考研高数总复习中值定理(讲解)
考研高数定理：柯西中值定理
凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！考研高数定理：柯西中值定理考研数学考察的中值定理有：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理(即微分中值定理)、柯西中值定理和泰勒中值定理。
这四个定理之间的联系和区别要弄清楚，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。
除泰勒定理外的三个定理都要求已知函数在某个闭区间上连续，对应开区间内可导。
柯西中值定理涉及到两个函数，在分母上的那个函数的一阶导在定义域上要求不为零，柯西中值定理还有一个重要应用——洛必达法则，在求极限时会经常用到。
泰勒公式中的x0=0时为泰勒公式的特殊情况，为麦克劳林公式，常见函数的麦克劳林展开式要熟记，在求极限和级数一章中有很重要的应用。
证明题中辅助函数的构造方法：一、结论中只含ξ，不含其它字母，且导数之间的差距为一阶。
二、结论中只含ξ，不含其它字母，且导数之间相差超过一阶。
三、结论中除含ξ，还含有端点a,b。
四、结论中含两个或两个以上的中值。
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考研：中值定理
中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。
（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0, 那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
高数第三章第一节中值定理
三、柯西(Cauchy)中值定理
及 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内
f (b) f (a ) f ( ) . 至少存在一点 使 F (b) F (a ) F ( ) a b 分析: F (b) F (a) F ( )(b a) 0 f (b) f (a) F ( ) f ( ) 0 要证 ( ) F (b) F (a) f (b) f (a) ( x) F ( x) f ( x) F (b) F (a)
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内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
费马引理
f (b) f (a)
拉格朗日中值定理
F ( x) x
罗尔定理
f (b) f (a) F ( x) x
柯西中值定理
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
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柯西 目录 上页 下页 返回 结束
f (b) f (a) F ( x) f ( x) 证: 作辅助函数 ( x) F (b) F (a) 则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) F (a) f (a) F (b) (a) (b) F (b) F (a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) f (a ) f ( ) . F (b) F (a ) F ( ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b) 两个 不 F (b) F (a) F ( )(b a) , (a , b) 一定相同 上面两式相除即得结论. 错!
高数第三章__中值定理
增量y的精确表达式 .
拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 推论1 如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零,
那末 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数. 推论2 如果 在区间 I 上 f ( x ) g( x ), 那末 在区间 I 上 f ( x ) g( x ) C
——导数应用的理论基础
本章我们先给出Rolle定理（它是Lagrange定 理的特殊情况），由特殊过渡到一般来证明 Lagrange定理和Cauchy定理，有了Cauchy定理 就可以给出Taylor中值定理及L， Hospital法则， 这就是本章理论部分的主要内容。
理论部分结构图
特例
推广
Rolle定理
f ( x )在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x ) f (0) f ( )( x 0), (0 x )
1 f (0) 0, f ( x ) , 由上式得 ln(1 x ) x , 1 x 1 1 1 又0 x 1 1 1 x 1, 1 x 1 x x x x, 即 ln(1 x ) x . 1 x 1 1 x
在[2,2]上除f (0)不存在外, 满足罗尔定理的 f ( x ) 0. 一切条件, 但在内找不到一点能使
又例如, f ( x ) 1 x , x (0,1], f (0) 0; 在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的 一切条件 但在内找不到一点能使 f ( x ) 0.
