2015年北京西城高三二模数学(理科)试题及答案
2015西城区高三二模数学(理科)
2015西城区高三二模数学（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A={x|x﹣1＞0}，集合B={x|x≤3}，则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（1，3]C．[1，3） D．[﹣1，3]2．（5分）已知平面向量，，，=（﹣1，1），=（2，3），=（﹣2，k），若（+）∥，则实数k=（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣83．（5分）设命题p：函数f（x）=e x﹣1在R上为增函数；命题q：函数f（x）=cos（x+π）为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧（￢q）4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n∈{1，2，3}，则输出的s属于（）A．{1‚2}B．{1‚3}C．{2‚3}D．{1‚3‚9}5．（5分）某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x 满足函数关系y=4x2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3 B．4 C．5 D．66．（5分）数列{a n}为等差数列，满足a2+a4+…+a20=10，则数列{a n}前21 项的和等于（）A．B．21 C．42 D．847．（5分）若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜3 C．a＞4 D．a＜48．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=，BC=AA1=1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（）A． B． C．D．1二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数=．10．（5分）双曲线C：﹣=1的离心率为；渐近线的方程为．11．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则；cos2α=．12．（5分）如图，P为⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，且PC=2PA，D为线段PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若PB=，则PA=；AD•DE=．13．（5分）现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种．（用数字作答）14．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．16．（13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a=b=3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a=1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（14分）如图，在边长为4 的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）当a=﹣时，求 f （x）的单调区间；（2）当a＞0时，证明：存在实数m＞0，使得对于任意的实数x，都有|f（x）|≤m成立．19．（14分）设F1，F2分别为椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E 的上顶点，且|AB|=2．（1）若椭圆E 的离心率为，求椭圆E 的方程；（2）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线F2P与y 轴相交于点Q，若以PQ 为直径的圆经过点F1，证明：|OP|＞．20．（13分）无穷数列P：a1，a2，…，a n，…，满足a i∈N*，且a i≤a i+1（i∈N*），对于数列P，记T k （P）=min{n|a n≥k}（k∈N*），其中min{n|a n≥k}表示集合{n|a n≥k}中最小的数．（Ⅰ）若数列P：1‚3‚4‚7‚…，写出T1（P），T2（P），…，T5（P）；（Ⅱ）若T k（P）=2k﹣1，求数列P 前n项的和；（Ⅲ）已知a20=46，求s=a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）的值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．【解答】由A中不等式解得：x＞1，即A=（1，+∞），∵B=（﹣∞，3]，∴A∩B=（1，3]．故选：B．2．【解答】∵=（﹣1，1），=（2，3），∴+=（1，4），若（+）∥，则，即k=﹣8，故选：D．3．【解答】命题p：函数f（x）=e x﹣1在R上为增函数，为真命题，则￢p为假命题，命题q：函数f（x）=cos（x+π）=﹣cosx为偶函数，故q为假命题，则￢为真命题，∴p∧q为假命题，￢p∨q为假命题，￢p∧￢q为假命题，p∧￢q为真命题．故选：D．4．【解答】由程序框图可得，当n的值为1时，不满足条件n＞2，可得n=3，满足条件n＞2，计算并输出s=1；当n的值为2时，不满足条件n＞2，可得n=9，满足条件n＞2，计算并输出s=2；当n的值为3时，满足条件n＞2，计算并输出s=1；综上，输出的s∈{1‚2}．故选：A．5．【解答】解法一，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）===4x+，其中x＞0；∵x＞0，∴4x+≥2=32，当且仅当4x=，即x=4时，取“=”；∴当x=4时，该设备的年平均花费最低．解法二，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）==，其中x＞0；设t=，∴4x2﹣tx+64=0，∴△=t2﹣4×4×64≥0，解得t≥32或t≤﹣32（不和题意，舍去），当t=32时，x==4，∴x=4时，该设备的年平均花费最低．故选：B．6．【解答】根据题意，得10=a2+a4+…+a20=a2+a20+a4+a18+…+a10+a12=10a11，∴a11=1，∴S21=a1+a21+a2+a20+…+a10+a12+a11=21a11=21，故选：B．7．【解答】若2x＞a﹣x，即2x+x＞a；设f（x）=2x+x，该函数为增函数；根据题意“不等式2x+x＞a成立，即f（x）＞a成立”能得到“x＞1”，并且反之不成立；∵x＞1时，f（x）＞3；∴a＞3．故选A．8．【解答】由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，易知∠B1AC1=∠C1AC=30°，AM=，可知MQ⊥AC时，MP+PQ的最小，最小值为：=．故选：C．二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分）9．【解答】=．故答案为：1+3i．10．【解答】∵双曲线的方程是﹣=1，∴a2=8，b2=4，∴c2=a2+b2=12，∴a=2，b=2，c=2，∴离心率为e==，渐近线的方程为y=±x，故答案为：，y=±x．11．【解答】∵角α的终边经过点（﹣3，4），则x=﹣3，y=4，r=|OP|=5，∴cosα==﹣cos2α=2cos2α﹣1=﹣，故答案为：﹣；﹣．12．【解答】∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，PB=，∴PA2=•2PA，∴PA=；∵PA2=PB•PC，PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB ， ∴PB=BD ，∴BD•DC=PB•2PB ， ∵AD•DE=BD•DC ， ∴AD•DE=2PB 2=． 故答案为：，．13．