lambda演算 和图灵机
浙江省杭州第二中学2022-2023学年高三下学期第一次月考信息技术试题
若数组a的元素为[34，33，25，46，17，77]，则下列说法不正确的是（ ）
A.两段程序的比较次数一样B.两段程序的交换次数一样
C.两段程序的输出结果一样D.两段程序都能实现数组a降序排序
【答案】C
【解析】
【详解】本题主要考查Python程序的执行与调试。分析程序可知，两个程序分别从前往后比较和从后往前比较，因此比较次数和交换次数相等，两段程序都能实现数组a降序排序，但第一个程序内层循环每次会将最小值放到最右边，第二个程序内层循环每次循环会将右边的最大值放到左边，因此最终的输出结果不相等。第一个程序的输出结果是“34,46,77,33,25,”；第二个程序输出结果是“77,46,34,33,25,”，故本题选C选项。
2.将模拟信号转换成数字信号一般需要采样、量化与编码。下列说法正确 是（ ）
A.采样点的量化值不同，其量化位数也一定不同
B.对于同一模拟信号，采样的时间间隔越长，采集的样本数量越多
C.改变量化等级，会影响采集的数据与实际数据的关系
D.模拟信号采样后，再经过ADC在数值上进行离散化，经过编码转换成数字信号
cq [k-1]=1；tail=0
whilecq [（tail-1）%k]<100：
s=0
forjinrange （k）：
s+=cq [j]
cq [tail]=s
tail= （tail+1）%k
returncq [（tail-1）%k]
x=int （input（ ））
print （fun（x））
A.若输入1，程序输出结果 101B.若输入2，程序输出结果为144
【答案】B
【解析】
北航 计算理论 第二章 计算模型
2.1 图灵机模型
与图灵机等价的计算模型：
寄存器机 Lambda演算
2.1 图灵机模型
Church－Turning论题：
一切直觉上能行可计算的函数都可用图 灵机计算，反之亦然。
作业
1. 设计一台图灵机，接受由a和b组成的， 且a与b出现次数相同的字符串。举正反例 给出识别过程。长度大于5.
2.1 图灵机模型
给出串0011的识别过程。
q00011 ┣xq1011 ┣x0q111 ┣xq20y1
┣q2x0y1 ┣xq00y1 ┣xxq1y1
┣xxyq11 ┣xxq2yy ┣xq2xyy
┣xxq0yy ┣xxyq3y ┣xxyyq3B
┣xxyyBq4B
2.1 图灵机模型
给出串0010的识别过程：
δ(q0,1) = (q1,（1,R)）,
δ(q0,B) = (q1,（B, R)）,
δ(q1,0) = (q0, 0, L),
δ(q1, 1) = (q0, 1, L), δ(q1, B) = (q0, B, L).
考虑输入串01，10，…
2.1 图灵机模型
对输入串的不接受：
拒绝状态
不停机
2.1 图灵机模型
应用实例1：自然数及其运算
输入带上0的个数表示自然数
n： 0n
函数的参数以1分隔。 f(n1,n2…,nk)的参数表示为：0n1 10n21…10nk
m+n
0m10n 0m+n 思路：将输入带上的中间的1改为0，将最后 的0改为B。 若m为0则直接将1改为B即可。
6种计算模型
6种计算模型计算模型是计算机科学中的一个重要概念，它是描述计算过程的数学模型。
在计算机科学中，有许多种不同的计算模型，每种模型都有自己的特点和适用范围。
在本文中，我们将介绍6种常见的计算模型。
1.有限自动机：有限自动机是一种描述有限状态机的计算模型。
它由一组有限状态、一组输入符号和一组状态转移函数组成。
有限自动机适用于描述简单的计算过程，如正则表达式匹配和字符串处理等。
2.图灵机：图灵机是由英国数学家艾伦·图灵提出的一种抽象计算模型。
