数学破题36计 第14计 鲜花开门 情有独钟
高考数学解题方法探讨 数学破题36计(28-36计)
第28计 三角开门 八面玲珑●计名释义三角函数是沟通平面几何，立体几何、解析几何、向量和函数的重要工具.它具有以下特点：1.公式多，变换多，技巧多；2.思想方法集中，特别是函数方程思想、数形结合思想和特殊一般思想；3.应用广泛，学科内自身应用和跨学科的综合应用.●典例示范【例1】 设a ,b ∈R ，a 2+2b 2=6，则a+b 的最小值是 （ ） A.-22 B.535-C.-3D.27- 【解答】 a 2+2b 2=63262b a +⇒=1. 设⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 3cos 6y x (θ∈［0，2π］)，则 a+b =6cos θ+3sin θ=3cos(θ-φ)，其中cos φ=36，sin φ=33，∴a+b ≥-3，选 C .【点评】 本例实施代数与解析几何、三角函数之间的转换，利用三角函数的有界性破题.【例2】 已知正数x,y 满足3x 2+2y 2=6x ，则x 2+y 2的最大值是 . 【思考】 对于本题，以下解法并不鲜见； 由条件y 2=3x -23x 2. ∴x 2+y 2=x 2+212332-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x 2+3x =21-(x -3)2+29.∴当且仅当x =3时，（x 2+y 2）max =29. 你能发现这种解法有什么毛病吗？ 先检验一下，如x =3,会有什么情况发生，将x =3代入已知条件，得： 3³9+2y 2=18. ∴2y 2=-9.显然，我们得到了一个错误的等式，毛病在哪里呢？是没有分析条件所暗示的变量x,y 的范围，正确的解法是:∵y 2=3x -23x 2≥0，∴x 2-2x ≤0. 得x ∈［0,2］，而x 2+y 2=21-(x -3)2+29. 令z =21-(x-3)2+29，则当x ≤3时，z 为增函数，已求x ∈［0,2］，故当x =2时，z max =21(2-3)2+29= 4，即(x 2+y 2)max = 4.【评注】 本题若用三角代换，可以避开陷阱，达到八面玲珑.由条件得：(x -1)2+32y 2=1. 设⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθ•y •x sin 23cos 1， 则 x 2+y 2=(1+cos θ)2+23sin 2θ=21-cos 2θ+2cos θ+2521-(cos θ-2)2+29. 由于cos θ∈［-1,1］,故当cos θ=1时，(x 2+y 2)max =21-+29=4.此时，x =2，y =0.【例3】 设抛物线y 2=4px (p >0)的准线交x 轴于点M ，过M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，求AB 中点的轨迹方程.【解答】 抛物线y 2=4px 的准线为x = -p ，交x 轴于M (-p ,0), 设过M 的直线参数方程为：⎩⎨⎧=+-=θθsin cos t y t p x (t 为参数)代入y 2=4px ：t 2sin 2θ-4pt cos θ+4p 2=0 (1) 方程(1)有相异二实根的条件是：,1cot 0)sin (cos 160sin 2222>⇒⎩⎨⎧>-=∆≠θθθθp 1, 设方程(1)之二根为t 1，t 2，则t 1+t 2=.sin cos 42θθo设AB 之中点为Q (x,y )， ∵t =θθ221sin cos 22p t t =+. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∙=+-=∙+-=θθθθθθθθcot 2sin sin cos 2cos 2cos sin cos 2222p p y p p p p x ， 消去θ得：y 2=2p (x+p ), ∵|cot θ|>1，∴|y |>2p ，即所求AB 中点的轨迹方程为：y 2=2p (x+p )(|y |>2p ).【点评】 直线的参数方程即直线的三角形式，在处理解析几何中直线与曲线的关系中，常起重要作用，由于它能减少变量(由x,y 两个变量减为一个变量t ).所以其运算过程常比一般方程简便.但在起用直线的参数方程时，必须用其标准式：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y y x x其中P (x 0，y 0)为定点，θ是直线的倾斜角:参数t 表示动点M (x,y )与定点P (x 0，y 0)所连有向线段的数量，若M 在P 上方则t >0，反之t <0.【例4】 两圆O 1与O 2外离，其半径分别为r 1，r 2，直线AB 分别交两圆于 A 、C 、D 、B ,且AC =DB ，过A ，B的切线交于E ，求证：21r r EB EA = . 【思考】 本例是平面几何题吗? 不是，谁要试图仅用平几知识证明，肯定难以成功，但若引入三角，则不然. 【解答】 作两圆直径AF ，BG ，连CF ，DG ，命∠EAB =∠F =∠α,∠EBA =∠G =∠β, 那么AC =2r 1sin α，BD =2r 2sin β,已知AC=BD ，∴2r 1sin α=2r 2sin β， 例4题图αβsin sin 21=r r , △EAB 中，由正弦定理：,sin sin αβ=EB EA ∴21r r EB EA =. 【例5】某矿石基地A 和冶炼厂B 在铁路MN 的两侧，A 距铁路m 千米，B 距铁路n 千米. 在铁路上要建造两个火车站C 与D ，并修两条公路AC 与BD . A 地的矿石先用汽车由公路运至火车站C ，然后用火车运至D ，再用汽车运到冶炼厂B （如图所示）A 、B 在铁路MN 上的投影A ′、B ′距离为l 千米.若汽车每小时行u 公里，火车每小时行v 公里（v>u ）,要使运输矿石的时间最短，火车站C 、D 应建在什么地方？ 【分析】 求的是C 、D 建的地方， 为了将问题简化，暂不考虑车站D ，设法求出从A 经过C 到B ′所需最短时间. 【解答】 ∵AC =,cos AmA ′C =mtanA , ∴CB ′=A ′B ′-A ′C =l-mtanA∴从A 经过C 到B ′所需时间为 例5题图t =A Au vvm v l A v A A u m v l v A m l A u m cos sin cos sin cos 1tan cos -∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+ 由于v l ，v m ，a v 为常数，问题转化为求y =A Au vcos sin - 的最小值. ∵y ′=AA u v2cos 1sin -，令y ′=0,得u vA =sin 时， sin A <1. sin A <v u 时，y ′<0, sin A >uv时，y ′>0.故函数y ，从而函数t 当sin A =uv时，取得极小值：.122min uu v v u v u u v y -='⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∵ sin A =v u ，∴A ′C =mtanA =22u v mu -，即车站C 距A ′为22uv mu -千米，它与l 的长短无关.同理，站D 距B ′为22uv nu -千米.【点评】 本例再次映证了求导法在求最值中的重要作用.●对应训练1 已知方程x 2+x sin2θ- sin θcot θ=0(π<θ<23π)之二根为α,β，求使等比数列1,211,11⎪⎪⎭⎫⎝⎛++βαβα•，…前100项之和为零的θ值. 2 设实数对(x,y )满足方程x 2+y 2-2x -2y +1=0，求yx 1+的最小值. 3 已知圆的方程是x 2+y 2=1，四边形P ABQ 为该圆内接梯形，底边AB 为圆的直径且在x 轴上，当梯形ABCD 的周长l 最大时，求P 点的坐标及这个最大的周长. 4 △ABC 中，已知三内角满足关系式y =2+cos C cos (A-B )- cos 2C . (Ⅰ)证明任意交换A 、B 、C 位置y 的值不变； （Ⅱ）求y 的最大值.5.一条河宽1km ，相距4km (直线距离)的两座城市A 与B 分别位于河的两岸，现需铺设一条电缆连通A 与B . 已知地下电缆的修建费为每千米2万元，水下电缆的修建费为每千米4万元. 假定两岸是平行的直线.问应如何铺设电缆可使总的修建费用最少?●参考答案1 由条件：⎩⎨⎧-=-=-=+θθθαβθβαcos cot sin 2sin ,∴θθθαββαβαsin 2cos 2sin 11==+=+，即等比数列的公比q =2sin θ，∴S 100=θθsin 21])sin 2(1[1100--∙ .已知S 100=0，∴(2sin θ)100=1且2sin θ≠1,于是2sin θ= -1, sin θ=21-, ∵θ∈(π，23π), ∴θ=67π. 2 圆(x -1)2+(y -1)2=1的圆心为C (1,1)，半径r=1，此圆在第一象限且与两轴相切，为求yx 1+的最小值，先求1+x y的最大值. 如图，1+x y表示圆上的点(x,y )与 定点P (-1,0)连线的斜率, P A ，PB 为 圆C 的切线，则PB k x y =⎪⎭⎫⎝⎛+max1，连PC, 设∠BPC =∠APC =θ，则tan θ=21, 第2题解图 tan ∠BP A =tan2θ=342112122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯, 即341max =⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y ，从而431=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x . 3 如图所示，有A (1,0),B(-1,0),⊙方程为x 2+y 2=1，∴设P (cos θ，sin θ)为 圆上一点，不妨设P 在第一象限， 则有Q (-cos θ, sin θ).∴|PQ |=2cos θ, Rt △P AB 中∠PBA =2θ, ∴|BQ |=|P A |=|AB | sin2θ=2sin 2θ， l =2+2cos θ+4sin 2θ=2+2(1-2sin 22θ)+4sin 2θ=5-4(sin 2θ21-)2, 第3题解图当且仅当sin 2θ=21，即θ=60°(若θ在四象限则为300°)时，l max =5，此时点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21••. 4 (Ⅰ)y =2+cos C ［cos (A-B ) - cos C ］=2+cos C ［cos (A-B )+cos (A+B )］=2+2cos A cos B cos C此为关于A 、B 、C 的对称轮换式，故任意交换A 、B 、C 的位置，y 的值不变. (Ⅱ)y =2-［cos C 21-cos (A-B )］2 +41cos 2(A-B ),为求y 的最大值必须［cos C 21-cos (A-B )］2取得最小而41cos 2(A-B )取得最大. ∵［cos C 21-cos (A-B ) 2≥0，且41cos+(A-B )≤41当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==-)cos(21cos 1)cos(AB C B A 时以上两条同时成立.∴y max =49，此时C B A C B A ==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-21cos 1)cos(故△ABC 为正三角形. 5.解法一:如图所示，设OM =x km ，则AM =15-x ，BM =21x +. 总修建费 S=2（15-x ）+421x + =215+21x ++x +3(21x +-x ) =215+（21x ++x ）+xx ++213≥215+23由21x ++x =xx ++213,得当x =33时， S 取最小值 215+23， 此时，AM ≈3.3，BM ≈1.2.故当先沿岸铺设3.3 km 地下电缆，再铺设1.2 km 水下电缆连通A 与B 时， 第5题解图 总的修建费用最少，此时修建费为11.4万元.解法二：如图所示，设∠OBM =α(0<α<arccos 41，则BM =αcos 1， AM=AO-MO =15-tan α，总修建费 S =215-tan α)+αcos 4=215+ααcos )sin 2(2-设t =ααcos sin 2-，则sin α+t cos α=2 ∴ sin(α+φ)=211t+由1122≤+t及t >0，得t ≥3， ∴ S ≥215+23将t =3代入sin α+t cos α=2，解得α=6π∵ 0<6π<arccos 41 ∴ AM =15-33≈3.3，BM =332≈1.2.第29计向量开门数形与共●计名释义非数学问题数学化，说的是数学建模，非运算问题运算化，向量是典型的代表.向量是近代数学的最重要和最基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.同时，它又具有代数运算的功能.因此，它像一个媒婆，牵起了一根线，一头连着代数，另一头连着图形，只要经它轻轻一拉，数形便能结合成一家人.●典例示范【例1】α,β为锐角，且sinα-sinβ=21-, cosα-cosβ=21，求tan(α-β)之值. 【解答】如图，设A(cosα, sinα),B(cosβ, sinβ)为单位圆上两点，由条件知：0<α<β<2π.那么：-==（cosα-cosβ, sinα-sinβ）=⎪⎭⎫⎝⎛-21,21•.∴||=224141=+，||=||=1. 例1题解图△OAB中,由余弦定理：cos(α-β)= cos (β-α) =431124211=∙∙-+.∴ sin(α-β)=471691-=--, tan(α-β)=37-.【点评】如果说本例用向量求三角函数值中没有太大的优越性，那么利用向量模型证明不等式则有其独到的简便之处，再看下例.【例2】设a,b,c,d∈R，证明：ac+bd≤2222dcba+∙+【解答】设m=（a,b），n=（c,d），则mn=ac+bd，|m|²|n|=2222dcba+∙+∵m²n=|m|²n cos（m,n）≤|m|²|n|. ∴ac+bd≤2222dcba+∙+.【点评】难以置信的简明，这正是向量的半功伟绩之一，那么，向量在解析几何中又能起作用吗?【例3】 在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且两两夹角均为60°，则对角线AC 1 之长为 .