第11章 相关性与Copula函数
copula函数及其应用.doc
copula函数及其应用陆伟丹2012214286信息与计算科学12-2班Copula函数及其应用Copula函数是一种〃相依函数"或者“连接函数"，它将多维变量的联合分布函数和一维变量的边际分布函数连接起来，在实际应用中有许多优点。
首先，由于不限制边缘分布的选择，可运用Copula理论构造灵活的多元分布。
其次，运用Copula理论建立模型时，可将随机变量的边缘分布和它们之间的相关结构分开来研究,它们的相关结构可由一个C opu 1 a函数来描述。
另外,如果对变量作非线性的单调增变换，常用的相关性测度——线性相关系数的值会发生改变，而由Cop u1 a函数导出的一致性和相关性测度的值则不会改变。
此外，通过C o p u1 a函数，可以捕捉到变量间非线性、非对称的相关关系，特别是容易捕捉到分布尾部的相关关系。
正是这些性质与特点使得C opu 1 a为研究变量问的相关性提供了一种新方法，使得投资组合风险管理度量方法有了一个新的突破。
Copula函数是现代概率论研究的产物，在2 0世纪5 0年代由S k1 a r( 195 9 )首先提出，其特点在于能将联合分布的各边缘分布分离出来，从而简化建模过程,降低分析难度，这也是著名的S k 1 a r定理。
S c hwe i z e r Sklar( 1983) 对其进行了阶段性的总结，在概率测度空间理论的框架内，介绍了C opu1 a函数的定义及Copula函数的边缘分布等内容。
J oe ( 1 9 9 7 )又从相关性分析和多元建模的角度进行了论述，展示了Copula 函数的性质，并详尽介绍了Copula函数的参数族。
Ne 1 s e n(1999 )在其专著中比较系统地介绍了C o pula的定义、构建方法、Archimedean Copula及相依性，成为这一研究领域的集大成者。
D a v i d s i on R A, Res nick S 1.( 1984)介绍了C o p u 1 a的极大似然估计和矩估计。
金融时间序列间的条件相关性分析与Copula函数的选择原则_李述山
采用 Copula 技术进行相关性分析 ， 就要求 Copula 函数 要很好地刻画各种非线性相关关系 ， 这体现在两个方面 ： 一 是 Copula 函数要能很好地拟合实际数据 ； 二是 Copula 函数 要能够充分反映各变量间的非线性相关性指标 。 因此我们提 出如下选取原则 。
其中 ：C(t,t)=1-2t+c(t,t)
1.2
金融时间序列间的条件相关性度量 对两金融时间序列 {Xt，t=1 ，2 ，…，n} ，{Yt，t=1 ，2 ，… ，n} ， 记
Ψt 为 t 及其以前时刻的信息集 ， 我们关心的是在 Ψt-1 已知的
条件下 ，Xt 与 Yt 的相关程度 。 定义 1 定义 2 称在 Ψt-1 已知的条件下 ，Xt 与 Yt 之间的相关性 设在 Ψt-1 已知的条件下 ，Xt 与 Yt 的联合分布函 为 Xt 与 Yt 的条件相关性 。 数 为 Ht (x ，y) ， 边 际 分 布 函 数 分 别 为 Ft (x) ，Gt (y) ， 则 存 在 一 个 Copula 函 数 Ct 使 得 Ht (x ，y)=Ct (Ft (x) ，Gt (y)) ， 称 Ct 为 (Xt，Yt) 在 Ψt-1 已知条件下的条件 Copula 函数 。 类似于非条件相关性度量 ， 我们定义相应的条件相关性 度量 。 条件 τ ：τC， 条件 α 上尾相关系数 ：λU (α) ， 条件 α 下尾相
益率 ， 用 Copula-EGARCH 模型刻画 ：
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
Xit=μi+σitεit ln(σit )=ωi+Σαij|εit-j|+Σγik(εit-k)+Σβijln(σit-j )
金融计算与建模：Copula函数及其应用
cd
2
