数学分析2试题B及答案
2020-2021某大学《数学分析(二)》期末课程考试试卷B(含答案)
第1页 共2页2020-2021《数学分析（二）》期末课程考试试卷B适用专业： 考试日期：试卷所需时间120分钟 闭卷 试卷总分100分一、判断题：（对的打√，错的打×，每小题2分，共10分）1、平面上两曲线22y x =与4y x =-所围成图形的面积为18。
（ ）2、若()f x 在[,]a b 上连续，2()0bafx dx =⎰，则[,]x a b ∀∈，()0f x =。
（ ） 3、级数11!n e n ∞==∑。
（ ） 4、函数列{}nx 在(0,1)上收敛且一致收敛于0。
（ ）5、幂级数2(!)(2)!nn x n ∑的收敛区域为[4,4]-。
（ ） 二、选择题：（共5小题，每小题2分，共10分）1、设()f t 在[1,1]-连续，则sin cos1()xdf t dt dx ⎰等于 （ ） (A) (sin )(cos1)f x f -；(B) (sin )cos f x x ； (C) (sin )f x ；(D) ()cos f x x 。
2、设1n n u ∞=∑是正项级数，那么下列命题正确的是： （ ）(A) 若11n n u u +< ，则1n n u ∞=∑收敛； (B) 若lim 0n n u →∞=，则1n n u ∞=∑收敛； (C) 若21nn u∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛；(D) 若1nn u∞=∑的某一重排1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛。
3、二元函数222(,)yf x y x y=+在点(0,0)的重极限和累次极限分别为（ ） (A) 均存在； (B) 存在，不存在； (C) 不存在，存在； (D) 均不存在。
4、下列等式中，正确的是 （ ）(A)； (B) ；(C) ； (D) 。
5、下列关于反常积分1sin p xdx x+∞⎰是条件收敛时正确的是（ ） (A)2p ≤； (B)01p <≤；(C)1p >； (D) p 为任何实数均条件收敛。
济南大学1516高等数学 二BW参考解答
lim
n
un1 ( x) un (x)
lim (n 1) xn1
n nxn
| x |
当 x 1, 当 x 1,
时级数收敛 故收敛半径为 R 1.
时级数发散
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5. 级数
的和为____.
教材P182-185
解:
Sn
n (2)k k 1 3
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f ( x, y )
x0 y0
即
函数
zz
=
f f(x( ,xy)
在 点x , y(x,
y)y可) 微f
(函x ,数y )在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
d(1z)函d数f 可 微A x B y 偏导数存在 (2z)偏A导 x数连B续 y o ( ) 函数可微
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，A Δx B Δ y 称为函数 f ( x, y )
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
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当函数可微时 :
lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
即 8x y 3z 4 0
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3. 设 z z(x, y) 是由方程 z3 x y z 0确定的隐函数 求 z , z . x y 知识点:隐函数求导公式, 教材P99-101
解： 令 F z3 x y z.
考研数学二真题及答案分析精选文档
证明：
若 ，求方程组 的通解。
【答案】（I）略；（II）通解为
【解析】
（I）证明：由 可得 ，即 线性相关，
因此， ，即A的特征值必有0。
又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.
且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为
（15）（本题满分10分）求极限
【答案】
【解析】 ，令 ，则有
（16）（本题满分10分）设函数 具有2阶连续偏导数， ，求 ，
【答案】
【解析】
结论：
（17）（本题满分10分）求
【答案】
【解析】
（18）（本题满分10分）已知函数 由方程 确定，求 的极值
【答案】极大值为 ，极小值为
【解析】
两边求导得：【答案】 Nhomakorabea【解析】
(11) _______
【答案】1
【解析】
(12)设函数 具有一阶连续偏导数，且 ， ，则
【答案】
【解析】 故
，
因此 ，即 ，再由 ，可得
【答案】
【解析】
（13）
【答案】 .
【解析】交换积分次序：
.
（14）设矩阵 的一个特征向量为 ，则
【答案】-1
【解析】设 ，由题设知 ，故
故 .
