2-2 动量定理 动量守恒定律优秀课件
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02-2动量 动量守恒定律
( m1v1 m 2 v 2 ) ( m1v10 m 2 v 20 )
t2
F1＋F2 dt (m1v1 m2v2 ) (m1v10 m2v20 )
t1
作用在两质点组成的系统的合外力冲量等于系统内两质点 动量之和的增量，即系统动量的增量。
F
o
t1
t2
t
三、动量守恒定律
一个孤立的力学系统或合外力为零的系统，系 统内各质点间动量可以交换，但系统的总动量 保持不变。这就是动量守恒定律。
即：
i 1
n
Fi 0,
i
mi i =常矢量
Px mi vix C1
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Py mi viy C2
(1)乒乓球得到的冲量: m=2.5g, 1=10m/s, 2=20m/s I I x i I y j 0.061i 0.007 j N s (2) 若t=0.01s
Fx 6.1N Fy 0.7 N F F F 6.14 N
2 x 2 y
pz mi viz C3
说明: 1. 守恒条件是
i 1 ex in 当 F F 时，可 略去外力的作用, 近似地认为系
n
Fi 0t 0
统动量守恒 . 例如在碰撞, 打击, 爆炸等问题中.
2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系. 3. 若某一方向的合外力零， 则该方向上动量守恒； 但总动量可能并不守恒。 4.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本的定 律，它在宏观和微观领域均适用
1
m 2 F t sin sin 105
大学物理：2-2 动量守恒定律
y P
rP
F
O
地球
r
C
Q
rQ x
7
3、保守力 (conservation force)
物体在某种力的作用下， 沿任意闭合路径绕行一周所 作的功恒等于零，即
Q
CD
E
F
P
F dl 0
具有这种特性的力，称为保守力；不具有这种特 性的力称为非保守力。
8
四、 机械能守恒定律
1、功能原理 由 n 个相互作用着的质点所组成的质点系。系统中
Q
A
Q Q
AaPdFv,d
r
P
dr
ma d r
vdt
F
Q
m
d
vdtv
d
t
P dt
Q P
mv
d
v
1 2
mvQ2
1 2
P
mvP2
vdPr
质点的动能(kinetic energy)定义：质点的质量与
其运动速率平方的乘积的一半。
用Ek表示，即
Ek
1 2
mv2
5
所以有 A Ek Q Ek P 动能定理：作用于质点的合力所作的功，等于质点
0
mivi 恒矢量
i 1
在外力的矢量和为零的情况下，质点系的总动量
不随时间变化——动量守恒定律。
其分量式
n
mi vix 恒量
i 1 n
mi viy 恒量
i 1 n
mi viz 恒量
i 1
n
(当 Fix 0 时)
i 1
n
(当 Fiy 0 时)
i 1
n
(当 Fiz 0 时)
i 1
大学物理2-2动量定理
m dl l, v 因 ml ,又 L dt
d v (m ml ) F ' dt
v 2 2 g (l h)
m 2 2m(l h) F' v g 所以 L L 地面所受链条的作用力的大小
2m(l h) ml m F F ' ml g g g (3l 2h) g L L L
§2-2 动量定理 动量守恒定律
一、 动量定理
重写牛顿第二定律的微分形式
t2
1
F dt d p
考虑一过程，时间从t1-t2，两端积分
2 1
p d p p2 p1 t F d t p
左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。
t I t F d t
m2
C x10
m1
O x20
x
解:把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外力， 此方向的动量守恒。 建立如图坐标系。以两个小孩连线某点为原点，向 右为x轴正方向。设开始时质量为m1 的小孩坐标为x10, 质量为m2的小孩坐标为x20，他们在任意时刻的速度分 别v1为v2,相应坐标为x1和x2由运动学公式得
风吹来
P 0
I P
P
船
前 进 方 向
取一小块风dm为研究对象
风对帆的冲量大小
I P
初 P0 0dm 末 P dm
I P
由牛顿第 三定律
方向与
F
相反 P t
P
例题2-2 质量m=3t的重锤，从高度 h=1.5m处自由落 到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间 (1)t=0.1s， (2)t=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。 解：以重锤为研究对象，分析受力，作受力图： 解法一：锤对工件的冲力变化 范围很大，采用平均冲力计算，其 反作用力用平均支持力代替。 在竖直方向利用动量定理，取竖直 向上为正。
动量守恒定律 (共19张PPT)
B
A
总
结
F外 0
F x =0
F y =0
5、斜面B置于光滑水平面上，物体A沿 光滑斜面滑下，则AB组成的系统动量守 恒吗？ 光滑
x
光滑
F外 0
F x =0
F y 0
空中爆炸
F外 0
但是F 内 ?