根据上述定义，t即为数组对 {( xi , yi ),( x j , y j )} 一致与不 一致的概率之差。
将Kendall’s tau引入Copula函数： 定理4 连续随机变量(X，Y)，其Copula函数为C，则 (X，Y)的Kendall’s tau为： 4 C (u, v)dC (u, v) 1 (14.16)
n
n
是一列连续随机变量，有Copula函数 C C ， n
定理6 若为连续随机变量，Copula函数为，则 Kendall’s tau和Spearman’s rho满足定义13所述要求。
Kendall’s tau与Spearman’s rho的关系
定义13 对于两个连续变量X,Y之间相关性的度量 ，必须满足： （1） 对( X , Y ) 有定义； （2）1 X ,Y 1, X , X 1, X , X 1 （3） X ,Y Y , X （4）若X,Y独立，则 X ,Y 0 （5） X ,Y X ,Y X ,Y （6）若 C1, C2 满足 C1 C2 ，则 C1 C2 （7）若 {( X n , Yn )} 则 lim C C
Copula函数的一些其他性质：
性质1 C为n维Copula函数，对于任何自变量，C非递 减，即，若 v [0,1]n，则： (14.4) 性质2（Frechet-Hoeffding约束）C为n维Copula函数， n v [0,1] 则对于每个 ，有： (14.5) W n (v ) C(v ) M n (v ) 其中
定理3为连续随机变量则彼此独立当且仅当这些变量的copula函数copula定义4正态分布随机变量的均值分别为方差分别为协方差矩阵为r则随机变量的分布函数为copula函数称为协方差矩阵为的正态gausscopula函数
风险管理与金融机构(第二版)Ch10相关系数和Copula函数
正定性不满足
w (1,1,1)T ;
1 0 0.9 0 1 0.9
0.9 0.9 1
10.3 多元正态分布
随机变量(V1,V2 )服从二元正态分布N (1, 2,1, 2, )，即密度为
f (x, y)
1
e
2
1 (1
2
)
(
x
1
2 1
)
2
2
(
x
1
)( x 1 2
2
)
(
x
2
2 2
违约概率率大于
的概率为Y
贷款违约模型
类似的，我们可以定义多个变量V1, V2,…Vn之间的相关结构
在分位数与分位数对应映射的条件下，把
变量Vi映射到一个新的服从标准正态分布 的变量Ui上
变量Ui服从多元正态分布
10.4.5 因子Copula函数
多元Copula模型中，市场分析员常常假 定变量Ui, 单因子模型中
Ui ai F 1 ai2 Zi
风险管理与金融机构(第 二版)Ch10相关系数和
Copula函数
2021年7月21日星期三
本章主要内容
相关系数定义 相关系数估计 多元正态分布 Copula函数 Copula函数应用于贷款组合
相关系数和协方差
变量V1和V2的相关系数定义为：
E(V1V2 ) E(V1)E(V2 )
基本思想：等概率投影到已知联合分布函数上 ，通过随机变量的替换反推出未知联合分布。
高斯Copula 函数模型:
用于对不服从正态分布的变量生成相关结构
假设我们想对变量V1、 V2定义一个相关结构， 但V1、 V2不服从正态分布
我们把变量V1映射到一个新的服从标准正态分 布的变量U1上，这种映射为分位数与分位数之
基于copula函数的股票影响因子相关性分析
基于 copula 函数的股票影响因子相关性分析摘要本文通过对上证 300 股票近 10 年的数据抓取，获得了 10 年内各季度的资产负债表和利润表以及该股开盘日的价格等信息，并计算得到每支股票各季度的盈利收益率（EPS），净资产收益率（ROE）,账面市值比, 总资产收益率(ROA) , 主营毛利率 , 净利率 , 资产负债 , FAP , CMV ,年化收益率等 9 个因子,考虑根据上述因子对股票收益率的影响程度，获得有效且不存在冗余的多因子模型。
