球面距离_课件
优秀老师课件-两点间距离公式
已知三角形的三个顶点坐标，我们可以使用两点 间距离公式计算任意两个顶点之间的距离，从而 得到三角形的边长。
求解球面距离
总结词
在地理学中，两点间距离公式可以用于计算地球表面上两点之间的最短路径， 即球面距离。
详细描述
给定地球上两点的经纬度坐标（纬度θ1，经度λ1）和（纬度θ2，经度λ2），我 们可以使用两点间距离公式计算地球表面上这两点之间的最短路径，即球面距 离。
公式推导
利用勾股定理推导
设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，连接AB，形成一个直角 三角形。根据勾股定理，直角三角形的斜边长（即AB 的距离）为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
利用向量的模长推导
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量$overset{longrightarrow}{AB}$ 的模长为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，即 AB的距离。
证明方法二：利用向量点积
总结词：数学严谨
详细描述：利用向量的点积性质，我们可以推导出两点间距离公式。假设向量$overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量的模长即为两点间距离，即$d = |overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_2 x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
04
两点间距离公式的应用实例
求解线段中点坐标
总结词
利用两点间距离公式，我们可以快速准确地求解线段的中点坐标。
详细描述
球面距离计算
球面距离问题的求解玉邴图在高中数学课本和中学数学报刊资料中，关于球面距离问题仅给出定义，相关概念和例题论述较少，而在高考、竞赛及实际生活中，涉及球面问题的却有许多，且有一定的难度，为解决这个难点，本文介绍一个球心角定理及其推论，然后举例说明它们的应用，其过程反映了球面距离问题的一种求解方法，供读者参考。
一、几个相关概念纬度：经过某一点的地球的半径与赤道所在的大圆面所成的角。
经度：经过某一点的经线和地轴确定的半平面与本初子午线和地轴确定的半平面所成的二面角的度数。
两地的位置关系：地球上两点A、B的位置关系有以下三种：（1）A、B两地经度相同，纬度不同；（2）A、B两地纬度相同，经度不同；（3）A、B两地纬度不同，经度也不同。
球面距离：某两点的大圆在这两点的一段劣弧的长度，即A、B两点的球面距离为弧AB=（其中是A、B两点的球心角，单位为弧度制，R为球的半径）。
所以求球面距离问题的本质就是求出球心角。
二、有关定理及其推论为了方便叙述，本文采用有向角的概念，规定东经为正，西经为负，北纬为正，南纬为负，例如西经记为，南纬记为。
于是我们有如下的球心角的余弦定理。
定理1 设A、B是地球表面上的任意两地，A地的经度为，纬度为，B地的经度为，纬度为，地球的中心为O，球心角∠AOB=（），则。
证明：设地球半径为，A、B两地所在的纬度圈分别为圆和圆，由球的截面性质知⊥圆，⊥圆，且两圆所在的平面平行，故知，O、三点共线，由有向角的概念知。
（1）设NOS为地轴，在半圆面NSA内，作所在的平面，垂足为，则，，在三角形中，由余弦定理得（2）当∠时，因为有，故（2）也成立，在直角三角形中，由勾股定理得（3）将（1）、（2）代入（3）得（4）在三角形AOB中，由余弦定理得（5）将（4）代入（5）代简得。
有了定理1，我们容易得到地球表面上的任意两地的距离公式。
定理2 设A、B是地球表面上的任意两地，A地的经度为，纬度为，B地的经度为，纬度为，地球的半径为R，则A、B两地的球面距离为劣弧AB=。
完整版球体精美课件
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式．
分割
求近似和
化为准确和
下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
球面：空间中与定点的距离等于定长的所有点 的集合
注意：球面与球体是两个不同的概念，
它们有什么区别？
球体(简称球)是实心的, 球面是空心的
模拟演示
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球和它的性质
观察球的形成过程
球体
?球的旋转定义
半圆以它的 直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做 球面. 球面所围成的几何体叫做 球体.
A
A
O
C2
O
B2
r1 ? R2 ? R,
r2 ?
R2 ? ( R)2 , n
r3 ?
R2
?
