最新数学分析(2)期末试题
数学分析II期末考试题
∑ 2、讨论级数 ∞ cos nx (0 < x < π ) 的绝对和条件收敛性。 np n=1
四、证明题：（每小题 10 分，共 30 分）
∫x
tf (t)dt
1、 f（x）在[0，+∞）上连续且恒有 f（x）>0，证明 g(x) = 0
在[0，+∞）上单调增
∫x f (t)dt
0
加
∞
∑ { } 2、 设正项级数 xn 收敛， n=1
=
x2
∫ 3、 I n =
+∞ e−x x n dx (n 是非负整数）
0
4、设 u = f (x 2 + y 2 + z 2 , xyz), f 具有二阶连续偏导数，求 ∂ 2u ∂z∂x
5、求 f (x) = e x 的幂级数展开式
三、讨论与验证题：（每小题 10 分，共 20 分）
1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明；对否定 的结论，给出反例
2、证明： ∀m, n
>
m ，有 (n − m)
<
xm+1
+ " xn
<
xm 由此得 nxn
<
n n−m
xm ，（4
分）由
级数收敛，故 ∀ε
> 0 可取定 m0 使得 xm0
< ε ，又 lim n n→∞ n − m0
= 1 ，故 ∃n0 使得 n > n0 时，
有
n
n −m
<
2
，（4
分）于是当 n
∑ ∑ ∫ 二、1、由于 lim ln n n! = lim 1 (( n
西华师范大学数学分析大二期末试题(含答案)
西华师范大学数学分析（2）期末试题课程名称数学分析（Ⅱ）适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）1、下列级数中条件收敛的是（）．A ．1(1)nn ∞=−∑B ．nn ∞=C ．21(1)nn n∞=−∑D ．11(1)nn n ∞=+∑2、若f 是(,)−∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数,则f 的傅里叶（Fourier ）级数在它的间断点x 处（）．A ．收敛于()f xB ．收敛于1((0)(0))2f x f x −++C ．发散D ．可能收敛也可能发散3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（）．A ．有界B ．连续C ．单调D ．存在原函数4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x ′=（）A ．1xB ．ln x xC ．21x −D ．xe5、已知反常积分20 (0)1dxk kx +∞>+∫收敛于1，则k =（）A ．2πB ．22πC ．2D ．24π6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n nx x x x −−+−+−+⋯⋯收敛，则（）A ．x e<B ．x e>C ．x 为任意实数D ．1e x e−<<二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）1、已知幂级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为．2、若数项级数1n n u ∞=∑的第n 个部分和21n nS n =+，则其通项n u =，和S =．3、曲线1y x=与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为．4、已知由定积分的换元积分法可得，10()()bxxaef e dx f x dx =∫∫，则a =，b =．5、数集(1)1, 2 , 3, 1nn n n ⎧⎫−=⎨⎬+⎩⎭⋯的聚点为．6、函数2()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为．65三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）1、(1)dxx x +∫．2、2ln x x dx ∫．3、 0(0)dx a >∫．4、 2 0cos limsin xx t dt x→∫．5、dx ∫．四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1、讨论函数项级数21sin n nxn ∞=∑在区间(,)−∞+∞上的一致收敛性．2、求幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．3、设()f x x =,将f 在(,)ππ−上展为傅里叶（Fourier ）级数．五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）1、已知级数1nn a∞=∑与1nn c∞=∑都收敛，且, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=⋯，证明：级数1nn b∞=∑也收敛．2、证明：22 00sin cos nn x dx x dx ππ=∫∫．66试题参考答案与评分标准课程名称数学分析(Ⅱ)适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）⒈B⒉B⒊A⒋C⒌D⒍D二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）⒈2⒉2, =2(1)n u S n n =+⒊ln 2⒋1, a b e ==⒌1±⒍201, (,)!nn x x n ∞=∈−∞+∞∑三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）1.