【解答】分类讨论，甲站第2个位置，则乙站4，5，6中的一个位置，不同的排法有=72种；甲站第3个位置，则乙站1，5，6中的一个位置，不同的排法有=72种； 甲站第4个位置，则乙站1，2，6中的一个位置，不同的排法有=72种； 甲站第5个位置，则乙站1，2，3中的一个位置，不同的排法有=72种，故共有72+72+72+72=288． 故答案为：288．14．【解答】当0≤x ≤arctan2时，f （x ）==；当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）=S 矩形OABM ﹣S △OME =2﹣=2﹣；当x=时，f （x ）=2；当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）=2﹣． 当π﹣arctan2＜x ≤π时，f （x ）=4﹣=4+．于是可得：①==，正确； ②对任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4用换元法，以x 代替﹣x ，可得：f （x ）+f （π﹣x ）=4， 因此，故②正确； ③不妨设x 1＜x 2，则＜0⇔f （x 1）＞f （x 2），显然不正确．综上只有：①②正确．故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得=，∴sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA=，∴角A=．（Ⅱ）锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a2=7=c2+9﹣6c•cos，解得c=1 或c=2．当c=1时，cosB==﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c=2时，△ABC 的面积为bc•sinA=•3•2•=．16．【解答】（Ⅰ）根据茎叶图，可得甲组数据的平均数为=24，乙组数据的平均数为=26.5，甲型号电视机的“星级卖场”数量为m=5，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n=5，所以m=n；（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X的分布列为：∴Eξ=0×+1×+2×=1．（Ⅲ）若a=1，b=0时，s2达到最小值．17．【解答】（1）证明：∵DE⊥BE，BE∥DC，∴DE⊥DC，∵A1D⊥DC，A1D∩DE=D，∴DC⊥平面A1DE，∴DC⊥A1E，∵A1E⊥DE，DC∩DE=D，∴A1E⊥平面BCDE；（2）解：由题意，以EB，ED，EA1分别为x，y，z轴，建立坐标系，则DE=2，A1（0，0，2），B（2，0，0），C（4，2，0），D（0，2，0），∴=（﹣2，0，2），=（2，2，0），平面A1BE的一个法向量为=（0，1，0），设平面A1BC的一个法向量为=（x，y，z），则，∴=（﹣，1，﹣），∴cos＜，＞=，∴二面角E﹣A1B﹣C的余弦值为﹣；（3）解：在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC，设P（t，0，0）（0≤t≤2），则=（t，0，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面A1DP的法向量为=（a，b，c），则，∴=（2，，t），∵平面A1DP⊥平面A1BC，∴﹣2+﹣t=0，∴t=﹣3，∵0≤t≤2，∴在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC．18．【解答】（1）当a=﹣时，f（x）=；f（x）的定义域为{x|x≠±2}；；∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣2，2），（2，∞）上单调递减；∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，2），（2，+∞）；（2）证明：当a＞0时，f（x）=的定义域为R；f′（x）=，令f′（x）=0得：，；∴f（x）在（﹣∞，x1]，[x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减；又f（1）=0，当x＜1时，f（x）；当x＞1时，f（x）＜0；∴x≤1时，0≤f（x）≤f（x1）；x＞1时，f（x2）≤f（x）＜0；记M=max{|f（x1）|，|f（x2）|}，其中max{|f（x1）|，|f（x2）|}表示两数|f（x1）|，|f（x2）|中最大的数；综上，当a＞0时，存在实数m∈[M，+∞），使得对任意的实数x，不等式|f（x）|≤m恒成立．19．【解答】（1）设c=，由题意可得a2+b2=4，且e==，解得a=，b=1，c=，则椭圆方程为+y2=1；（2）证明：a2+b2=4，则椭圆E：+=1，F1（﹣c，0），F2（c，0），c==，设P（x0，y0），则x 0≠c，直线F1P的斜率=，直线F 2P的斜率为=，直线F2P：y=（x﹣c），当x=0时，y=﹣，即Q（0，﹣），F 1Q的斜率为=，以PQ 为直径的圆经过点F1，即有F 1P⊥F1Q，即有•=•=﹣1，化简可得y02=x02﹣（2a2﹣4）①又P为E上一点，在第一象限内，则+=1，x0＞0，y0＞0，②由①②解得x0=a2，y0=2﹣a2，即有|OP|2=x02+y02=（a2﹣2）2+2，由a2+b2=4＜2a2，即a2＞2，则有|OP|＞．20．【解答】（Ⅰ）∵数列P：1‚3‚4‚7‚…，即从第三项起每项是前两项的和，∴T1（P）=1，T2（P）=2，T3（P）=2，T4（P）=3，T5（P）=4；（Ⅱ）∵T k（P）=2k﹣1，∴T1（P）=1，T2（P）=3，T3（P）=5，T4（P）=7，…∵T2（P）=3，且T k（P）=min{n|a n≥k}（k∈N*），∴a3≥2，且a2＜2，同理，由T3（P）=5，且T k（P）=min{n|a n≥k}（k∈N*），得a5≥3，a4＜3，以此类推，得a7≥4，a6＜4；…；a2n﹣1≥n，a2n﹣2＜n；…∵a i≤a i+1（i∈N*），a i∈N*，∴a1=a2=1，a3=a4=2，…，a2n﹣1=a2n=n，…当n为奇数时，a1+a2+a3+…+a n=2（1+2+…+）+=，当n为偶数时，a1+a2+a3+…+a n=2（1+2+…+）=，∴数列{a n}前n项的和S n=；（Ⅲ）考查符合条件的数列P中，，若存在某个i（1≤i≤19）满足a i≤a i+1对应可得T k（P），及s=a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）．∵T k（P）=min{n|a n≥k}（k∈N*），∴（P）=i+1，下面将数列P略作调整，仅将第a i的值增加1，具体如下：将a j′=a j+1，对于任何j（j≠1）令a j′=a j，可得数列P′及其对应数列T k（P′），根据数列T k（P′）的定义，可得（P′）=i，且T j（P′）=T j（P）（j≠a i+1）．显然（P′）=（P）﹣1，∴s′=a1′+a2′+…+a20′+T1（P′）+T2（P′）+…+T46（P′）=a 1+a2+…+a i﹣1+（a i+1）+a i+1+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+（﹣1）++…+T46（P）=a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）=s，即调整后s′=s．如果数列{a n′}还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，最终一定可以经过有限次的操作，使得{a n}中的每一项变为相等，且操作中保持s的值不变，而当a1=a2=…=a20=46时，T1（P）=T2（P）=…=T46（P）=1，∴s=a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）=46×20+46=966．。
北京各区2015届高三二模理科数学分类汇编(三角)