再例如 f ( x ) x , x [0,1]. 在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔 定理的一切条件 但也找不到使 f ( x ) 0的点. ②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；
高数中值定理
⾼数中值定理第三章中值定理与导数的应⽤中值定理与导数的应⽤的结构洛必达法则Rolle 定理Lagrange 中值定理常⽤的泰勒公式型0,1,0∞∞型21∞-∞型∞?0型00型∞∞Cauchy 中值定理Taylor 中值定理xx F =)()()(b f a f =0=n gfg f 1=211221111∞∞∞-∞=∞-∞取对数令gf y =单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根⽅法.导数的应⽤第三章中值定理与导数的应⽤1. 中值定理2. 常⽤麦克劳林公式3. 洛必达法则4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点7. 最值问题8. 典型例题1. 中值定理泰勒中值定理设f (x )在含0x 的某开区间(a ,b )内具有(n +1)阶导数, 则当),(b a x ∈时，在 x 与0x 之间存在ξ ,使（柯西中值公式）)()()()()()(''ξξg f b g a g b f a f =--（拉⽒中值公式）)()()(ξf b f a f '=-柯西中值定理设f (x ), g (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间 (a ,b )内可导且g '(x )≠0, 那末),(b a ∈?ξ,使罗尔中值定理设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内可导且f (a )= f (b ), 那末),(b a ∈?ξ,使f '(ξ )=010)1(000)()()!1()()(!)()(++=-++-=∑n n nk n n x x n f x x n x f x f ξ拉⽒中值定理设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内可导, 那末),(b a ∈?ξ,使)()!12()1(sin 22012+=+++-=∑n nk k kx o k x x )()!2()1(cos 1202+=+-=∑n nk k k x o k x x )()1()1ln(11nnk k k x o k x x +-=+∑=-!)1()1(k n k +--=ααααΛ)()1(0nn=+∑=αα)(110n nk k x o x x +=-∑=)(!nnk kxx o k x e +=∑=2. 常⽤麦克劳林公式不定型或）（∞∞001不定型）（00,1,0,,02∞∞-∞∞?∞3. 洛必达法则)()()(lim )()(lim ??∞=''=→→或l x g x f x g x f x x 0 1100∞=∞=∞∞=∞01ln exp∞=∞11ln exp 1?=010ln exp 00211221111∞∞∞-∞=∞-∞上单调减少在，则函数内如果在上单调增加在设函数],[)(0)(),()2(],[)(0)(),()1(),(],[)(b a x f y x f b a b a x f y x f b a b a b a x f y =<'=>'=单调性定理 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点．点统称为极值点和极⼩值点极⼤值值点；⼩的⼀个极⼤是值，称⼩的极⼤是就称值，那么⼩的某邻域内的唯⼀最⼤在是如果)()()()()()()()()()()(0000x f x x f x f x x f x f 极值定义5. 函数图形性质的讨论x(x0, x1)x1(x1, x2)x2(x2, x3)x3(x3, x4) f '(x)+--+f "(x)-+f (x)图形单增极⼤f ( x1)单减⽆极值单减极⼩f ( x3)单增先求极值可疑点：驻点、不可导点( 设为x1,x2,x3 ), 再按下表判断若)(x f 在0x 可导有极值 , 则0x 为)(x f 的驻点极值可疑点：不取极值在不变号，则的左、右邻域如果在取极⼤值在，则，右邻域的左邻域如果在取极⼩值在，则，右邻域的左邻域如果在的去⼼邻域可导，那么在设连续函数0000000)()()3()(0)(0)()2()(0)(0)()1()(x x f x f x x x f x f x f x x x f x f x f x x x f y '<'>'>'<'=极值第⼀充分条件取极值必要条件驻点（即使0)(0='x f 的点）、不可微点取极⼤值在，则如果取极⼩值在，则如果的邻域⼆阶可导，那么在驻点设函数00000)(0)()2()(0)()1()(x x f x f x x f x f x x f y <''>''=极值第⼆充分条件6. 判定极值的充分条件7. 最值问题求最值的步骤：1. 建⽴⽬标函数2. 求最值可疑点：驻点、不可导点、边界点3. 