图灵机包括一个无限长的纸带和一个可以读写移动的头部。
图灵机可以模拟任何计算过程，因此被认为是一种通用的计算模型。
mbda演算：Lambda演算是一种基于函数定义的计算模型。
它使用匿名函数和函数应用来描述计算过程。
Lambda演算是函数式编程语言的理论基础，它具有优雅简洁的数学形式。
4.递归函数：递归函数是一种递归定义的计算模型。
它使用函数自身的调用来描述计算过程，递归函数适用于描述递归结构的计算问题，如树形结构的遍历和分治算法等。
5.数据流模型：数据流模型是一种描述并行计算的计算模型。
它使用数据流图来描述计算过程，将计算分解成一系列数据流操作。
数据流模型适用于描述流式计算和并行计算等。
6.并发模型：并发模型是一种描述并发计算的计算模型。
它使用并发控制结构来描述计算过程，将计算分解成多个并发执行的任务。
并发模型适用于描述多任务调度和并发通信等。
这些计算模型各具特点，在不同的计算问题中有不同的应用。
了解和掌握这些计算模型有助于我们更好地理解计算过程和设计高效的算法。
希望本文对你有所帮助。
计算模型图灵机课件
图灵机为计算机安全领域提供了理论 基础，如分析病毒、黑客攻击等。
04
图灵机的启示
对人工智能的影响
1 2
奠定人工智能理论基础
图灵机作为计算模型，为人工智能领域提供了理 论基础，推动了人工智能的发展。
启发机器学习算法
图灵机的计算原理启发了众多机器学习算法，如 神经网络、深度学习等。
3
强化智能系统设计
特点
非确定型图灵机具有更高的计算能力，可以模拟更复杂的算法和问 题。
应用
非确定型图灵机在理论计算机科学中有着重要的地位，例如在自动 机理论和形式语言等领域中的应用。
概率图灵机
定义
概率图灵机是一种能够进行概率计算的图灵机模型，即机器在执行 操作时具有一定的概率分布。
特点
概率图灵机可以模拟随机过程和不确定性，适用于处理概率性和统 计性的问题。
05
图灵机的扩展
多带图灵机
定义
多带图灵机是指具有多个磁带，并且每个磁带都可以独立进行读 写操作的图灵机。
特点
多带图灵机可以同时处理多个任务，提高了计算效率和并行处理 能力。
应用
多带图灵机在计算机科学和人工智能领域中有着广泛的应用，例 如并行算法、分布式计算和云计算等。
非确定型图灵机
定义
非确定型图灵机是指具有不确定性的计算模型，即存在多个可能的 计算路径，但最终都能得到正确的结果。
计算模型图灵机课 件
contents
目录
• 图灵机简介 • 图灵机的工作原理 • 图灵机的应用 • 图灵机的启示 • 图灵机的扩展
01
图灵机简介
图灵机的发明者
01
图灵机的发明者是英国数学家阿 兰·图灵（Alan Turing），他在 1936年提出了图灵机的概念。
计算理论第一章绪论
1.1 计算与计算模型
上世纪初，德国大数学家希尔伯特(Hilbert)提出： 是否存在着一个通用过程，这个过程能用来判
定任意数学命题是否成立，即，输入一个数学命题， 在有限时间内，得到一个证明，如果这个命题成立； 或是一个反例，如果这个命题不成立。
图灵证明了对于平面几何来说，存在这样的过程。 但是，对于一般的数学命题，不存在这样的过程。
图灵机和可计算函数
英国 数学家
1936年，图灵24岁时发表一篇 论文《论数字计算在判决难题 中的应用》，提出著名的“图 灵机”的设想。这一思想奠定 了现代计算机的基础。
美国计算机协会在图灵去世12 年后以他的名字命名了计算机 领域的最高奖“图灵奖”。
艾伦·图灵（1912－1954）
1.1 计算与计算模型
判定。
1.3图灵机
NP完全问题：
NP类中某些问题的复杂性与整个类的复杂 性相关联，这些问题称为NP完全问题。
可计算性与计算复杂性
可计算性computability 是否可解
复杂性 complexity 解的难易程度
1.4 语言与文法