北京各区二模理科数学分类汇编三角(2015届西城二模)11．已知角α的终边经过点（－3，4），则cos α＝ ；cos 2α＝ ．答案：257,53-- (2015届西城二模)15．（本小题满分13 分）在锐角△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a，b ＝3，32sin sin 7=+A B ．（Ⅰ） 求角A 的大小； （Ⅱ） 求△ABC 的面积．（Ⅰ）解：在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b AB=， ……………… 2分得3sin sin AB=3sin B A =， ……………… 3分sin B A +=，解得sin 2A =……………… 5分因为ABC ∆为锐角三角形，所以π3A =. ……………… 6分 （Ⅱ）解：在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=， ……………… 8分得219726c c+-=，即2320c c -+=，解得1c = 或 2c =. ……………… 10分当1c =时，因为222cos 2014c b Baca +-==-<， 所以角B 为钝角，不符合题意，舍去. ……………… 11分当2c =时，因为222cos 20c b B aca +-==>，且b c >，b a >， 所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC ∆的面积11sin 3222S bc A ==⨯⨯. ……………… 13分(2015届海淀二模)答案：B(2015届海淀二模)（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为a A =， 所以22222b c a a bc+-=. ………………3分因为 5c =，b =所以23404930a a +-⨯=.解得：3a =，或493a =-（舍）. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：cos 3A ==.所以21cos 22cos 13A A =-=. ………………9分 因为3a =，5c =，b =，所以2221cos 23a cb B ac +-==. ………………11分所以cos2cos A B =. ………………12分 因为 c b a >>，所以 (0,)3A π∈.因为 (0,)B ∈π，所以2B A ∠=∠. ………………13分另解：因为(0,)A ∈π，所以sin 3A ==.由正弦定理得：sin 3B = 所以sin 3B =.所以sin 22sin 333A B =⨯==. ………………12分 因为 c b a >>，所以 (0,)3A π∈，(0,)2B π∈.所以 2B A ∠=∠. ………………13分(2015届东城二模) （1）23sin()6π-=（C ） （A）-（B ）12-（C ）12（D(2015届东城二模) （15）（本小题共13分）已知函数2sin 22sin ()sin x x f x x-=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及其最大值；（Ⅱ）求()f x 在(0,π)上的单调递增区间．（15）（共13分）解：（Ⅰ）由sin 0x ≠，得xk k ≠π(∈)Z ．所以()f x 的定义域为{|}x x k k ∈≠π,∈R Z ． …………………2分因为2sin 22sin ()sin x x f x x-=，2cos 2sin x x =-)4x π=+， …………………6分所以()f x的最大值为 …………………7分（Ⅱ）函数cos y x =的单调递增区间为[22k k π+π,π+2π]（k ∈Z ）由224k x k ππ+π≤+≤π+2π，x k k ≠π(∈)Z ，且(0,x ∈π)，所以()f x 在(0,π)上的单调递增区间为3[,4ππ)． ……13分(2015届昌平二模) 11. 在ABC ∆中，若a =b =5π6B ∠=，则边c =__________. 答案：1(2015届昌平二模) 15. (本小题满分13分) 已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x ωϕωϕπ=+>><∈R 的部分图象如图所示. （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()()()123g x f x f x ππ=+-+ 的单调递增区间.解：（I ）由题意可知，2A =,39412T π=，得T =π,2T ωπ==π，解得2=ω.()2sin(2)233f ϕππ=⨯+=， 即2232k k ϕππ+=+π,∈Z ，||2ϕπ<，所以 6ϕπ=-，故()2sin(2)6f x x π=-. ……………7分(II)ππππ()2sin(2(+)-)-2sin(2(+)-)12636g x x x =π2sin2-2sin(2+)2=2sin22cos2)4x x x -x =x =π-由222,242k x k k πππ-+π≤-≤+π∈Z,,88k x k k π3π-+π≤≤+π∈Z. 故()g x 的单调递增区间是[,],88k k k π3π-+π+π∈Z..……………13分(2015届丰台二模)15.（本小题共13分） 在△ABC 中，30A ︒=，52=BC ，点D 在AB 边上，且BCD ∠为锐角，2CD =，△BCD 的面积为4．（Ⅰ）求cos BCD ∠的值； （Ⅱ）求边AC 的长． 15.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为1sin 42BCDS BC CD BCD ∆=⋅⋅∠=， 所以552sin =∠BCD ．因为BCD ∠为锐角，所以cos BCD∠==． ……………………6分 （Ⅱ）在BCD ∆中，因为BCD BC CD BC CD DB∠⋅⋅-+=cos 2222，所以4=DB ． 因为222BC CD DB=+，所以︒=∠90CDB ．所以ACD ∆为直角三角形． 因为30A ︒=，所以24AC CD ==，即4AC =． ……………………13分。
北京各区2015届高三二模理科数学分类汇编(概率统计)
北京各区二模理科数学分类汇编概率统计(2015届西城二模)16．（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a ＝b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：根据茎叶图，得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=，………1分乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=. …………2分由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数5m=，………………3分乙型号电视机的“星级卖场”的个数5n=，所以m n=. ………………4分（Ⅱ）解：由题意，X的所有可能取值为0，1，2，………………5分且0255210C C2(0)C9P X===，1155210C C5(1)C9P X===，2055210C C2(2)C9P X===，…………8分所以X的分布列为：X0 1 2P295929………………9分所以252()0121999E X=⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：当b=0时，2s达到最小值．………………13分(2015届海淀二模)答案：A(2015届海淀二模)（16）（共13分）解：（Ⅰ）20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9．………………3分（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．………………4分73 5 5 284 5 519 7 8 乙甲()21222033095C P X C ===；()1112822048195C C P X C ===；()2822014295C P X C ===；………………10分 （Ⅲ）略. ………………13分 评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议.(2015届东城二模) （4）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（B ）（A ）12x x >，12s s < （B ）12x x =，12s s <（C ）12x x =，12s s = （D ）12x x <，12s s >(2015届东城二模) （16）（本小题共13分）某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；（Ⅱ）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望．