F x 0
F y 0
F
外
3. 成立条件
(1) 系统不受外力或所受外力的矢量和为零。
4、动量的变化P
1、表达式：
P2
P1
△P
P＝P2－P1 =mv2-mv1=m(v2-v1)
2、运算：
（1）成θ角，平行四边形定则 （2）在一条直线上，确定正方向后，用正 负表示方向，就转化为代数运算
3、方向：与速度变化量的方向相同。
预 学
理解三个概念：
（请自主阅读教材P12）
1. 系统：相互作用的 两个或多个物体 组成的整体。系统可按 解决问题的需要灵活选取。
这个系统的总动量保持不变。
m11 m2 2 m11 m2 2
二、动量守恒定律成立的条件 1. 系统不受力，或者 F外合 = 0 2. F内 >> F外合
3. 若系统在某一方向上满足上述 1 或 2，则在该方向上系
统的总动量守恒。
三、应用动量守恒定律解决问题的基本步骤
定系统
判条件
2. 动量守恒定律是一个 独立的实验定律 ，它适用于目前为 止物理学研究的 一切 领域。
3. 与牛顿运动定律相比较，动量守恒定律解决问题优越性表 现在哪里？ 动量守恒定律只涉及始末两个状态，与过程中力的 细节无关，往往能使问题大大简化。
课 堂 总 结
A
总
结
F外 0
F x =0
F y =0
5、斜面B置于光滑水平面上，物体A沿 光滑斜面滑下，则AB组成的系统动量守 恒吗？ 光滑
x
光滑
F外 0
F x =0
F y 0
空中爆炸
F外 0
但是F 内 ?
F x 0
F y 0
F
外
3. 成立条件
(1) 系统不受外力或所受外力的矢量和为零。
4、动量的变化P
1、表达式：
P2
P1
△P
P＝P2－P1 =mv2-mv1=m(v2-v1)
2、运算：
（1）成θ角，平行四边形定则 （2）在一条直线上，确定正方向后，用正 负表示方向，就转化为代数运算
3、方向：与速度变化量的方向相同。
预 学
理解三个概念：
（请自主阅读教材P12）
1. 系统：相互作用的 两个或多个物体 组成的整体。系统可按 解决问题的需要灵活选取。
这个系统的总动量保持不变。
m11 m2 2 m11 m2 2
二、动量守恒定律成立的条件 1. 系统不受力，或者 F外合 = 0 2. F内 >> F外合
3. 若系统在某一方向上满足上述 1 或 2，则在该方向上系
统的总动量守恒。
三、应用动量守恒定律解决问题的基本步骤
定系统
判条件
2. 动量守恒定律是一个 独立的实验定律 ，它适用于目前为 止物理学研究的 一切 领域。
3. 与牛顿运动定律相比较，动量守恒定律解决问题优越性表 现在哪里？ 动量守恒定律只涉及始末两个状态，与过程中力的 细节无关，往往能使问题大大简化。
课 堂 总 结
动量守恒定律ppt-优秀课件1
3.同时性: 公式中的v1 、v2是相互作用前同一时刻的速 度，v1′ 、v2′是相互作用后同一时刻的速度。
动量守恒定律ppt-优秀课件1PPT-精品 课件（ 实用版 ）
动量守恒定律ppt-优秀课件1PPT-精品 课件（ 实用版 ）
4.相对性：动量大小与参考系的选取有关，各物体的速度必须是相对 同一参考系的速度。一般以地面为参考系。如果题目中告诉的速度是 物体间的相对速度，则要把它变换成对地的速度。 5.普适性:不仅适用于宏观世界，也适用于微观世界；不仅能解决低 速运动问题，而且能解决高速运动问题。
）
A.AB、CB系统动量守恒
B.A、B、C系统动量守恒
C.小车向左运动
D.小车向右运动
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【典例2】.如图所示，光滑水平面轨道上有三个木块A、B、C，质 量分别为mA=mC=2m,mB=m，A、B用细绳连接，中间有一压缩的弹 簧 (弹簧与滑块不栓接)。开始时A、B以共同速度v0运动，C静止。 某时刻细绳突然断开，A、B被弹开，然后B又与C发生碰撞并粘在
结论：
m1v′1+ m2v′2= m1v1+ m2v2
p′1+ p′2= p1+ p2 这说明，两物体碰撞后的动量之和等于碰撞前的动量
N1 N2 外力
F
F′内力
G1G2
系统
系统：有相互作用的物体构成一个系统 内力：系统中相互作用的各物体之间的相互作用力 外力：外部其他物体对系统的作用力
二、动量守恒定律
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4.相对性：动量大小与参考系的选取有关，各物体的速度必须是相对 同一参考系的速度。一般以地面为参考系。如果题目中告诉的速度是 物体间的相对速度，则要把它变换成对地的速度。 5.普适性:不仅适用于宏观世界，也适用于微观世界；不仅能解决低 速运动问题，而且能解决高速运动问题。
）
A.AB、CB系统动量守恒
B.A、B、C系统动量守恒
C.小车向左运动
D.小车向右运动
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【典例2】.如图所示，光滑水平面轨道上有三个木块A、B、C，质 量分别为mA=mC=2m,mB=m，A、B用细绳连接，中间有一压缩的弹 簧 (弹簧与滑块不栓接)。开始时A、B以共同速度v0运动，C静止。 某时刻细绳突然断开，A、B被弹开，然后B又与C发生碰撞并粘在
