF x ⊥轴，215PF PF =，12F F =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，当1ABF 的内切圆面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（1）2213x y +=；（2）y x =y x =−+. 【分析】（1）由1PF x ⊥轴，结合勾股定理可得2221122PF F F PF +=，从而可求出2PF =1PF =则可知a =122F F c ==21b =，即可求出椭圆的标准方程. （2）设()11,A x y ，()22,B x y，:l x ty =12y y +=，12213y y t =−+，从而可用t 表示出112122AF BF F AF F BSSS=+=()11112AF BSAF F B AB r =++⋅=，即可知r =大时，t 的值，从而可求出直线的方程.【详解】解：（1）因为1PF x ⊥轴，所以122PF F π∠=，则2221122PF F F PF +=，由215PF PF =，12F F =2PF =1PF =122F F c ==由椭圆的定义知2a ==a ∴=2221b ac =−=， ∴椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（2）要使1AF B △的内切圆的面积最大，需且仅需其1AF B △的内切圆的半径r 最大.因为()1F，)2F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，易知，直线l 的斜率不为0，设直线:l x ty =2213x ty x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22310t y ++−=，故12y y +=，12213y y t =−+； 所以11212121212AF BF F A F F BSS SF F yy =+=−===， 又()1111114222AF B S AF F BAB r a r r=++⋅=⋅⋅=⋅=，故23t=+，即，122r ==≤；=，即1t =±时等号成立，此时内切圆半径取最大值为12， ∴直线l 的方程为y x =y x =−.【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆内三角形周长的求解，考查了三角形的面积公式，考查了直线与椭圆的位置关系.本题的关键是用内切圆半径表示出三角形的面积.本题的难点是计算化简.8．已知椭圆()222103x y C a a +=>：的右焦点F 到左顶点的距离为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 是坐标原点，过点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上），若OE OA OB =+，延长AO 交椭圆与点G ，求四边形AGBE 的面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）92. 【分析】（1）根据椭圆方程中基本量的关系与右焦点F 到左顶点的距离，即可求出椭圆基本量，即得椭圆方程； （2）首先联立方程组，利用韦达定理表示出四边形的面积，根据面积表达式的函数单调性求出面积的最值即可. 【详解】（1）由题知23b =，3a c +=，()2222223a b c a b a =+⇒=+−，解得2a =，所以椭圆22143x y C +=：；（2）因为过点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上），设:1l x ty =+，联立()2222134690143x ty t y ty x y =+⎧⎪⇒++−=⎨+=⎪⎩， 设()11,A x y ，()22,b x y ，有122122634934t y y t y y t −⎧+=⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩，因为OE OA OB =+，所以四边形AOBE 是平行四边形， 所以12332AGBE AOBE OGBAOBS S SSyy =+==−， 有AGBES ==，令1m =，有218181313AGBE m S m m m==++，当m 1≥时1813m m+单调递减，所以当1m =时面积取最大值， 最大值为max 189312S ==+. 【点睛】本题主要考查了椭圆方程基本量的求解，椭圆中三角形的面积计算，属于一般题.9．已知P 是圆221:(1)16F x y ++=上任意一点，F 2(1,0)，线段PF 2的垂直平分线与半径PF 1交于点Q ，当点P 在圆F 1上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点()M 的直线l 与（1）中曲线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=.（2）AOBl的方程为x y =−【分析】（1）根据垂直平分线的性质，利用椭圆定义法可求得曲线C 的方程；（2）设直线l 的方程为x =ty 22143x y +=交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆的方程消去x ，利用韦达定理结合三角形的面积，利用换元法以及基本不等式求解最值，然后推出直线方程. 【详解】（1）由已知|QF 1|+|QF 2|=|QF 1|+|QP |=|PF 1|=4，所以点Q 的轨迹为以为1F ，2F 焦点，长轴长为4的椭圆， 则2a =4且2c =2，所以a =2，c =1，则b 2=3，所以曲线C 的方程为22143x y +=；（2）设直线l 的方程为x =ty 22143x y +=交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆的方程消去x ，得(3t 2+4)y 2﹣﹣3=0， 则y 1+y2=，y 1y 22334t =−+， 则S △AOB 12=|OM |•|y 1﹣y 2|2=2=•=u =，则u ≥1，上式可化为26633u u u u=≤=++， 当且仅当u =t时等号成立， 因此△AOBl 的方程为xy 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系以及基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆C 截直线1y =所得的线段的长度为.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OA OB OD +=，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）根据椭圆C 截直线1y =所得的线段的长度为)，结合离心率即可求得椭圆方程；（Ⅱ）分类讨论：当直线l 的斜率不存在时，四边形OADB； 当直线l 的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由,OA OB OD += 得2242,1212D Dkm mx y k k −==++ ，代入曲线C ，整理出k ，m 的等量关系式，再根据OADB S AB d = 写出面积的表达式整理即可得到定值．【详解】(Ⅰ)由222222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,a b c ===得椭圆C 的方程为22142x y +=.