解111(1)1x x x x=−++∵1(1)dxx x ∴+∫（3分）11(1dxx x=−+∫ ln ln 1.x x C =−++（3分）2.解由分部积分公式得231ln ln 3x xdx xdx =∫∫3311ln ln 33x x x d x =−∫（3分）33111ln 33x x x dx x =−⋅∫3211ln 33x x x dx =−∫3311ln 39x x x C =−+（3分）3.解令sin , [0, ]2x a t t π=∈由定积分的换元积分公式，得0∫2220cos atdtπ=∫（3分）6768220(1cos 2)2a t dtπ=+∫221(sin 2)22a t t π=+2.4a π=（3分）4.解由洛必达(L ＇Hospital)法则得200cos limsin xx tdtx →∫20cos x x →=4分）lim cos x x→=1=（2分）5.解=（2分）20 sin cos x x dxπ=−∫4204(cos sin ) (sin cos )x x dx x x dx πππ=−+−∫∫（2分）244(sin cos )(sin cos )x x x x πππ=+−+2.=−（2分）四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1.解(, ), x n ∀∈−∞∞∀+（正整数）22sin nx n n ≤（3分）而级数211n n ∞=∑收敛，故由M 判别法知，21sin n nxn ∞=∑在区间(,)−∞+∞上一致收敛．（3分）2.解幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径111lim nn R n→∞==，收敛区间为(1,1)−．（2分）易知1nn x n ∞=∑在1x =−处收敛，而在1x =发散，故1nn x n∞=∑的收敛域为[1,1)−．（2分）01, (1, 1)1n n x x x ∞==∈−−∑（2分）逐项求积分可得0001, (1,1)1xx nn dt t dt x t ∞==∈−−∑∫∫．即101ln(1), (1,1).1n nn n x x x x n n+∞∞==−−==∈−+∑∑（2分）3.解函数f 及其周期延拓后的图形如下函数f 显然是按段光滑的，故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。
数学分析期末考试试题2
数学分析期末考试试题2### 数学分析期末考试试题2一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数\( f(x) = \sin x \)在区间[0, \( \pi \)]上的最大值是： - A. 1- B. \( \frac{\pi}{2} \)- C. \( \sqrt{2} \)- D. \( \sqrt{3} \)2. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是：- A. 0- B. 1- C. \( \frac{1}{2} \)- D. \( \frac{\pi}{2} \)3. 如果\( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，那么\( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \)的值是：- A. 0- B. 1- C. 2- D. 无法确定4. 函数\( g(x) = x^2 + 3x + 2 \)的导数是：- A. \( 2x + 3 \)- B. \( x^2 + 3 \)- C. \( 2 + 3x \)- D. \( 3x + 2 \)5. 以下哪个序列是收敛的？- A. \( \{ \frac{1}{n} \} \)- B. \( \{ (-1)^n \} \)- C. \( \{ n^2 \} \)- D. \( \{ \frac{1}{n^2} \} \)二、填空题（每题2分，共10分）1. 函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)的极值点是______。
2. 如果\( \lim_{n \to \infty} a_n = L \)，则\( \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} = \)______。
3. 函数\( h(x) = e^x \)的泰勒展开式在\( x = 0 \)处的前三项是______。
数学分析(2)期末试题集(填空题)
