《概率论期末复习资料》概率论(三版)1.2
概率论与数理统计期末考试复习资料
F (x) x f (x)dx ，
则称 X 为连续型随机变量。f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函 数，简称概率密度。 密度函数具有下面 4 个性质： 1° f (x) 0 。
2° f (x)dx 1。
X
| x1, x2,, xk, 。
P( X xk) p1, p2,, pk,
显然分布律应满足下列条件：
（2）连 续型随 机变量 的分布 密度
（3）离 散与连 续型随 机变量 的关系 （4）分 布函数
（5）八 大分布
（1） pk 0 ，k 1,2,， （2） pk 1。 k 1
ba
f
(x)
b
1
a
,
0,
a≤x≤b
其他，
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。
分布函数为
0，
xa, ba
x<a， a≤x≤b
x
F (x) f (x)dx
1，
x>b。
当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间（x1, x2 ）内的概率为
P( A)
条件概
下，事件 B 发生的条件概率，记为P(B / A) P(AB) 。
P( A)
率
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1P( B /A)=1-P(B/A)
（13） 乘法公式：P(AB) P(A)P(B / A)
乘法公 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
概率论期末复习题集
概率论期末复习题集一、基本概念与原理1. 定义随机试验、样本空间、事件，并举例说明。
2. 解释概率的古典定义、频率定义和主观定义。
3. 描述概率的公理化定义，并列出概率的三个基本公理。
4. 举例说明条件概率的概念，并解释全概率公式和贝叶斯公式。
5. 描述随机变量、离散型随机变量和连续型随机变量的区别。
6. 定义数学期望、方差、标准差，并解释它们的意义。
二、离散型随机变量1. 给出离散型随机变量的概率分布列和概率质量函数。
2. 计算离散型随机变量的数学期望和方差。
3. 解释二项分布、泊松分布和几何分布，并给出它们的期望和方差公式。
4. 利用二项分布解决实际问题，例如药物测试的成功率问题。
三、连续型随机变量1. 描述连续型随机变量的概率密度函数和分布函数。
2. 计算连续型随机变量的数学期望和方差。
3. 解释均匀分布、指数分布和正态分布，并给出它们的概率密度函数和期望、方差的公式。
4. 利用正态分布解决实际问题，例如测量误差的分布问题。
四、多变量随机变量1. 定义联合分布函数和边缘分布函数，并解释它们之间的关系。
2. 描述协方差、相关系数和独立性的概念。
3. 计算两个随机变量的协方差和相关系数。
4. 利用联合分布解决实际问题，例如两个独立试验的联合成功概率。
五、大数定律和中心极限定理1. 解释切比雪夫不等式、马尔可夫不等式和切比雪夫大数定律。
2. 描述中心极限定理的内容，并解释为什么它在统计学中非常重要。
3. 利用中心极限定理估计样本均值的分布。
六、随机过程1. 定义随机过程和遍历理论。
2. 描述泊松过程和维纳过程，并解释它们在实际中的应用。
3. 解释随机过程的平稳性和遍历性。
七、应用题1. 一个袋子里有10个红球和20个蓝球，随机抽取5个球，计算以下事件的概率：至少有3个红球。
2. 某工厂生产的零件，每个零件合格的概率为0.95。
求生产100个零件中，至少有90个合格的概率。
3. 一个随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，求X的数学期望和方差。
《概率论与统计原理》、《概率与统计原理》期末复习资料121220范文
一、填空题1、设A ，B ，C 为三个事件，则下列事件“B 发生而A 与C 至少有一个发生”，“A ，B ，C 中至少有两个发生”，“A ，B ，C 中至少有一个发生”，“A ，B ，C 中不多于一个发生”，“A ，B ，C 中恰好有一个发生”，“A ，B ，C 中恰好有两个发生”分别可表示为 、 、 、 、 、 。
参考答案：B （A+C ，AB+AC+BC ，A +B +C ，C A +C B +B A ，AB C +AC B +A BC ，BC A +C B A +C AB 考核知识点：事件的关系及运算，参见P92、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为 、 、 。
参考答案：0.04，0.04，0.1考核知识点：古典型概率，参见P113、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k 个球，则第k 次取出黑球的概率为 。
参考答案：0.6考核知识点：古典型概率，参见P134、假设某商店获利15万元以下的概率为0.9，获利10万元以下的概率为0.5，获利5万元以下的概率为0.3，则该商店获利5~10万元的概率为 ，获利10~15万元的概率为 。
参考答案：0.2，0.4考核知识点：概率的性质，参见P16~P175、设袋中有6个球，其中4白2黑。
