高中数学3.1.4《空间向量运算的正交分解及基坐标表示》课件(新人教A版选修2-1)
空间向量及其运算-共线与共面
复习问题引入
练习1、2
共面向量定 理
复习回顾: 1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行 向量． a 平行于 b 记作 a // b ． 规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
2.共线向量定理： 空间任意两个向量 a 、 ， b（ b ≠ 0 ）
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t AB ③ 注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定 .
OB 、 OC 为棱的平行六面 练习 1: 已知 OE 是以 OA 、 体 OADB─CFEG 的对角线,点 M 是 △ ABC 的重心. G 求证:点 M 在直线 OE 上. E
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A
O
l
a
BP
注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.
⑴∵ AP // a ,∴存在唯一实数 t R ,使 AP t a . ∴ 点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 AP t a ①
⑵对于任意一点 O,有 AP OP OA 则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t a ② ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB a
3.1.4《空间向量运算的 正交分解及基坐标表示》
教学目标
• ⒈理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向 量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出； • ⒉理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充 要条件； • ⒊会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题． • 教学重点：点在已知平面内的充要条件．共线、共面定理 及其应用． • 教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用． • 授课类型：新授课. • 课时安排：1课时.
C 在平面 内且 AB a , AC b ⑵∵已知点 B 、
∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP xAB yAC ②
C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ⑶∵已知点 B 、 ∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对 ( x, y), 使 OP OA xAB yAC ③
共线与共面分析
a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b . 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
那么如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A
l
aLeabharlann P注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.
思考
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
x2 y2 z2
2.角度的计算 已知 a ( x1 , y1 , z1 ) , b ( x2 , y2 , z2 ) 则 cos a , b
ab ab x1 x2 y1 y2 z1 z2 x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2
∴ OP (1 t )OA tOB ∵A 、 B、 P、 O 四点在同一个平面内,且 OP xOA yOB
∵ O 为直线 AB 外一点,∴ OA 、 OB 不共线
∴由平面向量基本定理可知 x 1 t , y t
∴ x y 1
反过来,如果已知 OP xOA yOB ,且 x y 1 , B、 P 三点共线吗? 那么 A 、
注:①、②、③式都称为平面的向量表示式, 即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
思考2
思考 2(课本 P95 思考) B、 C, 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A 、 满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 B、 C 是否共面? x y z 1 )的点 P 与点 A 、
学习共面
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
O
a a
A
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
2. 共面向量定理 : 如果两个向量 a 、 b 不共线 , 则向 量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
A a B
b
C
p
P
思考1
思考 1:如图,平面 为经过已知点 A 且平行两不共线
的非零向量 a 、 b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P P 呢? p C
b
⑴∵ AP与a 、b 共面, ∴ 唯一有序实数对 ( x, y),
O
A a B
使 AP xa yb .
∴点 P 在平面 上 ∴ 唯一有序实数对 ( x, y), 使 AP xa yb ①
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间向量类似于平面向量可以用坐标表示, 而且也类似于平面向量可以用坐标 来进行各种运算及进行有关判断. 如: 1.长度的计算
已知 a ( x, y, z ) ,则 a
分析: 证三点共线可 尝试用向量来分析.
O
C
B
F
M
O
A
D
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB ，求 x y 的值.
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB ，求 x y 的值. 解:∵ A 、 B、 P 三点共线,∴ t R ,使 OP OA t AB
引入
知识要点
练习1
练习2
练习 3
本课小结
z
以 i , j , k 为单位正交基底
P ( x, y, z )
k
z
建立空间直角坐标系O—xyz
p xi y j zk
i , j , k 为基底 ( x, y, z ) p
x
i
O
y
j
y 记
p ( x, y, z )
x
OP ( x, y, z ) P( x, y, z )
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人教A版高中数学选修2-1课件3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
[解题过程] ∵O→G＝O→A＋A→G，而A→G＝23A→D，A→D＝O→D －O→A，
又D为BC中点． ∴O→D＝12(O→B＋O→C)， ∴O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A) ＝O→A＋23×12(O→B＋O→C)－23O→A＝13(O→A＋O→B＋O→C) ＝13(a＋b＋c)．
1．对基底的理解 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基 底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底惟一表示． (2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共 面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0. (3)空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空 间向量构成；一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关 联的不同概念．
∴m＝17，n＝－5，z＝－30.
∴O→P ＝17O→A －5O→B －30O→C .