(
2
R )
2
,
n
A
球的体积
ri
O
R (i ? 1)
n
R
O
第i层“小圆片”下底面的 半径：
ri ?
R 2 ? [ R ( i ? 1 )] 2 , i ? 1 , 2 ? , n . n
球的体积
ri ?
R 2 ? [ R ( i ? 1)] 2 , i ? 1, 2 , ? , n n
O
假设将圆n等分，则
A1
n=12 An
S ? S ? S ? ? ? S A2 正多边形 ?A1OA2
? A2 OA3
? AnOA1
2010年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动-《球面距离》(上海市市西中学刘岚)
《球面距离》的教学设计说明课题：球面距离教材:上海市高级中学课本数学高三年级（上海教育出版社出版）教师：上海市市西中学刘岚一．教学内容的地位、作用分析球是我们在日常生活中经常见到的熟悉而特殊的一种旋转体。
在学生已经掌握圆柱、圆锥的概念和性质后进一步探究球的相关性质，使学生摆脱旋转体的母线只能是线段的狭隘理解，也是对旋转体知识体系的完善。
球面距离是在学生了解了球的有关概念及性质基础上的一节内容，它既是教材中关于球的最后一个知识点，也是立体几何中继“异面直线间的距离”、“点到平面的距离”、“直线到平面的距离”、“平面到平面的距离”之后又一距离概念,是高中阶段研究的最后一种距离。
区别于其他距离的是“球面距离”是一段圆弧的长度。
学习球面距离，有助于学生空间想象能力的培养，有助于学生思维能力的训练与提高。
它不但能加深学生对球面及球的截面的理解, 而且在求其解过程中, 可以帮助学生运用扇形、弧长、解三角形等众多数学知识，并且沟通了立体几何中两个重要的角(直线和平面所成的角、二面角) 的概念，具有实质的教学意义。
另外，“球面距离”具有一定的实际应用意义。
通过学习，使学生认识到数学源于实践又作用于实践，同时数学中的球面距离与地理中的经纬度等知识的综合运用，体现二期课改中学科整合的思想。
二．教学目标和重点、难点分析“球面距离”是上海市高中数学教材中高三年级的教学内容，《上海市中小学数学课程标准》对“球面距离”的教学要求是：知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学和实际的联系。
结合课程标准，我将这节课的教学目标和重点难点定为：教学目标：1. 知道球面距离的概念，会在简单情形下计算两点间的球面距离。
2. 体验将空间中的计算转换为平面上的问题的求解方法。
3. 会求地球上同经度和同纬度两点间的球面距离，感受数学知识在实际问题中的应用价值。
教学重点：会计算简单情形下球面上两点间的球面距离。
教学难点：地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。
球面距离最短的证明
球面距离最短的证明简介：已知:球O 的半径为R, A 、B 是球O 上的两定点且A 、B 间直线距离为AB =2a(0<a ≤R),⊙o 1是过A 、B 的平面截球面的任意一个圆半径为x (a ≤x ≤R),⊙o 1上A 、B 对应的劣弧长为L 1=2x arcsinx a ,⊙o 是过A 、B 的大圆,⊙o 上A 、B 对应的劣弧长为L=R 2arcsin Ra (即:球面距离).求证: L 1≥L 已知:球O 的半径为R, A 、B 是球O 上的两定点且A 、B 间直线距离为AB =2a(0<a ≤R),⊙o 1是过A 、B 的平面截球面的任意一个圆半径为x (a ≤x ≤R),⊙o 1上A 、B 对应的劣弧长为L 1=2x arcsinx a ,⊙o 是过A 、B 的大圆,⊙o 上A 、B 对应的劣弧长为L=R 2arcsin Ra (即:球面距离).求证: L 1≥L证明：引理:sin α<α<tan α (0<α<2π) (用单位圆、三角形面积公式及不等式)证略. 证明:(1)当a=R 时.过A 、B 的平面截球面的任意一个圆均为大圆,所以L 1=L=πR (2)当0<a<R 时考察⊙o 1的半径满足a<x ≤R 时，在⊙o 1上设A 、B 对应的圆心角为α=2arcsin x a ( 2arcsin Ra ≤α<2arcsin1=π),所以L 1=αx=2x arcsin x a , (L 1)求导=2arcsin x a +2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a 211a(-x 21)=2arcsin x a -2ax a 22- β=arcsin x a ,( arcsin R a ≤α<arcsin1=2π)则sin β=x a ,cos β=x a x 22-,tan β=ax a22- 由引理知β<tan β,则arcsinx a <a x a 22-所以(L 1)求导<0,则L 1=αx=2x arcsinx a 在a<x ≤R 上为减函数, 又L 1=αx=2x arcsin x a 在a ≤x ≤R 上连续, 所以L 1=αx=2x arcsin xa 在a ≤x ≤R 上为减函数, 所以L 1=αx=2x arcsin x a ≤2a arcsin aa =a π L 1=αx=2x arcsin x a ≥R 2arcsin R a =L ，所以当x=R 时, L 1最小=L=R 2arcsin Ra 由以上两种情况可知L 1≥L评注: 由以上证明可知以AB 为直径的大圆对应的劣弧最小。