一、不定积分问题1．设x x ln 为()x f 的一个原函数,则积分()='⎰2e e dx x f x 1212--ee .解: 由原函数概念可得()2ln 1ln x x x x x f -='⎪⎭⎫ ⎝⎛=,因此()()221,0e e f e f -==,于是积分()()()121ln 122222--=--=-='⎰⎰e e xxdx x f x xf dx x f x e ee eee e e. 2. 已知()x f 的一个原函数为x x sin ,设0≠a ,则=⎪⎭⎫⎝⎛⎰dx a x f C a x x a +⎪⎭⎫ ⎝⎛sin 2 .解C a x x a C a x a x a a x d a x f a dx a x f +⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰sin sin 2.3. 已知21x x f =⎪⎭⎫⎝⎛',则()=x f C x+-1. 4. 已知()x f '的一个原函数为2sin x ,常数0≠a ,则()=+'⎰dx b ax f ()()C b ax ab ax +++2cos 2. 5. 设()0,1ln >+='x x x f ,则()=x f C e x x++ .6.⎰=dx x arctan()C x x x +-+arctan 1(注:用分部积分法⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+--=x d x x x dx x 111arctan arctan ) 7.⎰=+-+dx x x x 13652()C x x x +-++-23arctan 4136ln 212(注: ()()⎰⎰⎰+-++-+-=+-+43826262113652222x dxx x x x d dx x x x ) 8.()=+⎰dx x e x 221tan C x e x+tan 2 (注: 原式()⎰+=dx x x e x tan 2sec 22) 9.=+⎰dx x x xln ln 1C x x x +++-+++1ln 11ln 1lnln 12 (注: 令t x =+ln 1,原式C t t t dt t t ++-=-=⎰11ln 21222)10.()=-⎰dx x x21ln C x xx x +-+-1ln 1ln (注: 原式()⎰---=x x dx x x 11ln ) 11.()=+⎰--dx e xe x x21()C e ex xx++-+-1ln 1 (注: 原式()()⎰⎰⎰++-+=+-+=+=-----x xx x x x ee d e x e dx e x exd 1111111) 12. =⎰dx x x2sin sin ln C x x x x +---cot sin ln cot (注: 原式()⎰-=x xd cot sin ln )13.()=-⎰dx x x xln 1ln 1C x +ln arcsin 214. ()=++⎰dx xe x x x11C xe xe x x ++1ln(注: 原式()()()()()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=++=du u u u u du xe x e xe d dx xe x e x e x x x x x x 1111111) 15*()=+⎰dx xx 1ln ()C x x x x +-++arctan 41ln 2(注: 原式()⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+=+-+=+-+=+=x x d dx x x x x xd x x dx x x x x x d x 141ln 21221ln 2121ln 21ln 2 16. ()=+⎰46x x dxC x x ++4ln 24166 (注: 原式⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dx x x x 414165) 17.=⎰dx xx cos tan C x+-cos 218.=+⎰dx x csc 1C x +sin arcsin 219. =-⎰xdx x x arcsin 12()C x x x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---3arcsin 131323220. 设()34f x dx xx C '=-+⎰,则()f x = 22x x C -+ .21.32sin cos x xdx =⎰4611sin sin 46x x C -+ . 22. 设()ln 1f x x '=+,则()f x xx e C ++ .23. 设()31xf x e '-=,则()f x ()1133x eC ++ .24. 若()21x f x dx x C =+++⎰,则()f x 2l n 21x + .25. 设()()()()()()11,F x f x g x f x f x f x =-=+,若()()2F x g x '=⎡⎤⎣⎦,且14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,则()f x tan x . 26.214dx x =+⎰ 1a r c t a n 22xC + . 27. 设0a ≠,则()100ax b dx +=⎰()1011101ax b C a++ . 28. 设()ln 1f x x '=+,则()f x xe x C ++ . 29. 设0b ≠,则2xdx a bx =+⎰ 21ln 2a bx C b++ . 30.2xxde -=⎰ 2212x x xe e C --++ . 31. ()f x 的一个原函数为1x ,则()f x '= 32x.32.(211x dx -=⎰8 .33. 若函数()f x 是(),-∞+∞上的连续函数,且()()210x x f t dt x +=⎰,则()2f =15. （注：()()210x x f t dt x +=⎰两边对x 求导，得()()221231f x x x x ⎡⎤+⋅+=⎣⎦，令1x =，得()251f ⋅=,所以()125f =）34．若()x f 的原函数为x ln ，则()='⎰dx x f x ln x C -+ 。