（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =−或1x =， 此时四边形OADB当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，联立椭圆方程22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ()222124240k x kmx m ⇒+++−= ()228420k m ∆=+−>，2121222424,1212km m x x x x k k−−+==++ ()121222212m y y k x x m k+=++=+AB =点O 到直线AB的距离是d =由,OA OB OD +=得2242,1212D Dkm mx y k k −==++ 因为点D 在曲线C 上，所以有2222421212142km m k k −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=整理得22122k m +=由题意四边形OADB 为平行四边形，所以四边形OADB 的面积为OADBS AB d ===由22122k m +=得OADB S =故四边形OADB 【点睛】本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线距离公式、面积计算公式、向量数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．11．已知圆M ：(2264x y++=及定点()N ，点A 是圆M 上的动点，点B 在NA 上，点G 在MA 上，且满足2NA NB =，0GB NA ⋅=，点G 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设斜率为k 的动直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，与直线12y x =和12y x =−分别交于P 、Q 两点.当12k >时，求OPQ ∆（O 为坐标原点）面积的取值范围. 【答案】（1）221164x y +=；（2）()8,+∞. 【分析】（1）根据题意得到GB 是线段AN 的中垂线，从而GM GN +为定值，根据椭圆定义可知点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，即可求出曲线C 的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，表示处OPQ ∆的面积代入韦达定理化简即可求范围. 【详解】 （1）20NA NB B GB NA ⎧=⇒⎨⋅=⎩为AN 的中点，且GB AN GB ⊥⇒是线段AN 的中垂线，AG GN ∴=，又8GM GN GM GA AM MN+=+==>=，∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，设椭圆方程为22221x y a b+=（0a b >>），则4a =，c =，2b ∴==，所以曲线C 的方程为221164x y +=.（2）设直线l ：y kx m =+（12k ≠±）， 由22416y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得()2221484160k x kmx m +++−=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以()()2222644144160km k m ∆=−+−=，22164m k =+.①又由20y kx m x y =+⎧⎨−=⎩可得2,1212m m P k k ⎛⎫ ⎪−−⎝⎭；同理可得2,1212mm Q k k −⎛⎫ ⎪++⎝⎭. 由原点O 到直线PQ的距离为d =P Q PQ x =−，可得22111222222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k∆=⋅=−=⋅+=−+−.② 将①代入②得222224181441OPQm k S k k ∆+==−−， 当214k >时，22241288184141OPQ k S k k ∆⎛⎫+⎛⎫==+> ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭，综上，OPQ ∆面积的取值范围是()8,+∞. 【点睛】此题考查了轨迹和直线与曲线相交问题，轨迹通过已知条件找到几何关系从而判断轨迹，直线与曲线相交一般联立设而不求韦达定理进行求解即可，属于一般性题目.12．已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆C 上一点，以PF 1为直径的圆E ：x2292y ⎛+= ⎝⎭过点F 2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 且斜率大于0的直线l 1与C 的另一个交点为A ，与直线x ＝4的交点为B ，过点（3）且与l 1垂直的直线l 2与直线x ＝4交于点D ，求△ABD 面积的最小值．【答案】（1）22184x y +=；（2）．【分析】（1）根据题意求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l 1的方程，代入涂鸦方程，利用韦达定理求得A 的横坐标，求得直线l 2方程，求得D 点坐标，利用三角形的面积公式及基本不等式即可求得△ABD 面积的最小值． 【详解】（1）在圆E 的方程中，令y ＝0，得到：x 2＝4， 所以F 1（﹣2，0），F 2（2，0），又因为212OE F P =，所以P 点坐标为(2，所以122a PF PF =+=，则a =b ＝2，因此椭圆的方程为22184x y +=；（2）设直线l 1：y =k （x ﹣2）（k ＞0），所以点B 的坐标为()42k ，设A （x A ，y A ），D （x D ，y D ），将直线l 1代入椭圆方程得：（1+2k 2）x 2+（﹣8k 2）x +8k 2﹣k ﹣4＝0，所以x P x A 228412k k−−=+，所以x A 224212k k −−=+，直线l 2的方程为y 1k =−（x ﹣3），所以点D 坐标为14k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以S △ABD 12=（4﹣x A ）|y B ﹣y D |12=•224621k k +++•12k k +＝2k 3k++≥2，当且仅当2k 3k =，即k =时取等号，综上，△ABD 面积的最小值． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ． （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB的面积为7，求直线l 的方程． 【答案】（1）2214x y +=，223x y +=；（2）y =+ 【详解】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a ,b ，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为()12,F F ，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪−=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎨=⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于()0000,(0,0)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为()0000x y x x y y =−−+，即0003x y x y y =−+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=−+⎪⎩，消去y ，得()222200004243640x y x x x y +−+−=．（*） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()()()22222200000024443644820x x y y y x ∆=−−+−=−=． 