《点到直线的距离》教学设计(优质课)
5.3《点到直线的距离》(教案)人教版四年级上册数学
5.3《点到直线的距离》（教案）人教版四年级上册数学当我站在讲台前，面对着一群充满好奇和求知欲望的学生，我深感责任重大。
今天我要教授的是人教版四年级上册数学的《点到直线的距离》这一章节。
一、教学内容我将从教材的第五章第三节开始，这一节主要讲述了点到直线的距离的定义，以及如何求解点到直线的距离。
我会通过具体的例题和练习，让学生理解和掌握这一概念。
二、教学目标通过本节课的学习，我希望学生们能够理解点到直线的距离的概念，掌握求解点到直线的距离的方法，并能够运用这一知识解决实际问题。
三、教学难点与重点本节课的重点是点到直线的距离的定义和求解方法，难点是如何理解和运用这一概念解决实际问题。
四、教具与学具准备为了更好地讲解这一章节，我准备了一些实物模型和图示，以及一些练习题，让学生们能够更好地理解和掌握知识点。
五、教学过程我会通过一个实际问题引入本节课的主题，让学生们思考和讨论如何求解这个问题。
然后，我会给出点到直线的距离的定义，并讲解如何求解点到直线的距离。
接着，我会通过一些例题和练习，让学生们理解和掌握这一概念。
我会布置一些作业，让学生们巩固和运用所学知识。
六、板书设计我会在黑板上写出点到直线的距离的定义和求解方法，以及一些关键的步骤和公式，方便学生们理解和记忆。
七、作业设计我会设计一些有关点到直线的距离的练习题，让学生们能够通过实际操作，巩固和运用所学知识。
八、课后反思及拓展延伸在课后，我会反思本节课的教学效果，看看学生们是否掌握了点到直线的距离的概念和求解方法。
同时，我也会给学生提供一些拓展延伸的材料，让他们能够更好地理解和运用这一知识。
重点和难点解析在上述教案中，有几个关键的细节是我需要特别关注的，因为它们对于学生的理解和掌握至关重要。
一、教学内容的选择与呈现在选择教学内容时，我选择了点到直线的距离这一概念，因为它不仅是几何学的一个基础概念，也是学生进一步学习几何证明和解决实际问题的关键。
我通过具体的例题和练习来呈现这一概念，这样学生能够更加直观地理解和掌握。
《点到直线的距离》教学设计(优质课)
点到直线的距离（一）教学目标1．知识与技能理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式.2．过程和方法会用点到直线距离公式求解两平行线距离.3．情感和价值认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.（二）教学重点、难点教学重点：点到直线的距离公式.教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.（三）教学方法学导式教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。
逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学.要求学生思考点到直线的距离的计算？能否用两点间距离公式进行推导？设置情境导入新课们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l 的距离.概念形成1．点到直线距离公式点P (x0，y0)到直线l：Ax +By + C = 0的距离为0022||Ax By CdA B++=+推导过程方案一：设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为BA(A≠0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离为d.此方法虽思路自然，但运算较繁，下面我们探讨另一种（1）教师提出问题已知P(x0，y0)，直线l：Ax+ By+C= 0，怎样用点的坐标和直线方程直接求点P到直线l的距离呢？学生自由讨论（2）数形结合，分析问题，提出解决方案.把点到直线l的距离转化为点P到l的垂线段的长，即点到点的距离.画出图形，分析任务，理清思路，解决问题. 寻找最佳方案，附方案二.方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R (x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S(x0，y2)，由11002A x By CAx By C++=⎧⎨++=⎩得0012,By C Ax Cx yA B----==通过这种转化，培养学生“化归”的思想方法.方法.所以0001||||||Ax By CPR x x A++=-=0002||||||Ax By CPS y y B++=-=22||RS PR PS =+=22||A B AB +00||Ax By C ⨯++由三角形面积公式可知d ·|RS |=|PR |·|PS |. 