高等数学,数学分析（2）期末考试题库
高等数学,数学分析（2）期末考试题库高等数学②期末考试题库目录高等数学②期末考试题（一） (2)高等数学②期末考试题（二） (8)高等数学②期末考试题（三） (16)高等数学②期末考试题（四） (23)高等数学②期末考试题（五） (30)高等数学②期末考试题（六） (36)高等数学②期末考试题（七） (42)高等数学②期末考试题（八） (48)高等数学②期末考试题（九） (55)高等数学②期末考试题（十） (61)高等数学期末考试题（一）一. 解下列各题（每小题6分） 1. .设)ln(),,(22z y x z y x u y ++=, 求zuy u x u ,,及全微分)2,1,(e du . 2. 求曲线32,,t z t y t x =-==的与平面0193=-++z y x 平行的切线方程. 3. 将?+=x x dy yx dx I 222101化为极坐标系下的累次积分, 并计算I 的值.4. 判断级数∑∞=12tan1n nn和∑∞=-+-1)1()1(n n n n 的敛散性.二. 解下列各题（每小题7分）1. 设函数)(u f 具有二阶连续导数, 且)sin (y e f z x =满足方程z e yz x z x22222=??+??, 求)(u f 的表达式. 2. 计算第一类曲面积分??∑=zdS I , 其中∑为锥面22y x z +=在柱体x y x 222≤+内的部分.3. 设)(x S 函数≤<≤<-=ππx xx x f 002)(2的以π2为周期的傅里叶级数展开式的和函数, 求)3(),2(),6(),6(ππS S S S -的值.4. 计算曲线积分?-+=Ldz z xdy dx y I 222, 其中L 是平面2=+z x 与柱面122=+y x 的交线, 若从z 轴正向往负向看去, L 取逆时针方向. 三. (8分）把函数)3(1)(-=x x x f 展成1-x 的幂级数, 并指出收敛域.四. （8分）设V 是由曲面z z y x 2222=++围成的立体, 其上任一点处的密度与该点到原点的距离成正比(比例系数为)k , (1)求V 的质量; (2) 求V 的质心坐标.五.（8分）证明曲面m xyz = 0(≠m 为常数)上任一点的切平面在各坐标轴上的截距之积为常数.六. （8分）求幂级数∑∞=---121)12()1(n nn x n n 的收敛区间及和函数.七. (8分)计算曲面积分,)]([])([333??∑-+++=dxdy yz zf z dzdx y yz yf dydz x I 其中函数f 有连续的导函数, ∑为上半球面221y x z --=的上侧.八. (8分) 设函数)(y f 在+∞<<∞-y 内有连续的导函数, 且y ?,0)(≥y f ,1)1(=f , 已知对右半平面}0,),{(>+∞<<∞-x y y x 内任意一条封闭曲线Γ,都有0)(2=+-?Γy f x xdyydx , 求)(y f 的表达式.答案一. 1.1-=??y yx x u 222ln z y y x x y u y ++=?? 222z y z z u +=?? …………(3分) 1)2,1,(=??e xu52)2,1,(+=??e yu e54)2,1,(=e z u ………….(5分) dz dy e dx du 54)52(+++= ………………(6分)2. }3,1,2{2t t T -=………………..(1分) 由题设03962=+-t t , 即0322=-+t t …………………(2分) 解得1=t , 3-=t .…………………(3分) 切点为 )1,1,1(- 或 )27,3,9(-}3,1,2{=T 或}27,1,6{--=T切线为 311121-=-+=-z y x 或 27271369+=--=--z y x …………….(6分)3. ?=θθπρθ2cos sin 04d d I …………………..(2分`)θθθθπc o s 1c o s s i n 402==?d 4π)12(-= ……………………(6分)4.n n 2tan1~n2……………………….(2分) ∑∞=12n n 发散∑∞=∴12a r c t a n 1n n n 发散……………….(3分)∑∞=-+-1)1()1(n nn n ∑∞=++-=11)1(n nnn ……………………….(4分)n n ++11单调减少且趋于零, ∑∞=-+-∴1)1()1(n n n n 收敛……..(6分)二. 1.y e f x z x sin ?'=?? y e f yzx c o s ?'=?? ……………………….(2分) y e f y e f xz x x s i n s i n2222?'+?''=?? y e f y e f y zx x s i n c o s 2222?'-?''=?? ………………………..(4分)代入已知方程得 0=-''f f …………………………(5分) 012=-r 1±=ru u e C e C u f -+=21)( .………………(7分) 2.. ??+=xyD dxdy y x I 222 ……………………(3分)=θπρρθc o s 2022022d d ………………….(5分)=203c o s 3216πθθd 9232= .………………(7分)3.