弹性力学简单问题的求解
弹性力学知识点总结
弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。
以下是对弹性力学主要知识点的总结。
一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。
2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。
3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。
4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。
5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。
二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。
2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。
3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。
三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。
2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。
3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。
四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。
通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。
五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。
对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。
六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。
2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。
七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。
极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。
八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。
2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。
6弹塑性力学基本求解方法
d r
dr
1 r
(2
r
)
0
代入几何方程和物理方程，整理可得
d 2ur 2 dur 2 ur 0 dr 2 r dr r 2
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
解此微分方程，其一般解为：
由 r 时 ur 0 C1 0
ur
C1r
C2 r2
由 r r1 时 ur r0 C2 r0 (1 )2 r02 r03
l 2
h/2
x
ydy
0
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法
于是可求得：
B
r 5h2
,C
l2r 4h2
10r,
D
3 4
r
x
所以 y
xy
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法 总结：应力函数设计
1．集中载荷——按材料力学方法求解 2．均布载荷—— f (xi2 ) 3．线性分布载荷—— f (xi3 ) 4．非线性分布载荷—— f (xi4 xi8 )
r1
r0
r0
)
—— 错配度
分析：基体变形为球对称变形，则
ur 0 u u 0
边界条件：
r , ur 0 （符合圣维南原理）
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
根据应力平衡微分方程
R0
有
r r
1 r
r
r r sin
1 r
(2
r
r ctg ) 0
r
r
0
r
r
ur
r0
(
r0 r
)2
由几何方程可得
弹性力学ansys求解实例详解
弹性力学a n s y s求解实例详解Revised on November 25, 2020ANSYS 上机实验报告一、题目描述如图1所示，一简支梁横截面是矩形，其面积202.0m A =，对弯曲中性轴的惯性矩451067.6m I zz -⨯=，高m h 2.0=，材料的pa E 11101.2⨯=，横向变形系数3.0=μ。
该梁的自重就是均布载荷N q 4000=和梁中点处的集中力N F 2000=，试讨论在均布荷载作用下，简支梁的最大挠度。
二、问题的材料力学解答由叠加法可知：梁上同时作用几个载荷时，可分别求出每一载荷单独作用时的变形，把各个形变叠加即为这些载荷共同作用时的变形。
在只有均布载荷q 作用时，计算简支梁的支座约束力，写出弯矩方程，利用EI M dxw d =22积分两次，最后得出： 铰支座上的挠度等于零，故有0=x 时，0=w ，因为梁上的外力和边界条件都对跨度中点对称，挠曲线也应对该点对称。
因此，在跨度中点，挠曲线切线的斜率等于零，即：2l x =时，0=dx dw ，把以上两个边界条件分别代入w 和0=dxdw 的表达式，可以求出243ql C -=，0=D ，于是得转角方程及挠曲线方程为： x ql x q x ql EIw ql x q x ql EI dx dw EI 2424122464343332--=--==θ （1） 在跨度中点，挠曲线切线的斜率等于零，挠度为极值，由（1）中式子可得：即EIql w q c 3845)(4-=。
在集中力F 单独作用时，查材料力学中梁在简单载荷作用下的变形表可得EIFl w F c 48)(3-=。
叠加以上结果，求得在均布载荷和集中力共同作用下，梁中点处的挠度是EIFl EI ql w w w F c q c c 483845)()(34--=+=，将各参数代入得m w c 410769.0-⨯=三、问题的ansys 解答建立几何模型此问题为可采用Beam 分析，所以该几何模型可用线表示。
(整理)采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题
采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题一、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。
对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。
本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并且求解一些典型问题。
二、重点1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题1 平面问题极坐标解的基本方程学习思路:选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。
本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。
由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。
应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。