用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为 ；取到的两个球颜色相同的概率为 ；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为 。
参考答案：0.4，7/15，14/15考核知识点：古典型概率和概率的性质，参见P18~P19 6、设事件A ，B 互不相容，已知P （A ）= 0.6，P （B ）= 0.3，则P （A+B ）= ；P （A +B ）= ；P （A B ）= ；P （B A ）= 。
参考答案：0.9，0.4，0.3，0.1考核知识点：概率的性质，参见P197、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5，0.6，0.8，则恰有一人中靶的概率为 ；至少有一人中靶的概率为 。
概率论期末复习
（6）两个相互独立的正态分布，期望未知，对方差的检验（F检验）
15)
根据双边检验和单边检验，给出的显著性水平，找出分位点，确定拒绝域。
16)
看检验统计量是否在拒绝域内判断原假设是否正确。
[10]
原假设为“=”时，为双边检验，其他为单边检验。
[2]
作图步骤：
（1）找出最小值和最大值；
（2）将选定区间分为k个小区间；
（3）算出每个区间的频率，在区间上做高度为频率的小矩形。
[3]
1)
样本（X1,X2,...,Xn）的不含有未知参数的连续函数g（X1,X2,...,Xn）称为统计量。（统计量是随机变量）
2)
样本均值
样本方差
样本标准差（标准偏差）
内容：参数估计、假设检验（重要）
目的：对总体特征作出推断
2.样本分析
[1]
总体——研究对象全体元素组成的集合。研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量)，记为X。X的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征。
个体——组成总体的每一个元素即总体的每个数量指标,可看作随机变量X的某个取值，可记作Xi
8)
定义：设 和 是θ的无偏估计量，且 ，则称 比 有效。
9)
定义：设 是θ的无偏估计量，当n（样本容量）→∞时， 收敛于θ。
[7]
10)
选取枢轴量
由分位点定义建立不等式
解出不等式
11)
定义：
正态分布的枢轴量选取：
（1）样本均值的置信区间（已知σ）
（2）样本均值的置信区间（未知σ）
（3）样本方差的置信区间（μ未知）
《概率论与数理统计》复习资料
《概率论与数理统计》复习资料《概率论与数理统计》复习资料李裕奇一、作业习题解答参见《概率论与数理统计习题详解》（李裕奇赵联文刘海燕编西南交通大学出版社2005年第2版）第一章(1) §1.1, §1.2, §1.3, §1.4, §1.5 基本练习前8题;(2)第一章自测题(3)综合练习一1,2,3,4,5,6,8,13第二章(1) §2.1, §2.2, §2.3, §2.4基本练习前8题;(2) 第二章自测题(3) 综合练习二1,2,3,4,5,7,17,18第三章(1) §3.1,§3.3,基本练习前8题;(2) 第三章自测题(3) 综合练习三1, 2, 7第四章(1) §4.1,§4.2,基本练习前8题;(2) 第四章自测题(3) 综合练习四1, 2, 3,4,5,6第六章(1) §6.1,§6.2,§6.3基本练习前6题;(2) 第六章自测题(3) 综合练习六1, 2, 3，4，5，7，8第七章(1) §7.1,§7.2,§7.3基本练习前6题;(2) 综合练习六1, 2, 3，10，15，16，17，18二、考试重点1、古典概型公式运用,注意抽球问题；2、全概率公式与贝叶斯公式运用；3、离散型随机变量的概率分布求法,分布函数,数学期望,方差的求法；4、连续性随机变量的分布, 分布函数,数学期望,方差的求法；常见分布，特别是正态分布的有关计算;5、已知X 的概率密度函数,X 的函数的概率密度求法；6、离散型随机变量(X,Y)的数字特征求法,特别注意相关系数的求法；7、极差,经验分布函数,总体概率的近似计算；8、单个正态总体均值与方差的置信区间的求法。
三、模拟试题概率论与数理统计模拟试题1一、（12分）某商店有4桶油漆，分别为红漆，白漆、蓝漆与黑漆，在搬运过程中所有的标签脱落，售货员随意将这些油漆卖给需要红漆，白漆，蓝漆与黑漆的4位顾客，试求：（1）至少有一位顾客买到所需颜色的油漆的概率；（2）恰有一位顾客买到所需颜色的油漆的概率。
概率论与数理统计期末考试复习资料汇编
式
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) ……P( An | A1A2 … An 1) 。
①两个事件的独立性
（14） 设事件 A 、B 满足P(AB) P(A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独立 独立性 的。
若事件 A 、B 相互独立，且P(A) 0 ，则有
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第 1 章 随机事件及其概率
（1）排 列组合 公式
Pmn
m! (m n)!
C
n m
m! n!(m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
（2）加 法和乘 法原理
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方 法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步