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【解析】 在 处连续 选A.
（2）设二阶可导函数 满足 且 ，则（）
【答案】B
【解析】
为偶函数时满足题设条件，此时 ，排除C,D.
取 满足条件，则 ，选B.
东北林业大学 数学分析2考卷答案
所以
1 1 1 1 x x x x . 1 ( ) ( ) 2 ( ) 3 ....... ( ) n ....... x 2 2 x 2 2 2 2 2 1 2
=
1 x x2 x3 xn 2 3 4 ...... n 1 ....., x (2,2) 2 2 2 2 2
6、解： f x =--2sinx+e x - e x ，令 f ( x) 0 ，解得一个稳定点 0,
f (x) =2sinx+ e x - e x , f 0 =0,
f (x) 2sinx+ e x - e x f 0 =0,
f 4 x =2cosx+ e x - e x , f 4 x >0,
3、B 4、C
ln 2 0
5、 0, ,2 4 4
3
7
5、C
ln 2
0
xde x =- xe x
ln 2 e x d x 0
1 1 1 ln 2 1 = 1 ln 2 2 2 2
1 n 1 ，则有 n =S =2 2 2 n 1 2
1 x 2
x
令 x=
五、解：因为 f x = x 为偶函数，只能展成余弦级数， 即 bn =0,
a0 =
2
0
2 x2 x =3 x dx = 2 0
1 dx 2 x dx = 2 2 2、 解：原式=- 2 2 2 x x 1 x x 1
1 x2 1 1 1 2 2 = 2 dx 2 +C dx = ln 2 2 x x 1 2 x 1
数学分析2期末考试题库
数学分析2期末试题库 《数学分析II 》考试试题（1）一、叙述题：（每小题6分，共18分）1、 牛顿-莱不尼兹公式2、∑∞=1n na收敛的cauchy 收敛原理3、 全微分 二、计算题：（每小题8分，共32分）1、4202sin limx dt t x x ⎰→2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。
3、求∑∞=+1)1(n nn n x 的收敛半径和收敛域，并求和4、已知zy x u = ，求yx u∂∂∂2三、（每小题10分，共30分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数2、讨论反常积分⎰+∞--01dx e x x p 的敛散性3、讨论函数列),(1)(22+∞-∞∈+=x n x x S n 的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设)2,1(11,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞=1n n x 发散 2、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微。
，一、叙述题：(每小题5分，共10分）1、 叙述反常积分a dx x f ba,)(⎰为奇点收敛的cauchy 收敛原理2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)212111(lim nn n n +++++∞→ 2、求摆线]2,0[)cos 1()sin (π∈⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积3、求⎰∞+∞-++dx x xcpv 211)(4、求幂级数∑∞=-12)1(n nn x 的收敛半径和收敛域 5、),(yxxy f u =， 求y x u ∂∂∂2三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、yx y x y x f +-=2),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？2、讨论反常积分⎰∞+0arctan dx x xp的敛散性。
高等数学(二)答案B
A.（1,3）
B. 1,3
C. 1,3)
D. (1,3
二、填空题（每题 4 分，共 16 分） 1、球心在点（1，2,3） ，半径为 4 的球面方程为 ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2 = 16 。
2、方程 x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 z − 2 = 0 表示的图形是圆心在（-1,0， -1 ） ，半径为 2 的球面。 。
n=1
1 n2
D.
(−1)
n =1
n
n
3.若幂级数 an xn 在 x = 3 处收敛，则该级数在 x = 1 处必定（
n =1
C
）
A．发散 4.下列命题（
B. 条件收敛 A ）正确
C. 绝对收敛
D. 收敛性不能确定
A.
u
n =1
n
收敛， un 必定收敛。B． un 收敛， un 必定收敛
n =1 n =1
n =1
C.
un 发散， un 必定发散，
n =1
D.