乔姆斯基最初从产生语言的角度研究语言， L*。
问题：考察一个字符串是否是某个语言的句 子。
计算的图灵机定义：
1936年由Turing给出，定义计算为： 输入—执行过程（有限步内结束）—输出
1946年，冯·诺依曼与宾夕法尼亚大学的工程师 采用电子器件物理实现了图灵的计算模型，建成 了世界的第一台计算机。
现在称计算机的体系结构为冯·诺依曼体系结构。
1.1 计算与计算模型
图灵给出了过程的科学定义，区分了可计算 的问题和不可计算的问题。
1.6 计算逻辑与描述逻辑
人工智能及应用(复习课件 )-高中信息技术必修1 浙教版(2019)
汽车驶入时，智能终端通过摄像头获取车辆信息，语音播报车牌号码，上传数据到服务
器； 汽车驶出时，出口处LED屏显示车牌号、停车费用、付费二维码，待用户扫码付款
后放行。该系统的下列应用中，体现了人工智能技术的是（ ）
C．模仿人类大脑中神经元之间的交互
D．关注智能体与环境之间的交互和反馈
【典型例题】
4．电商客服机器人采用自然语言理解技术精准分词，搭建以数据驱动为核心的AI算 法模型，通过服务数万家客户积累海量真实语料，进行深度训练；同时可根据不同用户， 基于数据反馈实时调整推荐商品并生成如图所示的商品销售比例图。
【知识梳理】
一、人工智能的产生与发展
（二）人工智能的发展历程
3. 以符号主义表达与推理为代表的人工智能 （1）1965年第一个专家系统DENDRAL，化学领域 （2）1976年，医学专家系统MYCIN，专家系统的设计规范 （3）1977年，“知识工程”被提出，即尽可能对人类知识进行逻辑编码，然后通 过推理引擎对编码知识进行操作，形成某一领域的“专家系统”。
二、人工智能的应用
（三）混合增强智能
1.定义： 混合增强智能是多种智能体的混合形式，它将人的作用或人的认知模型引入人工智 能系统，形成“混合增强智能”的形态。 案例：达芬奇外科手术机器人
【知识梳理】
三、人工智能对社会的影响
（一）人工智能改善人类生活
1.智能家居 2.智慧城市 3.智能出行 4.智能购物
A．知识获取 B．知识表示 C．知识推理 D．知识管理
2．以下哪种类型的专家系统最适合用于处理非结构化问题（ ）
A．基于规则的专家系统
B．基于模型的专家系统
C
C．基于案例的专家系统
D．基于统计的专家系统
什么是Lambda演算？
什么是Lambda演算？1.什么是解释系统宇宙的表象，即，宇宙中的符号。
符号背后有意义。
为了表达符号背后的意义，需要解释系统，来将符号映射至意义。
所以解释系统，就是，宇宙中的符号（或宇宙的表象）与意义之间的映射规则。
人类就是这样一个解释系统。
人类可以感知宇宙表象，获得表象背后的意义，意义在人感知到的就是一种体验。
所以人类的体验就是解释系统的产物。
人类为了描述自身这个解释系统，将描述输出到物质上，例如文字，图像，声音。
就出现了两类，模拟人的解释系统的次级解释系统。
这两类次级解释系统，分别是，逻辑系统，和直觉系统。
逻辑系统的代表是数学系统。
直觉系统的代表是艺术系统。
单说，逻辑系统，其目的是，映射符号代表的意义，即，映射符号的语义。
Lambda演算等价于数学系统，所以Lambda演算本质上就是一个系统，就是一个解释系统。
就是一个模拟人的解释系统（感知系统）的次级解释系统。
就是一个所谓的解释器。
所以，反过来看，数学系统也是一个解释器。
Lambda演算可以看成一个编程语言。
所以，反过来看，数学系统也是一个编程语言。
2.家谱2.1之前的认知：逻辑系统是爷爷数学系统是爸爸Lambda演算是儿子2.2现在的认知：宇宙第一义是爷爷逻辑系统是爸爸，直觉系统是妈妈数学系统是哥哥，Lambda演算是弟弟。
（弟弟比哥哥更严肃）艺术系统是姐姐。