（6）事 件的关 系与运 算
B：A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B， 也可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。 A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发
德摩根率：
Ai
Ai
AB AB，AB AB
i1
i 1
设 为样本空间，A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，
概率论与数理统计期末复习提纲
推论： P( B A) P( B) P( AB ) 4) P( A) 1 5) P( A) 1 P( A ) 6) P( A B) P( A) P( B) P( AB)
第二章 一维随机变量及其分布
一维随机变量
离散型随机变量
随机变量的分布函数 连续性随机变量 随机变量函数的分布
pij P{X xi , Y y j }， i, j 1, 2,
满足规范性条件 pij 1 ，则称 ( X , Y ) 为二维离散型
i , j 1
随机变量。
定义
设 ( X ,Y ) 为二维离散型随机变量，其所有可 能取值为 ( xi , yi )(i, j 1, 2,) ，则称 pij (i, j 1, 2,) 为 ( X , Y )的联合分布律。
3 x p ( x ) dx 1 ke dx 1 ， 解：(1) ， 0
ke 3 x , p( x ) 0,
x0
x 0，
1 3x k e 3
0
1，
k 3，
即
3e 3 x , p( x ) 0,
0
0
数学期望的性质
1. 设C是常数，则E(C)=C; 请注意: 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y); 独立 n n 推广 : E[ X i ] EX i
i 1 i 1
4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
0 1
0 1
x
1 2 x 2x 1 2
概率论与数理统计期末总复习资料
古典概型例子 摸球模型例1：袋中有a 个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出m (m ≤a +ｂ)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m 次取出的球是白球的概率;分析：本例的样本点就是从a +ｂ中有次序地取出m 个球的不同取法；第m 次取出的球是白球意味着：第ｍ次是从a 个白球中取出一球，再在a +ｂ-1个球中取出m-1个球。
解：设B ＝｛第m 次取出的球是白球｝样本空间的样本点总数： mb a A n +=事件B 包含的样本点： 111--+=m b a a A C r ，则 b a a A aA n r B P mba mb a +===+--+11)( 注：本例实质上也是抽签问题，结论说明按上述规则抽签，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关。
例2：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1 个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B ＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝样本空间的样本点总数： 915C n ==5005事件B 包含的样本点： 563514C C C r ==240，则 P (B )=120/1001=0.048 占位模型例：n 个质点在N 个格子中的分布问题.设有n 个不同质点，每个质点都以概率1/N 落入N 个格子(N ≥n)的任一个之中，求下列事件的概率：(1) A ={指定n 个格子中各有一个质点}；(2) B ={任意n 个格子中各有一个质点}； (3) C ={指定的一个格子中恰有m (m ≤n )个质点}.解：样本点为n 个质点在N 个格子中的任一种分布，每个质点都有N 种不同分布，即n 个质点共有N n 种分布。
故样本点总数为：N n(1)在n 个格子中放有n 个质点，且每格有一个质点，共有n !种不同放法；因此，事件A 包含的样本点数：n!，则 n Nn A P !)(=(2)先在N 个格子中任意指定n 个格子，共有nN C 种不同的方法；在n 个格子中放n 个质点，且每格一个质点，共有n !种不同方法；因此，事件B 包含的样本点数： n NnN A C n =!，则n nNNA B P =)((3)在指定的一个格子中放m (m ≤n )个质点共有mn C 种不同方法；余下n-m 个质点任意放在余下的N-1个格子中,共有m n N --)1(种不同方法.因此，事件C 包含的样本点数：mn C m n N --)1(, 则mn m m n nm n mn N N N C N N C C P ---=-=)1()1()1()( 抽数模型例：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：410A =5040，设B ={能排成一个四位偶数} 。