球面距离ppt课件
§9.11球和它的性质
一.定义
球面距离
球面距离：球面上两点A、
B之间的最短距离，就是
经过A、B两点的大圆在
这两点间的一段劣弧AB
的长度，我们把这个弧长
叫做两点的球面距离
B
R
O RA
距离公式： l R
（其中R为球半径， 为A,B所对应的球心角的弧度数 ）
§9.11球和它的性质
B A
§9.11球和它的性质
2
OO1
OA2 O1A2
3
3 2
3 2
§9.11球和它的性质
§9.11球和它的性质
练习：
球面上有3个点，其中任意两点的球面距离
都等于大圆周长的 1 ,
6
经过3点的小圆的周
长为4 , 那么这个球的半径为（ ）
A．4 3 B．2 3 C． 2 D ． 3
O C
又 OAO1 45 在直角三角形 AOO1中
O1A COS 45 OA
2 R 2
§9.11球和它的性质
N
O1
B
B
A
2 同理得： O1B 2 R
O1A2 O1B2 AB2
O
AO1B 90 因为A在西经 20 处, 所以 B在西经
S 20 90 110，北纬45处 或者
在东经90 20 70，北纬45处。
R
6
§9.11球和它的性质
2.位于同一纬线上两点的球面距离
例2.已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬45度 线上，点A在东经30度，点B在东经120度。
求(1)在北纬45度圈上劣弧 AB 的长度;
(2) 求经过A、B两地的球面距离？
立体几何中的距离问题
立体几何中的求距离问题集美中学数学组刘海江、记一记，填一填，这些知识你掌握了吗?1两点间的距离：连接两点的线段的长。
求法：(1)纳入三角形，将其作为三角形的一边，通过解三角形求得(2)用公式，A(x i,y i,z i), B(X2,y2,Z2)，贝V |AB|= ____________________________(3)利用向量的模，|AB|=| AB |= . AB =•••(4)两点间的球面距离：A，B为半径是R的球0上的两点，若v OA,OB >"则A，B两点间的球面距离为____________________________ 。
2、点到直线的距离：从点向直线作(相交)垂线，该点与垂足间的线段长。
求法：(1)解三角形：所求距离是某直角三角形的直角边长，解此三角形即可。
(2)等积法：所求距离是某三角形的一高，利用面积相等可求此距离。
(3 )利用三垂线定理：所求距离视作某平面的斜线段长，先求出此平面的垂线段和射影的长，再由勾股定理求出所求的距离。
(4)利用公式：A (X o, y o),到直线I : Ax By 0的距离为____________________基本思想是将点线距转化为点点距。
3、点到平面的距离与直线到平面的距离(重点)(1)从平面外一点引平面的一条垂线，这个点和_________________ 的距离，叫做这个点到这个平面的距离。
求法：①利用定义、做出平面的垂线，将垂线段纳入某个三角形内，通过解三角形求出此距离；②利用等积法、将此距离看作某个三棱锥的高，利用体积相等求出此距离；③利用向量、点A，平面〉，满足A ，0三：J n _〉，| OA.nl则点A到平面:的距离d ( n是平面〉的法向量)|n|(2) 一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意_____________ 到这个平面的_________ ，叫做这条直线和这个平面的距离。
(一条直线和一个平面平行时，直线上任意两点到平面的距离相等)求法：转化为点到平面的距离来求；(具体方法参照点到平面的距离的求法)4、两个平行平面的距离一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也______________ 另一个平面，这条直线叫做两个平面的____________ ，它夹在两个平行平面间的部分叫做这两个平面的______ ,它的长度叫做两个平行平面的______________ 。
球面距离公式及其应用
高中数学教与学
球面距离公式及其应用
丁佩 ( 江苏省扬州中学树人集团, 225002)
球面距离的概念和球面距 离的求法 是中 学数学教学中颇感棘手 的问题. 5全 日制 普通 高级中学教科书( 试验修订本 # 必修)6 对于这 一知识点的 处 理方 法 是 就题 论 题, 许 多教 学 参考书 也未 给 出详 细 的球 面 距离 计 算公 式. 为此本文介绍球面距 离公式 并举例 说明 其应 用.