首先，本文通过对各季度每只股票所得因子值计算排序，将股票分组，并根据年化组合收益率得到收益率与因子值的数据，再选择其中较为稳定的股票作为基准市场收益率，从而得到各组合收益与因子值之间的正负相关性，进而选取高低收益组合与基准市场收益率做比较，最终判断得到其中有效的因子。
其次，在所选有效因子中，考虑个因子间的相关性影响，选取每一对因子，分别进行 pearson 相关性以及 copula 相关性计算，对比两种相关性的计算值得出结论，并通过对因子值的 copula 密度函数估计，选取不同 copula 函数，即分别运用高斯 copula 以及t-copula函数对上述数据进行分析，得出更合理的相关性分析结果。
关键词：多因子选股pearson相关性分析copula函数秩相关系数一、内容介绍本文研究内容是建立在多因子模型选股分析后期对所选择有效因子进行相关性分析并对冗余因子剔除的问题，由于股票市场数据波动性较大且所选年限跨度较长，因此各因子之间的相关性仅仅通过简单的线性判别方式不具有说服力，因此我们考虑使用 copula 函数方法对每对因子之间进行相关性分析，这里主要介绍净利率和 EPS 这一组。
下面我们对所用到理论知识进行梳理。
1.1 多因子模型多因子模型是关于资产定价的模型。
与资本资产定价模型和单指数模型不同，多因子模型认为证券价格并不仅仅取决于证券的风险，还取决于其他一些因素，如，投资者未来预期收入、未来消费品的相对价格及未来的投资机会等。
正态copula函数
正态copula函数
正态copula函数是当今研究概率结构的一种有效工具，它主要用于检验多元
数据之间的相关性或不确定性的度量。
正态copula函数通常被用在多元条件下的
分布拟合中，将概率融合作为一种单一的模型来估计，它允许构建更复杂的非线性模型，更方便地探索相关性。
正态copula函数在互联网场景中有着广泛的应用，这些应用涉及用户行为预测，联合广告投放等。
其中，用户行为预测是利用先进的数据挖掘技术，通过正态Copula函数来自动预测用户偏好，优化分析对象及洞察潜在用户价值，以达到更
具针对性的目标。
此外，正态Copula函数也被广泛用于策略决策场景中，例如，
联合广告投放，可以利用不确定性变量剔除和补空，从而根据投放状况和整合模型，最大化投放有效性，实现最优投放效果。
正态Copula函数的出现，显著提高了互联网数据处理的精度和效率，是提升
数据质量和优化数据获取的有力工具。
未来，正态Copula函数将更好地满足数据
处理和管理领域用户的需求，实现更有效的数据利用。
copula函数上尾相关系数
copula函数上尾相关系数Copula函数是一个重要的概率分布函数，用于描述多变量随机变量之间的依赖关系。
它在风险管理领域、金融领域等方面有广泛的应用，尤其是在计量金融学中被广泛使用。
上尾相关系数是一种评估Copula函数拟合模型的指标，用于衡量变量在尾部的相关性。
下面将对Copula函数以及上尾相关系数进行详细介绍。
一、Copula函数Copula函数主要用于描述多维随机变量之间的相关性，它将每个变量的边际分布函数转化为一个统一的边际分布函数，并用一个函数描述随机变量之间的关系。
通过Copula函数，可以从边际分布中抽出各自的分布，并将它们组合成多维的联合分布。
常见的Copula函数包括高斯Copula、t-Copula、Clayton Copula等。
以二维随机变量为例，假设随机变量X和Y的边际分布函数分别为FX(x)和FY(y)，Copula函数C的定义为：C(FX(x),FY(y))=P(X≤x,Y≤y)其中，C是一个二元函数，它的两个输入值是边际分布函数的值，输出值是联合分布函数的值。
Copula函数具有以下特性：1. 边际分布与Copula函数之间的关系：任何一维边际分布函数可以通过Copula函数和边际分布的逆函数得到，即FX(x) = C(FX^{-1}(u),u)，FY(y) = C(u, FY^{-1}(v))。
2. 联合分布函数与Copula函数之间的关系：给定Copula函数C(u, v)，可以通过C(u, v) = P(X ≤ FX^{-1}(u), Y ≤ FY^{-1}(v))计算任意(u,v)处的联合分布函数的值。