结论：
m1v′1+ m2v′2= m1v1+ m2v2
p′1+ p′2= p1+ p2 这说明，两物体碰撞后的动量之和等于碰撞前的动量
N1 N2 外力
F
F′内力
G1G2
系统
系统：有相互作用的物体构成一个系统 内力：系统中相互作用的各物体之间的相互作用力 外力：外部其他物体对系统的作用力
二、动量守恒定律
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第2章-2-动量-角动量守恒定律2019
3
4 105
（2）
I
Fdt
00.003
400
4 105 3
t
dt
400t
4105t 2 23
0.003
0.6 N s
0
（3） I mv 0
m I 0.6 0.002kg 2g v 300
2．质点系的动量定理
设有 n 个质点构成一个系统
（2）系统内所有质点的动量都必须对同一个惯性参考 系而言。 （3）若系统所受合外力不为零，但是合外力在某一方 向上的分量为零，则系统在该方向上的总动量守恒。
Fix 0 Px mivix 常量
（4）当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统 的总动量守恒。（如：碰撞，打击，爆炸等过程）
称为“冲量矩”
质点系的角动量定理的推导：
m1
m2
质点系的角动量定理：
质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于 质点所受的所有外力对同一参考点力矩的矢量和。
质点系角动量定理的积分式：
t2
t1
Mdt
L2
L1
作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时间内
的角动量的增量 。
质点系的z轴的角动量定理：
第 i 个质点： 质量mi
内力 fi
初速度 末速度
外力
vviio
Fi
由质点动量定理：
Fi
i
fi
t
to
Fi
fi
dt mivi
mi vio
t
to Fi fi dt mivi mi vio
动量和动量守恒定律(rwr)PPT课件
题主要考查动量的矢量性，辨析“动量和动 能”、“冲量与功”的基本概念；常设置一个 瞬间碰撞的情景，用动量定理求变力的冲量； 或求出平均力；或用动量守恒定律来判定在碰 撞后的各个物体运动状态的可能值；计算题主 要考查综合运用牛顿定律、能量守恒、动量守 恒解题的能力,高考中单独出现动量守恒的计 算题的可能性已不大，难度也不会太高。应用 动量定理计算高考开始要求，2006年 已经出 现。
(4)高中阶段只要求会用I=Ft计算恒力的冲量。 对于变力的冲量，高中阶段能利用动量定 理通过物体的动量变化来求或用图像来求。
(5)要注意的是：冲量和功不同。恒力在一段 时间内可能不作功，但一定有冲量。特别 是力作用在静止的物体上也有冲量。
1、动量和冲量定义式的应用
例1.（书P72例1）如图所示，两个质量相等 的物体在同一高度沿倾角不同的两个光滑 斜面由静止自由滑下，到达斜面底端的过 程中，两种情况具有的物理量相同的是：
动量 动量守恒在高考中的
能力要求
高考对本章能力要求很高，主要考察 对概念的理解能力、对实际问题的分析推 理能力、应用数学处理问题的能力、与能 量结合的分析综合能力，至此，能量和动 量的综合运用对能力的要求已达最高点， 所以对本章的复习训练时综合应用的题型 较多，难度也较大，所以复习时间肯定较 多。安排九课时的复习只是一种建议，实 际复习肯定要超过九课时。
4.动量与动量变化量
概念意义
动量
动量变化量
表示物体运动过程中
表示物体在某一运动
某一时刻的运动状态量 过程中运动状态量的变化
定义式 矢量性
大小
P＝mv
△P=mvt-mv0
方向和该时刻速度方向 方向由该过程合外力的方向
相同
决定
由m、v决定
(4)高中阶段只要求会用I=Ft计算恒力的冲量。 对于变力的冲量，高中阶段能利用动量定 理通过物体的动量变化来求或用图像来求。
(5)要注意的是：冲量和功不同。恒力在一段 时间内可能不作功，但一定有冲量。特别 是力作用在静止的物体上也有冲量。
1、动量和冲量定义式的应用
例1.（书P72例1）如图所示，两个质量相等 的物体在同一高度沿倾角不同的两个光滑 斜面由静止自由滑下，到达斜面底端的过 程中，两种情况具有的物理量相同的是：
动量 动量守恒在高考中的
能力要求
高考对本章能力要求很高，主要考察 对概念的理解能力、对实际问题的分析推 理能力、应用数学处理问题的能力、与能 量结合的分析综合能力，至此，能量和动 量的综合运用对能力的要求已达最高点， 所以对本章的复习训练时综合应用的题型 较多，难度也较大，所以复习时间肯定较 多。安排九课时的复习只是一种建议，实 际复习肯定要超过九课时。
4.动量与动量变化量
概念意义
动量
动量变化量