【思考】 求线段的长度常用的手段是归结为解三角形.利用勾股定理或余弦定理，显然，这种方法需要较大的计算量，例如，确定AC 1与平面ABCD 所成角的大小就不是省油的灯.有无更好的方法呢？这个平行六面体的各个表面不都是边长相等且夹锐角为60°的菱形吗？利用向量岂不更为省事? 向量的数量积公式可以保驾护航. 对！走向量法解题的道路.【解答】 如图所示，11CC AC ++=∴2121)(CC AC ++==2122CC ++)(211CC CC ∙+∙+∙+=1+1+1+2(cos60°+ cos60°+ cos60°)=6∴|1AC |=6. 例2题解图【点评】 向量运算的优越性，由本例已可一览无遗，特别是|1AC |2=21AC 的运用奇妙. 注意：AB 与BC 所成角等于AB 与AD 所成角，是60°而不是120°. ●对应训练1 如图,在棱长为a 的正方体 ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F分别是AB 、AC 上的动点，满足AE=BF . (Ⅰ)求证：F C F A '⊥'；(Ⅱ)当三棱锥B ′—BEF 的体积取得最大值时，求二面角B ′—EF —B 的大小(结果用反三角函数表示). 第1题图 2 已知a ,b ∈R +，且a ≠b ，求证：(a 3+b 3)2<(a 2+b 2)(a 4+b 4).3 在双曲线xy =1上任取不同三点A,B,C ,证明△ABC 的垂心也在该双曲线上.●参考答案1.(1)如图，以B 为原点，直线BC,BA,BB ′分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，并设||||BF AE ==x ,则有:A ′(0,a,a ),C ′(a ,0,a ). E (0,a -x ,0)，F (x ,0,0),∴F A '=(x ,-a ,-a )，C '=(-a ,a-x,-a ).∵F A '²E C '=(x,-a,-a )(-a,a-x,-a )=-ax-a 2+ax+a 2=0，∴ A '⊥C '. (2)V B ′—BEF =31S △EEF ²|B B '|=31²21(a-x )²x ²a =61a (a-x )²x ≤61a ²322412)(a x x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-， 当且仅当a-x=a ，即x =2a时, (V B ′—BEF )max =3241a ， 此时E 、F 分别为AB,BC 的中点,必EF ⊥BD .设垂足为M ，连B ′M ,∵BB ′⊥平面ABCD , 第1题图 由三垂线定理知B ′M ⊥EF ,∠BMB ′是二面角B ′—EF —B 的平面角, 设为θ,∵||=a 42||41= ∴ tan θ=2242a a . 即θ=arctan22，则二面角B ′—EF —B 的大小为arctan22. 2 设m =(a,b )，n =(a 2,b 2), ∵m ²n ≤|m |²|n |.∴a 3+b 3≤4422b a b a +∙+，即是(a 3+b 3)2≤(a 2+b 2)(a 4+b 4). 3 如图,设A (x 1,11x )，B (x 2,21x ), C (x 3，31x )，△ABC 的垂心为H (x 0，y 0), 则),(122112x x x x •x x --=, )1,(330x •yx x --=, 第3题解图 ∵⊥, ∴(x 0-x 3)(x 2-x 1)+(y 0-31x ²02121=-x x x x . ∵x 1≠x 2，∴x 0-x 30132103=--x x x y x .∴x 0+21033211x x y x x x x += (1)同理：x 0+320131023211x x y x x x y x x x x +=+=.∴x 2-x 1=y 03212103132)(11x x x x x y x x x x -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-.∵x 1≠x 2，∴y 0=-x 1x 2x 3，代入 (1)：x 0-01y =x 321321x x x x x -=0, ∴x 0y 0=1，即H (x 0，y 0)在双曲线xy =1上.第30计 统计开门 存异求同●计名释义甲问：什么是“可能一统”？乙答：就是“可能性”完成大一统. 甲：此话怎讲？乙：排列、组合讲的是“可能状态”，概率讲的是“可能比值”，而统计则是对“各种可能”的计算，故称“可能一统”.甲：这有什么意义呢？乙：现实意义，实际意义，应用意义.你不知道吗，如今的数学应用题几乎全部转入到“可能一统”之中.甲：不错！以往的高考应用题，多在函数、方程、不等式上打主意，自从新课标普及以来，应用题转到概率和统计上了.不过，这是否在实用方面有点偏离高中数学的主干内容呢？ 乙：大概命题人也想到这点，因此近年的概统应用题，似乎都在想方设法往函数、方程、不等式方面拉关系!●典例示范【例1】 假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：x 2 3 4 5 6 y2．23．85．56．57．0若由资料可知y 对x 呈线性相关关系.试求： （1）线性回归方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？【分析】 本题告诉了y 与x 间呈线性相关关系，倘若记住了公式，便可以迅速解答出此题.注：设所求的直线方程为yˆ=bx+a ，其中a 、b 是待定系数． ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===-=---=∑∑∑∑∑∑======xb y a y n y •x n x xxyn yx x x y y x x b n i ni ii n i ini ii n i i ni i i 11121111,1,)())((相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析. i 1 2 3 4 5 x i 2 3 4 5 6 y i 2.2 3．8 5．5 6．5 7．0 x i y i 4．4 11．4 22．0 32．5 42．0 x 2i49162536∑∑==⋅====515123112,90,5,4i i i i i y x •x •y •x于是b =23145905453112552512251⋅=⨯-⨯⨯-⋅=--∑∑==i i i xx xyxiyi ， a ==⨯⋅-=-42315bx y 0.08. ∴线性回归方程为：y ˆ=bx+a =1.23x +0.08. （2）当x =10时，yˆ=1.23³10+0.08=12.38（万元） 即估计使用10年时维修费用是12.38万元.【点评】 本题若没有告诉我们y 与x 间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验.如果本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的.【例2】 某种灯泡的使用时数在1000小时之上的概率是0.7,求： （1）3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个的概率； （2）3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个的概率.【思考】 本题的实质是检查3个灯泡，可视为3次独立重复试验.(1)中3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A 恰好发生2次（事件A 是“灯泡的使用时数在1000小时以上”）；（2）中指“恰好坏1个”与“3个都未坏”这两种情况，即事件A 发生2次和发生3次，可用独立重复试验的方法求解.【解答】 设“灯泡的使用时数在1000小时以上”为事件A ，则P （A ）=0.7,检查3个灯泡可视为3次独立重复试验.(1)3个灯泡在使用1000小时之后恰好坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A 恰好发生2次.∴P 3(2) =C 23(0.7)2(1-0.7)3-2=3³0.49³0.3=0.441.(2)“3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个”包括了“恰好坏1个”和“3个都未坏”这两种情况，它们彼此互斥，相当于A 发生2次和发生3次的概率和，即所求概率为P 3（2）+P 3(3)=0.441+C 330.73=0.784.【点评】 用独立重复试验的概率公式P n (k )=C k n²P k ²(1-p )n-k来求概率的步骤：①首先判断是不是独立重复试验；②求一次试验中事件A 发生的概率P ；③利用公式计算在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率.【例3】 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.(1)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望; (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.【思考】 本题主要考查概率统计的基础知识，离散变量的概念，数学期望的定义；首先要弄清ξ的取值范围,ξ=0,1,2,3,然后再求概率.【解答】 （1）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：ξ 0123P301 103 21 61 甲答对试题数ξ的数学期望. E ξ=0³301+1³103+2³21+3³61=59(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )=321202060C C C C 310361426=+=+ P (B )=151********C C C C 310381228=+=+∙ 因为事件A 、B 相互独立,方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为451)15141)(321()()()(=--=∙=∙B P A P B A P∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率P =1-P （B A ∙）=1-4544451= 方法二：∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P =P (A ²B )+P （A ²B ）+P (A ²B )=P (A )P (B )+P (A )²P (B )+P (A )P (B )=32³151+31³1514+32³1514=4544 【点评】 ①要分清对立事件与互斥事件的关系，独立事件、互斥事件的相互区别.②在数学中必须强调随机变量的概念，分布列的定义与求法，熟悉常用的分布列：0~1分布、二项分布，数学期望与方差的计算等.●对应训练1.在袋里装30个小球，其彩球中有n (n ≥2)个红球，5个蓝球，10个黄球，其余为白球.若从袋里取出3个都是相同颜色的彩球（无白色）的概率是40013，求红球的个数，并求从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.2.某突发事件，在不采取任何预防措施情况下发生的概率为0.3,一旦发生，将造成400万元的损失.现在甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件突不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值)3.公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ～N （173，72）（cm ），问车门应设计多高？广告费用（千元） 1．0 4．0 6．0 10．0 14．0 销售额 （千元）19．044．040．052．053．0现要使销售额达到6万元，则需广告费用为 （保留两位有效数字）. ●参考答案1.取3个小球的方法数为C 230=4060.设“3个小球全是红球”为事件A ，“3个小球全是蓝球”为事件B ，“3个小球全是黄球”为事件C ，则P (B )=406010C C 33035=，P (C )=4060120C C 330310=.∵A 、B 、C 为互斥事件，∴P (A+B+C )=P (A )+P (B )+P (C ). 即40613=P (A )+406010+⇒4060120P (A )=0. ∴红球的个数≤2，又∵n ≥2，故n =2. 记“3个小球至少有一个是红球”为事件D ，则D 为“3个小球没有一个红球”.P (D )=1-P (D )=114528C C 330328=-. 2.①不采取任何预防措施时，总费用即损失期望值为400³0.3=120(万元);②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1-0.9=0.1,损失期望值为400³0.1=40(万元)，所以总费用为45+40=85（万元）.③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1-0.85=0.15,损失期望值为400³0.15=60(万元)，所以总费用为30+60=90（万元）④若联合采取甲、乙两种措施，则预防措施费用为45+30=75(万元)，发生突发事件的概率为（1-0.9）(1-0.85)=0.015，损失期望值为400³0.015=6(万元)，所以总费用为75+6=81(万元) 综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择甲、乙两种预防措施联合采用，可使总费用最少.3.设公共汽车门的设计高度为x cm ，由题意，需使P （ξ≥x ）＜1%. ∵ξ～N （173，7 2），∴P （ξ≤x ）=Φ（7173-x ）＞0.99. 查表得7173-x ＞2.33，∴x ＞189.31，即公共汽车门的高度应设计为190 cm ，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.点评：本题将正态分布的计算带入实际生活中，但本质上仍然是考查对正态分布的掌握.4.类似于例1，根据公式，先求出回归方程yˆ=bx+a ，令y ˆ=6，得x =1.5万元. 