因为00,0x y >，所以001x y ==．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB，所以12AB OP ⋅=，从而7AB =． 设()()1122,,,A x y B x y ， 由（*）得1,20024x x y =+ 所以()()2221212AB x x y y =−+−()()222000222200048214y x x y x y −⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭+． 因为22003x y +=，所以()()20222016232491x AB x −==+，即42002451000x x −+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 综上，直线l的方程为y =+点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.14．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率一次为k1、k2，满足4k=k1+k2．（i）当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由；（ii）求△OPQ面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）+y2=1．（Ⅱ）（i）当k变化时，m2是定值．（ii）S△OPQ∈（0，1）．【解析】试题分析：（Ⅰ）由题设条件，设c=k，a=2k，则b=k，利用待定系数法能求出椭圆方程．（Ⅱ）（i）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、斜率性质，结合已知条件推导出当k变化时，m2是定值．（ii）利用椭圆弦长公式，结合已知条件能求出△OPQ面积的取值范围．解：（Ⅰ）由题设条件，设c=k，a=2k，则b=k，∴椭圆方程为+=1，把点（，）代入，得k2=1，∴椭圆方程为+y2=1．（Ⅱ）（i）当k变化时，m2是定值．证明如下：由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵直线OP，OQ的斜率依次为k1，k2，∴4k=k1+k2==，∴2kx1x2=m（x1+x2），由此解得m2=，验证△＞0成立．∴当k变化时，m2是定值．（ii）S△OPQ=|x1﹣x2|•|m|=，令=t＞1，得S△OPQ==＜1，∴△OPQ面积的取值范围S△OPQ∈（0，1）．考点：椭圆的简单性质．。
第25讲 三角形面积问题(解析版)-突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练
第25讲三角形面积问题参考答案与试题解析一．解答题（共19小题）1．已知焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C 经过点16(3,)5．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作与x 轴垂直的直线1l ，直线1l 上存在M 、N 两点满足OM ON ⊥，求OMN ∆面积的最小值．（3）若与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交x 轴于定点M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，且||||AB MN 为定值，求点M 的坐标．【解答】解：（1）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为10，所以210a =，5a =，又椭圆C 经过点16(3,5，代入椭圆方程，求得4b =，所以椭圆的方程为：2212516x y +=；（2）设(3,)M M y ，(3,)N N y ，(3,0)F ，由OM ON ⊥，所以90M N OM ON y =+=，1393||||922MON M N M MS y y y y ∆=-=+ ，故OMN ∆面积的最小值为9；（3）设直线l 的方程为：y kx m =+，则点(,0)mM k-，联立2212516y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(2516)50254000k x kmx m +++-=，122502516kmx x k +=-+，2122254002516m x x k -=+，所以2||2516AB k =+ ，则AB 的中点P 的坐标为2222525(,)25162516km k m m k k --+++，又PN AB ⊥，得1PN k k =-，则直线PN 的方程为：22225125()25162516k m kmy m x k k k +-=-+++，令0y =，得N 点的坐标为222525(,0)2516k m km mk k +-++，则29||||2516km mMN k k=-++，所以||55||||||22AB k k MN m m ==当且仅当2291m k =时，比值为定值，此时点(,0)mM k-，为(3,0)M ±，故(3,0)M -或(3,0)．2．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到椭圆上点的最远距离为3，点(2,1)P 为椭圆外一点，不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求ABP ∆面积最大值时的直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可知：12c e a ==，左焦点(,0)c -到椭圆上点的最远距离为3，即使3a c +=，可解得：2a =，1c =，2223b a c =-=，∴所求椭圆C 的方程为：22143x y +=；-------------------（4分）（2）易得直线OP 的方程：12y x =，设(A A x ，)A y ，(B B x ，)B y ，0(R x ，0)y 其中0012y x =，A ，B 在椭圆上，∴2222143143A Ab B x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，3342A B A B AB A B A B y y x x k x x y y -+∴==-=--------------------+（6分）设直线AB 的方程为3:(0)2l y x m m =-+≠，代入椭圆：2214332x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得：223330x mx m -+-=，00m m >-<<≠ 由可得根据韦达定理可知：A B x x m +=，233A B m x x -⋅=，-----------------（8分）|||A B AB x x ∴=-=，点(2,1)P 到直线l 的距离为：d =丨=丨，11|||4|22ABPS d AB m ∆∴=⋅⋅=⋅-，------------------（10分）当1m =ABP S ∆取最大值，此时直线l的方程312y =-+-．------------------（12分）3．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P，不过原点O 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．（1）求椭圆C 的方程；（2）求直线l 的斜率；（3）求AOB ∆面积的最大值．