表示物体运动过程中
表示物体在某一运动
某一时刻的运动状态量 过程中运动状态量的变化
定义式 矢量性
大小
P＝mv
△P=mvt-mv0
方向和该时刻速度方向 方向由该过程合外力的方向
相同
决定
由m、v决定
大学物理上第2章2-动量--角动量 守恒定律
（2）当外力作用远小于内力作用时，可近似认 为系统的总动量守恒。（如：碰撞，打击等）
动量守恒的分量式：
Px mivix 常量 Py miviy 常量 Pz miviz 常量
动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的规律 之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。
力矩 ( Moment of Force /Torque )
j)
2．质点系的动量定理
设有 n 个质点构成一个系统
第 i 个质点： 质量mi
Fi
内力 fi
初速度 末速度
外力
vviio
Fi
i
由质点动量定理：
fi
t
to
Fi
fi
dt mivi
mi vio
t
to Fi fi dt mi vi mivio
车辆超速容易 引发交通事故
结论： 物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物 体的质量有关。
动量（Momentum） ：运动质点的质量与
速度的乘p 积。mv
单位：kg·m·s-1
由n个质点所构成的质点系的动量：
p
n
pi
n
mivi
i1
i1
2-2-2 动量定理
1．质点的动量定理
冲量：作用力与作用时间的乘积
⑴ 恒力的冲量：
I F (t2 t1)
⑵ 变力的冲量：
I
t2
F
(t)
dt
t1
单位：N·s
⑶ 平均力的冲量：
牛顿运动定律：
F
动量守恒的分量式：
Px mivix 常量 Py miviy 常量 Pz miviz 常量
动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的规律 之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。
力矩 ( Moment of Force /Torque )
j)
2．质点系的动量定理
设有 n 个质点构成一个系统
第 i 个质点： 质量mi
Fi
内力 fi
初速度 末速度
外力
vviio
Fi
i
由质点动量定理：
fi
t
to
Fi
fi
dt mivi
mi vio
t
to Fi fi dt mi vi mivio
车辆超速容易 引发交通事故
结论： 物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物 体的质量有关。
动量（Momentum） ：运动质点的质量与
速度的乘p 积。mv
单位：kg·m·s-1
由n个质点所构成的质点系的动量：
p
n
pi
n
mivi
i1
i1
2-2-2 动量定理
1．质点的动量定理
冲量：作用力与作用时间的乘积
⑴ 恒力的冲量：
I F (t2 t1)
⑵ 变力的冲量：
I
t2
F
(t)
dt
t1
单位：N·s
⑶ 平均力的冲量：
牛顿运动定律：
F
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左于侧是积得分到表积示分力形对式时II间的p累tt122积F量dp，t1 叫注S位做意I中是冲：，牛冲量冲.秒量量。是的矢单量
2
这就是质点的动量定理：物体在运动过程中所受
到的合外力的冲量，I等于该tt12物F体d动t 量的增量。
冲量的微分形式
F
=
m
dv dt
=d
(mv dt
)
F dt = d ( mv )
(T2 m' g)t m'V 0 忽略重力，考虑到绳不可伸长，有： T1 T2
解得： V m 2gh m ' m
当物体B上升速度为零时，达到最大高度
2aH V 2 0 a M mg
M m
H
m2h M 2 m2
15
例题2-4 矿砂从传送带A落到另一传送带B，其速度 v1=4m/s，方向与竖直方向成30°角，而传送带B与水 平成15°角，其速度v2=2 m/s．如传送带的运送量恒 定，设为k=20 kg/s，求落到传送带B上的矿砂在落上 时所受到的力．
此式为动量原理的微分形式。两边积分后得 到动量原理的积分形式：
∫t2 t1
F
dt
∫ =
v2 v1
d ( mv )= mv 2
mv 1
3
动量定理的几点说明：
(1)冲量的方向：
所有冲元量冲量的I 方向F 一d的t般合不矢是量某一tt1瞬2 F时 d力的t 方向F的i。方向，而是
4
动量定理
a. 常力的冲量
t
作用力F的方向与△(mv)的方向相同，图(b)中
的θ角可由下式求得：
(mv) mv2
sin75 sin
29
17
二、变质量物体的运动方程
物体m与质元dm在t时刻的速度以及在t+dt时刻
合并后的共同速度如图所示：
把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时