（16）（共13分）解：（Ⅰ）设事件A 为“甲同学选中C 课程”，事件B 为“乙同学选中C 课程”．则1223C 2()C 3P A ==，2435C 3()C 5P B ==． 因为事件A 与B 相互独立，所以甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率为224()()()()[1()]3515P AB P A P B P A P B ==-=⨯=． …………………4分（Ⅱ）设事件C 为“丙同学选中C 课程”．1=6,a则2435C 3()C 5P C ==．X 的可能取值为：0,1,2,3．1224(0)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． (1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2221321232035535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． (2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2322231333335535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 23318(3)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． X 为分布列为：420331814028()0123757575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯==．………13分(2015届昌平二模) 5. 在篮球比赛中，某篮球队队员投进三分球的个数如表所示：右图是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球总数s A. 6i < B. 7i < C. 8i < D. 9i <(2015届昌平二模) 16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.（I ） 求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率； （III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ.16. (本小题满分13分)解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”． 由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人． 则12()105m P A +==． 解得 3m =．所以1n =． …………… 4分（II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分 （III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3． 由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ，37310357(3)12024C P C ====ξ． 所以ξ的分布列为所以 012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分(2015届丰台二模) 16.（本小题共13分）长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．（Ⅰ）请根据样本数据，估计A ，B 两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A 班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从A 班、B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望ξE ．(2015届昌平二模) 16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）. （I ） 求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率；（III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ. 解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．A 班B 班 0 1 2 39 1 0 73 41 1 62 57由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人． 则12()105m P A +==． 解得 3m =．所以1n =． …………… 4分（II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分 （III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3． 由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ，37310357(3)12024C P C ====ξ． 所以ξ的分布列为 所以1721721012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分。
北京市西城区2015年高三二模理综试卷及答案详解
2．下图为苯丙氨酸部分代谢途径示意图。苯丙酮尿症是由于苯丙氨酸羟化酶基因突变所致。 患者的苯丙氨酸羟化酶失活，苯丙氨酸转化为酪氨酸受阻，组织细胞中苯丙氨酸和苯丙 酮酸蓄积，表现为智力低下、毛发与皮肤颜色较浅等症状。下列分析错．误．的是（ ）
A．一个基因可能会影响多个性状表现 B．生物的一个性状只受一个基因的控制 C．基因可通过控制酶的合成控制代谢过程，进而控制性状 D．在婴幼儿时期限制对苯丙氨酸的摄入可缓解患者的病症
可能用到的相对原子质量： H1 N14 O16 Mg24 Si28
选择题（共 20 题 每小题 6 分 共 120 分）
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．下列有关细胞的叙述错．误．的是（ ）
A．大肠杆菌基因的转录仅发生在拟核区 B．蓝藻没有叶绿体，但可以进行光合作用 C．乳酸菌与醋酸杆菌异化作用类型不同 D．酵母菌的细胞核和线粒体内可进行 DNA 复制
品红溶液褪色
结论
氧化性： Cl2 Br2 l2
H 的浓度是影响反应 速率的唯一因素 蔗糖水解产物没有还 原性
气体中含有 Cl2
12．恒温慢容下，向 2L 密闭容器中加入 MgSO4 (s) 和 (CO)(g) ，发生反应：
MgSO4 (s) CO(g)
MgO(s) CO2 (g) SO2 (g)
B．向硫酸铝溶液中加入氨水制备氢氧化铝： Al3
3NH2
H2O
AlOH 3
3NH4
C．铁在潮湿的环境中生锈： 3Fe 4H2O Fe3O4 4H2
D．二氧化氮溶于水有硝酸生成： 3NO2 H2O 2HNO3 NO
9． 下列说法不．正．确．的是 A．为除去 FeSO4 溶液中的 Fe2 (SO4 )3 ，可加入铁粉，再过滤 B．为除去溴苯中的溴，可用 NaOH 溶液洗涤，再分液 C．为除去乙炔气中少量的 H2S ，可使其通过 CuSO4 溶液 D．为除去 CO2 中少量 SO2 ，可使其通过饱和 Na2CO 溶液
北京市西城区2015届高三二模理科综合试卷
北京市西城区2015年高三二模试卷理科综合能力测试2015.5本试卷分为选择题和非选择题两个部分，选择题1-5页，非选择题6-16页，共300分．考试时长150分钟．考生务必将答案填写在答题卡上和答题纸的相应区域内，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷及答题卡和答题纸一并交回．可能用到的相对原子质量：Mg24 Si28 H1 N14 O16一、选择题（共20题每小题6分共120分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．下列有关细胞的叙述错误的是（）A．大肠杆菌基因的转录仅发生在拟核区B．蓝藻没有叶绿体，但可以进行光合作用C．乳酸菌与醋酸杆菌异化作用类型不同D．酵母菌的细胞核和线粒体内可进行复制DNA2．下图为苯丙氨酸部分代谢途径示意图。