_
东京到旧金山 的距离为 P#
6
371 180
@
74
= 8 241. 34( km) .
^ sin 37bsin 40b+ cos 37bcos 40bcos 49b =
0. 78.
arccos( sin 37bsin 40b + cos 37bcos 40b #
cos 49b) = 38b.
_
旧金山到纽约 的距离为 P#
= 2 R2 - 2 R 2cos BB cos BA cos( AA
- AB ) - 2 R 2sin BA sin BB . 在等腰 & A OB 中,
cos N A OB =
OA 2 + OB 2 - A B 2 2 OA # OB
= cos BA cos BB cos( AA - AB ) + sin BA sin BB .
32
1, 求 A 、B 两
点的球面距离.
解 AA = P4 , BA = P4 , AB = - P4 , BB =
arcsin
32
1,
_ AB =
R arccos
sin P4 sin
arcsin
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, 西经 70 B的位置可能是：东经110
三、小结
1.两种形式的球面距离的求解
(1).位于同一经线上两点的球面距离
方法：直接代公式 (2).位于同一纬线上两点的球面距离 方法：先求弦长，再由余弦定理求球心角，化 为弧度，最后代公式。
C
如图设 O为 球 心 ， 三 点 为 A, B, C , O为ABC的 外 接 圆 的 圆 心
O
B
可知ABC为正三角形且 AB 2 3
A，B，C的 球 面 距 离 两 两 相 等 2 AO B AO C BO C 6 3
R AB 2 3
二.应用举例 1.位于同一经线上两点的球面距离 例1. 求东经 57 线上，纬度分别为北纬 38 和 68
d C A H
1 B
注：我们可以把球的问题转化成棱锥(或棱柱)问题来处理
练习： 已知在半径为 3的球面上，有A, B, C 三点， AB 1, BC 2, 3 AC的两点之间的球面距离为 ， 3 则球心到平面ABC的距离是多少。
解： A 、 C两点的球面距离为
O C H B A
又
3 AOC 3 3 AC R 3 AB 1 , BC 2 , AC 3
O
R
B
R
A
l R
（其中R为球半径， 为A,B所对应的球心角的弧度数 ）
球面距离
A、B两点的球面距离：
A
O
过A、B两点的大圆 在A、B间的劣弧长 度。
注意：球面距离是球面上 两点间的最短距离
B
若设球心角 AOB (弧度制)
AB的弧长 R
地球仪中的经纬度 经度——P点的经度，也是 或 AOB 的 度数，即：某地点的经度就是经过这点的经 线和地轴确定的半平面与本初子午线与地轴 确定的半平面所成二面角的平面角的度数．
AOC BOD 40 , COD 360 (116 74 ) 170 由余弦定理，得：ACຫໍສະໝຸດ OO1BD
AB 2 CD 2 OC 2 OD 2 2OC OD cos COD, OA2 OB 2 AB 2 cos AOB , 2 OA OB 其中OA OB 6371, OC OD 6371 cos 40
北极 P 地 轴 O 线 A B 道 赤
本 初 子 午
纬度——B点的纬度，即经过这点的球半径和赤 道平面所成的角度． O1
B
O
α
A
如图，∠AOB的大小即为B点所在的纬度。
例2、 已知地球的半径为 6371km,上海的位置约为东 经1210,北纬310，台北的位置约为东经1210,北纬250, 求两个城市间的距离。
例2.已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬45度 线上，点A在东经30度，点B在东经120度。 求(1)在北纬45度圈上劣弧 AB 的长度; (2) 求经过A、B两地的球面距离？ (1)解：在BOO1中， m O OO1 B 90, OB R,