刻的动量分别为：
初始时刻
m
mv d mu
解：以物体A和B为系统作为 研究对象，采用隔离法分析受 力，作出绳拉紧时的受力图：
T2 T1
绳子刚好拉紧前的瞬间， 物体A的速度为：
v 2gh
Am h
取竖直向上为正方向。 m’ B
BA
mg
m'g
14
绳子拉紧后，经过短暂时间的作用，两物体速率 相等，对两个物体分别应用动量定理，得到：
(T1 mg)t mV (mv)
末时刻
(m d m)(v d v)
F
dm u
v
m+dm
v d v
t
tdt
18
对系统利用动量定理
(mmddvm)d(vmddvv)dmmvvFd
mu dt
F
dt
略去二阶小量，两端除dt
d
(mv)
12
解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过 程，动量变化为零。
重力作用时间为 t 2h / g
支持力的作用时间为t
根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，
即 FNt mg(t 2h / g ) 0
得到解法一相同的结果
FN mg m 2gh / t
13
例题2-3 一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m 及的m’物体A和B， m’大于m。B静止在地面上，当 A自由下落距离h后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉 紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。
图线与坐标轴所围的面积。
7
(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程
Ix
t2 t1
Fx
dt
mv2 x
mv1x
Iy
t2 t1Leabharlann Fy d tmv2 y
mv1y
Iz
t2 t1
Fz d t
mv2 z
mv1z
8
(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。
打击或碰撞，力 的F 方向保持 不变，曲线与t轴所包围的面积就 是t1到t2这段时间内力 F 的冲量的
10
例题2-2 质量m=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落 到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间
(1)t=0.1s， (2)t=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。
解：以重锤为研究对象，分析受力，作受力图：
解法一：锤对工件的冲力变化 范围很大，采用平均冲力计算，其 反作用力用平均支持力代替。
在竖直方向利用动量定理，取竖直 向上为正。
FN
(FN mg)t mv mv0
初状态动量为 m 2gh
末状态动量为0
mg
11
得到 (FN mg)t m 2gh 解得 FN mg m 2gh / t
代入m、h、t的值，求得：
(1) FN =1.92? 105 N
(2) FN =1.9? 106 N
大小，根据改变动量的等效性，
得到平均力。
F
F
t1
t2 t
将积分用平
均力代替
t2 Fdt Ft
t1
动量定 理写为
FtP
平均力写为
F
P
t
t2 F d t
平均力大小： F t1
t2 t1
9
动量定理
(4)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。 (5)动量定理是牛顿第二定律的积分形式， 因此其使用范围是惯性系。 (6)动量定理在处理变质量问题时很方便。
解:设在某极短的时间△t内落在传送带上矿砂的质量为 m，即m=k△t，这些矿砂动量的增量为
16
(mv) mv2 mv1
其量值可用矢量差方法求得[参看图 (b)]
(mv) 3.98m 3.98kt m/s
设这些矿砂在△t时间内的平均作用力为F，根
据动量定理， Ft(mv)
于是
(mv)
F
79.6N
§2-2 动量定理 动量守恒定律
微分形式的牛顿第二定律是关于力 与加速度的瞬时关系。某些情况下， 并不需要考虑中间过程，可以由几个 状态求解问题。这时候，采用积分形 式的牛顿第二定律更有效。这就是动 量定理与动能定理。
航天飞机
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一、 动量定理
重写牛顿F第d二t 定律d的p微分形式 考虑一tt12过F程d，t 时间从pp12dt1-pt2， 两p端2 积分p1
I = FΔ t
F2Δ t 2 F1Δ t 1
FiΔ t i FnΔ tn
b. 变力的冲量
I = F1Δ t1 +F2Δ t 2 + = Σ FiΔ t i