[题后感悟] 判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为 基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常 用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．
2.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一 个基底，给出下列向量组：
①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}；④{a，x，y}； ⑤{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间基底的向量组有( )
A．1个
B．2个
C．3个D．4个
解析： 如图所示，设 a＝A→B，b＝A→A1，
c＝A→D ，则 x＝A→B1，y＝A→D1，z＝A→C，
a＋b＋c＝A→C1，由 A、B1、C、D1 四点 不共面，
1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的 一组向量是( )
A．2a，a－b，a＋2b
【数学】3.1.4《空间向量运算的正交分解及基坐标表示》课件(新人教A版选修2-1)
3.1.4《空间向量运算的 正交分解及基坐标表示》
教学目标 教学目
• ⒈理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向 量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出； • ⒉理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充 要条件； • ⒊会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题． • 教学重点：点在已知平面内的充要条件．共线、共面定理 教学重点： 及其应用． • 教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用． 教学难点： • 授课类型：新授课. 授课类型： • 课时安排：1课时. 课时安排：
空间向量类似于平面向量可以用坐标表示, 空间向量类似于平面向量可以用坐标表示, 而且也类似于平面向量可以用坐标 来进行各种运算及进行有关判断. 来进行各种运算及进行有关判断. 1.长度的计算 如: 1.长度的计算 r r 已知 a = ( x , y , z ) ,则 a = x 2 + y 2 + z 2
练习 2: 0, ⑴已知 A（ 2, 3)、B（− 2,1, 6), C (1, −1, 5) , 7 3 则 △ ABC 的面积 S=_____.
2
r r r r 2 ⑵ a = ( x , 2,1) , b = ( −3, x , −5) 且 a 与 b 的夹角为 5 钝角， 钝角，则 x 的取值范围为 ( − 1, ) . 2
r uuu r r ⑴∵ AP a、 共面, 与 b共面,
r uuu r uuur r ⑵∵已知点 B 、 在平面 α 内且 AB = a , AC = b C
r uuu r r 唯一有序实数对 有序实数 使 AP = xa + yb . ∴ ∃ 唯一有序实数对 (x, y), uuu r r r O 唯一有序实数对 有序实数 P ∴点 P 在平面 α 上 ⇔ ∴ ∃ 唯一有序实数对 (x, y),使 A = xa+yb①
教学目标 教学目
• ⒈理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向 量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出； • ⒉理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充 要条件； • ⒊会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题． • 教学重点：点在已知平面内的充要条件．共线、共面定理 教学重点： 及其应用． • 教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用． 教学难点： • 授课类型：新授课. 授课类型： • 课时安排：1课时. 课时安排：
空间向量类似于平面向量可以用坐标表示, 空间向量类似于平面向量可以用坐标表示, 而且也类似于平面向量可以用坐标 来进行各种运算及进行有关判断. 来进行各种运算及进行有关判断. 1.长度的计算 如: 1.长度的计算 r r 已知 a = ( x , y , z ) ,则 a = x 2 + y 2 + z 2
练习 2: 0, ⑴已知 A（ 2, 3)、B（− 2,1, 6), C (1, −1, 5) , 7 3 则 △ ABC 的面积 S=_____.
2
r r r r 2 ⑵ a = ( x , 2,1) , b = ( −3, x , −5) 且 a 与 b 的夹角为 5 钝角， 钝角，则 x 的取值范围为 ( − 1, ) . 2
r uuu r r ⑴∵ AP a、 共面, 与 b共面,
r uuu r uuur r ⑵∵已知点 B 、 在平面 α 内且 AB = a , AC = b C
r uuu r r 唯一有序实数对 有序实数 使 AP = xa + yb . ∴ ∃ 唯一有序实数对 (x, y), uuu r r r O 唯一有序实数对 有序实数 P ∴点 P 在平面 α 上 ⇔ ∴ ∃ 唯一有序实数对 (x, y),使 A = xa+yb①
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件新人教A版选修2
学习课件
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表 示课件新人教A版选修2
3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
跟踪训练 2 如图，已知正方体 ABCD－A′B′C′D′， 点 E 是上底面 A′B′C′D′的中心，分别取向量A→B，A→D，A→A′ 为基底，若
(1)BD→′＝xA→D＋yA→B＋zAA→′； (2)A→E＝xA→D＋yA→B＋zA→A′. 试分别确定 x，y，z 的值．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你 们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐 对身体不好哦~
Hale Waihona Puke 结束语同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油!奥利给~
法一：如图所示，
∵M→N＝M→A＋A→P ＋P→N
＝－12A→B＋A→P＋12P→C ＝－12A→B＋A→P＋12(P→A＋A→C) ＝－12A→B＋A→P＋12(P→A＋A→B＋A→D) ＝12A→D＋12A→P＝12e2＋12e3， ∴M→N＝0，12，12.