n =1
un 发散， un 未必发散
n =1
n =1
1
（共 5 页）
2013 年 4 月
中国地质大学（北京）继续教育学院
2014 年
5. z = ln x 2 − y 2 的定义域是（
2 2
D
）
A． x 2 − y 1
3、二元函数 z = 16 − x 2 − y 2 的定义域是 ( x, y ) : x 2 + y 2 16 。
2017考研数学二真题及答案解析
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1））若函数1cos ,0(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（）(A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =【答案】A【解析】001112lim lim ()2x x xf x ax ax a ++→→-== 在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（）()()1111011110()()0()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dxD f x dx f x dx----><><⎰⎰⎰⎰⎰⎰【答案】B 【解析】()f x 为偶函数时满足题设条件，此时011()()f x dx f x dx -=⎰⎰，排除C,D.取2()21f x x =-满足条件，则()112112()2103f x dx xdx --=-=-<⎰⎰，选B.（3）设数列{}n x 收敛，则（）()A 当lim sin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=()B当lim(0n n x →∞+=时，lim 0n n x →∞=()C 当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=()D 当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=【答案】D【解析】特值法：（A ）取n x π=，有lim sin 0,lim n n n n x x π→∞→∞==，A 错；取1n x =-，排除B,C.所以选D.（4）微分方程的特解可设为（A ）22(cos 2sin 2)xx Ae e B x C x ++（B ）22(cos 2sin 2)xx Axee B x C x ++（C ）22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++（D ）22(cos 2sin 2)xx Axee B x C x ++【答案】A【解析】特征方程为：21,248022iλλλ-+=⇒=±222*2*212()(1cos 2)cos 2,(cos 2sin 2),x x x x xf x e x e e x y Ae y xe B x C x =+=+∴==+ 故特解为：***2212(cos 2sin 2),xx y y y Aexe B x C x =+=++选C.（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂>>∂∂，则（A ）(0,0)(1,1)f f >（B ）(0,0)(1,1)f f <（C ）(0,1)(1,0)f f >（D ）(0,1)(1,0)f f <【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y∂∂><⇒∂∂是关于x 的单调递增函数，是关于y 的单调递减函数，所以有(0,1)(1,1)(1,0)f f f <<，故答案选D.（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（）（A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1012P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则123(,,)A ααα=（）（A ）12αα+（B ）232αα+（C ）23αα+（D ）122αα+【答案】B【解析】11231232300011(,,)(,,)12222P AP AP P A αααααααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⇒=⇒==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因此B 正确。
数学分析II(山东联盟)智慧树知到期末考试章节课后题库2024年齐鲁师范学院
数学分析II（山东联盟）智慧树知到期末考试答案章节题库2024年齐鲁师范学院1.答案:02.答案:3.答案:发散4.答案:5.答案:6.答案:7.答案:8.答案:充分不必要9.答案:条件收敛10.答案:收敛11.答案:收敛12.答案:013.答案:14.答案:收敛15.答案:116.答案:117.答案:18.答案:19.答案:20.答案:充要21.答案:22.答案:单调减少且小于零23.答案:1224.答案:25.答案:26.答案:27.答案:28.答案:0 29.答案:30.答案:31.答案:收敛32.答案:33.答案:34.答案:收敛35.答案: 36.答案:37.答案:38.答案:条件收敛39.答案:必要非充分40.下列数项级数中发散的是（）；答案:41.答案:42.答案:绝对收敛43.答案:44.答案:45.答案:46.答案:247.答案:收敛48.答案: 49.答案:50.答案:收敛51.答案:52.答案: 53.答案:54.答案:55.答案:56.答案:057.答案:58.答案:发散59.答案:60.答案:61.答案:262.答案:有关63.答案:必要非充分64.答案:365.答案:发散66.答案: 67.答案: 68.答案: 69.答案: 70.答案:71.答案:2 72.答案:073.答案:74.答案:可能收敛也可能发散75.答案:76.答案:收敛77.答案:78.答案:79.答案:80.答案:收敛81.答案:82.答案:必要非充分83.答案:发散84.答案:85.答案:错86.答案:错87.答案:错88.答案:对89.答案:对90.答案:错91.答案:对92.答案:错93.答案:对94.孤立点一定是界点；（）答案:对95.任给一个函数，都可以写出它的傅里叶展开式。
（）答案:错96.答案:对97.答案:对98.答案:对99.答案:对100.答案:错101.答案:对102.设 .w68205758251s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758251s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758251s .font0 { font-style: italic;font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758251s .font1 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } f 在点 .w68205758236s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758236s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758236s .font0 { font-size: 262px;font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758236s .font1 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758236s .font2 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } 0 x 具有任意阶导数，那么 .w68205758217s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758217s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758217s .font0 { font-style: italic;font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758217s .font1 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } f 在区间 .w68205758201s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758201s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758201s .font0 { font-size: 473px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758201s .font1 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758201s .font2 { font-size: 373px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758201s .font3 { font-size: 262px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758201s .font4 { font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758201s .font5 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } ( ) r x r x + - 0 0 , 内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式 .w68205758185s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758185s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758185s .pen1 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 16; stroke-linejoin: round; } .w68205758185s .font0 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758185s .font1 { font-size: 373px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758185s .font2 { font-size: 262px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758185s .font3 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } r x x < - 0 的 .w68205758230s .brush0 { fill: rgb(255,255,255); } .w68205758230s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758230s .font0 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758230s .font1 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } x ，有 .w68205758212s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758212s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758212s .font0 { font-size: 473px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758212s .font1 { font-size: 406px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758212s .font2 { font-size:373px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758212s .font3 { font-size: 242px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758212s .font4 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758212s .font5 { font-style: italic; font-size: 262px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758212s .font6 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } ( ) 0 lim = ¥ ® x R n n ，这里 .w68205758196s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758196s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758196s .font0 { font-size: 473px; font-family: Symbol, serif; } .w68205758196s .font1 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758196s .font2 { font-style: italic; font-size: 262px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758196s .font3 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } ( ) x R n 是 .w68205758375s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758375s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758375s .font0 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758375s .font1 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } f 在 .w68205758359s .brush0 { fill:rgb(255,255,255); } .w68205758359s .pen0 { stroke: rgb(0,0,0); stroke-width: 1; stroke-linejoin: round; } .w68205758359s .font0 { font-size: 262px;font-family: "Times New Roman", serif; } .w68205758359s .font1 { font-style: italic; font-size: 406px; font-family: "Times New Roman",serif; } .w68205758359s .font2 { font-weight: bold; font-size: 76px; font-family: System, sans-serif; } 0 x 的泰勒公式余项。
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五、（10分）
解： ，收敛域 。设和函数 ，则
六、（10分）
解：将函数进行偶延拓，于是 ，
所以
七、（10）解：对 。当 ，
即函数列 在 上非一致收敛。
当
所以 ，即函数列 在 上一致收敛。
一、计算下列各题：（5分×8=40分）
1、 ；2、利用定积分求极限：
3、求下列极限： ；4、求平面曲线 所围图形的面积。
5、讨论无穷积分 的收敛性；6、讨论瑕积分 的收敛性
7、判别级数 的敛散性
8、求函数 在 处的幂级数展开式，并确定它的收敛区间：
二、（10分）证明：设 在 上可积，则 ，使得 。
三、（10分）证明：若数列 收敛，且级数 收敛，则级数 收敛。
5、解：（1）因为 ，所以原式收敛。
6、解： 是瑕点，因为 ，所以瑕积分 收敛。
7、解： ，所以原级数收敛。
8、解：
二、（10分）
证明：考虑函数 ，则 在 上连续，且
若 ，则 ，根据零点定理， ，使得
或
若 ，则取 ，有 。
三、（10）
证明：设级数 与 的部分和分别是 ，且则 ，即级 Nhomakorabea 收敛。
四、（10分）
四、（10分）设函数 ，求 。
五、（10分）确定幂级数 的收敛域，并求其和函数：
六、（10分）将函数 在 上展开成余弦级数。
七、（10分）函数列 分别在区间 是否一致收敛，并说明理由。
一、计算下列各题：（5分×8=40分）
1、解法一：
解法二：
2、解：
3、解： 。
4、解：两曲线焦点是 ，于是所围图形的面积是