I + FnΔ tn
注意：冲量 I 的方向和瞬时力 F 的方向不同!
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例 动量定理解释了“逆风行舟”
前 进 方
0
风吹来 P0
P
向
IP
船
前 进 方 向
取一小块风dm为研究对象
初 末
P P 0 0d dm m
由牛顿第 三定律
IP
风对帆的冲量大小
I P
方向与 P 相反
P
F t
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动量定理
当力连续变化时 （设冲力为平面冲力）
I
t
=∫t
2 1
F
dt
Fx
t2
I x =∫t1 F x dt
t2
+
0
t1
t2
t
Iy =∫t1 Fy dt
冲量的几何意义：x方向冲量的大小等于
2
这就是质点的动量定理：物体在运动过程中所受
到的合外力的冲量，I等于该tt12物F体d动t 量的增量。
冲量的微分形式
F
=
m
dv dt
=d
(mv dt
)
F dt = d ( mv )
(T2 m' g)t m'V 0 忽略重力，考虑到绳不可伸长，有： T1 T2
解得： V m 2gh m ' m
当物体B上升速度为零时，达到最大高度
2aH V 2 0 a M mg
M m
H
m2h M 2 m2
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例题2-4 矿砂从传送带A落到另一传送带B，其速度 v1=4m/s，方向与竖直方向成30°角，而传送带B与水 平成15°角，其速度v2=2 m/s．如传送带的运送量恒 定，设为k=20 kg/s，求落到传送带B上的矿砂在落上 时所受到的力．
此式为动量原理的微分形式。两边积分后得 到动量原理的积分形式：
∫t2 t1
F
dt
∫ =
v2 v1
d ( mv )= mv 2
mv 1
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动量定理的几点说明：
(1)冲量的方向：
所有冲元量冲量的I 方向F 一d的t般合不矢是量某一tt1瞬2 F时 d力的t 方向F的i。方向，而是
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动量定理
a. 常力的冲量
t
作用力F的方向与△(mv)的方向相同，图(b)中
的θ角可由下式求得：
(mv) mv2
sin75 sin
29
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二、变质量物体的运动方程
物体m与质元dm在t时刻的速度以及在t+dt时刻
合并后的共同速度如图所示：
把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时
刻的动量分别为：
初始时刻
m
mv d mu
解：以物体A和B为系统作为 研究对象，采用隔离法分析受 力，作出绳拉紧时的受力图：
T2 T1
绳子刚好拉紧前的瞬间， 物体A的速度为：
v 2gh
Am h
取竖直向上为正方向。 m’ B
BA
mg
m'g
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绳子拉紧后，经过短暂时间的作用，两物体速率 相等，对两个物体分别应用动量定理，得到：
(T1 mg)t mV (mv)
末时刻
(m d m)(v d v)
F
dm u
v
m+dm
v d v
t
tdt
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对系统利用动量定理
(mmddvm)d(vmddvv)dmmvvFd
mu dt
F
dt
略去二阶小量，两端除dt
d
(mv)
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解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过 程，动量变化为零。
重力作用时间为 t 2h / g
支持力的作用时间为t
根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，
即 FNt mg(t 2h / g ) 0
得到解法一相同的结果
FN mg m 2gh / t
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例题2-3 一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m 及的m’物体A和B， m’大于m。B静止在地面上，当 A自由下落距离h后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉 紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。