mbda演算于数学系统的区别Lambda演算和数学系统的本质区别是，Lambda演算是一个更严谨的人，数学系统是一个更随意的人。
他们俩个虽然能力一样，性质一样，但是做事风格不一样。
如果是做工程，显然选择严肃规范理性的的人更合适。
另一个比喻，数学系统是橡皮泥，Lambda演算是乐高玩具。
虽然他们都可以做玩具（业务），都可以映射小汽车（语义）。
乐高块相比橡皮泥更加规范，更加容易协作。
接口一致，容易连接。
（见下图）橡皮泥乐高所以Lambda的优势，就在于构建复杂，需要多人协作的工程。
计算机行业，显然属于需要多人协作的工程，所以自然选择了Lambda演算作为底层解释器。
lambda演算实例
lambda演算实例关于lambda演算的定义和解释的确有点让人迷糊，主要不是因为lambda演算有多复杂，而是一些基本概念没有归入正确位置的原因。
这里先写一点草稿，在实践中学习和领悟lambda演算到底是个什么东西。
一：自然数运算：在lambda演算中的邱奇数定义0 = λf.λx.x1 = λf.λx.f x2 = λf.λx.f (f x)3 = λf.λx.f (f (f x))SUCC = λn.λf.λx.f(n f x)SUCC是一个有三个自由变量的函数计算SUCC 0=λn.λf.λx.f (n f x) 0 //将0代入n=λf.λx.f (0 f x) //0=λf.λx.x=λf.λx.f (λf.λx.x f x) //λf.λx.x f x是将两个参数的函数λf.λx.x应用于(f x)这两个值的结果，结果等于x=λf.λx.f x //正好等于1的邱奇数定义SUCC 1=λn.λf.λx.f (n f x) 1 //将1代入n=λf.λx.f (1 f x) //0=λf.λx.x=λf.λx.f (λf.λx.(f x) f x) //λf.λx.(f x) f x是将两个参数的函数λf.λx.(f x)应用于(f x)这两个值的结果，结果等于(f x)=λf.λx.f (f x) //正好等于2的邱奇数定义小节：不妨把lambda演算看做一个自动机，你输入一个式子（一个λ项），它就给你输出一个演算结果，至于输入和输出有什么意义，是我们自己赋予的。
比如为了计算0的后继，我们只是输入（λn.λf.λx.f(n f x) λf.λx.x）给这个机器，这个机器就会给我们输出λf.λx.f x。
在解释这个输入输出关系时，我们会说，SUCC 0 = 1，这样就赋予这个运算一个意义。
这个自动机知道自己在做加1操作吗？其实它什么也不知道。
为什么邱奇数这样定义？其实不妨把它们看做是被偶然发现的一些λ项，这些λ项的组合项的演算结果恰好能对应于自然数的运算而已。
2022—2023学年高中信息技术浙教版(2019)必修1知识梳理
数据与信息一、数据、信息与知识1.数据数据是对客观事物的符号表示，单纯的数据是没有意义的数据的表现形式包括文字、图形、图像、音频和视频等，数字是最简单的表现形式数据的载体是实物，包括书本等2.信息信息是用来消除随机不确定性的东西特征：（1）载体依附性：信息的表示、传播、存储必须依附于载体，而不是信息表示的事物。
（2）时效性：信息反映的是某一特定时间内的状态，它会随时间的推移而变化。
（3）共享性：信息是可以传递和共享的，可以被重复使用而不会产生损耗。
（4）可加工处理性、真伪性：信息是可以加工和处理的。
信息有真实信息和虚假信息之分。
（5）价值性：信息的价值是相对的，包含显性价值和隐性价值。
3.知识知识是人类在社会实践中获得的认识和经验的总和，也是人类在实践中认识客观世界的成果。
知识是可以积累和传承的。