苯丙酮尿症是由于苯丙氨酸羟化酶基因突变所致。
患者的苯丙氨酸羟化酶失活，苯丙氨酸转化为酪氨酸受阻，组织细胞中苯丙氨酸和苯丙酮酸蓄积，表现为智力低下、毛发与皮肤颜色较浅等症状。
下列分析错误的是（）A．一个基因可能会影响多个性状表现B．生物的一个性状只受一个基因的控制C．基因可通过控制酶的合成控制代谢过程，进而控制性状D．在婴幼儿时期限制对苯丙氨酸的摄入可缓解患者的病症3．为研究交感神经和副交感神经对心脏的支配作用，分别测定狗在正常情况、阻断副交感神经和阻断交感神经后的心率，结果如下表所示。
下列分析错误的是（）A．副交感神经兴奋引起心脏搏动减慢B．对心脏支配占优势的是副交感神经C．交感神经和副交感神经的作用是相互协同的D．正常情况下，交感神经和副交感神经均可检测到膜电位变化4．下图是生物甲与生物乙的种群数量变化曲线，下列分析正确的是（）A．有生物乙时，甲的数量在第6周时达到值KB．生物甲与生物乙之间的关系是互利共生C．无生物乙时，生物甲的种群数量呈指数增长D．无生物乙时，周生物甲种群出生率大于死亡率1 35．下列与实验相关的叙述不正确的是（）A．培养小鼠胚胎细胞时，原代培养和传代培养均可出现接触抑制B．调查群落中土壤动物类群丰度和种群密度时，宜用标志重捕法C．制备单克隆抗体时，需诱导经免疫的细胞与骨髓癌细胞融合BD．植物组织培养时，在接种前对外植体进行消毒处理可减少污染6．下列物质与危险化学品标志的对应关系不正确．．．的是7A．煤的干馏和煤的液化均是物理变化B．海水淡化的方法有蒸馏法、电渗析法等C．天然纤维和合成纤维的主要成分都是纤维素D．用活性炭为糖浆脱色和用次氯酸盐漂白纸浆的原理相同8．下列解释事实的化学方程式不正确．．．的是△A．金属钠在空气中加热，生成淡黄色固体：2Na＋O2 === Na2O2B．向硫酸铝溶液中加入氨水制备氢氧化铝：Al3+＋3NH3•H2O=Al(OH)3↓＋3NH4+ C．铁在潮湿的环境中生锈：3Fe＋4H2O= Fe3O4＋4H2↑D．二氧化氮溶于水有硝酸生成：3NO2＋H2O=2HNO3＋NO9．下列说法不正确．．．的是A．为除去FeSO4溶液中的Fe2(SO4)3，可加入铁粉，再过滤B．为除去溴苯中的溴，可用NaOH溶液洗涤，再分液C．为除去乙炔气中少量的H2S，可使其通过CuSO4溶液D ．为除去CO 2中少量的SO 2，可使其通过饱和Na 2CO 3溶液10．电化学气敏传感器可用于监测环境中NH 3的含量，其工作原理示意图如下。
北京市西城区2015届高三二模理科综合试卷(扫描版).pdf
生物答案解析 【考点】真核细胞与原核细胞的区别 【解析】 A选项考查大肠杆菌基因转录的场所，大肠杆菌的基因除在拟核区外，质粒中也有基因，所以大肠杆菌基因转录的场所在拟核区和质粒。
A错误 蓝藻为原核生物，无叶绿体但含有光合色素能进行光合作用。
B正确 异化作用是将自身有机物分解成无机物，并释放能量的过程，分为需氧型和厌氧型。
乳酸菌异化作用类型为厌氧性，醋酸杆菌异化作用类型为需氧型。
C正确 酵母菌为真核生物，DNA分布在细胞核和线粒体中，并能完成复制过程。
D正确 2． 【答案】B 【考点】信息提取，基因与性状的关系 【解析】 由题知，苯丙氨酸羟化酶基因突变，会导致苯丙酮尿症；苯丙氨酸羟化酶失活，苯丙氨酸转化为酪氨酸受阻，苯丙氨酸和苯丙酮酸蓄积，表现智力低下，毛发与皮肤颜色较浅等症状。
一个基因确实可以影响多个性状表现。
A正确 由题知，苯丙氨酸羟化酶基因突变，最终会使毛发与皮肤颜色较浅等症状，由图知，若控制酪氨酸酶的基因突变同样会使黑色素减少，出现毛发与皮肤颜色较浅等症状，所以不是一个性状只受一个基因控制。
B错误 苯丙氨酸羟化酶基因突变，苯丙氨酸羟化酶失活，苯丙氨酸转化为酪氨酸受阻，苯丙氨酸和苯丙酮酸蓄积，表现智力低下，毛发与皮肤颜色较浅等症状。
表明基因可以通过控制酶的合成控制代谢，进而控制性状。
C正确 苯丙氨酸羟化酶基因突变，苯丙氨酸羟化酶失活，苯丙氨酸转化为酪氨酸受阻，苯丙氨酸和苯丙酮酸蓄积，表现智力低下，毛发与皮肤颜色较浅等症状。
所以如果婴儿期限制对苯丙氨酸的摄入，苯丙氨酸和苯丙酮酸蓄积减少，可缓解患者的病症。
D正确 3． 【答案】C 【考点】信息提取 【解析】 由图知，阻断副交感神经心率大幅度提高，说明副交感神经对心脏搏动起抑制作用。
A正确由图知，阻断副交感神经心率大幅度提高。
阻断交感神经心率降低的变化并不明显。
B正确 阻断副交感神经，心率大幅度提高，说明副交感神经对心脏搏动起抑制作用。
阻断交感神经心率降低，说明交感神经对心脏搏动起促进作用。
2015年北京市西城区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2015年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A＝{x|x﹣1＞0}，集合B＝{x|x≤3}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．（1，3]C．[1，3）D．[﹣1，3] 2．（5分）已知平面向量，，，＝（﹣1，1），＝（2，3），＝（﹣2，k），若（+）∥，则实数k＝（）A．4B．﹣4C．8D．﹣83．（5分）设命题p：函数f（x）＝e x﹣1在R上为增函数；命题q：函数f（x）＝cos（x+π）为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧（￢q）4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n∈{1，2，3}，则输出的s属于（）A．{1‚2}B．{1‚3}C．{2‚3}D．{1‚3‚9} 5．（5分）某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系y＝4x2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3B．4C．5D．66．（5分）数列{a n}为等差数列，满足a2+a4+…+a20＝10，则数列{a n}前21 项的和等于（）A．B．21C．42D．847．（5分）若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞4D．a＜48．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（）A．B．C．D．1二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数＝．10．（5分）双曲线C：﹣＝1的离心率为；渐近线的方程为．11．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则cosα；cos2α＝．12．（5分）如图，P为⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，且PC＝2P A，D为线段PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若PB＝，则P A＝；AD•DE＝．13．（5分）现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种．（用数字作答）14．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA 出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S＝f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）＝；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）＝4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a ＝，b＝3，sin B+sin A＝2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．16．（13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a＝b＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（14分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）＝，其中a∈R．