法二：如图所示， 连接 AC，BD 交于点 O.则 O 为 AC，BD 的中点， 连接 MO，ON， ∴M→O＝12B→C＝12A→D，O→N＝12A→P， ∴M→N＝M→O＋O→N＝12A→D＋12A→P＝12e2＋12e3. ∴M→N＝0，12，12.
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表 示课件新人教A版选修2
3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
跟踪训练 2 如图，已知正方体 ABCD－A′B′C′D′， 点 E 是上底面 A′B′C′D′的中心，分别取向量A→B，A→D，A→A′ 为基底，若
(1)BD→′＝xA→D＋yA→B＋zAA→′； (2)A→E＝xA→D＋yA→B＋zA→A′. 试分别确定 x，y，z 的值．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你 们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐 对身体不好哦~
Hale Waihona Puke 结束语同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油!奥利给~
法一：如图所示，
∵M→N＝M→A＋A→P ＋P→N
＝－12A→B＋A→P＋12P→C ＝－12A→B＋A→P＋12(P→A＋A→C) ＝－12A→B＋A→P＋12(P→A＋A→B＋A→D) ＝12A→D＋12A→P＝12e2＋12e3， ∴M→N＝0，12，12.
法二：如图所示， 连接 AC，BD 交于点 O.则 O 为 AC，BD 的中点， 连接 MO，ON， ∴M→O＝12B→C＝12A→D，O→N＝12A→P， ∴M→N＝M→O＋O→N＝12A→D＋12A→P＝12e2＋12e3. ∴M→N＝0，12，12.
新人教A版数学选修2-1课件：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
方法技巧 (1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和 平行四边形法则,以及数乘向量的运算进行.
(2)若没给定基底时,首先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方 便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.
即时训练 2-1:(1)在空间四边形 ABCD 中,AC 和 BD 为对角线,G 为△ABC 的重心,E
注意:(1)若p=xa+yb+zc,则xa+yb+zc叫做向量a,b,c的线性表示式或线性 组合,或者说p可以由a,b,c线性表示. (2)对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面外,还应明确以下三点:① 空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.②基底中的三 个向量a,b,c都不是0.这是因为0与任意向量共线,与任意两个向量共面. ③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的,是一个向量组,基向 量是指基底中的某一个向量,两者是相关联的不同概念.
解析: OA =2a+b+3c=8i+4j+2j+3k+9k-3j=8i+3j+12k. 所以点 A 的坐标为(8,3,12).故选 D.
4.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz中x轴,y轴,z轴正方向上的单位向量,
且向量p=i-3j+ 1 k,则p的坐标为
.
2
答案:(1,-3,1 )
2
5.从空间一点 P 引出三条射线 PA,PB,PC,在 PA,PB,PC 上分别取 PQ =a, PR =b,
使得p=xa+yb+zc.
(2)空间向量基本定理的证明
如图,已知 a,b,c 不共面,过点 O 作 OA =a, OB =b, OC =c, OP =p.过点 P 作直线 PP′∥OC,交平面 OAB 于点 P′,在平面 OAB 内过点 P′作 P′A′∥OB,P′B′∥ OA,分别与直线 OA,OB 交于点 A′,B′,连接 OP′.于是存在三个实数 x,y,z,使
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(共20张ppt) .ppt
不是零向量 C．若向量ar ⊥ br ，则ar ，br 与任何一个向量都不能构
成空间的一个基底
D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底
4．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点， 且OuuAr＝ar ，OuuBr＝br ，OuuCr＝cr ，用ar ，br ，cr 表示向量MuuNr为 ( C )
单位向量 我们称它们为单位正交基底，
以er1，er 2，er 3的公共起点O为原点， 分别以er1，er 2，er 3的方向为x轴，y轴，z轴的正
方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么对于空间
任意一个向量pr ，一定可以把它平移，使它的
uur 起点与原点O重合，得到向量OP
=
pr .由
空间向量基本定理可知，存在有序实数组 {x，y，z}，使得pr ＝xer1＋yer 2＋zer 3 我们把x，y，z称作向量pr 在单位正交基底er1，er 2，er 3 下的坐标，记作pr =(x，y，z). 此时向量pr 的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz
探究点1 空间向量基本定理
rrr
如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，
且有公共起点O.对于空间任意一个向量pr
=
uur OP,
rr
设点Q为点P在i,j所确定的平面上的正投影，
由平uur面r 向量基本定理可知，
z
在OQ,k所确定的平面上，
uur uur r
存在实数z，使得OP = OQ + zk,
中的坐标 x,y,z.