答案：1.5万元点评：仍然是运用公式求回归直线的例子，只要掌握了例4中提到有关回归直线的公式，便可迅速解答并且最终求出结果.第31计 解几开门 轨迹遥控●计名释义求动点的轨迹图形及轨迹方程是解析几何中的核心，体现了用代数方法研究几何问题的数学思想.轨迹是解析几何的灵魂，它就象一个遥控器，指挥着我们行动的方向.由方程研究曲线和已知曲线求其方程是解析几何的两大研究方向，在图形与方程问题遇到困难的人，往往疏忽了“轨迹”二字.正是“轨迹”二字告诉了动点的性质，动点的性质才是图形性质和方程性质的根基.●典例示范【例1】 动椭圆过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率e =21. (1)求动椭圆左顶点的轨迹方程；（2）求椭圆长轴长的最大值和最小值.【思考】 如M （1，2）为右顶点，则左顶点为 P （1-2a ,2）. 椭圆中心为(1-a ,2)，左准线为y 轴. ∴12+-ca -a =0， 而e =21=a c . ∴c a =2，有-3a +1=0，a =31. 得点P 1(31,2)；如M （1，2）为左顶点，有 P 2（1，2）， ∴P 1P 2中点为（32，2）. 由以上可以预见,所求轨迹是中心为O ′(32,2)的椭圆. 【解答】 （1）设椭圆左顶点为M (x,y )，则左焦点为F （x 0，y 0）=F (x+a-c ，y )，∵e =21=a c ，且左准线为y 轴, ∴a x ca ++-2=0, 得a=x ，c =a 21=2x ，有：F ⎪⎭⎫⎝⎛•y x •,23，由椭圆第二定义：1||MF = e =21. ∴21)2(12322=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ，化简得：22)1(4329-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ①(2)椭圆①的长半轴a ′=31，∴-31≤x -32≤31，得x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31••. 原椭圆长半轴为a=x ，∴2a =2x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,32••. 故原椭圆长轴最大值为2，最小值为32.【例2】 已知双曲线的两个焦点分别为F 1，F 2，其中F 1又是抛物线y 2=4x 的焦点，点A （-1，2），B （3，2）在双曲线上，（1）求点F 2的轨迹方程；（2）是否存在直线y=x+m 与点F 2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m 的值，不存在，说明理由. 【思考】 F 1（1，0）为定点，∴|AF 1|=22=|BF 1|为定值，设F 2(x ，y )，则|F 2A |-22=±(F 2B-22).得|F 2A |=|F 2B |或|F 2A |+|F 2B |= 42，知动点F 2的轨迹为直线AB 的垂直平分线或以A 、B 为焦点的椭圆.【解答】 （1）点F 2的轨迹方程为直线l ：x =1或椭圆14)2(8)1(22=-+-y x .(不含短轴两端，即不含（1，0），（1，4）解法略).（2）如图，当椭圆与直线y=x+m 相切时，直线与所求轨迹恰有两交点（-为切点，另-为切线与直线x =1的交点），其他情况下，若直线y=x+m 过椭圆短轴端点时与所求轨迹仅有一个公共点，若不过短轴两端点而经过椭圆内部时则有三个公共点，由.8])2()2(2[2)12(8)2(2)1(22222=-+-+++-⇒⎩⎨⎧=-+-+=m x m x x x y x m x y ∴3x 2+(4m -10)x +2m 2-8m +1=0. 此方程应有相等二实根，∴Δ=(4m -10)2-12(2m 2-8m +1)=0. 化简得：m 2-2m -11=0,∴m =1±23.【小结】 探求轨迹，一要注意 其完备性也就是充分性：只要符合 条件的点都适合轨迹方程；二要 注意其纯粹性也就是必要性：只要适合轨迹方程的点都符合轨迹条件. 例3题图 以例2为例：若忽视了直线x =1(不含（1，0），（4，0）)则不完备，若不除去（1，0），（4，0）则又不纯粹.●对应训练1.已知双曲线过坐标原点O ，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F 1（6,0），另一个焦点F 2为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程;(2)双曲线离心率最大时，求双曲线方程.2.已知定直线l 和线外一定点O ，Q 为直线l 上一动点，△OQP 为正三角形（按逆时针方向转），求点P 的轨迹方程.3.已知双曲线过坐标原点O ，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F 1（6，0），另一个焦点F 2为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程；（2）双曲线离心率最大时，求双曲线方程.4.已知抛物线C ：y 2=4x ，(1)若椭圆左焦点及相应准线与抛物线C 的焦点及相应准线分别重合.(1)求椭圆短轴端点B 与焦点F 所连线段的中点P 的轨迹方程；（2）若M （m ,0）是x 轴上的一个定点，Q 是（1）中所求轨迹上任意一点，求|MQ |的最小值.●参考答案1.设F 2(x 0，y 0), ∵O (0,0)在双曲线上, ∴|OF 2| - |OF 1| =±2，|OF 1|=6,∴|OF 2|=6±2，如|OF 2|=8，则x 20+y 20=64 ① 如|OF 2|=4，则x 20+y 20=16 ② 当O 、F 1、F 2共线时，F 1、F 2应在点O 两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0） 设双曲线中心为M （x ，y ）,则⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=y y x x y y x x 2622260000 ③ ③代入①：(2x -6)2+(2y )2=64， 即(x -3)2+y 2=16(x ≠7) ③代入②：（2x -62+(2y )2=16， 即(x -3)2+y 2=4(x ≠5) (2)∵a =1，∴e =ac = c ，且c =|MF 1|=22)6(y x +-, 如M 的轨迹为(x -3)2+y 2=16， 则c =436)3(16)6(22+-=--+-x x x∵-4≤x -3<4，∴-1≤x <7 当x =-1时，c max =7.如M 的轨迹为(x -3)2+y 2=4，则316)3(4)6(22+-=--+-=x x x c∵-2≤x -3<2，∴1≤x <5，当x =1时，c max =5,于是取c =7，a =1，∴b 2=48，又当x =-1时，由（x -3）2+y 2=16，得y=0,即双曲线中心为(-1,0),一个焦点为F 1(6,0),故实轴在x 轴上，则所求方程为：(x +1)2-482y =1. 2.如图作OA ⊥l 于A ，以直线OA 为x 轴， 过O 且垂直于OA 的直线为y 轴建立 如图的直角坐标系，设A （a ,0），则有 直线l ：x =a ，设|OQ |=|OP |=d ∠AOQ=θ，则∠AOP=θ+3π 设P (x,y )，∵d =θcos a， ∴x = d cos (θ+3π)=θcos a (21cos θ-23sin θ) 第2题解图 =2a(1-3tan θ), y =d sin(θ+3π)=θcos a (21sin θ+23cos θ)= 2a (tan θ+3).于是得点P 的参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=)3(tan 2)tan 31(2θθa y a x （θ为参数） 消去参数得：x +3y =2a .3.(1)设F 2(x 0，y 0)，∵O (0,0)在双曲线上，∴|OF 2| - |OF 1|=±2，|OF 1|=6，∴|OF 2|=6±2，如|OF 2|=8，则x 20+y 20=64 ①；如|OF 2|=4，则x 20+y 20=16 ②，当O ，F 1，F 2共线时，F 1，F 2应在点O 两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0）.设双曲线中心为O ′(x ，y )，则⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=y y x x y y x x 2622260000 ③ ③代入①：(2x -6)2+(2y )2=64, 即 (x -3)2+y 2=16 (x ≠7).③代入②：(2x -6)2+(2y )2=16, 即 (x -3)2+y 2=4 (x ≠5). (2)∵a =1，∴e =ac = c ，且c =|MF 1|=22)6(y x +-, 如M 的轨迹为（x -3）2+y 2=16,则c =436)3(16)6(22+-=--+-x x x .∵-4≤x -3<4, ∴ -1≤x <7, 当x = -1时，c max =7.如M 的轨迹为(x -3)2+y 2=4，则c=316)3(4)6(22+-=--+-x x x .∵-2≤x -3<2，∴1≤x <5当x =1时，c max =5.于是取c =7，a =1. ∴b 2=48，又当x = -1时，由(x -3)2+y 2=16，得y =0，即双曲线中心为（-1，0），一个焦点为F 1（6，0），故实轴在x 轴上，则所求方程为：(x +1)2482y -=1.4.（1）如图设椭圆中心为O ′(x 0,0)， 由于左焦点F （1，0），左准线x = -1，∴x 0=c +1，且x 0+1=ca 2.∴a 2=c (x 0-1)=x 20-1，b 2=a 2-c 2=(x 20-1) - (x 0-1)2=2x 0-2，得椭圆短轴端点B （x 0，220-x ）. 第4（1）题解图 设FB 的中点为P (x ，y )，则：⎩⎨⎧+=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=2421222212120000y x x x x y x x 消去x 0：y 2=x -1(x ≥1).(2)曲线y 2=x -1(x ≥1)的图形如图中虚线所示，其顶点为F （1，0）. 显然当m ≤1时，|MQ | min =1-m ，即点M （m ,0）到抛物线顶点F 最近，当m >1时，以M （m ,0）为圆心，R 为半径的圆的方程为： (x-m )2+y 2=R 2.(*)由⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+-1)(2222x y Ry m x x 2+(1-2m )x+m 2-1-R 2=0. 命Δ≥0，即（1-2m ）2-4(m 2-1-R 2)=0, ∴R 2≤454-m . (1) 当m ≥45时，R min =454-m ， 即|MQ |的最小值为454-m . 当1<m <45时，不等式（1）无解，说明圆（*）与抛物线y 2=x -1不可能有交点，此时抛物线顶点与M 距离最近,即|MQ | min =m -1.注：此题选自陕西师大“中学数学教学参考”04²1～2期P72，63题，原题答案为： 当212-m ≤1，即m ≤23时，|MQ |无最小值；当212-m >1，即m >23时， |MQ | min =45-m .笔者以为不妥，故重解如上，不当之处，请各位同仁指正.第32计 立几开门 平面来风●计名释义空间型试题感到困难怎么办？退到平面去，平面是立体几何的基础，“空间几何平面化”是我们的基本手段.“平面化”的主要形式有：（1）展开图，把空间展到平面；（2）三视图，从不同的角度看平面；（3）射影图，把一个平面放到另一个平面去；（4）截面图，把我们关心的平面进行特写.如此等等，可以把直观图中的错觉或误差分别转移到平面上作“真实分析”.●典例示范【例1】 “神舟六号”飞船上 使用一种非常精密的滚球轴承， 如图所示，该滚球轴承的内外圆的半径分别为1mm 、3mm ， 则这个轴承里最多可放滚珠 个. 例1题图 【解答】 6如图，设两滚球P ，Q 相切 于点T ，轴承中心为O ，连接OT ， 设滚球半径为d ，内、外圆半径 分别为r 、R ，则R =3，d =r=1. 在Rt △OTP 中，∠POT =2α，OP =2，PT =1,则有sin2α=21=OP PT ， 得α=2³6π=3π，即在圆心角为3π的轨道内， 例1题解图可放一个滚珠，故圆心角为周角（2π弧度） 时可放的滚珠为322ππαπ==6个.【点评】 本题考查了球体知识的相切问题，把复杂的空间立体图形简化成平面图形来解决.【例2】 在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 边长为3，高为4，在棱C 1B 1，C 1D ，CC 上分别取一点M 、N 、L 使C 1M ＝C 1N ＝1，C 1L ＝43. (1)求证：对角线AC 1⊥面MNL ； （2）求四面体D —MNL 的体积； （3）求AM 和平面MNL 所成夹角的正弦值. 【思考】 (1)本题并不难，但其手法还是“退”，由证线面垂直退到证线线垂直.根据对称性，只需证AC 1与LM 、LN 之一垂直即可; (2)四面体D —MNL 的体积不好求，可退而求四面体C 1—MNL 的体积，这两个四面体等底不等高，再退而求四面体对应高之比，然后将所求四面体C 1—MNL 的体积适当扩大即可； （3）AM 与面MAC 1夹角的正弦不好求，可退而求AM 、AC 1夹角的余弦.【解答】 （1）如图所示，以D 1为原点，直线D 1A 1，D 1C 1，D 1D 分别为x,y ，z 轴建立空间坐标系，则有：A （3，0，4），C 1（0，3，0） ∴1AC =(-3,3,-4)；L ⎪⎭⎫ ⎝⎛43,3,0••••，N (0,2,0),∴NL =⎪⎭⎫ ⎝⎛43,1,0••••∵1AC ²NL =0+3-3=0, ∴1AC ⊥,根据图形对称性，同理有1AC ⊥，故AC 1⊥平面MNL . 例2题解图(2)四面体D —MNL 与C 1—MNL 同底不等高，设其高分别为h 1，h 2，连C 1D 交NL 于E . ∵D (0,0,4),∴D C 1=(0,-3,4),且D C 1²=(0,-3,4)²⎪⎭⎫ ⎝⎛43,1,0••••=0.∴C 1⊥，知L 、E 、D 、C 在同一个圆上，|C 1|² |C 1| =|C 1|²|C 1|, 即43²4=|E C 1|²5.