±=+=<<<<-=ππππx x x x x x S 2101002)(22 ………………(3分) 2)26()6(=-=πS S 2)62()62()6(-=-=-ππS S 1)0()2(==S S π 21)()3(2πππ+==S S ………..(7分)4. 解1 t z t y t x L cos 2,sin ,cos :-=== …………….(2分) dt t t t tI ]sin )cos 2(cos 2sin [(2203--+-=?π ………..………(5分)π2= …………………(7分) 解2 利用斯托克斯公式, 设S 是L 所围平面+-=Sdxdy y I )22( ………………...(3分)-=xyD dxdy y )22(π22==??xyD dxdy …………………….(7分)三.)311(31)(-+-=x x x f …………………..(2分)]211121)1(11[31----+-=x x ……………………..(4分)∑∑∞=∞=-----=00])21(21)1()1([31n n n nn x x ……………(6分) ∑∞=+----=011)1](21)1[(31n n n n x ……………….(7分)由 11<-x 及121<-x 得收敛域)2,0(∈x …………(8分)四. (1) ++=VdV z y x k m 222 ……………..(1分)=?ππ??θcos 2032020sin dr kr d d ……………(3分)58cos sin 8204πππk d k ==? …………….(4分) (2) 0=x 0=y ………………….(5分) ++= VdV z y x zk m z 2221 . ……………(6分) =?ππθc o s 2042020c o s s i n dr rd d m k .………… (7分) 783564cos sin 564206===m k d mk πππ.……………(8分) V 的质心为 )78,0,0(五. 曲面上任一点),,(000z y x P 处的切平面法向量为},,{000000y x z x z y n =…………………….(2分) 切平面 0)()()(00000000=-+-+-z z y x y y z x x x z y ……….(4分) 即 0000000003z y x z y x y z x x z y =++ 在三坐标轴上截距分别为0003,3,3z y x .………………(6分) m z y x z y x 2727333000000==?? ………………..(8分)六. 1)12)(1()12(lim lim1=++-=∞→+∞→n n n n a a n nn n …………………(1分)1=R , 收敛区间 11<<-x ………………….(2分)设∑∞=---=121)12()1()(n nn x n n x S∑∞=----='1121)12()1(2)(n n n xn x S …………………..(3分) . ∑∞=---=''1221)1(2)(n n n x x S …………………..(4分)∑∞=--=112)(2n n x 212x+=………..………(6分) x x S a r c t a n 2)(=' …………………(7分) )1l n(a r c t a n 2)(2x x x x S +-= …………………(8分)七. 设0,1:22=≤+z y x S , 利用高斯公式-+++-=+dxdy yz zf z dzdx y yz yf dydz x I S)]([])([333∑ …….….(2分)0)(3222-++=VdV z y x ……………………..(4分)=1042020s i n 3dr r d d ??θππ ……………………(6分)=1420s i n6dr r d ππ56π= ……………………(8分)八. 222)]([)(y f x y f x x Y +-=?? 222)]([)()(y f x y f y y f x y X +'-+=………..(4分) 由y X x Y ??=?? 得 222)]([)(y f x y f x +-222)]([)()(y f x y f y y f x +'-+=即)(2)(y f y f y =' ……………………(5分)ydyy f y df 2)()(=……………………(6分) 1ln 2)(ln C y y f += 2)(Cy y f = ………………….(7分) 由 1)1(=f 得1=C 2)(y y f =∴ …………………..(8分)高等数学期末考试题（二）一、求解下列各题（每小题6分）1. 已知直线3221:+==-z m y x L 与平面02:=++-D z y x π平行，且L 到π的距离为6, 求m 与D 的值.3. 计算第二类曲线积分dy y xdx y x I L ?+= 2 ，其中L 是曲线x y =上从点)1 , 1(A 到点)2 , 4(B 的弧段. 4. 设有级数)11ln(1)1(11n nn pn +-∑∞=-, 指出p 在什么范围内取值时级数绝对收敛, 在什么范围内取值时级数条件收敛, 在什么范围内取值时级数发散(要说明理由).二、解下列各题（每小题7分）1. 已知n是曲面1222=+-z y x 在点)1 , 2 , 2(处指向z 增大方向的单位法向量, z z xy u ln 2-=, 求)1 , 2 , 2(nu.2. 将函数231)(2++=x x x f 展开成)1(-x 的幂级数, 并求收敛区间及)1()5(f 的值.3. 