“剪不断,理不乱”的高等数学与高考试题

“剪不断，理不乱”的高等数学与高考试题——浅谈几道高考题的高等数学背景华中师范大学数学与统计学学院，430079，任后兵，郑俊明随着新课改的不断深入，高考试题不断创新，对学生创新意识和创新能力，自主探究能力的要求逐步提高. 纵观近几年全国各地高考数学题，不难发现其中有许多试题都蕴含高等数学背景，主要表现在它们或以高等数学符号、概念直接出现，或以高等数学的概念、定理作为依托融于初等数学知识中. 高等数学与初等数学“剪不断，理不乱”相结合，使得这些试题在试卷中别具一格，成为一道亮丽的风景；同时它能宽角度，多观点地考查学生的数学素养，有层次地深入了解学生的数学逻辑思维和进一步深造的潜能，也为学生将来学习高等数学起着潜移默化的促进作用. 下面笔者把2012年全国各地高考中几个有高等数学背景的题目举例出来和大家共同学习.一、 以凸函数为背景凸函数是指函数的凹凸性.设)(x f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点21,x x 和任意实数）（1,0∈λ，总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+，则称f 为I 上的凸函数. 类似地可以定义凹函数.函数的凹凸性是高等数学中较为重要的概念，在高考、数学竞赛等命题中深受命题者的青睐，以函数凹凸性为背景的试题屡见不鲜.例1 (福建卷第10题)函数)(x f 在[a,b]上有定义，若对任意21,x x ∈[a,b]，有)]()[f (21)2(2121x f x x x f +≤+，则称)(x f 在[a,b]上具有性质P 。

设)(x f 在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题：①)(x f 在[1,3]上的图像是连续不断的；②)(2x f 在上具有性质P ； ③若)(x f 在x=2处取得最大值1，则)(x f =1，x ∈[1,3]； ④对任意[1,3],,,4321∈x x x x ，)]()()()([41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++其中真命题的序号是（ D ）A.①②B.①③C.②④D.③④探析 根据凸函数的定义可知该小题含有凸函数的高等数学背景，不难看出在定义中取21=λ时，可得题设中)]()[f (21)2(2121x f x x x f +≤+，由此可知满足已知条件的函数)(x f 就是定义在b][a,上的凸函数,因此本题可以直接利用凸函数的性质（文[1]）来解.高等解法 （1）因为凸函数只要求在开区间上必须连续，所以可以构造函数⎩⎨⎧∈==]3,1(,1,2)(x x x x f ，它在[1，3]上不是连续函数，①不正确；（2）取121(x )<<-=k x f k ，，它在[1,3]上是凸函数，但，kx f 22)(x -=121<<k ，根据凹函数定义，它在[1,3]上是凹函数，即它不再具有性质P ，②不正确；（3）)(x f 在x=2处取得最大值1，则该函数一定是常量函数，且1)(=x f ，③正确；（4）因为)(x f 为凸函数，根据Jensen 不等式得)]()()()([41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++，④正确.评注 事实上，在本题的选材上，命题专家们也注重了对教材中现有素材的利用与挖掘.不难发现，试题的形式直接源于教材，选自普通高中课程标准实验教科书高中数学必修一第45页B 组第5题第2小问，现摘抄本题如下：“若,)(2b ax x x g ++=则)2(21x x g +≤2)()(21x g x g +.”本题若用初等数学解法求解,关键是能正确理解式子)]()[f (21)2(2121x f x x x f +≤+的几何直观含义：在[a,b]上,横坐标为21,x x 的中点221x x +的函数值⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x f ，不大于以点()()11,x f x 和点()()22,x f x 为端点的线段的中点的纵坐标值)]()[f (2121x f x +.但对于①，很多学生会受课本中b ax x x g ++=2)(函授模型的影响，以为()x f 一定是连续的；对于④，也需要具有较强的不等式证明能力，初等证明如下：对任意[1,3]2,2[1,3],,,43214321∈++∈x x x x x x x x ，则，由定义有，)]()[f(21)2(2121x f x x x f +≤+)]()([21)2(4343x f x f x x f +≤+，从而有 )]2()2([21)222(43214321x x f x x f x x x x f +++≤+++()()[]+⎩⎨⎧+≤212121x f x f ()()[]⎭⎬⎫+4321x f x f ，化简得)]()()()([41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++. 例2 （湖南卷第22题）已知函数()axf x e x =-，其中0a ≠.（Ⅰ）略；（Ⅱ）在函数()f x 的图像上取定两点112212(,()),(,())()A x f x B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k . 问：是否存在012(,)x x x ∈，使k x f >')(0成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.探析 由于指数函数ax e y =为凸函数，因此本题可以紧扣凸函数的性质（文[1]）来解答.设f 为区间I 上的可导函数，则f 为I 上凸函数f '⇔为I 上的增函数f ⇔的图像总是在它的任一条切线的上方. 下面利用凸函数的性质给出不同于参考答案的解法.解析 (Ⅱ)若存在012(,)x x x ∈，使k x f >')(0成立，等价于k a x f ax >-='1e )(00，12121212120121201)(1)()(11,e)(x x e e x x x e x e x x x f x f k k a x f x x x x ax --=+----=+--=++>='又即所以1+k 为axe x g =)(上两点))(,(111x g x A ，))(,(222x g x A 的斜率，原问题转化为在axe x g =)(的图像上1A 、1B 之间找到0x 使得0x 处的斜率大于直线11B A 的斜率.