∴|C 1|=53，从而|C 1|=5-53=522. h 1∶h 23221=. 易求V C 1－MNL ＝61²C 1M ²C 1N ²C 1L =61³1³1³8143=，∴V D-MNL =32281⨯=1211(立方单位).(3)设AM 与平面AC 1成θ角，已证AC 1⊥平面MNL ，∴∠MAC 1=90°-θ. ∵M (1,3,0),∴=(-2,3,-4), ²1AC =(-2,3,-4)²(-3,3,-4)=6+9+16=31.又｜AM ｜=29)4(3)2(222=-++-,｜1AC ｜=34)4(3)3(222=-++-.∴cos (90°-θ98631342931||||11=∙=∙AC AM . 从而 sin θ=98631，即AM与平面MNL 所成角的正弦值为98631.【评注】 本题第（2)问另一解法：∵V D-MNL =V M-DNL ，而S △DNL 易求，且MC 1⊥面DNL ，从而V D-MNL =31²S △DNL ²MC 1也不失为另一有效解法. 【例3】 （04²全国卷Ⅲ）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形， AB =8，AD =43，侧面P AD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°. (Ⅰ)求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）求证：P A ⊥BD .【分析】 1.题目没有讲是“正”四棱锥， 不要粗心地乱加条件“按正棱锥”解题， 否则是“瞎子点灯”——白费蜡，因此，顶点在底面的射影不一定是底面的中心. 例3题图2.图中的三角因素很多，证垂直的最好办法是利用向量.因而制定三角加向量的解题策略. 【解答】 （Ⅰ）设O 为P 在底面的射影，作OE ⊥AD 于E ，连PE ，则∠PEO 是二面角P —AD —O 的平面角，有∠PEO =60°.已知△P AD 为正三角形，且边长为43. ∴|PE |=43sin60°=6，PO =6sin60°=33. ∴V P —ABCD =31²S □ABCD ²PO =31²8²43²33]=96(立方单位).(Ⅱ)以O 为原点，平行于AD 的直线为x 轴，平行于AB 的直线为y 轴，垂线OP 所在直线为z 轴建立如图的空间直角坐标系. 则有P (0,0,33)，A (23,-3,0)，B (23,5,0),D (-23,-3,0),∴=(23,-3,-33), =(-43,-8,0),∵²=-24+24+0=0. ∴⊥.●对应训练1.如图所示，ABCD 是边长 为2a 的正方形， PB ⊥平面ABCD ，MA ∥PB ，且PB =2MA =2a ， E 是PD 的中点(1)求证：ME ∥平面ABCD ; (2)求点B 到平面PMD 的距离; (3)求平面PMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值 第1题图2.在正三棱锥S —ABC 中，底面是边长为a 的正三角形，点O 为△ABC 的中心，点M 为边BC 的中点，AM =2SO ，点N 在棱SA 上，且SA =25SN . (Ⅰ)求面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小； （Ⅱ）证明：SA ⊥平面NBC .3.如图,边长为2的正方形ADEF 所在的 平面垂直于平面ABCD ，AB=AD ， AB ⊥AD ，AC =32，AC ⊥BD ，垂足为M ，N 为BF 的中点. (1)求证：MN ∥平面ADEF ；（2）求异面直线BD 与CF 所成角的大小；（3）求二面角A-CF-D 的大小. 第3题图 ●参考答案1.(1)延长PM 、BA 交于F ，连接FD ，FD 、BC 延长交于G ，连接PG ， ∵MA21PB =a ， ∴M 为PF 中点，又E 为PD 中点， ∴ME 为△PFD 中位线，ME ∥FD ， 而FD 平面ABCD , ∴ME ∥平面ABCD . (2)MA21PB 时，A 为FB 的中点. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，DC ∥AB ，∴D 、C 分别为FG 、BG 的中点. 第1题解图∵AB=BC =2a . ∴BF=BG =4a . ∴BD ⊥FG ，∵PB ⊥平面ABCD ，∴PB ⊥FG ，故FG ⊥平面PBD . 作BH ⊥PD 于H ，必FG ⊥BH ，故BH ⊥平面PFG ，BH 之长是点B 到平面PFG (也就是平面PMD)的距离. Rt △PBD 中，PB =2a ，BD =22a. ∴PD =22BC PB +=23a ，BH =632=∙PD BD PB a ，即所求距离为632a .(3)由(2)知FG ⊥DB ，FG ⊥DP . ∴∠PDB 是二面角P-FG-B 的平面角，且 cos ∠PDB =363222==a a DP DB ，即所求二面角的余弦值为36. 点评： (1)解立体几何题有两句格言:一是空间问题平面化，一是不规则图形规则化.本解中“规则化”的手段是补形，最终补成底面为等腰直角三角形且高与底面垂直的规则四面体，以下的分析计算也就方便了.(2)将正方体截下一个角，所得四面体由于有三条侧棱两两垂直，我们称这样的四面体为直角四面体，直角四面体有许多重要性质，其中最重要的有3条：①若用S ，S 1，S 2，S 3分别表示直角四面体的底面积和三个侧面积,那么：S 2=S 21+S 22+S 23 ②若直角四面体的三条侧棱之长依次为a ，b ，c ，则其底面积：S =21222222a c c b b a ++③若直角四面体的三条侧棱之长，依次为a ，b ，c ，且直角顶点到底面的距离为h ，那么 h =2221111c b a ++.根据公式③本题第2问可轻而易举地解决：图中B —PFG 为直角四面体，且BP =2a ，BF=BG =4a ∴BH =.6321144)4(1)4(1)2(11222a a a a a =++=++ 2.(1)如图，正△ABC 边长为a 时， AM =23a ，OM =31AM =63a .SO =21AM =43a . ∠SMA 是二面角S —BC —A 的平面角，设为α，则tan α=23=OM SO . ∴面SBC 与面ABC 成arctan 23的角. 第2题解图。
数学破题36计(183页电子版超级秘笈)
目录
第 1 计 芝麻开门 点到成功........................................................................................................... 1 第 2 计 西瓜开门 滚到成功........................................................................................................... 4 第 3 计 诸葛开门 扇到成功........................................................................................................... 7 第 4 计 关羽开门 刀举成功........................................................................................................... 9 第 5 计 才子开门 风情万种......................................................................................................... 13 第 6 计 勇士开门 手脚咚咚......................................................................................................... 15 第 7 计 模特开门 见一知众............................
高考数学解题方法探讨 数学破题36计(10-18计)-高中生家园
第10计聋子开门慧眼识钟●计名释义一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩.上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来“问”这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是好藏小孩的地方.聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子，据说，他所以能创立他的黎曼几何，主要受益于他的超人的直觉看图.为了增强直觉思维，建议大家在解数学题时，不妨装装聋子，此时，难题的入口处，可能闪出耀眼的灯光.●典例示范【例1】若(1-2x)2008 = a0+a1x+a2x2+…+ax2008(x∈R), 则2008(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2008)= (用数字作答)【思考】显然a0=1, 且当x=1时，a0+a1+…+a2008=1, ∴原式=2008a0+a1+a2+…+a2008=2007+(a0+a1+…a2008)=2007+1=2008.【点评】本例的易错点是：必须将2008a0拆成2007a0+a0,否则若得出2008+1=2009就错了.【例2】对于定义在R上的函数f (x)，有下述命题：①若f (x)是奇函数，则f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称；②若对x∈R, 有f (x+1)= f (x-1), 则f (x)的图象关于直线x=1对称；③若函数f (x-1)的图象关于直线x=1对称，则f(x)是偶函数；④函数f(1+x)与f(1-x)的图象关于直线x=1对称.其中正确命题的序号为 .【思考】奇函数的图象关于原点对称，原点右移一单位得（1，0），故f(x-1)的图象关于点A（1，0）对称，①正确；f (x)= f［(x+1)-1］= f (x+2)，只能说明f (x)为周期函数，②不对；f (x-1)右移一单位得f (x)直线x=1左移一单位得y轴，故f (x)的图象关于y轴对称，即为偶函数，③正确；④显然不对，应改为关于y轴对称.例如设f (x)=x, 则f (1+x)=1+x, f (1-x)=1-x,两图象关于y轴对称.【点评】本例的陷沟是：容易将f (1+x)与f (1-x)误认为f (1+x)=f (1-x)，这是容易鱼目混珠的地方, 而后者才是R上的函数f (x)的图象关于直线x=1对称的充要条件.【例3】关于函数f (x)=2x-2-x (x∈R).有下列三个结论：①f (x)的值域为R; ②f (x)是R上的增函数；③对任意x∈R, 都有f (x)+f (-x)=0成立，其中正确命题的序号是(注：把你认为正确命题的序号都填上).【解答】 由y ⇒-=x x212(2x )2-y ·2x -1=0. 关于2x 的方程中，恒有Δ=y 2+4>0. ∴y ∈R ①真. ∵y 1=2x , y 2=x 21-都是R 上的增函数，∴y =y 1+y 2=2x-2x -也是R 上的增函数，②真. ∵f (-x )=2x --2x = -(2x -2x -)=-f (x ),∴当x ∈R 时，恒有f (x )+f (-x )=0（即f (x )为R 上的奇函数) ③真.【点评】 高考试题中的小题，已出现了多项选择的苗头，其基本形式如本例所示，多选题中的正确答案可能都是，也可能不都是，还有可能都不是（这种形式多反映在选择题中，其正确答案为零个）.由于许多考生的思维定势是以为多选题只有“不都是”一种情况，往往难以相信“都是”或“都不是”.这也是这种题型的陷阱所在.正确的对策：不受选项多少的干扰，只要你能证明某项必真则选，否则即不选. 本例是“全选”（即“都是”）的题型.●对应训练1.设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i =1,2,3,…),使|FP 1|，|FP 2|,|FP 3|,…,组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是 .●参考答案1.椭圆中：a =7, b =6, c =1. ∴e =71,设P i 的横坐标为x i , 则|FP i |=71(7-x i ), 其中右准线x =7.∵|FP n |=|FP 1|+(n -1)d . ∴d =.)1(71||||11--=--n x x n FP FP n n∵|x 1-x n |≤27, ∴|d |≤12-n . 已知n ≥21, ∴|d |≤101, 但d ≠0. ∴d ∈［-101，0)∪(0，101］.点评：本题有两处陷沟，一是d ≠0, 二是可以d <0, 解题时考生切勿疏忽.第11计 耗子开门 就地打洞●计名释义《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.●典例示范【例1】 已知f (x )=321x -，判定其单调区间.【分析】 用求导法研究单调性当然可行，但未必简便，直接从单调定义出发，循序渐进，也可将“单调区间”啃出来.【解答】 设x 1<x 2，f (x 1)-f (x 2)=321x - - 321x -.【插语】 x 1，x 2都在根号底下，想法把它们啃出来.有办法，将“分子有理化”. 【续解】32312121x x --- [KF （S]3[]1-2x1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x 2[KF)]=3223213213223213213231)21()21)(21()21())21()21)(21()21()(2121(x x x x x x x x x x -+--+--+--+----易知322321321)21()21)(21()21(x x x x -+--+-=△>0. 故有原式=∆-)(221x x <0. 故f (x )=321x -的增区间为（-∞,+∞).【点评】 耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略..方法基础，可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷.【例2】 （04·天津卷）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望； （Ⅲ）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.【思考】 本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.【解答】 （Ⅰ）6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P （ξ=0）=51C C 3634=;P (ξ=1)=53C C C 361224=；P (ξ=2)=51C C C 362214=∙，故ξ的分布列是：（Ⅱ）ξ的数学期望是： E ξ=0×51+1×53+2×51=1. (Ⅲ)由（Ⅰ），所选3人中女生人数ξ≤1的概率是：P （ξ≤1）=P (ξ=0)+P (=1)=54.【例3】 （04·上海，20文）如图， 直线y =21x 与抛物线y =81x 2 - 4交于A 、B 两点， 线段AB 的垂直平分线与直线y = -5交于点Q . (1)求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于AB 下方 （含点A 、B ）的动点时， 求△OPQ 的面积的最大值.【思考】 同例1一样，本题设问明确，例3题图 思路并不复杂，只须按所设条件逐一完成就是，只是要严防计算失误.【解答】 （1）由.032421,48122=--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x x x y x y设AB 中点为M （x 0，y 0），则x 0 =2221=+x x ，y 0=21x 0=1. 故有M （2，1），又AB ⊥MQ ，∴MQ 的方程是：y -1=-2(x -2)，令y =-5，得x =5，点Q 的坐标为(5,-5).(2)由（1）知|OQ |=52为定值.设P (x ，81x 2-2)为抛物线上B A 上一点，由（1）知x 2-4x -32≤0，得x ∈［-4,8］，又直线OQ 的方程为：x+y =0，点P 到直线OQ 的距离：d =28|48)4(|2|281|22-+=-+x x x ，显然d ≠0，(否则△POQ 不存在)，即x ≠43-4，为使△POQ 面积最大只须d 最大，当x =8时，d max =62.∴(S △POQ )max =21·|OQ |·d max =21·52·62=30.【例4】 O 为锐角△ABC 的外心，若S △BOC ，S △COA，S △AOB 成等差数列，求tan A ·tan C 的值.【解答】 如图，有：S △BOC +S △AOB =2S △COA .不妨设△ABC 外接圆半径为1，令∠BOC =α=2A , ∠AOC =β=2B ，∠AOB =r=2C ， 则有：21sin α+21sin γ=sin β， 即sin2A +sin2C =2sin2B .2sin(A+C )cos (A-C )= 4sin B cos B . 例4题解图 ∵sin(A+C )=sin B ≠0,cos B = -cos(A+C ).∴cos (A-C )+2cos (A+C )=0,cos A cos C +sin A sin C +2(cos A +cos C – sin A sin C )=0.3cos A cos C =sin A sin C ，故tan A tan C =3.【点评】 本例中的“门”不少，其中“同圆半径相等”是“门”，由此将面积关系转换成有关角的关系；以下通过圆心角与圆周角的转换，和差化积与倍角公式，诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次转换，这便是一连串的“门”，逐一啃来，从而最终达到解题目的.●对应训练1.在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在 棱CC 1上，且CC 1= 4CP . (Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）设O 点在平面D 1AP 上的 射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ；（Ⅲ）求点P 到平面ABD 1的距离. 第1题图 2.证明不等式：n n2131211<++++(n ∈N +).3.设x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ3,4•••，f (x )=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4sin 2323cos sin 41222x x x ，求f (x )的最大值与最小值. 4.若x ，y ，z ∈R +，且x+y+z =1，求函数u =⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111111z y x 的最小值.●参考答案1.建立如图的空间直角坐标系，有：A (4,0,0)，P (0,4,1)，B (4,4,0)，B 1(4,4,4)，D 1(0,0,4).(Ⅰ)连BP ，∵AB ⊥平面BCC 1B 1.∴AB ⊥BP ，∠APB 是直线AP 与平面BB 1C 1C 的夹角，∵||BP =.17142=+∴tan ∠APB 17174||=BP . ∴AP 与平面BB 1C 1C 所成角为arctan 17174. (Ⅱ)连D 1B 1，则O ∈DB 1.∵11B D =（4,4,0)，AP =（-4,4,1）, ∴11B D ·=-16+16+0=0.即⊥11B D ，也就是A 1⊥D 1. 第1题解图 已知OH ⊥面AD 1P ，∴AP ⊥D 1O (三垂线定理)（Ⅲ）在DD 1上取||=1，有Q (0,0,1)，作QR ⊥AD 1于R ，∵RQ ∥AB ，∴PQ ∥面ABD 1，∵AB ⊥面AA 1D 1D ，∴AB ⊥QR ，则QR ⊥面ABD 1，QR 之长是Q 到平面ABD 1的距离，∵S △AD 1Q =21|1AC |·||=21]|AD |·|D 1|. 即：42·|QR |= 4×3，∴|QR |=223.已证PQ ∥ABD 1，∴点P 到平面ABP 1的距离为223.点评：虽是“综合法”证题，但也并非“巷子里赶猪，直来直去”，特别（Ⅱ）,(Ⅲ)两问，本解都用到了若干转换手法.2.只须证,2132122121n n<+++右式=nn n n +-+++++<+++++11321211211221111 =)1()23()12(21--++-+-+n n =n n <-21.∴,2132122121n n <+++ 成立，从而1+.213121n n<+++3.先将f (x )化为同一个角的单一三角函数，得f (x )= -21sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-62x +83.当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ3,4•••时,2x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ∈π2,36•••，故f (x )为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ3,4•••，上的减函数,当x =3π时,［f (x )］min =843-，当x =4π时,f (x )］max =-83. 4.注意到x yz x z y x x x 2111≥+=-=-，同理：zxy y 211≥-，z xy z 211≥-，∴u ≥xyzxyz 8=8.第12计 小刀开门 切口启封●计名释义西餐宴上，摆着漂亮的什锦比萨. 众人虽然都在称好，但没有一人动手. 原来这东西罩在一个透明的“玻璃盒”里，不知从哪儿打开，大家只好故作谦让，互相叫“请”.一小孩不顾礼节，拿着餐刀往“盒”上直戳，七戳，八戳，戳到了“玻璃盒”的花纹处，此时盒子竟像莲花一样自动地启开了. 大家惊喜，夸这孩子有见识. 其实，这孩子的成功在他的“敢于一试”，在试试中碰到了盒子的入口.数学解题何尝没遇上这种情境？我们有时苦心焦虑地寻找破题的入口，其实，自己此时正站在入题的大门口前，只是不敢动手一试.●典例示范【例1】 已知5sin β=sin(2α+β)，求证：.23tan )tan(=+αβα【分析】 题型是条件等式的证明，内容是三角函数的变换.条件和结论都是三角等式，正宗解法（大刀开门），首先考虑的是三角函数及和角变换.能否找到另外的切入口呢？比如说“抛开函数看常数”，我们找到了23这个数，试一试，就打23的主意！ 【解答】 化条件为,15sin )sin(=+ββα考察结论的右式23与15的数量关系知=-+151523，那么由合分比定理能使问题获得解决，即.231515sin )2sin(sin )2sin(=-+=-+++ββαββα而左端分子、分母分别进行和差化积即为,tan )tan(αβα+于是等式成立.【点评】 这才是真正的“小刀开门”，首先考虑了常数，而常数在函数面前自然是“小玩意”；首先考虑比例变换，比例变换在三角变换的面前也是“小玩意”！数学解题时，在“入口对号”的情况下，小刀比大刀更管用.【例2】 设m 为正整数, 方程mx 2+2(2m -1)x +4m -7=0(x 为未知量)至少有一个整数根, 求m 的值. 【分析】 若根据求根公式得到x =mm m 13)21(+±-, 讨论至少有一个整数根相当复杂.如果把常量m (m是一个待求的常量)与变量x 相互转化,则解决此问题就简单了. 【解答】 原方程可化为(x 2+4x +4)m =2x +7, 即m =2)2(72++x x , 【插语】 m 是本题的破题小刀，因为所给方程中m 的最高次数是1，使得问题简化了. 【续解】 由于x 为整数且m 为正整数, 则x ≠-2且2)2(72++x x ≥1,得-3≤x ≤1,于是x =-3, -1, 0, 1, 代入原方程求出符合条件的m 值为1或5,即m =1或m =5时,原方程至少有一个整数根.【点评】 有些数学问题中的常量具有特殊性,常常暗示着某种巧妙的解题思路,如能充分挖掘,巧妙转化,便可以将问题轻松解决.【例3】 设函数f (x )=x 2+x +a (a ∈R *)满足f (n )<0, 试判断f (n +1)的符号.【分析】 这道题看似代数题，但如果打开几何的大门，就可以找到条件与结论的联系，思路才会应运而生.【解答】 因为f (n )<0，所以函数 f (x )=x 2+x+a 的图像与与x 轴有2个 相异交点，如图所示，设横坐标为 x 1、x 2且x 1<x 2，方程x 2+x+a =0 有2个不等的实根x 1、x 2，则⎪⎩⎪⎨⎧>=-=+<<.0,1,212121a x x x x x n x 所以-1<x 1<n <x 2<0, 从而n +1>0, 例3题图 于是f (n +1)=(n +1)2 +(n +1)+a >0(a >0).【点评】 利用数形结合,数形结合是构建解题思路的重要立足点，灵活运用常使解题化难为易，化繁为简.【例4】 过抛物线y 2=2px 的顶点O 作2条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点. 【解答】 因为OA ⊥OB ，所以OA 与OB 的斜率成负倒数关系.设OA 的斜率为k ，将OA 的方程：y=kx 代入抛物线y 2=2px 中，求得A 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛k p •k p 2,22,将OB 方程代入抛物线方程求B 点坐标时，只有斜率发生变化.因此，以k1-置换A 点坐标中的k , 即得B 点坐标为(2pk 2, -2pk ). 因而l ABy =),2(12)2(1222p x kk pk pk x k k --+--- 故直线AB 过定点(2p , 0).容易验证，斜率k =±1时，结论也成立.【点评】 找寻对等关系,挖掘命题中元素之间的对等关系，常能找到简洁的解题思路.【例5】 已知x 、y 、z ∈R , x+y+z =1，求证:x 2+y 2+z 2≥.31【解答】 运用均值代换法.令x =31γβα+=+=+31,31,•z •y , 则α+β+γ=0, 所以x 2+y 2+z 2=31)(3231222≥++++++γβαγβα(当且仅当α=β=γ=0，即x=y=z =31时“=”成立).【点评】 运用等价代换,运用等价代换作切入点探究解题思路，是中学数学的重要技能.●对应训练1.已知M 是椭圆1121622=+y x 上的动点，椭圆内有一定点A (-2,3), F 是椭圆的右焦点，试求|MA |+2|MF |的最小值，并求这时点M 的坐标.2.已知函数f (x )=12+x -ax , 其中a >0. 求a 的取值范围，使函数f (x )在区间［0,+∞)上是单调函数.3.如图所示，已知梯形ABCD 中|AB |=2|CD |, 点E 分有向线段 所成的比为λ，双曲线过 C,D,E 三点，且以A ，B 为焦点.当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围. 第3题图 4.已知a 、b >0,并且a+b =1,求证：.42511≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 5．如图所示，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1的面积为S ，侧棱CC 1到此面的距离为a ，求这个三棱柱的体积.第5题图 ●参考答案1．解析 挖掘隐含条件的数量关系即可 为简洁解题铺平道路.注意到椭圆的离心率,21与结论中线段|MF |的系数之间的数量关系， 作MB 垂直于右准线l ，垂足为B ， 如图所示.则,21||||==e MB MF即|MB |=2|MF |, 所以|MA |+2|MF |=|MA |+|MB |. 第1题解图 易知点M 在线段AB 上时，|MA |+2|MF |取最小值8，这时点M 的坐标（23,3•）.2.解析 探究a 的值，应倒过来思考. 设x 1<x 2, 且x 1、x 2∈［0,+∞),f (x 1) - f (x 2)= (x 1-x 2)·.11222121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++a x x x x 因为.1,1222121x x •x x >+>+所以.011212221>+>+++x x x x得111222121<++++x x x x . 注意到x 1-x 2<0, 所以只要a ≥1，就有f (x 1)-f (x 2)>0. 