计算三重积分Ω=zdV x I 2, 其中Ω是由柱面2x y =与平面1=y , 0=z ，2=z所围成的立体.4．求二元函数y x y x x y x f z 293),(223+---==的极值点与极值.三、(8分) 设1)(2+=x x f ，ππ≤≤-x , 将)(x f 展开成以π2为周期的傅里叶级数.四、（8分）设V 是由曲面222y x z --=与22y x z +=围成的立体, 求V 的表面积.五、(8分) 计算第二类曲面积分??++=Sdxdy dzdx y dydz x I 33, 其中S 是曲面22y x z += )10(≤≤z 的下侧.六、（8分）求幂级数∑∞=+12)(n n x n n 的收敛域与和函数.七、(8分) 已知在半平面0>x 内dy y x y x dx y x y x λλ))(())((2222++++-为二元函数),(y x f 的全微分. (1) 求λ的值； (2) 求 )0 , 2()3 , 1(f f -的值.八、（8分）设}|),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，其中0>t . 已知)(x f 在), 0[∞+。
学历自考模拟试卷-《数学分析II》期末考查试卷【附答案】
x
3xdx +
y x cos ydy （5 分）
M0M
0
0
＝ 3 x2 + x sin y （6 分）（说明：原函数可以直接观察得出！） 2
五、应用题（7 分）
一页长方形白纸，要求印刷面积占 Acm2 ,并使所留页边空白为：上部与下部宽度之和为： a + b = h cm,左部与右部宽度之和为： c + d = r cm (A,r,h 为已知数)，求页面的长(y)和宽(x)， 使它的面积最小.
（3 分）
L = (x − r)(y − h) − A = 0.
于是有
x = r , 1+
y = h , 1+
= − 1+
Ah r
（5
分）
根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的.（7 分）
x = Ar + r, y = Ah + h. （6 分）
h
r
3
= ar cos , y
= br sin
（3
分），则
D
可表示为： 0
2 , 0 r
1（4
分），所以，
S =
2
d
1abrdr （5 分），所以 S = ab （7 分）.
0
0
4、计算第二型曲面积分： I
=
S
1 dxdy ，其中 S 是椭球面 x2
z
a2
+
y2 b2
+
z2 c2
= 1 的外侧
解：由题意，目标函数与约束条件分别为 S = xy 与 x r, y h, (x − r)(y − h) = A. （1 分）作 Lagrange 函数 L = xy + [(x − r)(y − h) − A], （2 分）则有
数学分析(二)期末试题
《数学分析（二）》期末试题一、选择题（共20分） 1、dxx dxd b a⎰2sin =（ ） A 、22sin sinab - B 、22cos cos ab - C 、2sinxD 、02、下列积分中不是非正常积分的是( ) A 、 dx x⎰+∞+0211 B 、dxx⎰-1211 C 、dx x⎰-42211 D 、dxx ⎰-22)1(13、若任意的),(b a x ∈，有0)0(,0)(>''>'f x f 则)(x f 在),(b a 内是（ ） A 、单调增加的凸函数 B 、单调减少的凹函数 C 、单调减少的凸函数 D 、单调增加的凹函数4、cx dx x f x+='⎰2ln2)(ln 1且1)0(=f ，则=)(x f （ ）A 、122+xB 、x 2ln 2C 、22xD 、c x +2ln 25．下列级数中条件收敛的是（） A 、∑!sin n x B 、1)1(+-∑n n nC 、∑+-]11)1[(nnnD 、nn2sin)1(∑-6、曲线1)1(3--=x y 的拐点是（ ）A 、)0,2(B 、)1,1(-C 、)2,0(-D 、无拐点 7、若级数∑∞=+0)1(n nu 收敛，则=∞→n n u lim （）。
A 、1B 、-1C 、0D 、不存在。
8、设)(x f 为连续函数，则dtt f dxd xx⎰2)(=（ ）A 、)()(22x f x xf-B 、)(22x xf C 、)(x f D 、)()21(x f x -9、若1n n μ∞=∑收敛，1nn k k S μ==∑，则下列命题中正确的是（ ）。
A 、lim 0nn S →∞=B 、lim n n S →∞存在C 、lim n n S →∞不存在 D 、}{n S 单调 10、13n nn xn ∞=⋅∑的收敛半径为（ ）A 、0B 、1C 、3D 、13二、填空题（共20分） 1、=⎰-xdx x arccos117（ ）2、23sin limxx t dt x→=⎰（ ）3、=--⎰dx x x)cos 312(2（ ）曲线)10(,2≤≤=x x y 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积是（ ） 5、dxxx p⎰+∞1sin 条件收敛，那么p 的取值范围为（ ）6、设13--=ax x y 在1=x 处存在极值，则=a （ ）7、函数)1()1()(>-+=p x xx f pp在]1,0[上的最大值为（ ）8、曲线2y x=和2y x=所围城的平面图形的面积为（ ） 9.级数()111n n n ∞=+∑的和为（ ）。
数学分析(2)期末试题参考答案
∑ A′
∑ ℓα (
)
µ(Iα) µ Jβxα,γ
≥
ε0 m
>
ε.