4.智慧：全世界只有少部分人具有智慧高科技（航天、人工智能等）、对未来的预测、创造5.数据、信息与知识关系信息是数据经过储存、分析及解释后所产生的意义，信息的载体是数据通过归纳、演绎、比较等手段对信息进行挖掘，形成知识举例：数据：37.5；信息：小明的体温是37.5摄氏度；知识：正常人的体温在36.5-37.5之间二、数据采集编码1.数据采集采集自然界数据：传感器（一般由敏感元件、转换元件、其他辅助元件组成）采集网络数据：网络爬虫2.进制转换（1）数据在计算机内部是以二进制方式进行存储和处理的。
（2）常用的数制有：二进制(B)、十进制(D)、十六进制(H)。
（3）各进制之间的转换规则如下：①二进制→十进制按权展开相加法例如：1001B＝1*23＋0*22＋0*21＋1*20＝9D②十六进制→十进制按权展开相加法例如：3BH＝3*161＋11*160＝59D③十进制→二进制除2取余倒序法例如：29D＝11101B(算式如下图所示)④十进制→十六进制除16取余倒序法例如：49D＝31H⑤二进制←→十六进制8421分组转换法例如：A9H＝10101001B(从低位开始，以四位为一组)3.存储容量单位最小的存储容量单位：比特（bit）(b)基本的存储容量单位：字节（Byte）(B)1B=8b 1KB=1024B 1MB=1024KB 1GB=1024MB4.数字化（1）模拟信号和数字信号模拟信号是连续的数字信号是二进制，是离散的，不连续的将模拟信号转换为数字信号的过程称为数字化。
计算机科学的挑战与方法
NFA意义
机器翻译、文献检索和字处理程序中有着重要的作用 是计算复杂性中的一个关键的概念，对于定义P和NP类非常重要
5
NP完全理论的奠基人
史提芬·A·古克（Stephen A. Cook，1939年－），美国计算机科 学家，计算复杂性理论的重要研究 者。1982年图灵奖得主。
在这种环境下，诞生了第一个NP完全问题：
Stephen A. Cook."The Complexity of Theorem Proving Procedures". STOC, 1971.
7
NP完全理论的奠基人
动机：
虽然，王浩实际上是从计算复杂性的角度研究一阶逻辑的可满 足性问题。而本质上这个问题图灵已经解决，即该问题是不可 判定的（undecidable）；P = NP?是一个非常难的问题。
4
非确定有限状态自动机理论的开创者
动机：
确定有限状态自动机(DFA)对于给定的指令集，当输入确定时， 输出也是确定的，也就是机器的行为是确定的。
Rabin和Scott认为这种“确定行为”带来了“局限性”
解决方案：
对于给定的输入，允许输出是有限种可能性中的一种选择。实 际上，机器的行为从“确定”变为“不确定”，这种机器就是 非确定有限状态自动机
6
NP完全理论的奠基人
哈佛大学研究生院对新兴学科十分重视，在计算复杂性处于 萌芽时期邀请了迈克尔·拉宾（Michael Oser Rabin，76年 图灵奖得主)、理查德·斯特恩斯（Richard Edwin Stearns ，93年图灵奖得主）和尤里斯·哈特马尼斯（Juris Hartmanis，93年图灵奖得主）等人来哈佛讲学或做报告。
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• 具体的程序就是一个列表，也叫做规则表，是这样的：
当前内部状态s 输入数值i 输出动作o 下一时刻的内部状态s'
q0 q1
1 0
前移 往纸带上写
q1 qn
q2
0
后移
qy
• 简单说完成加法的图灵机的输入字符集是0、1和+。带 字符集是0、1、+、=、还有空白符。 • 图灵机程序计算加法的过程： 一开始带上内容是一个二进制加式，比如2+3，读写头 在右边的 1 上。
2.图灵机
• 图灵机基本模型有一个有穷控制器，一条输入带和一个带 头，带被分成许多单元，带头在每个时刻扫视带上的一个 单元。