1
2 OBO1 45 , BO 1 R. 2
的两地A ，B的球面距离． (设地球半径为R). 解 EOB EOA N
B A O E
赤道
S
6 6 R A ，B的球面距离为 6
AOB , 又 EOB 68 EOA 38 , AOB 30 ，根据 l R l R R
2.位于同一纬线上两点的球面距离
O C B
A
练习、把地球当作半径为R的球，地球上A,B 两点都在北纬450的纬线上,A,B两点的球面距 离是 R ，A在东经200，求B点的位置 3 R
AB的弧长
3 AOB为正三角形 AB R
OC OD Rcos45
AOB 60
B
C
A
O
D
在COD中，CD AB R，
上海与台北在同一经线上， 他们在同一个大圆上
A
O
AOB 31 25 6
B r 6371
6 AB的弧长 2 6371 360
例3、 已知地球的半径为 6371km,北京的位置约为东 经1160,北纬400，纽约的位置约为西经740,北纬400, 求两个城市间的距离。
又 OA OB 1 ，在直角三角形 AOB中 AB 2
，同理得：
AC
2
BC
2 AOB 为正三角形，
2 3 6 ，在直角三角形 HB AB 3 2 3 2 6 3 2 BOH中 , OH 1 3 3
O
O C A H d 1 B
A
m
O1
B O
已知球O的半径是1.A、B、C三点
都在球面上，且每两点的球面距离都是 ， 2 则球心到平面ABC的距离是___
A 1 . 3 B 3 , 3 C 2 , 3 D 6 6
O C A H d 1
B
每两点间的球面距离都为 2 AOB BOC AOC 90
解:
A 、 B 、 C三点
是一条线段的长吗? 答：不是，是一段圆弧的长。
(2)经过球面上的这两点有多少条弧呢? 答：无数条。 (3)这无数条弧长哪条最短? 为了解决这个问题我们这节课就来研究一下地 球上两点之间的最短距离（球面距离）
一.定义
球面距离
球面距离：球面上两点A、 B之间的最短距离，就是 经过A、B两点的大圆在 这两点间的一段劣弧AB 的长度，我们把这个弧长 叫做两点的球面距离 距离公式：
A O
B
∴纬线圈中 AB 的长度为
2 2 . R R 2 2 4
(2) 求经过A、B两地球面距离？
(2)在ABO1中， AO1B 90,
AB R, 在AOB中，
AO OB AB R AOB 60 l 3
R
3
∴ A、B两地的球面距离为 R .
cos AOB 0.1647 AOB 99.48 99.48 AB的弧长 2 6371 360
例、球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于 1 大圆周长的 ，经过三个点的小圆的周长为 4 ，求这 6 个球的半径。
O
A
设球的半径为 R, 可知小圆的半径为 2
2.球面距离公式 l R
球面距离
上海嘉定安亭高级中学 方卓群
球面上两点间的距离
平面上两点间的最短距离是连 结这两点的线段的长度， 而球的表面是曲面，球面上P 、Q 两 点间的最短距离显然不是线段PQ的长 度，那是什么呢？
假如你要乘坐从上海直飞好莱坞的飞机, 设想一下,它需要沿着怎样的航线飞行呢? 航程大约是多少呢?
(1)在某一高度上，上海和好莱坞间的距离
球心 O 在平面ABC内的射影一定在 AC上， 所以点 O到平面ABC的距离为 OH
ABC 为直角三角形， A 、 B 、 C三点共圆
3 3 OO1 OA O1 A 3 2 2
2 2
2
练习： 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离 1 都等于大圆周长的 6 , 经过3点的小圆的周 长为 4 , 那么这个球的半径为（ ） B． 2 3 C． 2 D ．3 A． 4 3