3. 边际分布的特点：Copula函数不涉及边际分布的特定形式，因此可以适用于不同类型的边际分布，包括离散型和连续型。
上尾相关系数是用来衡量Copula函数拟合模型在尾部区域的相关性的一种指标。
它主要用于评估极值相关性的程度，即随机变量在极端情况下的相关性。
（概率论与数理统计专业论文）Copula理论与相关性分析
华中科技大学博士学位论文Copula理论与相关性分析姓名：***申请学位级别：博士专业：概率论与数理统计指导教师：任佳刚;刘次华20091024华中科技大学博士学位论文摘要本文主要研究利用Copula理论分析多维随机变量的相关性及其应用。
Copula是一个“连接”多维联合分布及其边缘分布的函数，其优点主要有两点：第一，它能完整地刻划变量之间的相关性结构；其次，它可以将单个随机变量的边缘分布与变量间的相关结构拆开来处理，然后再加以整合，这样能生成灵活多样的高维概率分布。
论文首先分析了多元Copula函数的特点，然后基于Copula理论研究了随机变量的相关性，探讨了多元Copula参数模型的选择问题，以及利用Copula函数在多元极值理论中获得了一些成果，最后研究了Copula模型在金融和保险等领域的应用。
本文的创新点和主要工作如下：1. 深入分析了Copula理论在研究多变量的相关性中的重要作用，与传统的相关性分析方法相比，Copula函数所具有的优势和特点。
讨论了当边缘分布是连续和非连续的两种情形时Sklar定理的不同结果，并用一种新的方法更简单地证明了此定理。
利用Copula理论研究了Kendall’s τ系数与 Spearman’s ρ系数之间的关系，得到了两者比值ρτ变化的不等式。
针对一类Copula参数族，证明了比值ρτ的极限值是3/2.2. 如何选取合适的Copula函数来描述多维随机变量的相关性结构是目前Copula 理论研究中的一个难题。
论文讨论了一类多元Copula参数模型的选择问题，其Copula 函数能与一个一元函数构成一一对应的关系，从而达到降维的目的。
研究了4种此类常见的Copula模型的性质和图形，并分别在参数已知或未知两种情况下进行了拟合优度检验。
对中国股市的上证指数与深证综指作了实证分析，结果表明两者存在着较强的正相关性，相关性模型选取Gumbel Copula模型最合适。
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10.20
其他Copula函数
高斯Copula函数只是定义了V1及V2 相关结构的某 一种形式，还有许多其他Copula函数可以 用于描 述相关结构. 其中一种Copula函数被称为Student t-copula 函数. 这种Student t-copula函数同髙斯Copula函数类似， 其不同之处只是U1 和 U2被假定为服从二元学生 t 分布.
如果满足这些变量满足因子模型的假设，则待估 计参数的个数减至N 个.
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10.13
因子模型(续)
假设变量U1, U2, ..., UN 均服从标准正态分布.. 在单因子模型中，每个 Ui (i = 1, 2, ..., N)均同一个 共同的因子 F 及另外一个相互独立的因子有关， 准确地讲:
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10.21
二元正态分布的5,000个抽样
5
4 3 2 1
N –1(0,99)=2,33
-5
-4
10.18
例
V2 0,1 0,2 0,3 ...
Percentile 2,00 8,00 18,00 ...
U2 -2,05 -1,41 -0,92 ...
当V2 < 0.1时， 对应于累积概率 为底为0.1高为0.2的三边形面积. 因此等于0.02 (= ½ × 0.1 ×0.2), 也就是 2%.