学习要点：1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标表达；6、极坐标系的Laplace算符；7、应力函数。
1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD，其由两个相距dρ的圆柱面和互成dϕ的两个径向面构成，如图所示在极坐标系中，用σρ 表示径向正应力，用σϕ 表示环向正应力,τϕρ 和τρϕ 分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，τϕρ ＝τρϕ 。
首先推导平衡微分方程的极坐标形式。
考虑到应力分量是随位置的变化，如果假设AB面上的应力分量为σρ 和τϕρ,则CD面上的应力分量为如果AD面上的应力分量为σϕ 和τρϕ ，则BC面上的应力分量为。
同时，体力分量在极坐标径向ρ 和环向 ϕ方向的分量分别为F bρϕ 和F bϕ 。
弹性力学习题解答
习题解答 第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。
解：(1)pi iq qj jkpq qj jk pj jk pk δδδδδδδδδδ===;(2)()pqi ijk jkpj qk pk qj jk pq qp e e A A A A δδδδ=-=-;(3)()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：若ijji a a =，则0ijk jk e a =。
证：20ijk jkjk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。
2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：证：1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。
2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：证：()()i j ijk k l m lmn n i j l m ijk lmk a b e c d e a b c d e e ⨯⋅⨯=⋅=a b c d e e ()()()()=⋅⋅-⋅⋅a c b d a d b c 。
2.5设有矢量i i u =u e 。
原坐标系绕z 轴转动θu 在新坐标系中的分量。
解：11cos βθ'=，12sin βθ'=，130β'=， 21sin βθ'=-，22cos βθ'=，230β'=， 310β'=，320β'=，331β'=。
弹塑性力学 第四章 弹性力学的求解方法
说明： 1、数学上可证明, 当为线弹性小变形情况，求解的 基本方程和边界条件为线性，叠加原理成立。 2、对大变形情况，几何方程出现二次非线性项，平 衡微分方程将受到变形的影响，叠加原理不再适 用。 3、对非线弹性或弹塑形材料，应力应变关系是非线 性的，叠加原理不成立。 4、对载荷随变形而变的非保守力系或边界为
1. 位移法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边 界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。不需要用 相容位移表述。 3个位移表述的平衡微分方程，包含3个位 移未知数。 结合边界条件，解上述方程，可求出位移分 量，由几何方程求应变，再由本构方程求应力。
第四章 弹性力学问题的求解方法
§7-1 弹性力学基本方程
1. 平衡微分方程方程
2. 几何方程
3. 物理方程
各种弹性常数之间的关系
4. 相容方程
• 求解物理量：6个应力分量 6个应变分量 3个位移分量
共15个未知量
用于求解的方程：平衡微分方程 3个 几何方程 6个
共15个方程
本构方程
6个
用非线性弹簧支承的情况，边界条件是非 线性的，叠加原理也将失效。
二. 解的唯一性定理：
在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体， 其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚 体位移受到约束，则位移解也是唯一的。 无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方 程和边界条件，就一定是问题的真解。
三.圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则 此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。 提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。 提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较 远的部分所受影响可以忽略不计。
弹性力学简介及其求解方法
弹性力学简介及其求解方法2010-08-27弹性力学简介及其求解方法弹性力学又称弹性理论，是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。
确定弹性体的各质点应力、应变和位移的目的就是确定构件设计中的强度和刚度指标，以此用来解决实际工程结构中的强度、刚度和稳定性问题。
材料力学、结构力学三门学科所研究的内容和目的相同，但是研究对象和研究方法不同。
材料力学研究对象是杆状构件，结构力学是在材料力学基础上研究由多杆构成的杆系结构的强度和刚度问题。
而对于一般弹性实体结构，如板与壳结构、挡土墙与堤坝、地基以及其他三维实体结构来说，相应的强度和刚度问题要用弹性理论的方法来解决。
在研究方法上，弹性力学和材料力学都从静力学、几何关系、物理方程三方面着手来进行分析，但不同点是材料力学常借助于直观和实验现象做一些假设。
在具体问题计算时材料力学与结构力学都利用解决单一变量的常微分方程，在数学上求解容易。
弹性力学需解决的是满足边界条件的高阶多变量偏微分方程，在数学上求解困难，一般弹性体问题很难得到解析解。
所以，与材料力学相比，弹性力学的研究对象更加广泛，研究方法更加严密，能解决更加复杂的实际问题，因此需要用较多的数学工具。
弹性力学问题可以归结为边值问题：在弹性体内必须满足基本方程，即平衡微分方程、几何方程和物理方程；在应力边界上应满足应力边界条件；在位移边界上应满足位移边界条件；在混合边界上应满足相应的应力边界和位移边界条件。
满足基本方程的解答叫做弹性力学解；既满足基本方程，又满足边界条件的解答叫做弹性力学问题的解。
在求解弹性力学问题时，通常已知的是物体的形状、尺寸、约束情况和外载荷以及材料的物理常数。
需要求解的是应力、应变和位移，它们都是物体内点的坐标的函数。
对于空间问题，一共有15个未知函数：3个位移分量、6个应变分量和6个应力分量。
可利用的独立方程也有15个，即3个平衡微分方程、6个几何方程和6个物理方程。
5第三章弹性力学平面问题的解析解法讲解
2 X Y 2 x y y 2 x 2 ( x y ) (1 )
（平面应力情形）
（3）边界条件：
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
x 2 y
2
y 2 x
2
xy
2 xy
(2-28)
（无体力情形）
（3） 再让 x , y , xy满足应力边界条件和位移单值条件 （多连体问题）。
第三章 弹性力学平面问题的 解析解法
第四节 第五节 逆解法与半逆解法—多项式解答 矩形梁的纯弯曲
（2）边界条件： 位移边界条件： 应力边界条件：
（1 ）
u s u , vs v
（2）
E u v 1 u v l m X 2 y s 2 y x s 1 x （3 ） v u 1 v u E m l Y 2 1 y x s 2 x y s
4.