α=1 γ=1
α=1
γ=1
另 一 方 面， 对 于 每 个 xα， 存 在 一 个 Kk， 使 得 xα ∈ Kk。 因 为 P 是 利 用 K1, . . . , Kκ 的边界构造的网格分划，所以相应的 Iα × Jβxα,γ 一定包含在这个
恰好覆盖
Em，于是
∑A′
α=1
µ(Iα)
≥
ε0。对于每个
Iα (1 于是
≤ α ≤ A′)，取一个
∑ℓα
γ=1
µ(Jβxα ,γ
)
≥
1 m
xα ∈ Iα ∩ Em，设 ，所以我们有
Jβxα,1 , . . . , Jβxα,ℓα
恰好覆盖
Kxα ，
∑ A′ ∑ ℓα ( µ Iα
) × Jβxα,γ
=
i) 求证：
∫
∫
∫
ωi = ωi + ωi, i = 1, 2.
γ3
γ1
γ2
ii) 求证：
∫
lim
ωi = 0, i = 1, 2.
R→+∞ γ2
iii) 计算广义积分：
C = ∫ +∞ cos (x2) dx, S = ∫ +∞ sin (x2) dx
0
0
() 解答： i) 因为 ωi ∈ Ω1 R2 、dωi = 0 (i = 1, 2)，所以由 Green 公式可知结论
解答：（证法一）因为
K
紧且
Lebesgue ∫
零测，所以
Jordan
零测，于是
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数学分析（2）期末试题课程名称 数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）1、 下列级数中条件收敛的是（ ）．A ．1(1)nn ∞=-∑ B ． 1n n ∞= C ．21(1)nn n∞=-∑ D ． 11(1)nn n ∞=+∑2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数在它的间断点x 处 （ ）．A ．收敛于()f xB ．收敛于1((0)(0))2f x f x -++C ． 发散D ．可能收敛也可能发散3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）．A ．有界B ．连续C ．单调D ．存在原函数4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ）A ． 1xB ．ln x xC ． 21x- D ． x e5、已知反常积分20 (0)1dxk kx +∞>+⎰收敛于1，则k =（ ）A ． 2πB ．22πC ． 2D ． 24π6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+收敛，则（ ）A ． x e <B ．x e >C ． x 为任意实数D ． 1e x e -<<二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）1、已知幂级数1n n n a x ∞=∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为 ．2、若数项级数1n n u ∞=∑的第n 个部分和21n nS n =+，则其通项n u = ，和S = ． 3、曲线1y x=与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为 ． 4、已知由定积分的换元积分法可得，1()()bxxae f e dx f x dx =⎰⎰，则a = ，b = ．5、数集(1) 1, 2 , 3, 1nn n n ⎧⎫-=⎨⎬+⎩⎭的聚点为 ． 6、函数2()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为 ．65三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）1、 (1)dxx x +⎰． 2、2ln x x dx ⎰．3、 0(0)dx a >⎰． 4、 2 0cos limsin xx t dt x→⎰．5、dx ⎰．四、解答题（第1小题6分，第2、3 小题各8分，共22分）1、讨论函数项级数21sin n nxn ∞=∑在区间(,)-∞+∞上的一致收敛性． 2、求幂级数1nn x n∞=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．3、设()f x x =, 将f 在(,)ππ-上展为傅里叶（Fourier ）级数．