（1）当a＝﹣时，求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，证明：存在实数m＞0，使得对于任意的实数x，都有|f（x）|≤m成立．19．（14分）设F1，F2分别为椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|＝2．（1）若椭圆E的离心率为，求椭圆E的方程；（2）设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：|OP|＞．20．（13分）无穷数列P：a1，a2，…，a n，…，满足a i∈N*，且a i≤a i+1（i∈N*），对于数列P，记T k（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），其中min{n|a n≥k}表示集合{n|a n≥k}中最小的数．（Ⅰ）若数列P：1‚3‚4‚7‚…，写出T1（P），T2（P），…，T5（P）；（Ⅱ）若T k（P）＝2k﹣1，求数列P前n项的和；（Ⅲ）已知a20＝46，求s＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）的值．2015年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A＝{x|x﹣1＞0}，集合B＝{x|x≤3}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．（1，3]C．[1，3）D．[﹣1，3]【解答】解：由A中不等式解得：x＞1，即A＝（1，+∞），∵B＝（﹣∞，3]，∴A∩B＝（1，3]．故选：B．2．（5分）已知平面向量，，，＝（﹣1，1），＝（2，3），＝（﹣2，k），若（+）∥，则实数k＝（）A．4B．﹣4C．8D．﹣8【解答】解：∵＝（﹣1，1），＝（2，3），∴+＝（1，4），若（+）∥，则，即k＝﹣8，故选：D．3．（5分）设命题p：函数f（x）＝e x﹣1在R上为增函数；命题q：函数f（x）＝cos（x+π）为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧（￢q）【解答】解：命题p：函数f（x）＝e x﹣1在R上为增函数，为真命题，则￢p为假命题，命题q：函数f（x）＝cos（x+π）＝﹣cos x为偶函数，故q为假命题，则￢为真命题，∴p∧q为假命题，￢p∨q为假命题，￢p∧￢q为假命题，p∧￢q为真命题．故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的n∈{1，2，3}，则输出的s属于（）A．{1‚2}B．{1‚3}C．{2‚3}D．{1‚3‚9}【解答】解：由程序框图可得，当n的值为1时，不满足条件n＞2，可得n＝3，满足条件n＞2，计算并输出s ＝1；当n的值为2时，不满足条件n＞2，可得n＝9，满足条件n＞2，计算并输出s ＝2；当n的值为3时，满足条件n＞2，计算并输出s＝1；综上，输出的s∈{1‚2}．故选：A．5．（5分）某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系y＝4x2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：解法一，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）＝＝＝4x+，其中x＞0；∵x＞0，∴4x+≥2＝32，当且仅当4x＝，即x＝4时，取“＝”；∴当x＝4时，该设备的年平均花费最低．解法二，根据题意，得；该设备所花费的年平均费用为f（x）＝＝，其中x＞0；设t＝，∴4x2﹣tx+64＝0，∴△＝t2﹣4×4×64≥0，解得t≥32或t≤﹣32（不和题意，舍去），当t＝32时，x＝＝4，∴x＝4时，该设备的年平均花费最低．故选：B．6．（5分）数列{a n}为等差数列，满足a2+a4+…+a20＝10，则数列{a n}前21 项的和等于（）A．B．21C．42D．84【解答】解：根据题意，得10＝a2+a4+…+a20＝a2+a20+a4+a18+…+a10+a12＝10a11，∴a11＝1，∴S21＝a1+a21+a2+a20+…+a10+a12+a11＝21a11＝21，故选：B．7．（5分）若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞4D．a＜4【解答】解：若2x＞a﹣x，即2x+x＞a；设f（x）＝2x+x，该函数为增函数；根据题意“不等式2x+x＞a成立，即f（x）＞a成立”能得到“x＞1”，并且反之不成立；∵x＞1时，f（x）＞3；∴a＞3．故选：A．8．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为（）A．B．C．D．1【解答】解：由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，易知∠B1AC1＝∠C1AC＝30°，AM ＝，可知MQ⊥AC时，MP+PQ的最小，最小值为：＝．故选：C．二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数＝1+3i．【解答】解：＝．故答案为：1+3i．10．（5分）双曲线C：﹣＝1的离心率为；渐近线的方程为y＝±x．【解答】解：∵双曲线的方程是﹣＝1，∴a2＝8，b2＝4，∴c2＝a2+b2＝12，∴a＝2，b＝2，c＝2，∴离心率为e＝＝，渐近线的方程为y＝±x，故答案为：，y＝±x．11．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则cosα﹣；cos2α＝﹣．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣3，4），则x＝﹣3，y＝4，r＝|OP|＝5，∴cosα＝＝﹣cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣，故答案为：﹣；﹣．12．（5分）如图，P为⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，且PC＝2P A，D为线段PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若PB＝，则P A＝；AD•DE＝．【解答】解：∵P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴P A2＝PB•PC，∵PC＝2P A，PB＝，∴P A2＝•2P A，∴P A＝；∵P A2＝PB•PC，PC＝2P A，∴P A＝2PB，∴PD＝2PB，∴PB＝BD，∴BD•DC＝PB•2PB，∵AD•DE＝BD•DC，∴AD•DE＝2PB2＝．故答案为：，．13．（5分）现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 288 种．（用数字作答）【解答】解：分类讨论，甲站第2个位置，则乙站4，5，6中的一个位置，不同的排法有＝72种；甲站第3个位置，则乙站1，5，6中的一个位置，不同的排法有＝72种；甲站第4个位置，则乙站1，2，6中的一个位置，不同的排法有＝72种；甲站第5个位置，则乙站1，2，3中的一个位置，不同的排法有＝72种， 故共有72+72+72+72＝288．故答案为：288．14．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记∠AOP 为x （x ∈[0，π]），OP 所经过正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积S ＝f （x ），那么对于函数f （x ）有以下三个结论：①f （）＝；②任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）＝4；③任意x 1，x 2∈（，π），且x 1≠x 2，都有＜0． 其中所有正确结论的序号是 ①② ．