即a ≥1时，函数f (x )在区间［0,+∞)上是单调减函数.显然0<a <1时，f (x )在区间［0,+∞)上不是单调函点评 运用逆向思维,当直接由条件探究结果难以凑效时，那就反过来，由果索因，这是建立解题思路的一个重要策略.3.解析 很多学生对本题无从下手，然而注意题中图案给予的启示，解题思路的就赫然可见了.事实上，由图形的对称性，可设直线AB 为x 轴，AB 得中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy . 注意到|AB |=2|CD |，设OC =,2||c AB =依题意记A (-c,0)，C ),2(•h c, E (x 0, y 0). 由定比分点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.1,)1(2)2(00λλλλh y c x设双曲线方程为,12222=-b y a x 将点C ，E 坐标代入方程，得,142222=-b h a c ① ,1)1()1(4)2(22222222=+-+-bh a c λλλλ ② 将①代入②且用e 代入a c ，得e 2=.132121λλλ-+-=-+ 又由题设,4332≤≤λ可知e 2∈［7, 10］， 所以离心率e 的范围是.107≤≤e 点评 挖掘题图信息,从题中图案的启示切入，往往易得解题灵感. 4.解析 容易估计a=b =21时等号成立. 由此可以获得巧妙的证法. 构造,0415414141411534>≥++++=+a ••a a a a a a a 同理,0415414141411534>≥++++=+b••b b b b b b b 两式相乘,)(412511538ab ••b b a a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+注意到ab ≤,4122=⎪⎭⎫⎝⎛+b a 所以ab 1≥4, 故(a +a 1)(b +b 1)≥425(当且仅当a=b =21时取“=”号).从等号成立的条件切入是独具匠心的思考方法.点评 启用特例联想,从数学命题成立的特殊情形入手，常可找到巧妙的解题思路.5.解析 将这个三棱柱补成如图所示的平行六面体，可知这个平行六面体的体积等于a S.很明显三棱柱ABC —A 1B 1C 1与三棱柱ACD —A 1C 1D 1体积相等.所以三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积等于.2aS用这种方法求解一些几何问题，效果十分明显.点评 看清分分合合,通过分割或整合，将数学问题化为熟悉的结论或易于解决的形式，也是建立解题思路的重要途径.第13计 钥匙开门各归各用●计名释义开门的钥匙应有“个性”，如果你的钥匙有“通性”，则将把所有的邻居吓跑. 所有的知识具有个性，一切犯有“相混症”的人，都因没有把握知识的个性.数学知识的根基是数学定义，它的个性在于，只有它揭示了概念的本质，介定了概念的范畴，在看似模糊的边缘，它能判定是与非.定义本身蕴含着方法，由“线面垂直的定义直接导出线面垂直的判定定理，由椭圆的定义可直接导出椭圆方程.这里，判定定理也好，方程也好，只不过是其对应的定义在定义之外开设的一个“代办处”，当你的问题本身离定义很近时，何必要跑到遥远的地方去找“代办处”呢？由此，引出了“回归定义”的解题之说.●典例示范【例1】 F 1、F 2是椭圆的两个焦点，|F 1F 2|=2c , 椭圆上的点P （x, y )到F 1（-c , 0), F 2 (c , 0)的距离之和为2a . 求证：|PF 1|=•x a c a ,+|PF 2|=.x aca - 【分析】 一定要搬动椭圆方程吗？这里的已知条件只有c 无b ，而椭圆方程12222=+by a x 却有b 无c ，搬动椭圆方程肯定是舍近求远.【解答】 对|PF 1| 和 |PF 2|用距离公式，结合椭圆的定义得关于|PF 1|= r 1, |PF 2|= r 2的方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=++==+③)(②)(①22222222121••••••y c x r ••••••y •c x r ••a •••••••••r r ②-③消y 2, x 2和c 2得 r 21cx r 422=-r ④ ①，④联立，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x a c a r x ac a r 21 故|PF 1|=,x a c a +|PF 2|=.x aca - 【点评】 快捷，清晰，是因为此题的已知条件靠定义近，而离方程远.【例2】 设数列{a n }的前n 项和S n =1+a n lg b , 求使1lim =∞→n n S 成立的b 的取值范围.【思考】 应首先分清{a n }是什么数列，再根据数列的性质与极限的定义解题. 【解答】 a 1=1+a 1lg b , 若lg b =0, 即b =1时， a 1=S 1=1与1lim =∞→n n S 矛盾.∴b ≠1,于是a 1=,lg 11b- 而a n =(1+a n lg b )-(1+a n -1lg b ).∴a n (1-lg b )=-a n -1lg b ,1-n n a a =1lg lg -b b 为常数，{a n }是首项为,lg 11b-公比q =1lg lg -b b的无穷递缩等比数列(已知1lim =∞→n n S 存在)，∴q =1lg lg -b b∈(-1,0)∪(0,1).由1lg lg -b b >-1, 即1lg lg 2-b b >0, 得lg b <21或lg b >1,又1lg lg -b b <0⇒0<lg b <1,于是0<lg b <,21∴b ∈(1,10) ①由0<1lg lg -b b<1⇒⎩⎨⎧-><1lg 1lg 0lg b b b 或,0lg <⇒b ∴b ∈(0, 1)] ②综合①、②，取并集，所求b 的取值范围为b ∈(0，1)∪(1,10).【例3】 某商场为了促销，当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可通过抽奖的方法获奖，箱中有4只红球和3只白球，当抽到红球时奖励20元的商品，当抽到白球时奖励10元的商品(当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后，即将小球全部放回箱中).(1)当顾客购买金额超过500元而少于1000元时，可抽取3个小球，求其中至少有一个红球的概率； (2)当顾客购买金额超过1000元时，可抽取4个小球，设他所获奖商品的金额为ξ(ξ=50,60 ,70,80)元，求ξ的概率分布和期望.【思考】 解本题不能不清楚与概率统计有关的概念与定义，否则即使知道有 关计算公式也无法准确解题，例如：(1)随机事件A 发生的概率0≤P (A )≤1, 其计算方法为P (A )=nm, 其中m ，n 分别表示 事件A 发生的次数和基本事件总数；(2)不可能同时发生的事件称为互斥事件，由于A 与A 必有一个发生，故A 与A 既是互斥事件，又是对立事件，对立事件满足P (A )+P （A ）=1；(3)离散型随机变量的期望，E ξ=x 1 p 1+x 2 p 2+…+x n p n +…, 这个概念的实质是加权平均数，期望反映了离散型随机变量的平均水平;(4)离散型随机变量的方差D ξ=(x 1-E ξ)2p 1+(x 2-E ξ)2p 2+…+(x n - E ξ)2p n +…，方差反映了离散型随机变量发生的稳定性.【解答】 (1)基本事件总数n =C 37=35, 设事件A ={任取3球，至少有一个红球}，则事件A ={任取3球，全是白球}.∵A 与A 为对立事件，而Card A =1(任取3球全是白球仅一种可能).∴P (A )=351,于是P (A )=1-P (A )=.3534 即该顾客任取3球，至少有一个红球的概率为.3534(2)ξ=50表示所取4球为3白1红(∵3×10+1×20=50),P (ξ=50)=;354C C C 471433=∙ ξ=60表示所取4球为2白2红(∵2×10+2×20=60), ∴P (ξ=60)= ;3518C C C 472423=∙ξ=70表示所取4球为3红1白(∵3×20+1×10=70), ∴P (ξ=70)= ;3512C C C 471334= ξ=80表示所取4球全为红球, ∴P (ξ=80)= .351C C 4744= 于是ξ的分布列为：∴D ξ=50×35+60×35+70×35+80×35=7(元).即该顾客获奖的期望是7440≈63(元).●对应训练 1M 为双曲线12222=-by a x 上任意一点， F 1为左焦点， 求证:以MF 1为直径的圆与圆x 2+y 2= a 2相切.2:以椭圆上任意一点的一条焦半径为直径作圆，这个圆必和以椭圆长轴为直径的圆相切. 3:(1)E (a ξ+b )=aE ξ+b ; (2)D ξ=E ξ 2- E 2ξ.4M 为抛物线y 2=2px 上任意一点，F 为焦点，证明以MF 为直径的圆必与y 轴相切.●参考答案 1MF 1的中点为P , 设|PF 1|= r, 连接PO 、MF 2,|PO |=21|MF 2|(中位线性质） ∴|PF 1| - |PO |=21(|MF 1| - |MF 2|)=21·2a = a , 即|PO |= r-a , 故以MF 1为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2内切.2M 为椭圆上任一点，MF 1为焦半径，MF 1的中点为P , 设|PF 1|= r, 连OP 、MF 2.则|OP |=21|MF 2|=21(2a -|MF 1|)= a-r∴以MF 1为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.第1题解图 第2题解图 3．（1）∵E ξ=x 1 p 1+x 2 p 2+…+x n p n ,∴E (a ξ+b )= (ax 1+b )p 1+(ax 2+b )p 2+…+(ax n +b )p n = a (x 1 p 1+x 2 p 2+…+x n p n )+b (p 1+p 2+…+p n ) = aE ξ+b (∵p 1+p 2+…+p n =1).（2）D ξ=(x 1 - E ξ)2·p 1+(x 2 - E ξ)2p 2+…+(x n - E ξ)2p n +…=（x 21p 1+x 22p 2+…+x 2n p n +…）-2E ξ(x 1 p 1+x 2 p 2+…+x n p n +…)+E 2ξ(p 1+p 2+…+p n +…) =E ξ2-2E ξ·E ξ+E 2ξ·1=E ξ 2- E 2ξ.4F ⎪⎭⎫⎝⎛0,2•p ， 准线l :x =2p-,作MH ⊥l 于H ，FM 中点 为P ，设圆P 的半径|PF |= r ，作PQ ⊥y 轴于Q ，则PQ 为梯形MNOF 的中位线. ∴|PQ |=,||21||21|)||(|21r MF MH MN OF ===+ ∴以MF 为直径的圆与y 轴相切.第4题解图第14计 鲜花开门 情有独钟●计名释义冬天的梅花，非常耀眼.其实，梅花开的并不艳丽，只是因为你喜欢她，所以才心明眼亮.如果到了百花盛开的春天，你能身在花丛眼不花，还能看到淡淡素素的梅花吗？数学解题也经常遇到这种情景，有时已知条件非常之多，提供的信息诱惑也非常之泛.此时，你能“情有独钟”地筛选出你需要的她吗？●典例示范【例1】 P 点在平面内作匀速直线运动， 速度向量v =(4,-3).(P 点沿v 方向运动，每秒移动的距离是|v |）.开始时P （-10，10）， 求5秒后P 点的位置.【分析】 本质是对P 点运动的速度向量 v =（4，3）的理解：因为P 点按匀速直线运动，每秒位移是5.从速度分解观点看， 例1题图 每秒P 向右移4，向下移3.【解答】 5秒P 向右移20，下移15，设P 点5秒后到P ′（x, y ). x =-10+20=10, y =10-15=-5. 所以P ′（10，-5）.【点评】 这样解题很轻松，善于抓住数学本质的理性思维习惯是在学习数学的过程中累积形成的，而不是在“题海战术”式的“强化训练”、“大练兵”中形成的.【插语】 如果不按上述方式，而是从寻找P P =5v =(20,-15), 再求P O '=P O '+,P P 当然也能求出结果，但是并不省时间.众所周知，高考中的时间就是分数.【例2】 （04·全国Ⅰ卷）函数y =1-x +1(x ≥1)的反函数是 ( )A ．y =x 2-2x +2 (x <1) B.y =x 2-2x +2(x ≥1) C ．y =x 2-2x (x <1) D.y =x 2-2x (x ≥1)【解答】 本题的鲜花是利用互反函数的性质.原函数x ≥1时，y ≥1.∴反函数的定义域为x ≥1，排除A 、C.∵点（5，3）在f (x )的图象上，∴点（3，5）必在f -1(x )的图象上，而点（3，5）适合BD,∴选B.【点评】 与反函数有关的选择题，要注意利用其“定义域与值域互易，对应法则互逆，图象关于直线y=x 对称”等特点，前呼后拥.【例3】 下列各式中，最小值为2的是 ( )A ．4522++x x B.ba b a +++2 C.b a a b + D.sin1sin +x 【思考】 利用均值不等式“取等”的条件这朵鲜花去开门.用均值不等式求最值必须满足两个条件：1）参与运算的量必须是正数；（2）只有当有关量可以“取等”时才有最值.∵,2141,24,41445222222≤+≥++++=++x •x •x x x x 而故,41422+≠+x x 故否定A ；当a,b 异号时，,0,0<<b a •a b 否定C ；当sin x <0时，亦有sin 1<0,否定D ；B .【点评】 可用直接法证明22min=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++b a b a ，∵b •a ,存在且在分母中出现，∴ab >0.又a+b +2=(a +1)+(b +1)≥2)(b a +，∴ba b a +++2≥2. 当且仅当a=b =1时22min=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++b a b a【例4】 已知四边形ABCD为矩形且AB ≠BC , PA ⊥平面ABCD , 连接 AC,BD,PB,PC ,PD , 则以下各组向量中,数量积不为零的是 ( )A ．与 B.与C.AB PD 与D.与 例4题图【思考】 利用图形的特点这朵花来打开解题之门.