由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量
都可以用三个不共面的向量表示出来.
例1.如图，M，N分别是四面体OABC的
边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.
成空间的一个基底
D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底
4．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点， 且OuuAr＝ar ，OuuBr＝br ，OuuCr＝cr ，用ar ，br ，cr 表示向量MuuNr为 ( C )
单位向量 我们称它们为单位正交基底，
以er1，er 2，er 3的公共起点O为原点， 分别以er1，er 2，er 3的方向为x轴，y轴，z轴的正
方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么对于空间
任意一个向量pr ，一定可以把它平移，使它的
uur 起点与原点O重合，得到向量OP
=
pr .由
空间向量基本定理可知，存在有序实数组 {x，y，z}，使得pr ＝xer1＋yer 2＋zer 3 我们把x，y，z称作向量pr 在单位正交基底er1，er 2，er 3 下的坐标，记作pr =(x，y，z). 此时向量pr 的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz
探究点1 空间向量基本定理
rrr
如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，
且有公共起点O.对于空间任意一个向量pr
=
uur OP,
rr
设点Q为点P在i,j所确定的平面上的正投影，
由平uur面r 向量基本定理可知，
z
在OQ,k所确定的平面上，
uur uur r
存在实数z，使得OP = OQ + zk,
中的坐标 x,y,z.
由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量
都可以用三个不共面的向量表示出来.
例1.如图，M，N分别是四面体OABC的
边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(共20张)
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
共线向量定理: 共面向量定理:
平面向量基本定理：
y 平面向量的正交分解及坐标表示
o
x
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决 一些几何问题.（重点）
2.用基底表示已知向量.(难点) 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 4.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系
每一个成功者都有一个开始.勇于开始， 才能找到成功的路.
中写出向量的坐标.
z
k
P
Oj
y
i
x
Q
O M
A
Q
C
P
N
B
O M
A
Q
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
N
B
A
C
B
C
(1,1，－1) (－1,0,1)
1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用 它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何 问题的基本要求.
2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关 的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目 标进行调整,直到符合要求.
共线向量定理: 共面向量定理:
平面向量基本定理：
y 平面向量的正交分解及坐标表示
o
x
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决 一些几何问题.（重点）
2.用基底表示已知向量.(难点) 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 4.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系
每一个成功者都有一个开始.勇于开始， 才能找到成功的路.
中写出向量的坐标.
z
k
P
Oj
y
i
x
Q
O M
A
Q
C
P
N
B
O M
A
Q
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
N
B
A
C
B
C
(1,1，－1) (－1,0,1)
1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用 它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何 问题的基本要求.
2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关 的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目 标进行调整,直到符合要求.
高中数学人教A版选修2-1课件： 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
BC的中点, P,Q是MN的三等分点.用向量OA,OB,OC
表示OP和OQ.
O
解 OP OM MP 1 OA 2 MN M
1 OA 2
2 ON OM
3
Q
23AΒιβλιοθήκη 1 OA 2 [1 (OB OC) 1 OA]
P
C
N
2
32
2
B
1 OA 1 OB 1 OC 1 OA 2333
2 ON OM
3
Q
23
A
1 OA 12 [1 (OB OC) 1 OA]
P
C
N
2
32
2
B
1 OA 1 OB 1 OC 1 OA
2
63
36
36
3.116
1 OA 1 OB 1 OC
36
63
36
1空.平间面向量的坐标表示
如图,在直角坐标系内,我们分别取与x轴、y轴方、向z轴相方同向
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
的两三个单位向量 i、 j 作、为k 基作底为, 基底,
任何一个向 量 a , 由 空平间面 向量基本定理知, y
有且只有一 对组 实数 x、y, z, 使得
a xi y j zk ············向量表示
高二数学空间向量运算的正交分解及基坐标表示
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t a ② ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB a 则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t AB ③ 注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定 .