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三、 概率的公理化定义
我们注意到不论是对概率的直观理解，还
第 是频率定义方式，作为事件的概率，都应具
三 版
有前述三条基本性质,在数学上，我们就可以
从这些性质出发，给出概率的公理化定义
1933年，前苏联数学家柯尔莫戈罗夫在 综合前人成果的基础上，抓住概率共有特 性，提出了概率的公理化定义，为现代概 率论的发展奠定了理论基础.
三
版 得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，
所以，P（ B ）=1-0.2=0.8
思考 在以上条件下，P（A-B）=？
例2: 王敏捷参加“智力大冲浪”游戏, 他能答
出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,
两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王
第
三
版
(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率
有重复排列：从含有n个元素的集合中 随机抽取k次，每次取一个，记录其结 果后放回，将记录结果排成一列,
第 三 版
nnn
n
共有nk种排列方式.
无重复排列：从含有n个元素的集合中随 机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将 所取元素排成一列，
第 三 版
n n-1 n-2
n-k+1
共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.
事件的概率
从直观上来看，事件A的概率P(A)
第
是指事件A发生的可能性
三
版
P(A)如何确定，应具有何种性质？
抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？
出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？
概率是事件发生可能性的数量指标。
即在多次重复后，某结果出现的比率。 第 概率应有如下特征： 三 (1)是事件本身固有的，可通过大量试验来检验。
课堂练习
1. P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6，
求P(A-B).
第 三
2. P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(Ω-AB)
版 解：
1 P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1,
所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3
2 P(Ω-AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]
概率的统计定义：
在相同条件下重复进行的 n 次试验
第 中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一常
三 版
数 p 附近摆动, 且随 n
越大摆动幅度越
小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).
对本定义的评价
优点：直观 缺点：粗糙 不便
易懂
模糊 使用
定义11(概率的直观定义)
随机事件A发生的可能性大小的度量(数 第值) 称为事件A发生的概率 记作P(A)
频率的性质
(1) 0 fn(A) 1；
(2) fn(Ω)＝1， fn( )=0；
第
三
(3) 可加性：若AB＝ ，则
版
fn(A∪B)＝ fn(A) ＋fn(B).
必然事件的频率为1，不可能事件的频率为0。
实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐 渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，
作为事件A的概率.
I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006
将3个球随机的放入3个盒子中去，问：
（1）每盒恰有一球的概率是多少？
第
三
（2）空一盒的概率是多少？
版
解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒
第
n = 33 nA = 3!
三 版
P(A) 2
9
P(B) 1 P{空两盒} P{全有球}
322 1 33 9 3
一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去 (nm)，则每盒至多有一球的概率是：
事件A 事件A包含于事件B中 事件A与事件B相等 事件A与B至少有一个发生 事件A与事件B同时发生 事件A的对立事件 事件A发生而B不发生
集合A与B没有公共元素 事件A与B互不相容（互斥）
一、概率和频率解释
第
二、从频率的性质看概率的性质
三
版
三§、1概2 率随的机公事理件化的定义概率
四、概率测度的其他性质
组合：从含有n个元素的集合中随机抽 取k 个，取法共有
第 三 版
Cnk
n k
Pnk k!
n! k!(n k)!