互相垂直的两向量,其数量积为零.;,B •PB DAAB •DA ••••••••••ABCD PA 排除平面图中⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥同理,排除•,⊥ C. ∵PA ⊥平面ABCD , ∴⊥，排除D ，选A.【点评】 可用反证法证明BD PC 与不垂直, 假定BD PC ⊥.∵PA ⊥平面ABCD , ∴AC BD ⊥, 四边形ABCD 是正方形, 这与题设AB ≠BC 矛盾.●对应训练1.若f (x )sin x 是周期为π的偶函数，则f (x )可以是①sin x , ②cos x ， ③cot x ， ④tan 2x中的( ) A.①② B.①④ C.③④ D.2.下列五个命题：①|a |=a 2; ②a b ab a =∙2; ③(a ·b )2=a 2·b 2; ④(a - b )2=a 2-2ab +b 2; ⑤若a ·b =0,则a =0或b =0.其中正确命题的序号是 （ ） A.①②③ B.①④ C.①③④ D.②⑤ 3.已知等比数列{a n }的公比为q ,下列命题正确的是 （ ）A.q >1, 则{a n }为递增数列B.0<q <1, 则{a n }为递减数列C.q <1, 则{a n }为无穷递减等比数列 D.●参考答案 1.D【思考】 利用选项的结构特点. 选项中有三项含①，故先检验①.设F (x )= f (x )sin x ， 如果f (x )=sin x ，则F (x )=sin 2x =21(1-cos2x ).∵cos2x (从而F (x ))是周期为πf (x )C(无须检验③)，如果f (x )= cos x ，则F (x )=sin x cos x =21sin2x 是周期为πA如果f (x )=tan2x =xx sin cos 1-，则F (x )=1-cos x 是周期为2π的偶函数，也与要求不符, 否定B.于是f (x )仅可以是①, 选D【点评】 排除法解选择题也要讲求效率，设法使工作量减到最少.2.B利用向量运算的性质. ∵a 与b 共线，其夹角为0.∴a 2=a ·a =|a ||a |cos0=|a |2.D ；设a ,b 夹角为θ. 则θθcos ||||||cos ||||22a b a b a a b a ==∙而向量运算中不含除法运算，a b，②不能成立，排除A ；若a ⊥b ，且a ≠ b ，则(a ·b )2=0而a 2·b 2≠0, ∴③不能成立，排除 C.3.D选用特殊值取. q =2>1时，a 1=-1<0, 则{a n }为递减数列，排除A ；当0<q =21<1时，若a 1=-1<0，则{a n }为递增数列，排除B ；取q =-2<1, a 1=1，则{a n }为摆动等比数列，排除C.第15计 驿站开门 望蜀得陇●计名释义一商人要去蜀国做生意，因栈道难行，结果到了陇西. 正当他发愁之时，来了一位远客，把他的货全部买走了. 商人大喜，对伙计们说，这客人说的蜀国话，赶快回关中运货去，我们还是按原计划去南蜀.等第二批货运到陇西时，又遇上这位客人. 一交谈，他没有把货运往南蜀，而是运往西域去了. 伙计们问商人：我们还是按原计划去南蜀吗？商人笑着说，“我们在这儿望望南蜀就行了.”接着在驿站里把生意做得火红.数学解题有时也遇上这种情景，原来计划的解题方案，在进行中遇到了一匹黑马，中途变阵之后，成果意外. 这时你不要埋怨原来的计划是错的：不“望蜀”，怎能“得陇”？●典例示范 【例1】图中，BC 1和DB 1分别是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的一条面对角线和体对角线. 例题图 试求它们的距离.【解答】 连A 1C 1、C 1B 和BA 1. 得边长为2的正三角形A 1C 1B .易知，体对角线DB 1过△A 1C 1B 的中心G . 易得GB =GC 1.再作BC 1的中点H . 猜想GH 是DB 1和BC 1的公垂线， 为此只须证明HG ⊥DB 1. 易知GB 1=33，HB 1=22 GH =31·2·6623= 例题解图 因为,223366222⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛所以GH ⊥GB 1 即GH ⊥DB 1.【说明】 此处证GH ⊥DB 1就是我们的“望蜀”，其实DB 1⊥面A 1BC 1，而GH 是面A 1BC 1中的线段，当然GH ⊥DB 1，由此我们“得陇”.【续解】 故HG 是BG 与DB 1的公垂线.且长度66为它们的距离. 【点评】 这两条对角线异面.在不知（或不易作出）它们的公垂线时，属于难题.解题的方法是按“定义”，用垂直相交法作辅助线（面）.●对应训练1.已知关于x 的一元二次方程a x 2+b x +c =0,其中a ，b ，c 是非零平面向量，且a 与b 不共线，则该方（ ）ABCD2.空间 （填：“存在”或“不存在”）这样的四个点A 、B 、C 、D ，使得AB=CD =8cm ，AC=BD =10cm ，AD=BC =13cm .●参考答案 1.D由于a 与b 不共线，所以可设c =m a +n b (其中m ，n ∈R )，代入方程a x 2+b x +c =0得a x 2+b x +(m a +n b )=0，即（x 2+m ) a +(x+n ) b =0,又a 与b 不共线，故有⎩⎨⎧=+=+,0,02n x m x即⎩⎨⎧-=-=,,2n x m x 显然，当m >0时，原方程无实数解；当n 2=-m ≥0时，⎩⎨⎧=+=+0,02n x m x 有一个实数解.故应选D.【说明】 此题容易简单想象成一元二次方程根的存在性问题，用判别式来判定，导致出现思维定势的错误.是书本知识的简单重复.基于此而创作了此题.2．要去寻找这样的点是很难叙述的.但我们可以虚拟一些特殊的图形去模拟运动，判断结果.细看题目有四个点，显然可以从四边形旋转所构成的三棱锥模型结构看一下这些长度关系是否合理，来得出需要的结论. 在空间中，分别以8、10、13为边长，作如图所示平面四边形，它由△ABC 和△BCD 组成，公共边为BC =13cm ，AC=BD =10cm ， AB=CD =8cm ，固定△ABC 所在的平面，令△BCD 绕着边BC 旋转.显然当D 位于 第2题解图△ABC 所在的平面时，AD 最大.由BC =13cm ，AC =10cm ，AB =8cm ，可得cos ∠BAC =-321,即可知∠BAC 是钝角，故对于平行四边形（即D 在平面ABC 内时）ABDC ，对角线AD 的长小于对角线BC 的长，即AD <BC =13cm.显然，当点D 不在面ABC 内时都有AD <BC =13cm .因此按题目要求分布的四个点是不可能的，故知题目要求的四个点不存在.【点评】 这是一个探索型开放题，其存在与否取决于分析的过程，该题题型无论从结论上还是从方法的探究上都具有一定的开放性，因此我们开始做它时，选定一个方向直奔过去，到那儿时才发现此路不通.第16计 摆渡开门 萍水相逢●计名释义有道数学题，求证π>25. 很多学生不知所措时，却有一学生说此题非常简单，不过需找个第三者. 现在他已经指定了一个第三者，就是整数3.因为π>3，又3>25，所以π>25. 这里的第三者，如同一个渡船，它能把“无关”的两岸经过自己连接起来.这就是数学上的“过渡法”，它是一个“三者牵线，截迂为直”的策略，在不等式中具体表现为传递法.过渡法所用的渡船形式多样，可以是参数，可以是图形，当然也可以是函数、方程、不等式等.●典例示范【例1】 已知曲线C ：12)3(6)1(22=++-y x ，求曲线C 关于直线x-y +1=0的对称曲线C 1的方程. 【分析】 一般解法为“轨迹转移法”：（1）设P （x, y )是C 1上的动点；（2）求出P （x, y )关于直线x-y +1=0的对称点Q （x ′, y ′)， (3)将Q 点坐标代入C 的方程；（4）用x ，y 表示x ′，y ′，即得C 1的方程. 此法甚繁，考虑到这里的对称轴直线的斜率为1，因此可以直接从中得到替换式.【解答】 由x-y +1=0得⎩⎨⎧+='-='11x y y x 代入C 的方程得.12)3(6)1(22=+'+-'y x。
用数字密码巧记三十六计(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】数字密码速记“三十六计”中国经典兵法成语三十六计里面有一计为大家所熟知：“三十六计走为上策”，但是大家是否知道这三十六计都是哪些呢，知道了你能记住吗？今天我就给大家介绍一个能让你倒背如流的记忆方法：数字密码来快速记忆三十六计。
现在我们就一起来学习这个方法吧！第一计：瞒天过海1的数字密码是“树”。
你要渡过一片大海，但你的船不能被天上的敌机发现，这时你想了一个好办法，用一棵大树顶在头上，偷偷地渡过了大海。
当你想到1的时候，就想到树，想到树的时候，就想到你用树瞒着天上的敌机，安全渡过大海，这就是“瞒天过海”。
第二计：围魏救赵2的数字密码是“鸭子”。
我们想象有一大群鸭子，里三层，外三层地团团围住一座城堡。
这座城堡叫做魏，由于魏家人把它们的旧照（救赵）给抢走了，那些勇敢的鸭子把魏家给围了起来，要求魏家人把旧照还给它们。
当你想到2的时候，就想到鸭子，鸭子在做什么呢？它们在“围魏救赵”。
第三计：借刀杀人3的数字密码是“耳朵”。
想象在战场上，有一个英雄借来了一把刀，去砍他的敌人，但没想到，却把自己的一只耳光砍掉了。
想到3就想到耳朵，借把刀来杀人却砍掉了自己的一只耳朵。
这就是“借刀杀人”的结果。
第四计：以逸待劳4的数字密码是“红旗”。
想象你拿了一面红旗，站在山顶上，大声对山脚下的朋友喊道：“你们谁先到山顶，我这面红旗就奖给谁！”说完后，你很悠闲地坐在山顶，等着他们喘着粗气跑上来。
当你想到4的时候就会想到红旗，你拿着红旗“以逸待劳”。
第五计：趁火打劫5的数字密码是“钩子”。
想象有一间珠宝店失火了，一个贼趁着别人都在救火的时候，用一只系着长绳的钩子去偷店里的珠宝。
这就是＂趁火打劫＂！第六计：声东击西6的数字密码是“勺子”。
想象你手上拿着一把很有魔力的勺子，当你在西边敲的时候，竟然在东边发出了声音。
当你想到６的时候，你就想到这个有着魔力的勺子，你拿着勺子＂声东击西＂。
第七计：无中生有7的数字密码是“拐杖”。
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1 1 1 1 1 1 + + + +L+ + 2 2 ，则 3 12 30 60 nC n −1 (n + 1)C n
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第1计
●计名释义
芝麻开门
点到成功
●典例示范 ［例题］ （2006 年鄂卷第 15 题）将杨辉三角中的每一个 数 C n 都换成分数
r
令 an =
n→∞
lim an =
.
长
［分析］ 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然 大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意. 莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点 的主意.
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用数字密码巧记三十六计
数字密码速记“三十六计”中国经典兵法成语三十六计里面有一计为大家所熟知：“三十六计走为上策”，但是大家是否知道这三十六计都是哪些呢，知道了你能记住吗？今天我就给大家介绍一个能让你倒背如流的记忆方法：数字密码来快速记忆三十六计。
现在我们就一起来学习这个方法吧！第一计：瞒天过海1的数字密码是“树”。
你要渡过一片大海，但你的船不能被天上的敌机发现，这时你想了一个好办法，用一棵大树顶在头上，偷偷地渡过了大海。
当你想到1的时候，就想到树，想到树的时候，就想到你用树瞒着天上的敌机，安全渡过大海，这就是“瞒天过海”。
第二计：围魏救赵2的数字密码是“鸭子”。
我们想象有一大群鸭子，里三层，外三层地团团围住一座城堡。
这座城堡叫做魏，由于魏家人把它们的旧照（救赵）给抢走了，那些勇敢的鸭子把魏家给围了起来，要求魏家人把旧照还给它们。
当你想到2的时候，就想到鸭子，鸭子在做什么呢？它们在“围魏救赵”。
第三计：借刀杀人3的数字密码是“耳朵”。
想象在战场上，有一个英雄借来了一把刀，去砍他的敌人，但没想到，却把自己的一只耳光砍掉了。
想到3就想到耳朵，借把刀来杀人却砍掉了自己的一只耳朵。
这就是“借刀杀人”的结果。
第四计：以逸待劳4的数字密码是“红旗”。
想象你拿了一面红旗，站在山顶上，大声对山脚下的朋友喊道：“你们谁先到山顶，我这面红旗就奖给谁！”说完后，你很悠闲地坐在山顶，等着他们喘着粗气跑上来。
当你想到4的时候就会想到红旗，你拿着红旗“以逸待劳”。
第五计：趁火打劫5的数字密码是“钩子”。
想象有一间珠宝店失火了，一个贼趁着别人都在救火的时候，用一只系着长绳的钩子去偷店里的珠宝。
这就是＂趁火打劫＂！第六计：声东击西6的数字密码是“勺子”。
想象你手上拿着一把很有魔力的勺子，当你在西边敲的时候，竟然在东边发出了声音。
当你想到６的时候，你就想到这个有着魔力的勺子，你拿着勺子＂声东击西＂。
第七计：无中生有7的数字密码是“拐杖”。
想象有个魔术师，忽然在空荡荡的手中变出了一根拐杖，这真是＂无中生有＂呀。
高考数学解题破题第36计 思想开门 人数灵通
因此它在∠C 的平分线上.于是在一般的情况下，点 G 应是△ABC 的内心.
【解答】 作△ABC 的∠A 和∠B 的
平分线相交于内心 G，如图（2）所示.
分别作 GA、GB、GC 的中点 A1、B1、C1.
△A1B1C1 为直三棱柱的一个底面.
过 A1，B1，C1 三点分别作对应边
的垂线（段），所得矩形为柱体的三个侧面.
3 5 3 1 25 ∴P=P(3)+P(2)+P(1)+P(0)= 16 + 32 + 16 + 4 = 32 .
【点评】 本题是以考生喜闻乐见的体育运动为背景的一种概率应用题，考查或然和必然 的思想. ●对应训练
1 1 1.函数 y=lg x 的定义域是：
(
)
A.{x|x<0}
B.{x|x>1}
可以与形成它的数学具体的知识相对分离. 而与人的灵性结合，形成人的自觉行为活动.
中学数学可以形成的思想（方法），公认的有七种，这七种思想首先要与人的灵性融合，反
过来，在解决数学问题时，又能使数学问题也具有灵性，从而达到人与数的沟通、实现“人
数合一”的思想境界.
●典例示范
【例 1】 有一个任意的三角形
ABC（材料），计划拿它制造一个
直三棱柱形的盒子（有盒盖）
，怎样设计尺寸（用虚线表示），
才能不浪费材料（图右上）？
例1图
【思考】 “任意”三角形属一般情况，
它的对立面是“特殊”的三角形.
我们先从正三角形考虑起.
假设这个尺寸如图（1）所示.
（1）三棱柱的底面 A1B1C1 的
中心 G 为原三角形的中心.
