全等三角形——倍长与中点有关的线段

倍长与中点有关的线段
① ② ③ ④
⑤ ⑥
①号模型：倍长中线构造三角形全等； ②号模型：倍长类中线构造三角形全等； ③号模型：出现多个中点，构造三角形中位线 ④号模型：平行线+截线中点构造8字形全等 ⑤号模型：直角三角形斜边中线（等于斜边一半） ⑥号模型：等腰三角形底边中线（三线合一）
倍长中线类
☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

【例1
】 已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1
()2
AM AB AC <+．
M
C
B
A
【练1】在△ABC 中，59AB AC ==，
，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？
【练2】如图所示，在ABC ∆的AB 边上取两点E 、F ，使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：AC BC +>EC FC +．
【例2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC
于F ，AF EF =，求证：AC BE =．
【练1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，
延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =
【练2】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．
【练3】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =求证：EF ∥AB
F E C
B
A F
E
D
C B
A F
E
D
C
B
A
G
F
E
D
C
B
A
【例3】 已知AM 为ABC ∆的中线，AM B ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于
F ．求证：BE CF EF +>．
【练1】在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．
【练2】在ABC ∆中，点D 为BC 的中点，点M 、N 分别为AB 、AC 上的点，且MD ND ⊥．
（1）若90A ∠=︒，以线段BM 、MN 、CN 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？
（2）如果2222BM CN DM DN +=+，求证()2221
4
AD AB AC =+．
【例4】 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使B D A B =，E 为AB 的中点，
连接CE 、CD ，求证2CD EC =．
F
A C
D E B F
E
M
C
B
A
F
E
D
C
B
A M
N
D
A
B
C
【练1】已知ABC ∆中，AB AC =，BD 为AB 的延长线，且BD AB =，CE 为ABC ∆的AB 边上的中线．
求证：2CD CE =
E
D
C
B A。