【解答】解：（1）设椭圆的左焦点的坐标为(,0)c -，则由已知可得12c a =，且=解得2a =，1c =，所以b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 的中点为0(R x ，0)y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差可得：12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=，又121200,22x x y y x y ++==，且12OR OP k k ==，即0012y x =，所以0121203332442l x y y k x x y -==-⋅=-⨯=--，故直线l 的斜率为32-；（3）由（2）设直线l 的方程为32y x m =-+，则点O 到直线l的距离为d =，联立方程2232143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理可得：223330x mx m -+-=，所以212123,3m x x m x x -+==，所以||AB =132=，所以三角形AOB的面积为221312||()262m m S AB d +-=⋅==，当且仅当2212m m =-，即m =此时三角形AOB4．已知点(0,2)A -，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点(0,2)A -的动直线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点．当OPQ ∆的面积最大时，求直线l 的方程．【解答】解：（1）设(,0)F c ，由条件知22a b c c ==⇒=．又222a b c =+，可得21b =，24a =，∴椭圆E 的方程：2214x y +=．（2）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线:2l y kx =-，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 将2y kx =-代入椭圆E 的方程：2214x y +=．得22(14)16120k x kx +-+=，当△216(43)0k =->，即234k >．1221614k x x k +=+，1221214x x k =+从而122|||41PQ x x k =-=+．又点O 到直线PQ 的距离d =．所以OPQ ∆的面积1||2OPQs d PQ ∆=⋅⋅t =，则0t >，∴244144OPQ t S t t t∆==++．当且仅当2t =，72k =等号成立，且满足△0>，所以当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为：2y =-或2y =-．5．已知F 为抛物线2y x =的焦点，点AB 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点）．（1）求证：直线AB 过定点；（2）求ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值．【解答】解：（1）设直线AB 的方程为：x my n =+，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由2OA OB ⋅= ，可得12122x x y y +=，①，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 在抛物线上可得211x y =，222x y =，②由①②可得122y y =-或1（舍去），由2x my ny x=+⎧⎨=⎩可得20y my n --=根据韦达定理有122y y n ⋅=-=-，∴直线AB 过定点(2,0)；（2） 点A ，B 位于x 轴的两侧，不妨设A 在x 轴的上方，则10y >，又焦点1(4F ，0)12112111119922()322488ABO AFO S S y y y y y y ∆∆∴+=⨯⨯-+⨯=-=+．当且仅当143y =，取“=”号，ABO ∴∆与AFO ∆面积之和的最小值是3，6．如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，点F 为抛物线2:C y x =的焦点，且抛物线C 上存在不同的两点A ，B ．（1）若AB 中点为M ，且满足PA ，PB 的中点均在C 上，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，6(OA OB O ⋅=为坐标原点），且ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，求124S S +最小值．【解答】解：（1）证明：设0(P x ，0)y ，21(A y ，1)y ，22(B y ，2)y ，因为直线PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程2200()22y y y y ++=的两个根，即220002220y y y y y -+-=，的两个不同的实数根，所以1202y y y +=，所以PM 垂直于y 轴．（2）根据题意可得1(4F ，0)，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则211x y =，222x y =，所以22121212126x x y y y y y y +=+=，则123y y =-或122y y =，因为A ，B 位于x 轴的两侧，所以123y y =-，设直线AB 的方程为x ty m =+，联立2x ty my x=+⎧⎨=⎩，得20y ty m --=，所以123y y m =-=-，则3m =，所以直线过定点(3,0)，所以1212111143||4||224S S y y y +=⨯⨯-+⨯⨯1121111131339()()2622222y y y y y y y y =⨯-+=⨯+=+，当且仅当11922y y =，即132y =时取等号，故124S S +的最小值为6．7．如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：可设(,)P m n ，21(4y A ，1)y ，22(4y B ，2)y ，AB 中点为M 的坐标为2212(8y y +，12)2y y +，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上，可得21214(422y m n y ++=⋅，222214(422m y n y ++=⋅，化简可得1y ，2y 为关于y 的方程22280y ny m n -+-=的两根，可得122y y n +=，2128y y m n =-，可得122y y n +=，则PM 垂直于y 轴；（另解：设PA ，PB 的中点分别为E ，F ，EF 交PM 于G ，EF 为PAB ∆的中位线，//EF AB ，又M 为AB 的中点，G 为EF 的中点，设1:AB y kx b =+，2:EF y kx b =+，由24y x =，1y kx b =+，2y kx b =+，解得4M P y y k==，所以PM 垂直于y 轴）（Ⅱ）若P 是半椭圆221(4y x x +=<上的动点，可得2214n m +=，10m -<，22n -<<，由（Ⅰ）可得122y y n +=，2128y y m n =-，由PM 垂直于y 轴，可得PAB ∆面积为121||||2S PM y y =⋅-22121()28y y m +=-⋅2211[(4162)]162n m n m =⋅-+-232(44n m =-可令t ===可得12m =-时，t；1m =-时，t 取得最小值2，即2t ，则3S =在2t递增，可得S ∈，PAB ∆面积的取值范围为．8．已知椭圆22184x y +=，1F ，2F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A ，B 两点．