确定最值点：(3) 若知函数有唯⼀最值可疑点, ⽽由实际问题本⾝知函数的最⼤(⼩)值⼀定存在, 则该最值可疑点必是所求最⼤(⼩)值点例1.]65,6[sin ln 的正确性上在验证罗尔定理对ππ=x y 解8. 典型例题5lnsin [,].66y x ππ∴=函数在上满⾜罗尔定理的条件:22,(0,1,)D k x k k πππ<<+=±Q L 5[,].66ππ且在上连续5cot (,)66y x ππ'=⼜在内处处存在5()()66f f ππ=并且ln2=-cot 0,y x '==由5(,)66ππ在内显然有解.2x π=,2πξ=取()0.f ξ'=则这就验证了命题的正确性..)1(51lim 520x x xx +-+→求极限解.2的次数为分⼦关于x Θ5)51(51x x +=+∴)()5()151(51!21)5(51122x o x x +?-?++=)(2122x o x x +-+=)1()](21[lim 2220x x o x x x x +-+-+=→原式.21-=例2.)()(,)1,0(,:,1)1(,0)0(,)1,0(,]1,0[)(b a f bf a ba f f x f +='+'==ηξηξ使内存在不同的在对任意给定的正数试证且内可导在上连续在设证,均为正数与b a Θ10<+<∴ba a,]1,0[)(上连续在⼜x f 由介值定理,,)(ba a f +=τ使得),1,0(∈τ存在有上分别⽤拉⽒中值定理在,]1,[],,0[)(ττx f 例3),0(),()0()(τξξττ∈'=-f f f )1,(),()1()()1(τηηττ∈'-=-f f f ,1)1(,0)0(==f f 两式分别乘有)(1)(1ηξf f ''和并注意到1))(())((=+'++'b a f bb a f a ηξ.)()(b a f b f a +='+'∴ηξ).,0,0(,2ln )(ln ln y x y x yx y x y y x x ≠>>++>+证明不等式证),0(ln )(>=t t t t f 令,1ln )(+='t t f 则,)(>=''tt f .0,0),,(),(ln )(是凹的或在>>=∴y x x y y x t t t f )2()]()([21yx f y f x f +>+于是,2ln 2]ln ln [21y x y x y y x x ++>+即.2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+即例4])1,0[(21)(:,1)(),1()0(,]1,0[)(∈≤'≤''=x x f x f f f x f 证明且上⼆阶可微在若函数证],1,0[0∈x 设有展成⼀阶泰勒公式处把在,)(0x f x 20000))((21))(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ则有令,1,0==x x 21000)(21)()()0(x f x x f x f f ξ''+'-=202000)1)((21)1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ例52022010)1)((21)(21)(x f x f x f -''-''='ξξ)1()0(f f =两式相减，并注意到则有,1)(≤''x f 及2020)1(2121x x -+≤21412141)21(220=+≤+-=x 的任意性知命题真再由0x.,,)1,2(sin 2程两曲线的公共曲率圆⽅点处并写出向点具有相同的曲率和凹在使抛物线与正弦曲线⼀抛物线求作处上点过正弦曲线M M c bx ax y M x y ++=π曲率圆的圆⼼坐标分别曲率半径和处的曲率在点曲线,),()(y x x f y =,])(1[232y y k '+''=,1k=ρ'''++='''+'-=y y y y y y y x x 2020)(1])(1[例6,1)2(=πf 有=π')2(f ,0=π'')2(f .1-,2c bx ax y ++=对于曲线,)sin(x y =对曲线=π)2(f 有,242c b a +π+π=π')2(f ,b a +π=π'')2(f .2a 若两曲线满⾜题设条件,必在该点处具有相同的⼀阶导数和⼆阶导数,于是有,1242=+π+πc b a ,0=+πb a .12-=a 解此⽅程组得,21-=a ,2π=b .812π-=c 故所求作抛物线的⽅程为.8122122π-+π+-=x x y 两曲线在点处的曲率圆的圆⼼为),0,2(π1)2(22=+π-y x.,,,,,12并作函数的图形渐近线拐点区间凹凸极值的单调区间求函数-+=x xx y 解:)1(定义域,1±≠x ),,1()1,1()1,(+∞---∞Y Y 即1)(2--+-=-x xx x f Θ),(x f -=为奇函数y ')2(222)1(11-+-=x x ,)1()3(2222--=x x x ,0='y 令.3,0,3-=x 得例7y ''222)1()3(2-+=x x x ,)1(1)1(133++-=x x ,0=''y 令.0=x 得,lim )3(∞=∞→y x Θ;没有⽔平渐近线∴,lim 01-∞=-→y x ⼜,lim 01+∞=+→y x )(x f ;1的铅直渐近线为曲线y x =∴,lim 01-∞=--→y x ,lim 01+∞=+-→y x ;1为铅直渐近线-=∴x x y a x ∞→=lim Θ)1(1lim 2-+=∞→x xx x x ,1=)(lim ax y b x -=∞→)(lim x y x -=∞→1lim 2-=∞→x xx ,0=.