按应力求解平面问题的基本方程 说明：
（1）对位移边界问题，不易按应力 求解。
（1）平衡方程
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
（2）相容方程（形变协调方程）
（2）对应力边界问题，且为单连通 问题，满足上述方程的解是唯 一正确解。
（3）对多连通问题，满足上述方程 外，还需满足位移单值条件， 才是唯一正确解。
按应力求解平面问题（X = 常量、Y = 常量）的归结为： （1） 先由方程（2-27）求出应力函数： ( x ,7) 0 4 2 2 4 x x y y x , y , xy （2） 然后将 ( x , y ) 代入式（2-26）求出应力分量：
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A
xx
dA 0
ydA M
A
xx
xx
M y Jz
A xy
dA 0
A
xx dA
A
M M ydA JZ JZ
M A ydA J Z S Z 0
s s s s
1、侧面（主边界须严格满足）边界：
l x m xy 0 zx 0
l xy m y 0 zx 0
P l zx m zy 0 ( ) 0 A
由于P的分布关系不知， 用等效力系代替： 柱体侧边满足力的边界条件
2、上、下面（次边界可放松作到近似满足）边界：
ij,kk
1 Θ ,ij 0 1
满足
4）检查是否满足应力的边界条件 x s m yx n zx s f x s
xy m y n zy f y xz s m yz n z s f z
满足
3）检查是否满足应力表示的变形协调方程（常体力时）
ij,kk
1 Θ ,ij 0 1
2 2 1 yz 0 zy 2 2 1 zx 0 xz 2 2 1 xy 0 yx
2 2 1 x 2 0, x 2 2 1 y 2 0, y 2 2 1 z 2 0, z
xy yz zx 0
1 p(1 2 ) x ( p 2 p ) y z E E
6）求位移分量： 代入几何方程并积分可求位移
p(1 2 ) p(1 2 ) u x f1 ( y , z ) x c3 y c 2 z 1 E E
ij,kk
1 Θ ,ij 0 1
满足
这组应力满足无体积力时的平衡方程和用应力表 示的协调方程 4）检查是否满足应力的边界条件 a）侧面（n=0）应力边界条件 fx 0 fy 0 fz 0
代入边界条件
满足
b）右端面：由于外力M 的分布规律未知，只能用圣维南原理， 写出静力等效的边界条件： 方向余弦为 ： x 1 m y 0, n z 0
代入（A）满足
c）上、下面： n 1
m0
x
fx 0 f y 0 上面面力： fx 0 下面面力： fy 0
f p fz p
代入（A）满足
因此，x=y=z=-p，xy=yz=zx=0 满足应力法的所
有方程，为真解 5）求应变分量：
由物理方程得应变
1 1 x x ( y z ) ( p 2 p) E E p(1 2 ) y z E
s s s s s
1、检查在柱体侧边（主要边界） fi
0
n3 n 0
l x m xy 0 zx 0
l xy m y 0 zx 0
柱体侧边满足力的边界条件
l zx m zy 0 ( gz) 0
X Y Z 0 fi
yy zz yz zx xy 0
其中 J z 为绕
z 轴的截面惯性矩
解：1）设应力： xx
M y Jz
yy zz yz zx xy 0
2）检查是否满足平衡微分方程 ji,j+Fi =0
满足
3）检查是否满足应力表示的变形协调方程（无体力时）
p(1 2 ) p(1 2 ) v y f 2 ( z, x) y c1 z c3 x 2 E E
p(1 2 ) p(1 2 ) w z f 1 ( x, y ) z c2 x c1 y 3 E E
例题2 等截面柱体在自重作用下。 等截面柱体受体力Fz= -g（在图示坐标系）为 柱的密度，g为重力加速度。 而 Fx=Fy=0
P A zz dA A AdA P
满足
5）求应变分量：
由物理方程得应变
xx yy E
yz zx xy 0
zz E
6）求位移分量：
u x x v y y w z z
u
E
w
x f1 y, z
v
E
y f 2 z, x
1）由 u 0 0 ，可知三个函数 f i i 1,2,3 中无常数项；