（1）若直线l 垂直于x 轴，求||AB ；（2）当190F AB ∠=︒时，A 在x 轴上方时，求A 、B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F AB F MN S S = ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意，2(2,0)F ，当AB x ⊥轴时，则A，(2,B ，得||AB =；（2）设1(A x ，1)y ，11290(90)F AB F AF ∠=︒∠=︒ ，∴2212111111(2,)(2,)40AF AF x y x y x y =+-=-+=，又A 在椭圆上，满足2211184x y +=，即22114(1)8x y =-，∴221144(1)08x x -+-=，解得10x =，即(0,2)A ．直线:2AB y x =-+，联立222184y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得8(3B ，2)3-；（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(0,)M y ，4(0,)N y ，直线:2l x my =+，则11212121||||2||2F AB S F F y y y y =-=- ，1134341||||||2F MN S F O y y y y =-=- ．联立222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)440m y my ++-=．则12242m y y m +=-+，12242y y m -=+．由直线1AF 的方程：11(2)2y y x x =++，得M 纵坐标13122y y x =+；由直线1BF 的方程：22(2)2y y x x =++，得N 的纵坐标24222y y x =+．若11F AB F MN S S = ，即12342||||y y y y -=-，121212341212121222228()|||||||2||2244(4)(4)y y y y y y y y y y x x my my my my --=-=-==-++++++，12|(4)(4)|4my my ∴++=，21212|4()16|4m y y m y y +++=，代入根与系数的关系，得22244|416|422m mm m m --++=++，解得m =．∴存在直线20x -=或20x -=满足题意．9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 且斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点，且ON 的斜率为34-．（1）求椭圆C 的离心率e 的值；（2）若24a c =，l 为过椭圆C 的右焦点2F 的任意直线，且直线l 交椭圆C 于点P ，Q ，求△1F PQ 内切圆面积的最大值．【解答】解：（1）设点A 的坐标为1(x ，1)y ，点B 的坐标为2(x ，2)y ，则线段AB 的中点为1212(,)22x x y y N ++，直线AB 的斜率为12121AB y y k x x -==-，直线ON 的斜率为12121212202ONy y y y k x x x x +-+==++-，所以，直线AB 和直线ON 的斜率之积为2212121222121212331(44AB ONy y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅==⨯-=--+-，由于点A 、B 在椭圆C 上，则有22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，上述两式相减得22221212220x x y y a b --+=，化简得222122221234y y b a x x --==--，所以，2234b a =，因此，椭圆的离心率为12c e a ===；（2）由（1）知，2a c =，由于24a c =，得244c c =，由于0c >，得1c =，所以，2a =，b ==，所以，椭圆C 的标准方程为22143x y +=，△1F PQ 的周长为48a =，椭圆C 的右焦点为2(1,0)F ，设直线l 的方程为1x my =+，设点3(P x ，3)y 、4(Q x ，4)y ，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程并化简得22(34)690m y my ++-=，△222(6)4(34)(9)144(1)0m m m =-⨯+⨯-=+>，由韦达定理可得342634m y y m +=-+，342934y y m =-+，△1F PQ的面积为1123411||||222F PQS F F y y =⨯⨯-=⨯== ，令1t =，则221m t =-，所以，12212121213(1)4313F PQ t t S t t t t===-+++ ，由于函数13y t t=+在区间[1，)+∞上单调递增，所以，当1t =时，△1F PQ 的面积取到最大值12331=+，设△1F PQ 的内切圆的半径为r ，则1142F PQ a r S ⨯⨯= ，所以，1124F PQ F PQ S S r a ==，当△1F PQ 的面积取到最大值时，其内切圆的半径r 取到最大值34，因此，△1F PQ 内切圆面积的最大值为239()416ππ⨯=．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F 和2F ，离心率为12，以P 在椭圆E 上，且△12PF F的面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过椭圆C 右焦点2F ，交该椭圆于A 、B 两点，AB 中点为Q ，射线OQ 交椭圆于P ，记AOQ ∆的面积为1S ，BPQ ∆的面积为2S ，若213S S =，求直线l 的方程．【解答】解：（1）依题意，显然当P 在短轴端点时，△12PF F的面积最大为122c b ⨯⨯=，即bc =，又由离心率为12c e a ==，222a b c -=，解得24a =，23b =，21c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）因为213S S =，所以11||||sin 3||||sin 22QP QB BQP QA QO AQO ∠=⨯∠，所以||3||QP QO =，所以||4||OP OQ =，当AB 斜率不存在时，21S S =，不合题意，当AB 斜率存在时，设直线方程为(1)y k x =-，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：1212121234y y y y x x x x -+⋅=--+，即34AB OP k k ⋅=-，故直线OP 的方程为：34y x k=-，联立2234143y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2221634P k x k =+，联立34(1)y xk y k x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，解得22434Q k x k =+，因为4P Q x x =224434k k =⨯+，即214k =，解得：12k =±，所以直线AB 的方程为1(1)2y x =±-．