所以0022||Ax By C d A B++=+可证明，当A = 0时仍适用. 这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高.应用举例例1 求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离. 解：22|3(1)2|5330d ⨯--==+例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C (–1，0)，求三角形ABC的面积.学生分析求解，老师板书 例2 解：设AB 边上的高为h ，则221||2||(31)(13)22ABCSAB h AB =⋅=-+-=AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离.AB 边所在直线方程为311331y x --=-- 即x + y – 4 = 0.点C 到x + y – 4 = 0的距离为h2|104|5112h -+-==+， 通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.因此，1522522S ABC=⨯⨯=概念深化2．两平行线间的距离d已知l1：Ax + By + C1 = 0l2：Ax + By + C2 = 01222||C CdA B-=+证明：设P0 (x0，y0)是直线Ax + By + C2= 0上任一点，则点P0到直线Ax+ By + C1=0的距离为00122||Ax By CdA B++=+.又Ax0 + By0 + C2 = 0即Ax0 + By0= –C2，∴1222||C CdA B-=+教师提问：能不能把两平行直线间距离转化为点到直线的距离呢？学生交流后回答.再写出推理过程进一步培养学生化归转化的思想.应用举例例3 求两平行线l1：2x + 3y– 8 = 0l2：2x + 3y– 10 =0的距离.解法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以P到l2的距离等于l1与l2的距离，于是22|243010|2131323d⨯+⨯-==+在教师的引导下，学生分析思路，再由学生上台板书.开拓学生思维，培养学生解题能力.备选例题例1 求过点M (–2，1)且与A (–1，2)，B (3，0)两点距离相等的直线的方程. 解法一：当直线斜率不存在时，直线为x = –2，它到A 、B 两点距离不相等. 所以可设直线方程为：y – 1 = k (x + 2)即kx – y + 2k + 1 = 0. 由=解得k = 0或12k =-.故所求的直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0. 解法二：由平面几何知识：l ∥AB 或l 过AB 的中点.若l ∥AB 且12AB k =-，则l 的方程为x + 2y = 0. 若l 过AB 的中点N (1，1)则直线的方程为y = 1. 所以所求直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0.例2 （1）求直线2x + 11y + 16 = 0关于点P (0，1)对称的直线方程.（2）两平行直线3x + 4y – 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l 对称，求l 的方程. 【解析】（1）当所求直线与直线2x + 11y + 16 = 0平行时，可设直线方程为2x + 11y + C =0由P 点到两直线的距离相等，即=，所以C = –38.所求直线的方程为2x + 11y – 38 = 0.（2）依题可知直线l 的方程为：6x + 8y + C = 0. 则它到直线6x + 8y – 2 = 0的距离1d =到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为2d =所以d 1 = d 2=12C =.即l 的方程为：16802x y ++=.例3 等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x + 3y – 6 = 0上，顶点A 的坐标是(1，–2).求边AB 、AC 所在直线方程.【解析】已知BC 的斜率为23-，因为BC ⊥AC 所以直线AC 的斜率为32，从而方程32(1)2y x +=- 即3x – 2y – 7 = 0又点A (1，–2)到直线BC ：2x + 3y – 6 = 0的距离为||AC =，且||||AC BC =.