E
z f 3 x, y
2）由 yz 0 ，即 f 2 z, x f 3 x, y 0 、再微分一次得到，
为使柱体不能随便移动,假设原点的位移为零;为使柱体不 能随便转动,规定过原点的微分线段dx、dy、dz中的任何 1 1 两根保持不动。 e e u
u0 0
0 0
ui , j
0
k
yz zx xy 0
0
2
ijk
ij
2
kij
j ,i
i j
可以得到六个条件 由应变及几何方程，得到三个位移为
x=y=z=-p
xy=yz=zx=0
mn0
a）前、后面： 1
fx p 前面面力：
fy 0 fy 0
fz 0 fz 0
后面面力： f x p
代入（A）满足
z
b）左、右面： m 1 fx 0 左面面力： 右面面力： f x 0
n0
4）检查是否满足应力的边界条件
x s m yx n zx s f x xy m y n zy f y xz s m yz n z s f z
s s s s s
z
（A） y x
w v y z u w zx z x v u xy x y
yz
代入几何方程并积分可求位移
为了确定位移，要给出位移的限制条件，以避免位 移的不唯一性。由于物体的刚性位移只包含六个量， 只要给出六个不重复的约束条件，即可确定出位移。
限制条件为：坐标原点的位移和转动为零，即：
采用应力法及逆解法，猜应力：x=y=z=-p，
xy=yz=zx=0；应力解是否满足力的边界条件?是否为真
解?它须满足平衡微分方程和应力表示变形协调方程
解：1）设应力：x=y=z=-p 2）检查是否满足平衡微分方程
xy=yz=zx=0 ji,j+Fi =0
满足
3）检查是否满足应力表示的变形协调方程（无体力时） 1 ij,kk Θ ,ij 0 满足 1
5）求应变分量：
由物理方程得应变
x y
g
E
z
g
E
z
xy yz zx 0
6）求位移分量： 代入几何方程并积分可求位移
例3：等直杆受均匀拉伸，求应力分布。
解：1）设应力：
应力法求解
2）检查是否满足平衡微分方程 ji,j+Fi =0 满足 3）检查是否满足应力表示的变形协调方程（常体力时）
2、检查在柱体底边（z=0）： l=m=0，n=-1 应力解代入力的边界条件
(1) zx 0
(1) zy 0
(1) ( g 0) 0
柱体底边满足力的边界条件
3、检查在柱体顶边（z=l）：
l=m=0，n=1
面力未给出，但面力的合力与应力满足平衡。
因此，应力解x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz 可以作为 本题的解答（在柱体顶边附近不能用）
u x a x v y a y w z b z
Lame-Navie方程
满足
3）求应变分量： 由几何方程
yz
1 w v 0 2 y z 1 u w zx 0 2 z x
l zx m zy 0 ( z ) 0
解出：
2、上、下面（次边界）边界：
x y 0
z 1
代入a值： 再利用弹性摸量E的关系
边界可放松
P A zz dA A AdA P
其中
由 将a、b代回：
求得位移分量为：
例题4
y为对称轴
xx
M y Jz
将应力分量代入，显然均能满足。
4）检查是否满足应力的边界条件
x s m yx n zx s f x xy m y n zy f y xz s m yz n z s f z
第五节 弹性力学简单问题的求解
简单问题：应力及应变是物体中的点坐标的线
性函数或是常数值的问题。此时，当体积力为 零时，应力恒满足Beltrami-Michell相容性条 件，只剩下平衡方程和边界条件需要处理。
例题 正六面体不受体力作用，但各表面受均匀压力p作用。
这个问题为（相当于）静水压力问题
式，从而可知三个函数无相应变量二次以上的项，即仅有一次项。
4）由 ui, j
0
从而得到位移为 ： u
0 i j 可知三个函数中无一次项。 P
E x EA x
v E
y
P
EA
y
P w z z E EA
解法2： 再用位移法求解，位移边界条件可取，在x=y=z=0处
采用位移法及逆解法
根据实验观察的结果，主体拉伸时的 变形可直接设
2）检查是否满足位移表示的平衡微分方程
( G ) G 2 u Fx 0 x ( G ) G 2 v Fy 0 y ( G ) G 2 w Fz 0 z