• 它工作的时候是这样的：从读写头在纸带上读出一个方 格的信息，并且根据它当前的内部状态开始对程序进行 查表，然后得出一个输出动作，也就是是否往纸带上写 信息，还是移动读写头到下一个方格。程序也会告诉它 下一时刻内部状态转移到哪一个。
3.λ演算的计算能力与图灵机的计算能力等价
• 图灵机可计算一切直觉上能行可计算的函数。 • λ演算之通用在于，任何一个可计算函数都能用这种形式 来表达和求值。 • 因而，λ演算的计算能力是等价于图灵机的。
在λ演算中，计算系统 用函数的嵌套次数来计数。
• lambda演算中的数字n就是一个把函数 f 作为参数并以 f 的n次幂为返回值.λf.λx.( (m f)((n f) x) ) 3 2 //将3和2应用于m,n这两个自由变量 =λf.λx.( (3 f) ((2 f) x) ) //((2 f) x) = (λf.λx.(f (f x)) f x) = f (f x) =λf.λx.( (3 f) (f (f x)) ) //3=λf.λx.f (f (f x)) =λf.λx.( (λf.λx.f (f (f x)))) f )(f (f x) ) //将f 和 (f (f x)) 应用于f和x上 =λf.λx.(f (f (f (f (f x))))) //正好等于5的邱奇数定义
λ表达式的唯一形式：x，λy•e，f(a) 例如：f(x,y)=x+y λx•λy•x+y 函数求值： f(2,3)可以表示为： (λx•λy•x+y) 2 3 (λy•2+y)3 2+3 如上已经完成了普通加法，这样就结束了？？
lambda演算系统中合法的字符如下： • x1，x2，x3，...xn 变元 • →归约 • ＝ 等价 • λ，（，） 所有能够在lambda演算系统中出现的合法符号只有以上四 种，其他符号都是非法的。例如λx.x+2，如果没有其他对 于＋符号的说明，那么这就是一个非法的λ演算表达式。 同时，自然数 2 也需要定义。
b
b
1
0
+
1
1
=
b
• 首先，图灵机将读写头运动到更右一个位置，写下 =，然 后运动到原始位置。 • 开始向右扫描。读到 1 或 0，通过进入不同的状态记住读 到的是 1 还是 0，把已读过的字符记成已读状态。 • 然后往右找 + ，找到后，再往右找 1 或 0，还是把读过的 字符标记成已读状态。找到后凭借进入不同的状态记住已 读到的两个加数分别是什么。 • 然后再往右找 =，找到后在 = 右边第一个非 0 或 1 的空 位写下记住的两个加数的和。
软件工程理论报告
报告内容
• 使用λ演算的计算和图灵机模型完成简单的加法运算。 • 说明λ演算的计算能力与图灵机的计算能力等价。
1.λ演算
• λ演算（lambda calculus）是一套用于研究函数定义、函 数应用和递归的形式系统。它由阿隆佐·邱奇和他的学生斯 蒂芬·科尔·克莱尼在20世纪30年代发明的。 • λ演算可以被称为最小的通用程序设计语言。它包括一条 变换规则（变量替换）和一条函数定义方式。 • λ演算表达了两个计算机计算中最基本的概念“代入”和 “置换”。“代入”我们一般理解为函数调用，或者是用 实参代替函数中的形参；“置换”我们一般理解为变量换 名规则。“代入”就是用lambda演算中的β-归约概念。而 “替换”就是lambda演算中的α-变换。
• 在 lambda 演算中有许多方式都可以定义自然数，但最常 见的还是邱奇数 • Church数 邱奇编码是把数据和运算符嵌入到lambda演算内的一种方 式，它是使用lambda符号的自然数的表示法。这种方法 得名于阿隆佐·邱奇，他首先以这种方法把数据编码到 lambda演算中。
• Church数是在Church编码下的自然数的表示法。表示自 然数n的高阶函数是把任何其他函数 f 映射到它的n重函数 复合 的函数。