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率22e =，点P 在椭圆C 上，直线l 过1F 交椭圆于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当290F AB ∠=︒时，点A 在x 轴上方时，求点A ，B 的坐标；（3）若直线2AF 交y 轴于点M ，直线2BF 交y 轴于点N ，是否存在直线l ，使得2ABF ∆与1MNF ∆的面积满足212ABF MNF S S = ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知，2c a =，222a b c -=，又22421a b+=，联立方程组可解得：28a =，24b =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（2）设(,)A x y ，依题意，1(2,0)F -，2(2,0)F ，因为290F AB ∠=︒，所以1290F AF ∠=︒，即2212111111(2,)(2,)40F A F A x y x y x y =+-=-+=，又A 在椭圆上，满足2211184x y +=，即22114(1)8x y =-，∴22221111444(1)08x x y x -+=-+-=，解得10x =，即(0,2)A ，直线:2AB y x =+，联立方程组222184y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得82(,)33B --．（3）存在直线23:23l x y =-或2323x y =--，使得2ABF ∆与1MNF ∆的面积满足212ABF MNF S S = ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(0,)M y ，4(0,)N y ，直线:2l x my =-（斜率不存在时不满足题意），则21212121||||2||2ABF S F F y y y y =-=- ，1134341||||||2MNF S F O y y y y =-=- ．联立方程组222184x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(2)440m y my +--=．则12242m y y m +=+，12242y y m =+．由直线2AF 的方程：11(2)(2)y y x x =--，得M 纵坐标13122y y x -=-．由直线2BF 的方程：22(2)2y y x x =--，得N 纵坐标24222y y x -=-，由212ABF MNF S S = ，得1234||||y y y y -=-．所以121212341212121222228()|||||||||2244(4)(4)y y y y y y y y y y x x my my my my ------=-=-==-------，所以12|(4)(4)|8my my --=，21212|4()16|8m y y m y y -++=，代入根与系数的关系式，得224416|82m m m +=+，解得3m =±．存在直线23x y =-或23x y =--满足题意．12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，12||2F F =，椭圆离心率22e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过椭圆的右焦点2F ，交椭圆于A ，B 两点，若△1AF B 的面积为103，求直线l 的方程．【解答】解：（1）可得222222112c c c e a =⎧⎪⇒=⎨==⎪⎩，22a =，21b =，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=．（2）1(1,0)F ，该直线l 的方程设为1x my =+，联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩可得22(2)210m y my ++-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12222m y y m -+=+，12212y y m -=+．△1AF B的面积12121||||23S F F y y =⨯⨯-==．解得2m =±．∴直线l 的方程为210y ±-=．13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点0(P x ，0)y 是坐标平面内一点，且220074x y +=．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(0,3S -且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，问：在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标和MAB ∆面积的最大值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，由1234PF PF = ，即为0(c x --，00)(y c x -- ，03)4y -=，即有2220034x y c +-=，又220074x y +=，解得1c =，又2c e a ==，则a =，1b =，因此所求椭圆的方程为：2212x y +=；（2）动直线l 的方程为13y kx =-，由221322y kx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得22416(12)039k x kx +--=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12243(12)k x x k +=+，122169(12)x x k =-+，假设在y 轴上存在定点(0,)M m ，满足题设，则1(MA x = ，1)y m -，2(MB x =，2)y m -，21212121212()()()MA MB x x y m y m x x y y m y y m =+--=+-++21212121111(()3333x x kx kx m kx kx m =+----+-+221212121(1)()()339k x x k m x x m m =+-+++++222216(1)1421()9(12)33(12)39k k k m m m k k +=--++++++ 222218(1)(9615)9(21)m k m m k -++-=+，由假设得对于任意的k R ∈，0MA MB =恒成立，即22109150m m m ⎧-=⎨+-=⎩，解得1m =．因此，在y 轴上存在定点M ，使得以AB 为直径的圆恒过这个点，点M 的坐标为(0,1)这时，点M 到AB 的距离d =，||AB ，1||2MAB S AB d ∆=====设212k t +=则212t k -=得[1t ∈，)+∞，1(0t∈，1]，169=，当且仅当11t=时，上式等号成立．因此，MAB∆面积的最大值是169．14．已知椭圆22221(0)x y a ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为12，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，△1AF B的周长为8，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求AOB∆面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，△1AF B的周长为8，则由椭圆的定义可得48a=，所以2a=，又12cea==，所以1c=，则23b=，故椭圆的方程为22143x y+=；（Ⅱ）由（Ⅰ）值，2(1,0)F，则可设直线AB的方程为：1x my=+，代入椭圆方程可得：22(43)690m y my++-=，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则122643my ym-+=+，122943y ym-=+，所以||AB==22212(1)4343mm m+=++，原点到直线AB的距离为d=，所以三角形AOB的面积为221112(1)||2243mS d ABm+=⋅⋅=+26143m==++，令1t=，所以613Stt=+，当1t时，函数13tt+单调递增，所以当1t =时，63312max S ==+，故三角形AOB 的面积的最大值为32．