当V1 < 0.1时， 对应于累积概率 为底为0.1高为1的三边形面积. 因此等于0.05 (= ½ × 0,1 ×1), 也就是 5%.
V1=0.1的值被映射到标准正态分 布5%的分位数，其值为–1,64. 以此类推.
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10.6
检测相关系数(续)
第n天的协方差
covn = E(xn yn) – E(xn) E(yn)
常常假定变量每天的预期收益为0，因此这意味着 变量X及Y在第n天的协方差可以被简化为 E(xn yn).
f (V2 | V1 x) f (V2 )
其中f (∙) 是概率密度函数，则V1 和 V2相互独立。
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10.3
零相关
10.17
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例
V1 0,1 0,2 0,3 ...
Percentile 5,00 20,00 38,75 ...
U1 -1,64 -0,84 -0,29 ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
假设U1 和 U2 之间的相关系数 为 0.5. 上表显示出V1 和 V2之间的联合 分布.
V1 < 0,1及V2 < 0,1的概率同 U1 < –1,64 及 U2 < –2,05. 的概率相同. 如果 ρ = 0,5 在二元正态的情形 下，这一概率仅仅为 0,006.
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10.12
因子模型
假设N 个变量, Vi (i =1 , 2, ..., N),均服从一个多元正 态分布, 则需要顾及 N × (N –1)/2 [= (N × N – N)/2] 个相关系数.
如果两个变量的相关系数为0，就意味着变量毫无 关联吗？ 答案是否定的！ 例如, 有 V1 = –1; 0; +1有均等的可能; 若 V1 = –1 或 V1 = +1 则 V2 = +1; 若 V1 = 0 则V2 = 0; 在这里我们可以清楚地看到V2和V1有某种关联性， 但相关系数为零.
因此相关系数又可以写为:
cov(V1 ,V2 ) ρ . SD(V1 ) SD(V2 )
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10.2
独立性
如果两个变量中，其中任意一个变量的信息（观 测值）不会影响另一个变量的分布，那么两个变 量在统计上被定义为独立。 精确地讲，如果对于所有的x等式成立,
10.10
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二元正态分布
我们假定两个变量 V1 和 V2 服从二元正态分布. 变量 V1 和 V2 的无条件期望值和标准差分别为 μ1, μ2 e σ1, σ2,相关系数为 ρ. 假设已知 V1 有一个观测值 v1. 根据以上信息, 变量 V2 也服从正态分布， v1 μ1 其均值为 μ 2 ρσ 2 σ1 标准差为
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10.7
监测相关系更新方差类似的 方式更新协方差: covn λ covn1 (1 λ) xn1 yn1. 在 GARCH(1,1) 中, X 和 Y 协方差的更新由下式给 出: covn ω α xn1 yn1 β covn1 .
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10.15
通过Copula函数定义V1 和 V2 的 联合分布
V1 Mapping
V2 Mapping
U1
Correlation Assumption
V2=0.1的值被映射到标准正态分 布2%的分位数，其值为–2.05. 以此类推.
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10.19
例
V1 V2 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
10.4
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几种关联形式
E(V2) V1 E(V2) V1
(a)
E(V2)
(b) V1
(c)
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U2
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10.16
例
V1
V2
假定V1 和 V2的边际分布上图所 示的为三角分布.
两个变量均介于0〜1. V1 及 V2 和 U1 及 U2 之间的映射 为分位数与分位数 之间的一一 映射.
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10.8
半正定矩阵
方差协方差矩阵 Ω 满足内部一致性条件，如果此 矩阵为半正定矩阵，也就是对于任意向量w, 以下 不等式成立 w TΩw 0
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10.9
例
考虑一下矩阵:
0 0,9 1 1 0,9 . 0 0,9 0,9 1 可以这么这个矩阵不满足内部一致性:第1个变量 和第2个变量均同第3个变量高度相关，但是第1、 2个变量之间无关，. 如果令 w = (1, 1, –1), 可以验证此矩阵不满足半正 定条件.
U i ai F 1 ai2 Zi .