的斜渐近线为曲线直线y x y =∴,)3,0,3(),1()4(分点和可能拐点的横坐标为驻点以函数的不连续点==-=±=x x x x ,lim )3(∞=∞→y x Θ;没有⽔平渐近线∴,lim 01-∞=-→y x ⼜,lim 01+∞=+→y x ;1为铅直渐近线=∴x。
[考研数学]中值定理
![[考研数学]中值定理](https://img.taocdn.com/s3/m/faea6c2466ec102de2bd960590c69ec3d5bbdb96.png)
[考研数学]中值定理⽤书：张宇考研数学基础30讲下多为摘录。
条件/表述部分不完全准确（实际上条件归于表述，但为了观察相似的条件所以单独列出了。
）定理的推导（常考证明）和条件细节⾮！常！重！要！可补充内容：证明、⼏何意义、对⽐=总结/不保证对的个⼈理解。
=我先挖个坑在这⾥。
不要让⼏何直观，蒙蔽了我们的双眼。
—柯西有界与最值定理条件：设f(x)在[a,b]上连续，则：表述：m⩽f(x)⩽M。
其中，m,M为f(x)在[a,b]上的最⼩值和最⼤值。
证明：介值定理条件：设f(x)在[a,b]上连续，则：表述：当m⩽µ⩽M时，存在ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=µ。
证明：(离散)平均值定理条件：设f(x)在[a,b]上连续，则：表述：当a<x1<x2<⋯<x n<b时，在[x1,x n]内⾄少存在⼀个点ξ，使得f(ξ)=f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n)n。
证明：借助介值定理证明。
m⩽f(x i)⩽M,(i=1,2,…,n)nm⩽Σf(x i)⩽nMm⩽f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n)n⩽M令µ=f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n)n，存在ξ∈[x1,x n]，使得f(ξ)=µ=f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n)n=1n∑ni=1f(x i)平均值定理的ξ常见闭区间。
(函数)零点定理条件：设f(x)在[a,b]上连续，则：表述：当f(a)⋅f(b)<0时，存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。
证明：借助介值定理和最值定理推导。
f(a)⋅f(b)<0说明f(a)与f(b)异号故m<0且M>0则m<0<M，存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。
前四条有共⽤条件：f(x)在[a,b]上连续。
连续即不间断。
所以端点不是间断点。
出现函数值为零的条件，可以考虑⽤介值定理与零点存在定理做。
延伸：推⼴的零点定理若f(x)在(a,b)上连续，lim，\alpha \cdot \beta< 0 时，则f(x)在(a,b)内⾄少有⼀个根。
高等数学 中值定理及其应用
3. 积分中值定理及其应用
一、微分中值定理
定理1 (Fermat引理) 若函数f (x)在点x0处可导且
取得极值, 则 f (x0 ) 0.
定理2 (Rolle定理) 若函数 f (x) 满足: (1) 在闭区间[a,b] 上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; y
(3) f (a) f (b),
(2) 反证 假设x (0,1), 都有f (x) 2. 任取 t (0, ), 对 f (x)用拉格朗日中值定理知, c (t,), 使得
f (t) f (t) f ( ) f (c)(t ) 2(t ),
于是
f ( )
f (t)dt 2 (t )dt
0
0
2 1.
此与 f ( ) 1矛盾, 因此结论成立.
g(x) f ( ) f (x), x [0,1].
则g(x)在[0,1]上非负连续, 且g(0) f ( ) 0. 所以
1
1
0 0 g(x)dx f ( ) 0 f (x)dx,
于是 f ( ) 1, 故 (0,1). 由费马引理知f ( ) 0.
(2) (0,1), 使得f () 2.
sin x x x3 o( x3 ), 3!
lim x0
e
x
sin
x
x(1 x3
x)
x x2 x3 x3 o( x3 ) x(1 x)
lim
x0
lim
x0
x3 3
2!
o( x3 ) x3
3! x3
1. 3
2. 在等式或不等式证明中的应用 例1. 证明等式 arcsin x arccos x .