由于点B 在直线2x + 3y – 6 = 0上，可设2(,2)3B a a -，且点B 到直线AC的距离为2|32(2)7|a a --- 13|11|103a -= 所以1311103a -=或1311103a -=-，所以6313a =或313 所以6316(,)1313B -或324(,)1313B 所以直线AB 的方程为162132(1)63113y x -++=--或242132(1)3113y x ++=-- 即x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0 所以AC 的直线方程为：3x – 2y – 7 = 0AB 的直线方程为：x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0.。
《点到直线的距离》的说课稿[大全5篇]
![《点到直线的距离》的说课稿[大全5篇]](https://img.taocdn.com/s3/m/85309ad8f605cc1755270722192e453611665b59.png)
《点到直线的距离》的说课稿[大全5篇]第一篇：《点到直线的距离》的说课稿一、教学方法的选择（1）指导思想：在“以生为本”理念的指导下，充分体现“教师为主导，学生为主体”。
（2）教学方法：问题解决法、讨论法等。
本节课的任务主要是公式推导思路的获得和公式的推导及应用。
我选择的是问题解决法、讨论法等。
通过一系列问题，创造思维情境，通过师生互动，让学生体验、探究、发现知识的形成和应用过程，以及思考问题的方法，促进思维发展；学生自主学习，分工合作，使学生真正成为教学的主体。
二、教学用具的选用在选用教学用具时，我考虑到，在本节课的公式推导和例题求解中思路较多，所以采用了计算机多媒体和实物投影仪作为辅助教具．它可以将数学问题形象、直观显示，便于学生思考，实物投影仪展示学生不同解题方案，提高课堂效率。
三、关于教学过程的设计“数学是思维的体操”，一题多解可以培养和提高学生思维的灵活性，及分析问题和解决问题的能力．课程标准指出，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识间的有机联系，感受数学的整体性。
课标又指出，鼓励学生积极参与教学活动．为此，在具体教学过程中，把本节课分为以下：“创设情境提出问题——自主探索推导公式——变式训练学会应用——学生小结教师点评——课外练习巩固提高”五个环节来完成．下面对每个环节进行具体说明。
（一）[创设情境提出问题]1、这一环节要解决的主要问题是：创设情境，引导学生分析实际问题，由实际问题转化为数学问题，揭示本课任务．同时激发学生学习兴趣，培养学生数学建模能力．2、具体教学安排：多媒体显示实例，电信局线路问题，实际怎样解决？能否转化为解析几何问题？学生很快想到建立坐标系．如何建立坐标系？建系不同，点和直线方程不同，用点的坐标和直线方程如何解决距离问题，由此引出本课课题“点到直线的距离”。
（二）[自主探索推导公式]1、这一环节要解决的主要问题是：充分发挥学生的主体作用，引导学生发现点到直线距离公式的推导方法，并推导出公式．在公式的推导过程中，围绕两条线索：明线为知识的学习，暗线为特殊与一般的逻辑方法以及转化、数形结合等数学思想的渗透。
《点到直线的距离》(教案)
《点到直线的距离》（教案）教学目标：1、学习直线和点的基本概念，并能对其进行简单的区分和操作。
2、学习什么是点到直线的距离，掌握用不同方法求点到直线的距离。
3、能够在实际问题中运用所学知识，解决相关问题。
教学重点：1、点和直线的概念，及其区分；2、点到直线的距离的定义，及其求法。
教学难点：1、点到直线的距离的求法；2、两种方法的运用能力的提高。
教学方法：情景教学法。
教学资源：黑板、白板、笔、纸教学过程：一、导入新课1、分发习题册，并让学生先自学第十一章的内容。
2、提问：“在课堂上，你们了解过直线和点吗？”由此扩展对点和直线的概念和区分。
二、学习点到直线的距离1、引导学生思考，如何求点到直线的距离？2、讲解点到直线的距离的定义，即“点到直线距离是从该点引一条垂线到直线上，垂线的长度就是点到直线的距离”。
3、讲解两种方法如何求出点到直线的距离，并带着学生通过案例进行实际运用，进行验证。
4、补充例题，让学生通过自己的计算和思考来解题，并让学生相互交流。
5、公开课进行示范教学。
三、练习1、就教室内的物体进行距离计算，如教室门口离桌子的距离。
2、让学生阅读小问题，通过图像求解答案。
四、课外拓展1、出示各种图形，让学生独立计算各种情况下的到直线的距离。
2、让学生去实验室或其他地方，进行实地考察、测量点到直线的距离。
五、总结1、总结点到直线的距离的求法，并列举案例。
2、解释什么是求点到直线的距离，如何通过数学方法进行计算。