经过以上截取后，原△ABC 三个顶点
如何快速记忆三十六计之欧阳语创编
如何快速记忆三十六计1、瞒天过海：数字密码1代表树。
你要度过一片大海，打算坐船过往，但天上有很多敌方的飞机在监视你，假如你的船在海上被发现，敌人就会用炮弹来轰炸你。
这时你想了一个好办法，砍了很多树装饰在你的船上，让船看起来像一棵大树。
趁着敌机以为你是一棵大树的时候，偷偷地度过了大海。
当你想到的时候，就想到树，想到树的时候，会想到你用树瞒着天上的敌机，安全度过大海，就会想到“瞒天过海”。
2、围魏救赵：数字密码2代表的是什么？是鸭子。
请想象一下，有一大群鸭子，并且都是白色的鸭子，里三层，外三层地团团围住一座城堡。
这座城堡叫做魏国，由于魏国把赵国公主给抢走了，赵国那些勇敢的鸭子为了救公主，把魏国给围了起来，要求他们放出公主。
当你想到2的时候，会想到鸭子，鸭子在做什么呢？它们在“围魏救赵”。
3、借刀杀人：数字密码3代表耳朵。
在战场上，有一个英雄借来了一把刀，去砍他的敌人。
但没想到，他只把对方的耳光砍掉了。
有人借刀杀人却只砍了耳朵。
想到3的时候会想到耳朵，耳朵和借刀杀人有何联系呢？你一定能想到。
4、以逸待劳：数字密码4是红旗。
你拿了一面红旗，站在一座山的山顶上，大声对山脚下的朋友喊道：“你们谁先到山顶，我这面红旗就奖给谁！”说完后，你很悠闲地坐在山顶，等着他们喘着粗气跑上来。
当你想到4的时候就会想到红旗，你拿着红旗“以逸待劳”。
5、趁火打劫：数字密码5代表钩子。
想象有一间珠宝店失火了，一个贼趁着别人都在救火的时候，用一只系着长绳的钩子。
小心喽,有人拿着钩子＂趁火打劫＂！6、声东击西：数字密码６代表勺子。
想象你手上拿着一把很有魔力的大勺子，当你在西边敲的时候，竟然在东边发出了声音。
当你想到６的时候，你会想到有着魔力的勺子，你拿着勺子＂声东击西＂。
7、无中生有：数字密码7代表拐杖。
有个魔术师，忽然在空荡荡的手中变出了一根拐杖，这真是＂无中生有＂呀。
8、暗渡陈仓：数字密码８代表葫芦。
你在天色暗下来的时候，抱着一个大葫芦偷偷地渡过一个满是积水、陈旧不堪的仓库，你在暗渡陈仓。
如何快速记忆三十六计之欧阳科创编
如何快速记忆三十六计1、瞒天过海：数字密码1代表树。
你要度过一片大海，打算坐船过往，但天上有很多敌方的飞机在监视你，假如你的船在海上被发现，敌人就会用炮弹来轰炸你。
这时你想了一个好办法，砍了很多树装饰在你的船上，让船看起来像一棵大树。
趁着敌机以为你是一棵大树的时候，偷偷地度过了大海。
当你想到的时候，就想到树，想到树的时候，会想到你用树瞒着天上的敌机，安全度过大海，就会想到“瞒天过海”。
2、围魏救赵：数字密码2代表的是什么？是鸭子。
请想象一下，有一大群鸭子，并且都是白色的鸭子，里三层，外三层地团团围住一座城堡。
这座城堡叫做魏国，由于魏国把赵国公主给抢走了，赵国那些勇敢的鸭子为了救公主，把魏国给围了起来，要求他们放出公主。
当你想到2的时候，会想到鸭子，鸭子在做什么呢？它们在“围魏救赵”。
3、借刀杀人：数字密码3代表耳朵。
在战场上，有一个英雄借来了一把刀，去砍他的敌人。
但没想到，他只把对方的耳光砍掉了。
有人借刀杀人却只砍了耳朵。
想到3的时候会想到耳朵，耳朵和借刀杀人有何联系呢？你一定能想到。
4、以逸待劳：数字密码4是红旗。
你拿了一面红旗，站在一座山的山顶上，大声对山脚下的朋友喊道：“你们谁先到山顶，我这面红旗就奖给谁！”说完后，你很悠闲地坐在山顶，等着他们喘着粗气跑上来。
当你想到4的时候就会想到红旗，你拿着红旗“以逸待劳”。
5、趁火打劫：数字密码5代表钩子。
想象有一间珠宝店失火了，一个贼趁着别人都在救火的时候，用一只系着长绳的钩子。
小心喽,有人拿着钩子＂趁火打劫＂！6、声东击西：数字密码６代表勺子。
想象你手上拿着一把很有魔力的大勺子，当你在西边敲的时候，竟然在东边发出了声音。
当你想到６的时候，你会想到有着魔力的勺子，你拿着勺子＂声东击西＂。
7、无中生有：数字密码7代表拐杖。
有个魔术师，忽然在空荡荡的手中变出了一根拐杖，这真是＂无中生有＂呀。
8、暗渡陈仓：数字密码８代表葫芦。
你在天色暗下来的时候，抱着一个大葫芦偷偷地渡过一个满是积水、陈旧不堪的仓库，你在暗渡陈仓。
用数字密码巧记三十六计
数字密码速记“三十六计”中国经典兵法成语三十六计里面有一计为大家所熟知：“三十六计走为上策”，但是大家是否知道这三十六计都是哪些呢，知道了你能记住吗？今天我就给大家介绍一个能让你倒背如流的记忆方法：数字密码来快速记忆三十六计。
现在我们就一起来学习这个方法吧！第一计：瞒天过海1的数字密码是“树”。
你要渡过一片大海，但你的船不能被天上的敌机发现，这时你想了一个好办法，用一棵大树顶在头上，偷偷地渡过了大海。
当你想到1的时候，就想到树，想到树的时2赵”。
3到，这4“你当你想到5只系着长绳的钩子去偷店里的珠宝。
这就是＂趁火打劫＂！第六计：声东击西6的数字密码是“勺子”。
想象你手上拿着一把很有魔力的勺子，当你在西边敲的时候，竟然在东边发出了声音。
当你想到６的时候，你就想到这个有着魔力的勺子，你拿着勺子＂声东击西＂。
第七计：无中生有7的数字密码是“拐杖”。
想象有个魔术师，忽然在空荡荡的手中变出了一根拐杖，这真是＂无中生有＂呀。
第八计：暗渡陈仓8的数字密码是“葫芦”。
想象你在天色暗下来的时候，抱着一个大葫芦偷偷地渡过一个满是积水、陈旧不堪的仓库。
想到8的时候，就想到葫芦，你抱着葫芦“暗渡陈仓”。
第九计：隔岸观火9的数字密码是“猫”。
有一只又肥又大的猫，坐在一条水流很急的大河岸边，很悠闲地观看着对岸起火的屋子，说不定这把火正是那只肥猫放的。
想到9的时候，就想到猫，猫在那里“隔岸观火”。
10的时候，11121314到“借尸（匙）还魂”。
第十五计：调虎离山15的数字密码是“圆月”。
在一个月圆之夜，外星人用飞碟把一只老虎吊离了原来的山。
想到15时，会想到圆月，外星人在月圆之夜“调（吊）虎离山”。
第十六计：欲擒故纵16的数字密码是“玫瑰花”。
送玫瑰花给女孩子，要在弹玉琴（欲擒）、敲古钟（故纵）的美好音乐声中。
所以想到16，就想到玫瑰花，送玫瑰花要有“欲擒故纵（玉琴古钟）”的气氛。
1第十七计：抛砖引玉17的数字密码是“仪器”。
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第14计 鲜花开门 情有独钟
●计名释义
冬天的梅花，非常耀眼.其实，梅花开的并不艳丽，只是因为你喜欢她，所以才心明眼亮.如果到了百花盛开的春天，你能身在花丛眼不花，还能看到淡淡素素的梅花吗？
数学解题也经常遇到这种情景，有时已知条件非常之多，提供的信息诱惑也非常之泛.此时，你能“情有独钟”地筛选出你需要的她吗？
●典例示范
【例1】 P 点在平面内作匀速直线运动，
速度向量v =(4,-3).(P 点沿v 方向运动，每秒
移动的距离是|v |）.开始时P （-10，10），
求5秒后P 点的位置.
【分析】 本质是对P 点运动的速度向量
v =（4，3）的理解：因为P 点按匀速直线
运动，每秒位移是5.从速度分解观点看，
每秒P 向右移4，向下移3.
【解答】 5秒P 向右移20，下移15，
设P 点5秒后到P ′（x, y ).
x =-10+20=10, y =10-15=-5. 所以P ′（10，-5）. 例1题图
【点评】 这样解题很轻松，善于抓住数学本质的理性思维习惯是在学习数学的过程中累积形成的，而不是在“题海战术”式的“强化训练”、“大练兵”中形成的.
【插语】 如果不按上述方式，而是从寻找P P '=5v =(20,-15), 再求P O '=P O '+,P P ' 当然也能求出结果，但是并不省时间.众所周知，高考中的时间就是分数.
【例2】 （04·全国Ⅰ卷）函数y =1-x +1(x ≥1)的反函数是 ( )
A ．y =x 2-2x +2 (x <1)
B .y =x 2-2x +2(x ≥1)
C ．y =x 2-2x (x <1)
D .y =x 2-2x (x ≥1)
【解答】 本题的鲜花是利用互反函数的性质.原函数x ≥1时，y ≥1.∴反函数的定义域为
x ≥1，排除 A 、C .∵点（5，3）在f (x )的图象上，∴点（3，5）必在f -1 (x )的图象上，
而点（3，5）适合 B ，不适合 D ,∴选 B .
【点评】 与反函数有关的选择题，要注意利用其“定义域与值域互易，对应法则互逆，图象关于直线y=x 对称”等特点，前呼后拥.
【例3】 下列各式中，最小值为2的是 ( )
A ．45
22++x x B .b a b a +++2 C.b
a a
b + D.sin 1sin +x 【思考】 利用均值不等式“取等”的条件这朵鲜花去开门.用均值不等式求最值必须满足两个条件： （1）参与运算的量必须是正数；（2）只有当有关量可以“取等”时才有最值. ∵,2141
,24,41
445
222222≤+≥++++=++x •x •x x x x 而
故,41
422+≠+x x 故否定A ；当a,b 异号时，,0,0<<b
a •a
b 否定C ；当sin x <0时，亦有sin
1<0,否定D ； ∴选 B . 【点评】 可用直接法证明22min
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++b a b a ，∵b •a ,存在且在分母中出现，∴ab >0.又a+b +2=(a +1)+(b +1)≥2)(b a +，∴
b a b a +++2
≥2. 当且仅当a=b =1时22min
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++b a b a
【例4】 已知四边形ABCD
为矩形且AB ≠BC , P A ⊥平面ABCD , 连接
AC,BD,PB,PC ,PD , 则以下各组向量中,数量
积不为零的是 ( )
A ．与 B.与 C.与 D.与 例4题图
【思考】 利用图形的特点这朵花来打开解题之门.互相垂直的两向量,其数量积为零. ;,B •AB •
D A •ABCD PA 排除平面图中⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥ 同理,排除•,⊥ C. ∵P A ⊥平面ABCD , ∴⊥，排除D ，选 A.
【点评】 可用反证法证明与不垂直, 假定⊥.∵P A ⊥平面ABCD , ∴AC BD ⊥, 四边形ABCD 是正方形, 这与题设AB ≠BC 矛盾.
●对应训练
1.若f (x )sin x 是周期为π的偶函数，则f (x )可以是①sin x , ②cos x ， ③cot x ， ④tan 2x 中的 ( )
A.①②
B.①④
C.③④
D. ①
2.下列五个命题：①|a |=a 2; ②a b a
b a =∙2; ③(a ·b )2=a 2·b 2; ④(a - b )2=a 2-2ab +b 2; ⑤若a ·b =0,则a =0或b =0. 其中正确命题的序号是 （ ） A.①②③ B.①④ C.①③④ D.②⑤
3.已知等比数列{a n }的公比为q ,下列命题正确的是 （ ） A. 若q >1, 则{a n }为递增数列 B. 若0<q <1, 则{a n }为递减数列
C. 若q <1, 则{a n }为无穷递减等比数列
D. 以上都不对
●参考答案
1. D 【思考】 利用选项的结构特点. 选项中有三项含①，故先检验①. 设F (x )= f (x )sin x ， 如果f (x )=sin x ，则F (x )=sin 2x =2
1(1-cos2x ). ∵ cos2x (从而F (x ))是周期为π的偶函数， ∴f (x ) 可以是①，否定C(无须检验③)，如果f (x )= cos x ，则F (x )=sin x cos x =
21sin2x 是周期为π的奇函数，与要求不符，否定 A ；如果f (x )=tan 2x =x
x sin cos 1-，则F (x ) =1-cos x 是周期为2π的偶函数，也与要求不符, 否定B.于是f (x )仅可以是①, 选 D ．
【点评】 排除法解选择题也要讲求效率，设法使工作量减到最少.
2. B 利用向量运算的性质. ∵a 与b 共线，其夹角为0.∴a 2=a ·a =|a ||a |cos0=|a |2. ①正确排除D ；设a , b 夹角为θ. 则θθcos |||||
|cos ||||22a b a b a a b a ==∙而向量运算中不含除法运算，a
b ，②不能成立，排除A ；若a ⊥b ，且a ≠ b ，则(a ·b )2=0而a 2·b 2≠0, ∴③不能成立，排除 C. 3. D 选用特殊值取. q =2>1时，a 1=-1<0, 则{a n }为递减数列，排除A ；当0<q =
21<1时，若a 1=-1<0，则{a n }为递增数列，排除B ；取q =-2<1, a 1=1，则{a n }为摆动等比数列，排除
C.。