当0a >时，令111e )(B A axk k a x g =+=='，解得aa k x 1ln+=，此时斜率相等.由于0)(2>=''ax e a x g (()x g 为凸函数)知导函数)(x g '严格单调递增，结合右图当),1ln (20x aa k x +∈时，可得1e )(00+>='k a x f ax ；当0<a 时，类似地可得到同样的结果. 综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立，且0x 的取值范围为),1ln(2x aa k +. 评注 紧扣指数函数导函数的单调性，结合图像，以及导函数与斜率的关系，以形助数，比较直观的得出0x 的范围.二、以麦克劳林（Maclaurin ）公式为背景若函数f 在[]b a ,上存在直至n 阶的连续导函数，在()b a ,上存在）（1+n 阶导函数，则对任意给定的,x 当[]b a ,0∈时，至少存在一个()1,0∈θ，使得()()()()++''+'+= 2!2000x f x f f x f ()()()()()11)(!10!0++++n n n n x n f x n f ()10<<θ,此式称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式.例3 （辽宁卷第12题）若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是（ C ）(A)21x x e x++≤211124x x <-+(C)2211cos x x -≥ (D) 281)1ln(x x x -≥+ 探析 四个选项涉及到指数，三角和对数这三种不同类型的函数与多项式函数的比较，仔细推敲不等式左右两边的特征，发现它们正是来自于高等数学中的麦克劳林公式. 当然也可以利用初等方法中的求导函数，通过函数的单调性与最值来判断选项，否则也不会出现在高考试题中了，作为选择题也可以用特殊值等方法作出判断，下面结合马克劳林公式来分析本题.高等解法 根据（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式：当[0,)x ∈+∞时，经过分析可得A 、)1,0(,24621432∈++++=θθx x x x x e x x，显然2432124e 621x x x x x x x ++≤++++θ不恒成立； B 、(0,1),1432111225-∈++-=+θθx x x x（.<211124x x -+， 则41432225-x x x <+）（θ，即3125>+）（x θ，θ1-95>x ，所以当 ]1-9,0[5∈x 时，不等式不成立； C 、(0,1),24cos 21cos 42∈+-=θθx x x x ，当2π≤x ，21cos 2x x -≥，当2π>x 时这是显然的； D 、22)(12)1(ln x x x x θ+-=+，若281)1l n (x x x -≥+，则8)(12222x x x x x -≥+-θ，解得θ1>x，所以当]1,0[∈x 时，不等式不成立.评注 用初等方法解决了一道以高等数学的Maclaurin 公式为背景的不等式高考题，考查了学生的转化思想、推理论证能力、判断能力以及运算能力，体现了解决高中数学问题的延展性. 同时也提醒我们遇到有些题目时，应该有追溯题目来源，探究命题者意图的意识.三、以定积分为背景例4 （天津卷第22题）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中>0a .（Ⅰ）（Ⅱ）略；（Ⅲ）证明：=12ln (2+1)<221ni n i --∑*()n N ∈. 探析 参考答案利用第（Ⅱ）问的结论得出)0(2)(2≥≤x x x f ，再通过)12)(32(2)12(2)122(2--<-≤-i i i i f 进行放缩证明了不等式（Ⅲ）. 如果仅就第（Ⅲ）问来解答，我们可以将),2,1}(122{n k k ，⋯⋯=-看做数列，采用定积分来放缩. 高等解法 当1=n 时，显然成立；当2≥n 时，记)1(122)(≥-=x x x h ，在),1[+∞上连续可积，且0)(>x h 又)(x h 在),1[+∞上单调递减，由文[2]推论3.1.1.1知，)12ln(212221222122121-+=-+<-+=-⎰∑∑==n dx x i i nni ni因此可以得到更强的不等式2)12ln(1221<---∑=n i ni ，原命题显然成立.例5 （上海卷第13题）已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,5)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 .探析 做出大致图像，由解析式及抛物线的对称性易可知，所求面积也就是矩形ODAC 的面积，即 452521=⨯. 另一方面，如果观察不出来图像的特征，我们可以结合图像与x 轴围成的图形的面积与定积分的联系加以解决.高等解法 由已知条件得⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤=121,1010210,10)(x x x x x f ，22110,02()11010,12x x y xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎩，根据文[1]积分运算法则解得，图像与x 轴围成的图形面积为45)1010(10121221=+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，所以围成的图形面积为45 . 评注 本题虽然是考察图像与x 轴围成的图形的面积，可是很多考生没有观察出图像的对称性，其实主要考察定积分的几何意义，笔者认为这也是命题者的意图. 由于积分知识在高等数学中才有详细的介绍，对于解决稍显复杂的积分，有时我们可以将问题转化为几何意义，结合图像加以解决.四、以狄利克雷函数为背景例6 （福建卷第7题）设函数⎩⎨⎧=为无理数，为有理数x x x D 0,1)(，则下列结论错误的是（ C ）)(.x D A 的值域为{0,1} )(.x D B 是偶函数 )(.x D C 不是周期函数 )(.x D D 不是单调函数探析 题目中的函数即狄利克雷函数（文[1]），在数学分析、实变函数、泛函分析等研究领域中起着十分重要的作用。