15．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上有一点0(2,)Q y 到焦点F 的距离为52．（Ⅰ）求p 及0y 的值；（Ⅱ）如图，设直线y kx b =+与抛物线交于两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且12||2y y -=，过弦AB 的中点M 作垂直于y 轴的直线与抛物线交于点D ，连接AD ，BD ．试判断ABD ∆的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由．【解答】解：()I 由抛物线2:2(0)C y px p =>，可得焦点(,0)2p，抛物线上的点0(2,)Q y 到焦点F 的距离为52．∴5222p +=，1p =．22y x ∴=，把0(2,)Q y 代入抛物线方程，解得02y =±．()II 联立22y kx by x=+⎧⎨=⎩，得：2222(1)0(0)k x kb x b k +-+=≠，△0>，即120kb ->，1222(1)kb x x k -+=，2122b x x k=．222221212121224(12)||||[()4]4kb y y k x x k x x x x k --=-=+-==，212kb k ∴-=，211(,)kb M k k -，211(,)2D k k ，ABD ∴∆的面积12211121||||||22222kb S MD y y k -=⋅-=⨯⨯=．16．已知点Q 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的动点，点Q 到抛物线准线与到点1(2P -，1)的．（1）求抛物线C 的方程；（2）如图，设直线y kx b =+与抛物线C 交于两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 且12||2y y -=，过弦AB 的中点M 作垂直于y 轴的直线与抛物线C 交于点D ，求ABD ∆的面积．【解答】解：（1） 点Q 到抛物线准线与到点1(2P -，1)的距离之和的最小值为∴点Q 到抛物线的焦点与到点1(2P -，1)，∴=1p ∴=，∴抛物线C 的方程为22y x =；（2）联立直线y kx b =+与抛物线C 得：2222(1)0(0)k x kb x b k +-+=≠，△0>，即120kb ->，1222(1)kb x x k++=，2122b x x k =．1212||||2y y k x x -=-==，212kb k ∴-=，21(kb M k - ，1)k ，21(2D k ，1)k ，ABD ∴∆的面积12211121||||||22222kb S MD y y k -=-=⨯⨯=．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>曲线E是抛物线24x y =在椭圆C 内的一部分，抛物线24x y =的焦点F 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．（ⅰ）求证：点M 在定直线上；（ⅱ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P的坐标．【解答】解：（1）抛物线24x y =的焦点(0,1)F ，因为F 在椭圆C 上，所以1b =，又因为离心率c e a ===，所以可得24a =，所以椭圆的方程为：2214x y +=；（2）()i 设2(,)4m P m ，0m >，因为24x y =，所以2x y '=，在P 点的切线的方程2()42m m y x m -=-，即224m m y x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(D x ，0)y 联立2224424x y m m y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，整理可得：4223(1)404m m x m x +-+-=，由△0>，得0m <<且31221m x x m +=+，4122441m x x m -=+，因此302121m x m =⨯+，将其代入224m m y x =-，得2024(1)m y m =-+，所以0012y x m=-，所以直线OD 的方程为12y x m =-，联立方程12y x m x m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得点M 的纵坐标为12-，所以点M 在定直线12y =-上；()ii 由()i 知直线l 的方程为224m m y x =-，令0x =，得24m y =-，所以2(0,)4m G -，又2(,)4m P m ，(0,1)F ，32(1m D m +，224(1)m m -+，所以211(4)28m m S GF m +=⋅⋅=，22222022112(2)(2)2242(1)16(1)m m m m m S PM m x m m +++=⋅⋅-=⨯⨯=++，2212222(4)(1)(2)S m m S m ++=+，设22t m =+，则2212222(2)(1)22111912(48S t t t t S t t t t t +-+-===-++=--+，当114t =，即4t =时，12S S 取到最大值98，此时2m =，满足(*)式，所以点P 的坐标为6(2，3)8．18．已知(0,2)A -，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AFO 为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求直线l 的方程．【解答】解：（1）设(,0)F c ，由条件知263c =，得c =又32c a =，所以a =，2222b a c =-=，故E 的方程22182x y +=；（2）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线:2l y kx =-，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，将2y kx =-代入2248x y +=，得22(14)1680k x kx +-+=，当△0>，可得2410k ->，即12k >或12k <-，1221614k x x k +=+，122814x x k =+，从而||PQ =214k ==+，又点O 到直线PQ的距离d =，所以OPQ ∆的面积21||214OPQ S d PQ k ∆=⋅=+，t =，则0t >，21222OPQ t S t t t ∆===++，当且仅当t =，k =0>，所以当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为：322y x =-或322y x =-．19．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，其右焦点到椭圆C 外一点(2,1)P 的距离，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 的长度为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求AOB ∆面积S 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆右焦点为(,0)c，则由题意得22c a=⎨=⎪⎩得1c a =⎧⎪⎨=⎪⎩或3c a =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去），所以椭圆方程为2212x y +=．（Ⅱ）因为线段AB 的长等于椭圆短轴的长，要使三点A 、O 、B 能构成三角形，直线l 不过原点O ，则弦AB 与x 垂直，故可设直线AB 程为y kx m =+，由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，并整理，得222(12)4220k x kmx m +++-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，又△2222164(12)(22)0k m k m =-+->，所以122412km x x k +=-+，21222(1)12m x x k -=+，因为||2AB =2=，即222112(1)[()4]4k x x x x ++-=，所以2222248(1)(1)[()]41212m m k k k -+--=++，即2212(1)1m k =-+，因为211k +，所以2112m <．又点O 到直线AB的距离h =，因为1||2S AB h h =⋅=，所以222222112(1)2()22S h m m m ==-=--+，所以2102S <，即S 的最大值为22．。
