轴对称全章复习与巩固[提高]知识讲解

3.52轴对称全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形.【答案】C；【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数．△HEC与△ABC关于CD对称；△FDB与△ABC关于BE对称；△GED与△ABC关于HF对称；关于AG对称的是它本身．所以共3个．【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键．举一反三：【变式】如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC 的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（）A.180°B.270°C.360°D.480°【答案】C ；解：连接AP ，BP ，CP ，∵D ，E ，F 是P 分别以AB ，BC ，AC 为对称轴的对称点 ∴∠ADB ＝∠APB ，∠BEC ＝∠BPC ，∠CFA ＝∠APC ，∴∠ADB ＋∠BEC ＋∠CFA ＝∠APB ＋∠BPC ＋∠APC ＝360°．2、已知∠MON ＝40°，P 为∠MON 内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P 的对称点来确定A 、B 的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算. 【答案与解析】解：分别作P 关于OM 、ON 的对称点1P ，2P ，连接12P P 交OM 于A ，ON 于B.则△PAB 为符合条件的三角形.∵∠MON ＝40° ∴∠12P PP ＝140°.∠1PPA ＝12∠PAB,∠2P PB ＝12∠PBA. ∴12(∠PAB ＋∠PBA)＋∠APB ＝140° ∴∠PAB ＋∠PBA ＋2∠APB ＝280°∵∠PAB ＝∠1P ＋∠1PPA , ∠PBA ＝∠2P ＋∠2P PB ∴∠1P ＋∠2P ＋∠12P PP ＝180° ∴∠APB ＝100°【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值. 举一反三：【变式】如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE ＝120°，∠B ＝∠E ＝90°，AB ＝BC ，AE ＝DE ，在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN ＋∠ANM 的度数为（ ）． A ．100° B ．110° C ． 120° D ． 130°【答案】C ；提示：找A 点关于BC 的对称点1A ，关于ED 的对称点2A ，连接12A A ，交BC 于M点，ED 于N 点，此时△AMN 周长最小. ∠AMN ＋∠ANM ＝180°－∠MAN ，而2∠BAM ＝ ∠AMN ，2∠EAN ＝∠ANM ，∠BAM ＋∠EAN ＋∠MAN ＝120°,所以∠AMN ＋∠ANM ＝120°.3、如图，△ABC 关于平行于x 轴的一条直线对称，已知A 点坐标是（1，2），C 点坐标是（1，－4），则这条平行于x 轴的直线是（ ）A.直线x ＝－1B.直线x ＝－3C.直线y ＝－1D.直线y ＝－3【思路点拨】根据题意，可得A 、C 的连线与该条直线垂直，且两点到此直线的距离相等，从而可以解出该直线．【答案】C ； 【解析】解：由题意可知，该条直线垂直平分线段AC又A 点坐标是（1，2），C 点坐标是（1，－4） ∴AC ＝6∴点A ，C 到该直线的距离都为3即可得直线为y ＝－1【总结升华】本题考查了坐标与图形的变化一一对称的性质与运用，解决此类题应认真观察图形，由A 与C 的纵坐标求得对称轴． 举一反三：【变式1】如图，若直线m 经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt △AOB 与Rt △A OB ''关于直线m 对称，已知A （1，2），则点'A 的坐标为（ ）A.（－1，2）B.（1，－2）C.（－1，－2）D.（－2，－1）【答案】D ；提示：因为Rt △AOB 与Rt △A OB ''关于直线m 对称，所以通过作图可知，A '的坐标是（－2，－1）．【变式2】如图，ΔABC 中，点A 的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，3），点B 的坐标为（3，1），如果要使ΔABD 与ΔABC 全等，求点D 的坐标．【答案】解：满足条件的点D 的坐标有3个（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）. 类型二、等腰三角形的综合应用4、（2012•牡丹江）如图①，△ABC 中．AB=AC ，P 为底边BC 上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E 、F 、H ．易证PE+PF=CH ．证明过程如下：如图①，连接AP ．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH． 又∵ABP ACP ABC S S S +=△△△， ∴12AB•PE+12AC•PF=12AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH． （1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF=3时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________. 【答案】7；4或10； 【解析】解：（1）如图②，PE=PF+CH ．证明如下：∵PE⊥A B ，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH，∵ABP S △=ACP S △+ABC S △， ∴12AB•PE=12AC•PF+12AB•CH， 又∵AB=AC， ∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵ABC S △=12AB•CH，AB=AC ， ∴12×2CH•CH=49， ∴CH=7． 分两种情况：①P 为底边BC 上一点，如图①． ∵PE+PF=CH，∴PE=CH -PF=7-3=4；②P 为BC 延长线上的点时，如图②． ∵PE=PF+CH， ∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．5、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求ADB ∠的度数．【答案与解析】解：将ABD △沿AB 翻折，得到ABE △，连结CE ，则ABD ABE △≌△，∴,,BD BE ADB AEB =∠=∠∠1＝∠5＝12°. ∴125EBC ∠=∠+∠+∠=60° ∵3ABC ∠=∠=48°∴AB AC =．又∵∠2＝36°，34BCD ∠=∠+∠=72°， ∴,BDC BCD BD BC ∠=∠= ∴BE ＝BC∴BCE △为等边三角形. ∴.BE CE =又,AB AC AE =Q ∴垂直平分BC ． ∴AE 平分BEC ∠． ∴12AEB BEC ∠=∠=30° ∴∠ADB ＝30°【总结升华】直接求ADB ∠很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与ABD △全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求． 