六、作业布置1、课堂上布置练习题，分组进行解决。
2、预习下一课的内容。
七、教学评价1、教师定期对学生进行小测验，以检查学生对本课题的掌握程度。
2、教师跟踪观察在课外拓展的实验中，学生是否有很好的理解和应用课堂所学知识。
3、收集学生的答题作业，从中发现问题并进行针对性教学。
八、教学反思1、教师观察到很多学生在学习过程中对于点和直线的区分还不是很明确，需要更好的引导和讲解。
2、在课堂规划中，需要考虑更具体和实用的案例，以便让学生真正地理解并运用所学知识。
点到直线的距离教案
点到直线的距离教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解点到直线的距离的定义；（2）学会使用点到直线的距离公式；（3）能够运用点到直线的距离解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例直观感受点到直线的距离；（2）探讨点到直线的距离的求法；（3）运用点到直线的距离解决几何问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的空间想象能力；（2）培养学生解决问题的能力；（3）培养学生对数学的兴趣。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）点到直线的距离的定义；（2）点到直线的距离公式的应用。
2. 教学难点：（1）点到直线的距离的直观理解；（2）运用点到直线的距离解决实际问题。
三、教学准备1. 教师准备：（1）点到直线的距离的相关知识；（2）实例和练习题。
2. 学生准备：（1）掌握直线、点的基本概念；（2）了解坐标系的基本知识。
四、教学过程1. 导入新课：（1）利用实例引入点到直线的距离的概念；（2）引导学生探讨点到直线的距离的求法。
2. 新课讲解：（1）讲解点到直线的距离的定义；（2）推导点到直线的距离公式；（3）通过图形直观展示点到直线的距离。
3. 课堂练习：（1）让学生运用点到直线的距离公式解决问题；（2）引导学生探讨点到直线的距离在实际问题中的应用。
五、课后作业1. 巩固知识点：（1）复习点到直线的距离的定义和公式；（2）总结点到直线的距离的求法。
2. 提高拓展：（1）运用点到直线的距离解决几何问题；（2）探索点到直线的距离在实际生活中的应用。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及对知识点的理解程度。
2. 课后作业评价：检查学生作业的完成情况，巩固知识点和提高拓展部分的完成质量。
3. 实践应用评价：通过课后实践项目，评估学生将所学知识点应用于实际问题的能力。
七、教学反思在课后，教师应反思教学过程中的优点和不足，例如：1. 教学方法是否有效，学生是否积极参与；2. 教学内容的难易程度是否适合学生；3. 是否有充分的实例和练习题帮助学生理解知识点；4. 教学过程中是否有需要改进的地方。
《点到直线的距离》教学设计（通用3篇）
《点到直线的距离》教学设计（通用3篇）《点到直线的距离》篇1一、教材分析：1、地位与作用：解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系，其中以点点距离、点线距离、线线位置关系为重点，点到直线的距离是其中最重要的环节之一，它是解决其它解析几何问题的基础。
本节是在研究了两条直线的位置关系的判定方法的基础上，研究两条平行线间距离的一个重要公式。
推导此公式不仅完善了两条直线的位置关系这一知识体系，而且也为将来用代数方法研究曲线的几何性质奠定了基础。
而更为重要的是：通过认真设计这一节教学，能使学生在探索过程中深刻地领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学思想和方法，学会利用化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，同时培养学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质。
2、重点、难点及关键：重点是“公式的推导和应用”，难点是“公式的推导”，关键是“怎样自然地想到利用坐标系中的x轴或y轴构造rt△，从而推出公式”。
对于这个问题，教材中的处理方法是：没有说明原因直接作辅助线(呈现教材)。
这样做，无法展现为什么会想到要构造rt△这一最需要学生探索的过程，不利于学生完整地理解公式的推导和掌握与之相应的丰富的数学思想方法。
如果照本宣科，则不能摆脱在客观上对学生进行灌注式教学。
事实上，为了真正实现以学生为主体的教学，让学生真正地参与进来，起关键作用的是设计出有利于学生参与教学的内容组织形式。