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应用三角形的面积巧解竞赛题
三角形是几何中最基本的多边形。
在求其它多边形问题时，经常把多边形问题化归成三角形
问题来求解。
特别是三角形的面积，在解题中更是应用广泛。
下面就举例说明。
一、知识点回顾： 三角形的面积公式：
三角形的面积等于底乘以其边上的高的一半。
性质：
1、等底同高的两个三角形，面积相等。
2、同底等高的两个三角形，面积相等。
3、等底等高的两个三角形，面积相等。
请同学们仔细体会解题过程中的“设而不求”的奇妙。
二、应用举例
例1、如图1所示，矩形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点P 在矩
形ABCD 内．若AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，AE ＝CG ＝3cm ，BF ＝DH ＝4cm ，四边形AEPH 的面积为5cm 2
，
则四边形PFCG 的面积为_________cm 2
．08年浙江省初中数学竞赛初赛试题
解法1、如图2所示，连接EH 、HG 、GF 、FE ，
在矩形ABCD 中，
因为，DH=BF ，BE=DG ，∠B=∠D ， 所以，△BEF ≌△DGH ， 所以，EF=GH ，
同理可证，△AEH ≌△CFG ， 所以，EH=GF ，
所以，四边形EFGH 是平行四边形， 因为，
S △AEH =
21×AE ×AH=21
×2×3=3= S △CFG ， S △DGH =21×DH ×GH=2
1
×4×1=2 =S △DGH ，
所以, S 四边形EFGH =24-2(3+2)=14,
所以，S △EPH + S △PGF =7，
因为，四边形AEPH 的面积为5cm 2
， 所以，S △EPH =2， 所以，S △PGF =5，
所以，S △PGF + S △CFG =5+3=8，
即四边形PFCG 的面积为8cm 2。
解法2、如图3所示，连接PA 、PC ，
过点P 分别作MN ∥AB ，交AD 于点M ，交BC 于点N ； OR ∥BC ，交AB 于点O ，交DC 于点R ， 则四边形ABNM 、四边形OBCR 都是矩形， 设PM=x ，PN=4-x ，PO=y ，PR=6-y ，
因为，
S △PAH =
21×PM ×AH=21
×2×x=x ， S △PAE =21×AE ×PO=21×3×y=2
3
y ，
因为，四边形AEPH 的面积为5cm 2
， 所以,x+2
3
y=5， S △PFC =
21×FC ×PN=21
×2×(4-x)= 4-x ， S △PCG =21×CG ×PR=21×3×(6-y)=9-2
3
y ，
因为，四边形PFCG 的面积= S △PFC+ S △PCG =4-x+9-2
3
y =13-（x+
2
3
y ）=13-5=8， 即四边形PFCG 的面积为8cm 2。
解法2、如图3所示，连接PA 、PC ，
过点P 分别作MN ∥AB ，交AD 于点M ，交BC 于点N ； OR ∥BC ，交AB 于点O ，交DC 于点R ， 则四边形ABNM 、四边形OBCR 都是矩形， 设PM=x ，PN=4-x ，PO=y ，PR=6-y ，
因为，
S △PAH =
21×PM ×AH=21
×2×x=x ， S △PAE =21×AE ×PO=21×3×y=2
3
y ，
因为，四边形AEPH 的面积为5cm 2
，
所以,x+2
3
y=5， S △PFC =
21×FC ×PN=21
×2×(4-x)= 4-x ， S △PCG =21×CG ×PR=21×3×(6-y)=9-2
3
y ，
因为，四边形PFCG 的面积= S △PFC+ S △PCG =4-x+9-2
3
y =13-（x+
2
3
y ）=13-5=8， 即四边形PFCG 的面积为8cm 2。
例2、如图5，点A 在平行四边形BCDE 的对角线上，试判断12S S ，之间的大小关系（ ） A ．12S S = B ．12S S > C ．12S S < D ．无法确定 （08年广东省初中数学竞赛初赛试题）
解析：
如图6所示，连接EC ，与BD 的交点设为G ，
过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，过点C 作CH ⊥BD ，垂足为H ， 因为，四边形BCDE 是平行四边形， 所以，△BED ≌△DCB ， 所以，S △BED =S △DCB ，
因为，四边形BCDE 是平行四边形， 所以，EG=CG ，
因为，∠EFG=∠CHG=90°,∠EGF=∠CGH 所以，△EFG ≌△CHG ， 所以，EF=CH ，
因为，三角形AED 和三角形ACD 有相同的底AD ，并且有相等的高， 所以，S △EAD =S △CAD ，
所以，S △BED - S △EAD = S △DCB -S △CAD ， 即S 1=S 2，所以，选择A 。
例3如图7所示，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，点P 在AD 上，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 等于（ ）（08年广东省初中数学竞赛初赛试题） A ．
75 B ．125 C ．135 D ．145
解析：
如图8所示，连接PO ，
因为，四边形ABCD 是矩形，
所以，S △AOD =
41
×3×4=3,AO=DO, 因为，S △PAO =21
×AO ×PE ，
S △POD =2
1
×DO ×PF ，
S △AOD = S △POD + S △PAO =21×AO ×PE+21×DO ×PF=2
1
×DO ×（PF+PE ），
所以，2
1
×DO ×（PF+PE ）=3，
因为，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4， 所以，BD=5，因此，DO=2
5, 所以，PF+PE=
5
12， 因此，选择B 。
例4、如图9所示，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形， 设△AFC 的面积为S ，则（ ）
A ．S=2
B ．S=2.4
C ．S=4
D ．S 与B
E 长度有关 （08年广东省初中数学竞赛初赛试题）
解析：
如图10所示，设FC 与AB 的交点为H ，BH=x ， 因为，四边形ABCD 、四边形BGFE 都是正方形， 所以，BH ∥GF,
所以,△BHC ∽△GFC, 所以,
BC GF BC
CG BC GF BH +==, 所以, 2
2+=GF GF x , 所以，GF=x x
-22, AH=2-x,
所以，S △AFH =21
×AH ×EF,
S △ACH =2
1
×AH ×BC,
所以，S= S △AFH + S △ACH =21×AH ×EF+2
1
×AH ×BC
=21×AH ×(BC+EF)= 2
1×(2-x)×(2+x x -22)
=2
1×(2-x)×x -24=2,
所以，选择A 。