五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）1、已知级数1n n a ∞=∑与1n n c ∞=∑都收敛，且, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=，证明：级数1n n b ∞=∑也收敛．2、证明：22 0sin cos nn x dx x dx ππ=⎰⎰．66试题参考答案与评分标准课程名称 数学分析(Ⅱ) 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业一、 单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）⒈ B ⒉ B ⒊ A ⒋ C ⒌ D ⒍ D二、 填空题（每小题3分，3×6＝18分）⒈ 2 ⒉ 2, =2(1)n u S n n =+ ⒊ ln 2⒋ 1, a b e == ⒌ 1± ⒍ 201, (,)!nn x x n ∞=∈-∞+∞∑三、 计算题（每小题6分，6×5＝30分）1. 解111(1)1x x x x=-++1(1)dx x x ∴+⎰ （3分）11()1dx x x =-+⎰ln ln 1.x x C =-++（3分）2. 解 由分部积分公式得231ln ln 3x xdx xdx =⎰⎰ 3311ln ln 33x x x d x =-⎰ （3分） 33111ln 33x x x dx x =-⋅⎰ 3211ln 33x x x dx =-⎰ 3311ln 39x x x C =-+ （3分） 3. 解 令sin , [0, ]2x a t t π=∈ 由定积分的换元积分公式，得⎰2220cos a tdt π=⎰ （3分）67220(1cos 2)2a t dt π=+⎰2201(sin 2)22a t t π=+2.4a π=（3分）4. 解 由洛必达(L ＇Hospital)法则得20cos limsin xx tdtx→⎰20cos lim cos x x x →= （4分） 0limcos x x →=1=（2分）5. 解= （2分）20sin cos x xdx π=-⎰4204(cos sin ) (sin cos )x x dx x x dx πππ=-+-⎰⎰ （2分）2404(sin cos )(sin cos )x x x x πππ=+-+2.= （2分）四、 解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1. 解 (, ), x n ∀∈-∞∞∀+（正整数）22sin 1nx n n ≤ （3分） 而级数211n n ∞=∑收敛，故由M 判别法知，21sin n nxn ∞=∑在区间(,)-∞+∞上一致收敛． （3分）682.解幂级数1nnxn∞=∑的收敛半径1R==，收敛区间为(1,1)-．（2分）易知1nnxn∞=∑在1x=-处收敛，而在1x=发散，故1nnxn∞=∑的收敛域为[1,1)-．（2分）01,(1, 1)1nnx xx∞==∈--∑（2分）逐项求积分可得001,(1,1)1x x nndt t dt xt∞==∈--∑⎰⎰．即101ln(1),(1,1).1n nn nx xx xn n+∞∞==--==∈-+∑∑（2分）3.解函数f及其周期延拓后的图形如下函数f显然是按段光滑的，故由收敛性定理知它可以展开为Fourier级数。
（2分）由于()f x在(,)ππ-为奇函数，故0,0, 1, 2,na n==…，而1sin11cos cosnb x nxdxx nx nxdxn nπππππππππ--==-+-⎰⎰1(1)2nn+-⋅=（4分）所以在区间(,)ππ-上，11sin()2(1).nnnxf x xn∞+===-∑（2分）69五、 证明题（每小题5分，5×2＝10分）1. 证明 由1n n a ∞=∑与1n n c ∞=∑都收敛知，级数1()nn n ca ∞=-∑也收敛。
（1分）又由 , 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=，可知， 0, 1,2,3,n n n n b a c a n ≤-≤-=从而由正项级数的比较判别法知1()nn n ba ∞=-∑收敛， （2分）于是由 (), 1,2,3,n n n n b b a a n =-+=知级数1nn b∞=∑收敛． （2分）2. 证明 令2x t π=-，则2t x π=-. （1分）由定积分的换元积分公式，得202sin sin ()2n n xdx t dt πππ=-⎰⎰－ （2分） 2200sin ()cos 2nn t dt tdt πππ=-=⎰⎰ 20cos n xdx π=⎰ （2分）70。