因此，我没有像教材中那样直接作辅助线，而是对教学内容进行剪裁、重组和铺垫，构建出在探索结论过程中侧重于学生能力培养的一系列教学环节，采用将一般转化到特殊的方法，引导学生通过对特殊的直观图形的观察、研究，自己发现隐藏其中的rt△，从而解出|pq|。
在此基础上进一步将特殊问题还原到一般，学生便十分自然地想在坐标系中探寻含pq的rt△，找不到，自然想到构造，此时再过p点作x轴或y轴的平行线就显得“瓜熟蒂落，水到渠成”了。
本设计力求以启迪思维为核心，设计出能启发学生思维的“最近发展区”，从而突破难点的关键，推导出公式。
点到直线的距离优秀教学设计
点到直线的距离优秀教学设计教学设计：点到直线的距离一、教学目标1.能理解点到直线的概念和几何意义；2.能计算点到直线的距离。
二、教学重难点1.理解点到直线的概念；2.利用几何知识计算点到直线的距离。
三、教学准备教学课件、教学工具、计算工具。
四、教学过程1.导入（5分钟）通过展示一个点和一条直线的图像，向学生介绍点到直线的概念，并引发学生对点到直线距离的思考。
2.点到直线的距离（15分钟）教师给出点到直线的定义，即从点引垂线与直线交于一点，所引出的线段的长度就是点到直线的距离。
然后，通过示例分析和推理，引导学生理解点到直线距离的计算方法。
最后，给出点到直线距离计算的公式。
3.计算练习（20分钟）教师给出一系列的计算题目，引导学生灵活应用所学知识解决问题。
可以将练习分为不同难度等级，使学生能够逐步提高计算能力。
4.解析和讨论（15分钟）教师与学生一起解析练习题，讨论不同解题方法的优缺点，特别注重讲解一些常见错误和易混淆的问题。
鼓励学生提问和分享解题思路，激发他们的思维。
5.拓展应用（20分钟）教师引导学生将点到直线距离的概念应用到实际问题中，如求点到直线距离最小的点、点对面的距离等。
通过这些应用题目，培养学生抽象思维和解决实际问题的能力。
6.总结归纳（10分钟）教师与学生一起总结本节课的重点知识点和解题方法，提醒学生记忆和巩固相关知识。
也可以提供一些类似的练习题作为课后作业，以巩固所学内容。
五、教学反思通过本节课的设计和实施，学生能够理解点到直线的概念和几何意义，能够计算点到直线的距离。
课堂上采用了引导式授课和互动式教学的方法，使学生能够主动思考和参与解决问题。
在拓展应用环节，培养了学生抽象思维和解决实际问题的能力。
通过反复训练和解析练习题，巩固了学生的计算技巧。
整体上，本节课设计合理，能够提高学生的学习效果和兴趣。
《点到直线的距离》教学设计
点到直线的距离教学设计1. 教学目标•理解直线的方程和性质；•能够求解点到直线的距离。
2. 教学准备•教师准备：投影仪、计算工具；•学生准备：笔、纸、计算器。
3. 教学步骤步骤一：引入话题（10分钟）教师可以通过展示一幅图或者提出一个实际问题，引导学生思考点到直线的距离。
可以举一些日常生活中的例子，如求一个点到钢轨的距离、求一个点到铁塔的距离等。
步骤二：直线的方程（15分钟）1.教师引导学生回顾直线的斜率和截距的概念，并通过示意图解释直线的方程y = kx + b的相关含义。
2.教师带领学生学习直线的一般式方程Ax + By + C = 0，其中A、B、C分别表示直线的系数。
3.教师与学生一起讨论直线的一般式方程对应的斜率和截距如何计算。
步骤三：点到直线的距离（20分钟）1.教师与学生合作求解点到直线的距离的步骤：–确定点和直线的坐标；–计算直线的斜率；–求解点到直线的距离公式；–进行计算，并得出最终结果。
2.教师给出一个具体的例子，并与学生一起完成计算过程。
步骤四：综合练习（15分钟）教师布置一些综合练习，让学生独立完成求解点到直线的距离的计算题目。
鼓励学生在计算过程中积极思考，提出问题并解决问题。
步骤五：巩固和拓展（20分钟）教师引导学生探讨以下问题： 1. 为什么点到直线的距离的计算公式中要用绝对值？ 2. 学习点到平面的距离，与点到直线的距离有什么区别和联系？ 3. 如果点在直线上，该点到直线的距离为多少？步骤六：总结（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，强调点到直线的距离的计算步骤和公式，并对学生提出的问题进行解答。
鼓励学生运用所学知识解决实际问题。
4. 课后作业1.自选一组坐标点和直线方程，计算点到直线的距离。
2.思考并总结点到直线的距离的应用场景。
以上是一份关于《点到直线的距离》的教学设计，通过引入话题、学习直线的方程式以及求解点到直线的距离公式，帮助学生理解和掌握该知识点，并能够应用到实际问题中。
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点到直线的距离
（一）教学目标
1．知识与技能
理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式.