学习共面
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
O
a a
A
2. 共面向量定理 : 如果两个向量 a 、 b 不共线 , 则向 量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
O i
j
y
y 记 p ( x, y, z )
x
OP ( x, y, z ) P( x, y, z )
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间向量类似于平面向量可以用坐标表示, 而且也类似于平面向量可以用坐标 来进行各种运算及进行有关判断. 如: 1.长度的计算 已知 a ( x, y, z ) ,则 a x 2 y 2 z 2
⑶正方体 A1 B1C1 D1 ─ABCD 的棱长为 2, E 、F 分别是 C1C 、 D1 A1 的中点 , 求点 A 到直线 EF 的 174 距离. 6
练习 3: ⑴在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中 ,
E 、F 分别是 BB1 、 CD 的中点,
D1 A1 D A F B B1 E
又A D A E= A , D1F 平面ADE .
学习共面
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
O
a a
A
2. 共面向量定理 : 如果两个向量 a 、 b 不共线 , 则向 量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
O i
j
y
y 记 p ( x, y, z )
x
OP ( x, y, z ) P( x, y, z )
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间向量类似于平面向量可以用坐标表示, 而且也类似于平面向量可以用坐标 来进行各种运算及进行有关判断. 如: 1.长度的计算 已知 a ( x, y, z ) ,则 a x 2 y 2 z 2
⑶正方体 A1 B1C1 D1 ─ABCD 的棱长为 2, E 、F 分别是 C1C 、 D1 A1 的中点 , 求点 A 到直线 EF 的 174 距离. 6
练习 3: ⑴在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中 ,
E 、F 分别是 BB1 、 CD 的中点,
D1 A1 D A F B B1 E
又A D A E= A , D1F 平面ADE .
【全程复习方略】高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示名师课件 新人教A版选修2-1
【题型示范】
类型一 基底的概念
【典例1】
(1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底.给出
下列向量组:
①{a,b,x};②{x,y,z};
③{b,c,z};④{x,y,a+b+c}.
其中可以作为空间的基底的向量组有
一种运算法则?可构造哪一种空间图形来表示对应向量,从而说
明向量是否共面? 2.题(2)中若要判断向量 OuuAur，OuuB共ur，Ou面uCur需满足的关系式是什 么?
【探究提示】1.由x=a+b,y=b+c,z=c+a可联想到向量运算的平
行四边形法则,可利用长方体中的有向线段表示对应向量.
2.若向量 OuuAur，OuuBur共，Ouu面Cur ,则有
【微思考】 (1)在空间几何图形中建立空间直角坐标系的关键是什么? 提示:关键是利用几何图形特征,尽量寻找三条两两垂直且交于 一点的直线,若找不到则应想法构建. (2)同一个几何体中的点在不同的空间直角坐标系下坐标是否 相同? 提示:由于建立的坐标系不同,从而各点在不同的坐标系下坐标 不一定相同,但本质是一样的.
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
1.空间向量基本定理是什么?利用单位正交基底是如 问题 何定义空间直角坐标系的? 引航 2.满足哪些条件的向量能作为基底?空间向量基本定
理与平面向量基本定理有哪些异同?
1.空间向量的分解 (1)条件:i,j,k是空间三个__两__两__垂__直_的向量. (2)结论:对空间任一向量p,存在一个有序实数组{x,y,z},使 得p=xi+yj+zk,我们称__x_i,_y_j_,_z_k_为向量p在i,j,k上的分向量. 2.空间向量基本定理 (1)条件:向量a,b,c_不__共__面__. (2)结论:对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得 p=_x_a_+_y_b_+_z_c_.
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件新人教A版选修2_1
【做一做 2】 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若������������ = 3i, ������������ =
2j, ������������1 = 5k,则������������1 = ( )
A.i+j+k
B. 1 ������ + 1 ������ + 1 ������
325
C.3i+2j+5k D.3i+2j-5k
我们把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作 p=(x,y,z).
知识梳理
【做一做1】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的 一组基底的是( )
A. ������������, ������������, ������������B. ������������, ������������1, ������������1 C. ������1������1, ������1������1, ������1������D. ������������1, ������1������, ������������1 解析:只有C选项中的三个向量是不共面的,可以作为一组基底. 答案:C
k,b=-2i+4j+2k,则向量a,b的坐标分别是
.
答案:(3,2,-1),(-2,4,2)
1.空间向量基本定理的证明
重难聚焦
剖析:(1)存在性:分四步,如图所示.
①平移:设 a,b,c 不共面,过点 O作������������ =a, ������������ =b, ������������ =c, ������������ =p; ②平行投影:过点 P 作直线 PP'∥OC,交平面 OAB 于点 P',在平