【解答】解：当0≤x ≤arctan2时，f （x ）＝＝； 当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）＝S 矩形OABM ﹣S △OME ＝2﹣＝2﹣； 当x ＝时，f （x ）＝2； 当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）＝2﹣．当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）＝4﹣＝4+．于是可得：①＝＝，正确；②对任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）＝4用换元法，以x代替﹣x，可得：f（x）+f（π﹣x）＝4，因此，故②正确；③不妨设x1＜x2，则＜0⇔f（x1）＞f（x2），显然不正确．综上只有：①②正确．故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a ＝，b＝3，sin B+sin A＝2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）锐角△ABC中，由条件利用正弦定理可得＝，∴sin B＝3sin A，再根据sin B+sin A＝2，求得sin A＝，∴角A＝．（Ⅱ）锐角△ABC中，由条件利用余弦定理可得a2＝7＝c2+9﹣6c•cos，解得c＝1 或c＝2．当c＝1时，cos B＝＝﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c＝2时，△ABC的面积为bc•sin A＝•3•2•＝．16．（13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a＝b＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图，可得甲组数据的平均数为＝24，乙组数据的平均数为＝26.5，甲型号电视机的“星级卖场”数量为m＝5，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n＝5，所以m＝n；（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，X的分布列为：∴Eξ＝0×+1×+2×＝1．（Ⅲ）若a＝1，b＝0时，s2达到最小值．17．（14分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：∵DE⊥BE，BE∥DC，∴DE⊥DC，∵A1D⊥DC，A1D∩DE＝D，∴DC⊥平面A1DE，∴DC⊥A1E，∵A1E⊥DE，DC∩DE＝D，∴A1E⊥平面BCDE；（2）解：由题意，以EB，ED，EA1分别为x，y，z轴，建立坐标系，则DE＝2，A1（0，0，2），B（2，0，0），C（4，2，0），D（0，2，0），∴＝（﹣2，0，2），＝（2，2，0），平面A1BE的一个法向量为＝（0，1，0），设平面A1BC的一个法向量为＝（x，y，z），则，∴＝（﹣，1，﹣），∴cos＜，＞＝，∴二面角E﹣A1B﹣C的余弦值为﹣；（3）解：在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC，设P（t，0，0）（0≤t≤2），则＝（t，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），设平面A1DP的法向量为＝（a，b，c），则，∴＝（2，，t），∵平面A1DP⊥平面A1BC，∴﹣2+﹣t＝0，∴t＝﹣3，∵0≤t≤2，∴在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC．18．（13分）已知函数f（x）＝，其中a∈R．（1）当a＝﹣时，求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，证明：存在实数m＞0，使得对于任意的实数x，都有|f（x）|≤m成立．【解答】解：（1）当a＝﹣时，f（x）＝；f（x）的定义域为{x|x≠±2}；；∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣2，2），（2，∞）上单调递减；∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，2），（2，+∞）；（2）证明：当a＞0时，f（x）＝的定义域为R；f′（x）＝，令f′（x）＝0得：，；∴f（x）在（﹣∞，x1]，[x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减；又f（1）＝0，当x＜1时，f（x）；当x＞1时，f（x）＜0；∴x≤1时，0≤f（x）≤f（x1）；x＞1时，f（x2）≤f（x）＜0；记M＝max{|f（x1）|，|f（x2）|}，其中max{|f（x1）|，|f（x2）|}表示两数|f（x1）|，|f（x2）|中最大的数；综上，当a＞0时，存在实数m∈[M，+∞），使得对任意的实数x，不等式|f（x）|≤m恒成立．19．（14分）设F1，F2分别为椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|＝2．（1）若椭圆E的离心率为，求椭圆E的方程；（2）设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：|OP|＞．【解答】解：（1）设c＝，由题意可得a2+b2＝4，且e＝＝，解得a＝，b＝1，c＝，则椭圆方程为+y2＝1；（2）证明：a2+b2＝4，则椭圆E：+＝1，F1（﹣c，0），F2（c，0），c＝＝，设P（x0，y0），则x 0≠c，直线F1P的斜率＝，直线F 2P的斜率为＝，直线F2P：y＝（x﹣c），当x＝0时，y＝﹣，即Q（0，﹣），F 1Q的斜率为＝，以PQ为直径的圆经过点F1，即有F 1P⊥F1Q，即有•＝•＝﹣1，化简可得y02＝x02﹣（2a2﹣4）①又P为E上一点，在第一象限内，则+＝1，x0＞0，y0＞0，②由①②解得x0＝a2，y0＝2﹣a2，即有|OP|2＝x02+y02＝（a2﹣2）2+2，由a2+b2＝4＜2a2，即a2＞2，则有|OP|＞．20．（13分）无穷数列P：a1，a2，…，a n，…，满足a i∈N*，且a i≤a i+1（i∈N*），对于数列P，记T k（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），其中min{n|a n≥k}表示集合{n|a n≥k}中最小的数．（Ⅰ）若数列P：1‚3‚4‚7‚…，写出T1（P），T2（P），…，T5（P）；（Ⅱ）若T k（P）＝2k﹣1，求数列P前n项的和；（Ⅲ）已知a20＝46，求s＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵数列P：1‚3‚4‚7‚…，即从第三项起每项是前两项的和，∴T1（P）＝1，T2（P）＝2，T3（P）＝2，T4（P）＝3，T5（P）＝4；（Ⅱ）∵T k（P）＝2k﹣1，∴T1（P）＝1，T2（P）＝3，T3（P）＝5，T4（P）＝7，…∵T2（P）＝3，且T k（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），∴a3≥2，且a2＜2，同理，由T3（P）＝5，且T k（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），得a5≥3，a4＜3，以此类推，得a7≥4，a6＜4；…；a2n﹣1≥n，a2n﹣2＜n；…∵a i≤a i+1（i∈N*），a i∈N*，∴a1＝a2＝1，a3＝a4＝2，…，a2n﹣1＝a2n＝n，…当n为奇数时，a1+a2+a3+…+a n＝2（1+2+…+）+＝，当n为偶数时，a1+a2+a3+…+a n＝2（1+2+…+）＝，∴数列{a n}前n项的和S n＝；（Ⅲ）考查符合条件的数列P中，若存在某个i（1≤i≤19）满足a i≤a i+1，对应可得T k（P），及s＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）．∵Tk（P）＝min{n|a n≥k}（k∈N*），∴（P）＝i+1，下面将数列P略作调整，仅将第a i的值增加1，具体如下：将a j′＝a j+1，对于任何j（j≠1）令a j′＝a j，可得数列P′及其对应数列T k（P′），根据数列Tk（P′）的定义，可得（P′）＝i，且T j（P′）＝T j（P）（j ≠a i+1）．显然（P′）＝（P）﹣1，∴s′＝a1′+a2′+…+a20′+T1（P′）+T2（P′）+…+T46（P′）＝a 1+a2+…+a i﹣1+（a i+1）+a i+1+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+（﹣1）+ +…+T46（P）＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）＝s，即调整后s′＝s．如果数列{a n′}还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，最终一定可以经过有限次的操作，使得{a n}中的每一项变为相等，且操作中保持s的值不变，而当a1＝a2＝…＝a20＝46时，T1（P）＝T2（P）＝…＝T46（P）＝1，∴s＝a1+a2+…+a20+T1（P）+T2（P）+…+T46（P）＝46×20+46＝966．。