2．过程和方法
会用点到直线距离公式求解两平行线距离.
3．情感和价值
认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.
（二）教学重点、难点
教学重点：点到直线的距离公式.
教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.
（三）教学方法
学导式
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
复习引入前面几节课，我们一起研究
学习了两直线的平行或垂直
的充要条件，两直线的夹角
公式，两直线的交点问题，
两点间的距离公式。
逐步熟
悉了利用代数方法研究几何
问题的思想方法.这一节，我
用POWERPOINT打出平面直角坐标
系中两直线，进行移动，使学生回
顾两直线的位置关系，且在直线上
取两点，让学生指出两点间的距离
公式，复习前面所学.要求学生思考
点到直线的距离的计算？能否用两
点间距离公式进行推导？
设置情境导
入新课
们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l 的距离.
概念形成1．点到直线距离公式
点P (x0，y0)到直线l：Ax +
By + C = 0的距离为
00
22
||
Ax By C
d
A B
++
=
+
推导过程
方案一：
设点P到直线l的垂线段为
PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，
直线PQ的斜率为B
A
(A≠0)，
根据点斜式写出直线PQ的方
程，并由l与PQ的方程求出
点Q的坐标：由此根据两点
距离公式求出|PQ|，得到点P
到直线l的距离为d.
此方法虽思路自然，但运算
较繁，下面我们探讨另一种
（1）教师提出问题
已知P(x0，y0)，直线l：Ax+ By+
C= 0，怎样用点的坐标和直线方程
直接求点P到直线l的距离呢？
学生自由讨论
（2）数形结合，分析问题，提出解
决方案.
把点到直线l的距离转化为点P到
l的垂线段的长，即点到点的距离.
画出图形，分析任务，理清思路，
解决问题. 寻找最佳方案，附方案
二.
方案二：设A≠0，B≠0，这时l与
x轴、y轴都相交，过点P作x轴的
平行线，交l于点R (x1，y0)；作y
轴的平行线，交l于点S(x0，y2)，
由110
02
A x By C
Ax By C
++=
⎧
⎨
++=
⎩
得00
12
,
By C Ax C
x y
A B
----
==
通过这种转
化，培养学
生“化归”
的思想方
法.
方法.
所以0001|||||
|
Ax By C
PR x x A
++=-=
0002|||||
|
Ax By C
PS y y B
++=-=
22||RS PR PS =+=
22
||
A B AB +00||Ax By C ⨯++由三角形面积公式可知d ·|RS |=|PR |·|PS |. 所以002
2
||
Ax By C d A B
++=
+
可证明，当A = 0时仍适用. 这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高.
应用
举例
例1 求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离. 解：22
|3(1)2|53
30d ⨯--=
=+
例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C (–1，0)，求三角形ABC
的面积.