图线与坐标轴所围的面积。
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(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程
Ix
t2 t1
Fx
dt
mv2 x
mv1x
Iy
t2 t1Leabharlann Fy d tmv2 y
mv1y
Iz
t2 t1
Fz d t
mv2 z
mv1z
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(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。
打击或碰撞，力 的F 方向保持 不变，曲线与t轴所包围的面积就 是t1到t2这段时间内力 F 的冲量的
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例题2-2 质量m=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落 到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间
(1)t=0.1s， (2)t=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。
解：以重锤为研究对象，分析受力，作受力图：
解法一：锤对工件的冲力变化 范围很大，采用平均冲力计算，其 反作用力用平均支持力代替。
在竖直方向利用动量定理，取竖直 向上为正。
FN
(FN mg)t mv mv0
初状态动量为 m 2gh
末状态动量为0
mg
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得到 (FN mg)t m 2gh 解得 FN mg m 2gh / t
代入m、h、t的值，求得：
(1) FN =1.92? 105 N
(2) FN =1.9? 106 N
大小，根据改变动量的等效性，
得到平均力。
F
F
t1
t2 t
将积分用平
均力代替
t2 Fdt Ft
t1
动量定 理写为
FtP
平均力写为
F
P
t
t2 F d t
平均力大小： F t1
t2 t1
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动量定理
(4)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。 (5)动量定理是牛顿第二定律的积分形式， 因此其使用范围是惯性系。 (6)动量定理在处理变质量问题时很方便。
解:设在某极短的时间△t内落在传送带上矿砂的质量为 m，即m=k△t，这些矿砂动量的增量为
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(mv) mv2 mv1
其量值可用矢量差方法求得[参看图 (b)]
(mv) 3.98m 3.98kt m/s
设这些矿砂在△t时间内的平均作用力为F，根
据动量定理， Ft(mv)
于是
(mv)
F
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§2-2 动量定理 动量守恒定律
微分形式的牛顿第二定律是关于力 与加速度的瞬时关系。某些情况下， 并不需要考虑中间过程，可以由几个 状态求解问题。这时候，采用积分形 式的牛顿第二定律更有效。这就是动 量定理与动能定理。
航天飞机
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一、 动量定理
重写牛顿F第d二t 定律d的p微分形式 考虑一tt12过F程d，t 时间从pp12dt1-pt2， 两p端2 积分p1
I = FΔ t
F2Δ t 2 F1Δ t 1
FiΔ t i FnΔ tn
b. 变力的冲量
I = F1Δ t1 +F2Δ t 2 + = Σ FiΔ t i
I + FnΔ tn
注意：冲量 I 的方向和瞬时力 F 的方向不同!
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例 动量定理解释了“逆风行舟”
前 进 方
0
风吹来 P0
P
向
IP
船
前 进 方 向
取一小块风dm为研究对象
初 末
P P 0 0d dm m
由牛顿第 三定律
IP
风对帆的冲量大小
I P
方向与 P 相反
P
F t
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动量定理
当力连续变化时 （设冲力为平面冲力）
I
t
=∫t
2 1
F
dt
Fx
t2
I x =∫t1 F x dt
t2
+
0
t1
t2
t
Iy =∫t1 Fy dt
冲量的几何意义：x方向冲量的大小等于