举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，D 为形内一点，且∠DAB ＝∠DBA ＝10°，求∠ACD 的度数.【答案】解：作D 关于BC 中垂线的对称点E ，连结AE ，EC ，DE ∴△ABD ≌△ACE∴AD ＝AE, ∠DAB ＝∠EAC ＝10° ∵∠BAC=80°，∴∠DAE ＝60°，△ADE 为等边三角形 ∴∠AED ＝60°∵∠DAB ＝∠DBA ＝10° ∴AD ＝BD ＝DE ＝EC ∴∠AEC ＝160°， ∴∠DEC ＝140° ∴∠DCE ＝20° ∴∠ACD ＝30° 类型三、等边三角形的综合应用ACD123B 5 E6、如图所示，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形．(1)如图(1)所示，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？(2)如图(2)所示，当点M在BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图(2)证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】解：(1)EN＝MF，点F在直线NE上．证明：连接DF，DE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC．又∵D，E，F是△ABC三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．又∠MDN＋∠NDF＝∠MDF，∠NDF＋∠FDE＝∠NDE，∵△DMN为等边三角形，DM＝DN，∠MDN＝60°∴∠MDF＝∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF DEMDF NDE DM DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMF≌△DNE，∴MF＝NE，∠DMF＝∠DNE.∵∠DMF＋60°＝∠DNE＋∠MFN∴∠MFN＝60°∴FN∥AB，又∵EF∥AB，∴E、F、N在同一直线上.(2)成立．证明：连结DE，DF，EF，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC．又∵D，E，F是△ABC三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．又∠MDF＋∠FDN＝60°，∠NDE＋∠FDN＝60°，∴∠MDF＝∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF DEMDF NDEDM DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMF≌△DNE，∴MF＝NE．【总结升华】此题综合应用了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定.全等是证明线段相等的重要方法.（2）题的证明可以沿用（1）题的思路.【巩固练习】一.选择题1. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右．．对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下．．对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）2. 如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°3．在下列说法中，正确的是（）A．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形；B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形；C．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形；D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 .4. 小明从镜中看到电子钟示数是，则此时时间是（）A.12：01B.10：51C.11：59D.10：215. 已知A（4，3）和B是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x＝－3轴对称，则平面内点B的坐标是（）A.（1，3）B.（－10，3）C.（4，3）D.（4，1）6．如图，已知△ABC中，AC＋BC＝24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为（）A．12 B．24 C．36 D．不确定7. 如图，将△ABC 沿DE 、HG 、EF 翻折，三个顶点均落在点O 处.若1129∠=︒，则2∠ 的度数为（ ）A. 49°B. 50°C. 51°D. 52°8. 如图, △ABC 中, ∠ACB ＝90°, ∠ABC ＝60°, AB 的中垂线交BC 的延长线于D,交AC 于E, 已知DE ＝2.AC 的长为（ ）A.2B.3C. 4D.5二.填空题9. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝2cm ，点E 在BC 上，且AE ＝CE ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好与AC 上的点1B 重合，则AC ＝ cm ．10. 在同一直角坐标系中，A （a ＋1，8）与B （－5，b －3）关于x 轴对称，则a ＝___________，b ＝___________. 11．如图所示，△ABC 中，已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC于点E ，若BD ＋CE ＝9，线段DE ＝_______．12. 如图所示，∠AOP ＝∠BOP ＝15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC ＝4，PD 的长为________．13．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，点O 在△ABC 内，•且∠OBC ＝•∠OCA ，∠BOC ＝110°，求∠A 的度数为________．14. 如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ＝4，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB ＝∠C.若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为 .15. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC ＝∠E ＝60º，若BE＝6cm ，DE ＝2cm ，则BC ＝______________．16. 如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等．若AB ＝1，BC ＝CD ＝3，DE ＝2，则这个六边形的周长等于_________。