学生分析求解，老师板书 例2 解：设AB 边上的高为h ，则
221
||2
||(31)(13)22
ABC
S
AB h AB =
⋅=-+-=
AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离.
AB 边所在直线方程为31
1331
y x --=
-- 即x + y – 4 = 0.
点C 到x + y – 4 = 0的距离为
h
2
|104|5
112
h -+-=
=+， 通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解
应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的
优越性.
因此，15
225
22
S ABC=⨯⨯=
概念深化2．两平行线间的距离d
已知l1：Ax + By + C1 = 0
l
2
：Ax + By + C2 = 0
12
22
||
C C
d
A B
-
=
+
证明：设P0 (x0，y0)是直线
Ax + By + C
2
= 0上任一点，
则点P0到直线Ax+ By + C1=
0的距离为
001
22
||
Ax By C
d
A B
++
=
+
.
又Ax0 + By0 + C2 = 0
即Ax0 + By0= –C2，
∴12
22
||
C C
d
A B
-
=
+
教师提问：
能不能把两平行直线间距离转化为
点到直线的距离呢？
学生交流后回答.
再写出推理过程
进一步培养
学生化归转
化的思想.
应用举例例3 求两平行线
l
1
：2x + 3y– 8 = 0
l
2
：2x + 3y– 10 =0的距
离.
解法一：在直线l1上取一点
P(4,0)，因为l
1
∥l2，所以P
到l2的距离等于l1与l2的距
离，于是
22
|243010|2
13
13
23
d
⨯+⨯-
==
+
在教师的引导下，学生分析思路，
再由学生上台板书.
开拓学生思
维，培养学
生解题能
力.
备选例题
例1 求过点M (–2，1)且与A (–1，2)，B (3，0)两点距离相等的直线的方程. 解法一：当直线斜率不存在时，直线为x = –2，它到A 、B 两点距离不相等. 所以可设直线方程为：y – 1 = k (x + 2)即kx – y + 2k + 1 = 0. 由
=
解得k = 0或12
k =-.
故所求的直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0. 解法二：由平面几何知识：l ∥AB 或l 过AB 的中点.
若l ∥AB 且1
2
AB k =-，则l 的方程为x + 2y = 0. 若l 过AB 的中点N (1，1)则直线的方程为y = 1. 所以所求直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0.
例2 （1）求直线2x + 11y + 16 = 0关于点P (0，1)对称的直线方程.
（2）两平行直线3x + 4y – 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l 对称，求l 的方程. 【解析】（1）当所求直线与直线2x + 11y + 16 = 0平行时，可设直线方程为2x + 11y + C =0
由P 点到两直线的距离相等，即
=
，所以C = –38.
所求直线的方程为2x + 11y – 38 = 0.
（2）依题可知直线l 的方程为：6x + 8y + C = 0. 则它到直线6x + 8y – 2 = 0的距离
1d =
到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为
2d =所以d 1 = d 2
=12
C =.
即l 的方程为：16802
x y ++=.
例3 等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x + 3y – 6 = 0上，顶点
A 的坐标是(1，–2).求边A
B 、A
C 所在直线方程.
【解析】已知BC 的斜率为23
-，因为BC ⊥AC 所以直线AC 的斜率为32
，从而方程32(1)2
y x +=- 即3x – 2y – 7 = 0
又点A (1，–2)到直线BC ：2x + 3y – 6 = 0的距离为||
AC =
，
且||||AC BC =.
由于点B 在直线2x + 3y – 6 = 0上，可设2(,2)3
B a a -，
且点B 到直线AC
的距离为2
|32(2)7|
a a --- 13
|
11|103
a -= 所以
1311103a -=或1311103a -=-，所以6313a =
或3
13 所以6316(
,)1313B -或324
(,)1313
B 所以直线AB 的方程为162132(1)63113
y x -
++=--或24
2132(1)3113
y x ++=-- 即x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0 所以AC 的直线方程为：3x – 2y – 7 = 0
AB 的直线方程为：x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0.。