从而 x ln(1 x) x. 1 x
数学分析第六章中值定理
在求函数零点中的应用
总结词
中值定理在求函数零点的问题中也有应用，通过分析函数的单调性和中值定理的关系， 可以找到函数的零点。
详细描述
在寻找函数的零点时，中值定理可以提供一些有用的线索。通过分析函数的单调性和中 值定理的关系，我们可以确定函数在某一点的导数是否为零，进而判断该点是否为函数
的零点。这种方法在一些数学问题中非常有用，例如求解微分方程和积分方程的根。
总结词
柯西中值定理是数学分析中的一个定理，它指出如果两个函数在同一个点处的导数相等，那么在这两个函数之间 至少存在一点，该点的中值等于该点的导数值。
详细描述
柯西中值定理的表述如下：如果两个连续函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$[a, b]$上可导，且$g'(x) neq 0$，那么 在开区间$(a, b)$内至少存在一点$xi$，使得$frac{f'(xi)}{g'(xi)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。这个定理的证 明可以通过构造辅助函数并利用零点定理来完成。
柯西中值定理的证明
要点一
总结词
利用拉格朗日中值定理证明柯西中值定理。
要点二
详细描述
首先，根据拉格朗日中值定理，如果函数$f(x)$和$g(x)$在 闭区间$[a, b]$上连续，且在开区间$(a, b)$上可导，且$g'(x) neq 0$，则存在至少一点$xi in (a, b)$使得$frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。然后，由于函数$f(x)$和 $g(x)$在开区间$(a, b)$上可导，根据可导函数的性质，我们 知道存在至少一点$eta in (a, b)$使得$frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。因此，根据柯西中值定理， 存在至少一点$xi in (a, eta)$和至少一点$eta in (xi, b)$满足 $frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。
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o a 1 x
2 b
x
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) f (b).
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
函数的最值
最值：包含最大值和最小值 最值是对于函数f (x)在整个定义域内的函数值而言的。 最值是函数的整体性质； 极值是函数的局部性质。
x0是函数f (x) (x D(x))的最值点：x D(x), f (x) f (x0) 而由于极值的局部性，可以产生：极小值不一定比极大值小。
费马定理
由于f '(x)存在
0
f
'
( x0
)
f
'(x)
f
'
( x0
)
0
即f '(x) 0
通常称f '(x0 ) 0的点x0为f (x)的驻点。
问题：是不是所有的极值点都是驻点？
是不是所有的驻点都是极值点？
一、罗尔定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x()1在) 闭区间 [a, b] 上连续(,2在) 开区间(a, b)内可导,(3且) 在区间端点的函数 值相等，即 f (a) f (b),那末在(a,b)内至少有一点 (a b),使得函数 f ( x)在该点的导数等于零，
但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
二、拉格朗日(Lagrange)中值定 理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b) 内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) M .
故 f '( ) 0
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立.
例如, y x , x [2,2];
在 [2,2] 上除 f (0) 不存在外,满足罗尔定理
的一切条件, 但在区间[-2，2]内找不到一点能
使 f ( x) 0.
又例如,
y
1 0,
x, x
x
0
(0,1] ;
y x, x [0,1].
例1 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
第3章：中值定理与导数的应用
驱动微分学产生的三个问题：
1. 求运动物体的瞬时速度； 2. 求曲线某点处切线的斜率； 3. 求最大值和最小值。
本章要介绍的内容：
1. 微分中值定理 2. 求极限的一个新方法 3. 泰勒公式 4. 函数的性态与作图
3.1 中值定理
函数的极值
定义. 设函数f (x)定义在区间I上，点x0 I，若存在点x0的
即 f '() 0
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
某一领域U (x0, ) I，使得x U (x0, ), 恒有
f (x) f (x0 ) (或f (x) f (x0 )) 则称f (x0 )为函数f (x)的一个极大值（或极小值） 点x0称为f (x)的极大（极小）值点。
函数的极大值与极小值统称为极值； 极大值点与极小值点统称为极值点。
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是ຫໍສະໝຸດ 水平的.o a 1
y f (x)
2 b x
如何从理论上证明？
证 f ( x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0. (2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),
设函数y f (x)在点x0处可导，若x0是函数的极值点，则 f '(x0 ) 0
费马定理
设函数y f (x)在点x0处可导，若x0是函数的极值点，
则 f '(x0 ) 0
证明. 不妨假设x0是f (x)的极大值点，
即, 0,x U (x0, ), f (x) f (x0 ) 故，当x U (x0, ),且x x0时
由介值定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0.
f'
( x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0 x x0
当x U (x0, ),且x x0时
f'
( x0
)
lim
xx
0
f (x) f (x0 ) 0 x x0
费马定理
设函数y f (x)在点x0处可导，若x0是函数的极值点， 则 f '(x0 ) 0