引例
抽球问题
第 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任 三 抽2个球，求取到一红一白的概率。
版
nA = C31C21
解:设A-----取到一红一白
第 三 版
n = C52 nA = C31C21
版
(2)符合一般常情，可能性大时，概率也大。
一般叙述可能性时用百分比。 以后为方便更多地用0到1之间的小数。
即0≤P(A)≤1 且 P(Ω)=1 P(三
（1）统计定义
版
（2） 古典定义
基于频率的定义 概率的最初定义
（3） 公理化定义
1930年后由前苏联数 学家柯尔莫哥洛夫给出
(1)不可能事件φ的概率为零,即P(φ)=0.
(2) 有限可加性：设A1,A2,…An 是n个两两互不相
第 三
容的事件,即AiAj＝ ,(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有
版 P( A1∪A2∪…∪An)＝ P(A1) ＋P(A2)+…
+P(An).
(3) 可减性：若事件AB，则 P(A－B)=P(A)－P(B)
概率的性质
根据概率的频率解释 概率可视为频率的稳定值 从而应
具有频率的相应性质
第
三 (1) P()1
版 (2) 对任意事件A 有P(A)0
(3) 对任意可数个两两不相容的事件A1 A2 An 有
P( i1
Ai
)
i1
P(
Ai
)
提示 同频率一样 记事件A发生的概率为P(A) 随着A取遍任 意事件 P(A)则可视为定义在全体事件构成的集合 即事件域 F上的一个函数
概率的公理化的定义
设 是给定的试验E的样本空间，对其中的任意一 个事件A，规定一个实数P(A)，若P(A)满足：
(1)非负性 0 P
第
三 (2)规范性 P 1
版
(3)可列可加性: 设
A1, A2, An 两两互不相容．
则
P
Ai
i 1
P(
i 1
Ai
)
则称P(A)为事件A的概率.
四、 概率测度的其他性质
=1-0.7+0.3=0.6
§13 古典概型与几何概型
一、 古典概型
第
三
二、 几何概型
版
古典概型的几类基本问题
复习：排列与组合的基本概念
第
三 版
乘法过程：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方 法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法
加法过程：设完成一件事可有两种途径，第一种途径 有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共 有n1+n2种方法。
古典概型
古典概型是指满足下面两个假设条件的概率模型
(1)样本空间有限 记{1 2 n}
第 (2)每一个基本事件的概率相同 即
三
版
P{1}P{2} P{n}
古典概型的概率计算公式
设是古典概型样本空间 则对任意事件A 有
P(
A)
A中元素个数
中元素个数
使A发生的基本事件数 基本事件总数
分球入盒问题
复习 随机事件的主要概念
为了帮组大家理解所学概念，现把第一节的有关结论 第 与事件的关系和运算的对应情况列举如下：
三
版
符号
集合论
概率论
全集
样本空间：必然事件
空集
不可能事件
中的点（或样称本元点素）
单点集
基本事件
第
三
版
_
的子集A
集合A包含在集合B中 集合A与集合B相等 集合A与集合B的并 集合A与集合B的交 集合A的余集 集合A与集合B的差
P( A) C31C21 3 C52 5
答:取到一红一白的概率为3/5
一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从 中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是
第 三 版
p
CMk
C nk N M
CNn
在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选 种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模 型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必 过多的交代实际背景。
(2) 至少有一类问题能答出的概率
(3) 两类问题都答不出的概率
解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”
第 三
(1)
P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6
版
(2) P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.8
(3) P(A B) P(A B) 0.2
（4）单调不减性若事件AB，则P(A)≥P(B)
(5) 互补性：P(A)＝1－ P(A).
(6) 加法公式：对任意两事件A、B，有
第
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
三
版 该公式可推广到任意n个事件A1,A2,…,An的情形.