2015高三数学理科西城二模解析
π π f x f x =4 2 2
③显然 f x 是增函数，所以
故选①②
注：第 10，11，12 题第一问 2 分，第二问 3 分；第 14 题多选、漏选或错选均不得分．
又因为 A1 E ⊥ DE ， DC DE D ， 所以 A1 E ⊥ 平面 BCDE 4分
⑵ 解 ： 因 为 A1 E ⊥ 平 面 BCDE ， DE ⊥ BE ， 所 以 A1 E，DE ，BE 两 两 垂 直 ， 以
EB ，ED ，EA1 分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴，如图建立空间直角坐标系， 5 分
2 0 2 1 C5 C5 2 C0 2 C1 5 5C5 5 C5 P ( X 2) ， ， P ( X 1) ， 2 2 2 C10 9 C10 9 C10 9
……8 分
所以 X 的颁布列为：
X P
0
2 9
1
5 9
2
2 9
5 2 所以 E ( X ) 0 1 2 1 ． 9 9 9
x2 2x 4 1 4 1 x 2 4
2
1分
x 1 3 1 4 1 x 2 4
2 2
求导，得 f x
0，
4分
2 ， 所以函数 f x 在区间 ， 2 ，2 ， 2 ， 上单调递减．5 分
5.
64 4 x 2 64 64 ， 即x4 当且仅当 4 x 4x 2 4 64 32 ， x x x
6.
(a1 a21 ) 21 21 ，所以选 B. 2
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北京市西城区2015 年高三二模试卷
数学（理科）2015.5
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至6 页，共150 分．考试时
长120 分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷
和答题纸一并交回．
1．设集合，集合，则A B ＝（）
A．（－1‚ 3）B．（1‚ 3］C．［1‚ 3）D．（－1‚ 3］
2．已知平面向量，则
实数k ＝（）
A．4 B．－4 C．8 D．－8
3．设命题p ：函数在R上为增函数；命题q：函数为奇函数．则下列命题中真命题是（）
4．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s属于（）
A． {1‚ 2}B．{1‚ 3}C．{2 ‚ 3}D．{1‚ 3‚ 9}
5．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x
满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为
（）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（）A．B．21 C．42D．84
7．若“ x ＞1 ”是“不等式成立”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．a ＞3 B．a ＜3 C．a ＞4 D．a ＜4
8．在长方体，点M 为AB1 的中点，点P 为对
角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P ，Q可以重合），则MP＋PQ 的最
小值为（）
第Ⅱ卷（非选择题共110 分）
二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
9．复数＝＿＿＿＿
10．双曲线C ：的离心率为；渐近线的方程为．
11．已知角α的终边经过点（－3，4），则cosα＝；cos 2α＝．12．如图，P 为O 外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC 与O 相交于点B 、C ，
且PC ＝2P A ，D 为线段PC 的中点，AD 的延长线交O 于点 E ．若PB ＝3
4
，则
P A ＝；AD·DE ＝．
13．现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有
种．（用数字作答）
14．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺
时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记，OP 所经过的在正方
形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S ＝ f （x），那么对于函数f （x）有以下三个结论：
①；
②任意，都有
③任意
其中所有正确结论的序号是．
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
15．（本小题满分13 分）
在锐角△ABC 中，角A，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，已知a ＝7，b ＝3，
．
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）求△ABC 的面积．
16．（本小题满分13 分）
某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这
10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．
为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名
为该型号电视机的“星级卖场”．
（Ⅰ）当a ＝ b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；
（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”
的个数，求X 的分布列和数学期望．
（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达
到最小值．（只需写出结论）
17．（本小题满分14 分）
如图1，在边长为4 的菱形ABCD中，于点E ，将△ADE沿DE 折起到的位置，使，如图2．
⑴求证：平面BCDE ；
⑵求二面角的余弦值；
⑶判断在线段EB上是否存在一点P ，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18．（本小题满分13 分）
已知函数，其中a R ．
⑴当时，求f (x)的单调区间；
⑵当a＞0时，证明：存在实数m ＞0，使得对于任意的实数x，都有｜ f (x)｜≤m成立．19．（本小题满分14 分）
设分别为椭圆E：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，
点B 为椭圆E 的上顶点，且｜AB｜＝2．
⑴若椭圆E 的离心率为，求椭圆E 的方程；
⑵设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为
直径的圆经过点F1，证明：
20．（本小题满分13 分）
无穷数列P ：，满足，对于数列P ，记
，其中表示集合中最小的数．（Ⅰ）若数列P :1‚ 3‚ 4 ‚ 7 ‚ …，写出；
（Ⅱ）若，求数列P 前n项的和；
（Ⅲ）已知＝46，求的值．
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