七年级数学新思维(第4本)
七年级数学下新思维第一讲相交线与平行线
七年级数学下新思维第一讲相交线与平行线It was last revised on January 2, 2021七年级数学下新思维第一讲相交线与平行线一、多条直线相交的交点问题1、平面内直线的交点问题--------公式平面内n条直线相交最多交点公式：2)1(-nn个【测试1】平面内的四条直线的交点个数可能有个【测试2】平面内6条直线交点的个数最多是______个，最少是______个．2、多条直线相交分平面区域问题------交点多，分块多n条直线相交分平面区域最多的公式：1+2)1(+nn=222++nn直线（n) 1 2 3 4 ........部分（m) 2 4 7 11 ........n=1 m=2=1+1n=2 m=4=1+1+2n=3 m=7=1+1+2+3n=4 m=11=1+1+2+3+4【测试】2条直线可以把平面分成部分，12条直线最多把平面分成部分3、直线交点个数作图（1）平面内直线的位置出现什么情况，直线的交点个数会减少？平面内直线的位置出现时，直线的交点个数会减少。
（两直线平行或多条直线交于同一点）（2）减少直线交点个数的方法：平行消减法-------------------每两条直线平行会减少一个交点交点重合法-------------------每三条直线交于同一点会减少2个交点每四条直线交于同一点会减少5个交点【测试1】平面内6条直线恰好有11个不同的交点，请画出满足条件的图形（1）6条直线分3组平行，共减少3个（2）3条直线互相平行，共减少3个（3）3条直线交于同一点，且有两条直线平行，共减少3个【测试2】在同一平面内有9条直线，如何安排才能满足下面的两个条件，（1）任意两条直线都有交点（2）总共有29个交点二、平行线中的“M”型问题---多填空、选择题，重方法，轻过程方法指导：1.过折点构造平行线 2、利用同位角、内错角或同旁内角推导关系1.如图，已知AB‖CD，∠ABC=80o，∠CDE=140o，则∠BCD=2、如图，AB，CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A，C两点，点E是橡皮筋上的一点，拽动E点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A，∠AEC，∠C之间具有怎样的关系并说明理由3、如图，已知AB‖CD，∠ABE=120o,∠DCE=35O,则∠BEC=三、利用方程思想解决角度之间的关系问题【测试1】一个角的余角比它补角的一半少20o，求这个叫的度数是多少？【测试2】直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠EOD：∠DOB=3：2，求∠COB的度数【测试3】如图，MO⊥NO,OG平分∠MOP,∠PON=3∠MOG,求∠GO P的度数四、根据角度关系判断直线平行-----判定直线平行的方法有哪些？1.判定定理2.平行公理的推论：【测试1】已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F【测试2】如图，已知CD‖EF,∠1+∠2=∠ABC，求证：AB‖GF五、平行性质的应用-------平行线有哪些性质？1、行路拐弯的平行问题-----规定正方向（正前方为起始边向左右拐），用箭头表示方向【测试1】一学员在广场上练习驾驶汽车，打算两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，现有如下四个方案可供选择，正确的是（）A：第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B：第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C：第一次向右拐50°，第二次向右拐130°D：第一次向左拐50°，第二次向左拐130°2、工程设计中的平行应用【测试2】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过：如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是()°?°?°?°3、方位确定的平行应用【测试3】如图，一轮船由B 处向C 处航行，在B 处测得C 处在B 的北偏东75°方向上，在海岛上的观察所A 测得B 在A 的南偏西30°方向上，C 在A 的南偏东25°方向。
八年级数学新思维(第4本)
七八年级奥数培训题（乙）例1.如图，正方形ABCD的边长为6cm,M、N分别为AD、BC边的中点，将点C 折至MN上，落在点P处，折痕BQ交MN于点E，则BE的长等于 cm。
例2.如图，矩形纸张ABCD，AB=2，∠ADB=30°，沿对角线BD折叠，则A、E 两点间的距离为。
例3.如图，在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=BD、AD=DE=BE，则∠Ａ的度数为（）。
例4.如图，△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C= 度。
例5.P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC= 度。
例6、如图，在△ABC 中，AB=BC ，在BC 上取点M ，在MC 上取点N ，使MN=NA ，若∠BAM=∠NAC ，则∠MAC= 度。
例7.解方程8x 7x 3x 2x 9x 8x 2x 1x +++++=+++++的解是 。
例8.解方程4x 112x 7x 16x 5x 12x 3x 1222+=++++++++的解是 。
例9.某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的a 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合作所需天数的b 倍、丙队独做所需天数是甲乙两队合做所需天数的c 倍。
则1c 11b 11a 1+++++的值是 。
例10.求方程2x 2-xy-3x+y+2006=0的正整数解。
例11.小林从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A 点，再走上坡路到达B 点，最后走下坡路到达工作单位上班。
所用时间和路程的关系如图所示。
下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、 下坡路的速度分别保持不变，那么他从单位回 到家门口需要用的时间是（ ）分钟。
例12．化简并求值：已知526-=x ，求）（）（1x 24x 2x 12x 12--⨯++-的值。
例13．已知实数x 、y 满足））（—（2008y y 2008x x 22---=2008。
探究应用新思维-数学7年级
1．数形结合话数轴解读课标数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来.在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法．运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在：1．利用数轴形象地表示有理数；2．利用数轴直观地解释相反数；3．利用数轴解决与绝对值有关的问题；4．利用数轴比较有理数的大小．问题解决例1 (1)已知a 、b 为有理数，且0a >，0b <，0a b +<，将四个数a 、b 、a -、b -按由小到大的顺序排列是__________．（《时代学习报》数学文化节试题）(2)已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是__________．（广西竞赛题）试一试 对于(1)，赋值或借助数轴比较大小；对于(2)确定A 、B 两点在数轴上的位置，充分考虑A 、B 两点的多种位置关系.例2如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是( )．A.A 点B.B 点C.C 点D.D 点（江苏省竞赛题） 试一试 从寻找d 与a 的另一关系式入手．例3 已知两数a 、b ，如果a 比b 大，试判断||a 与||b 的大小.试一试 因a 、b 符号未定，故a 比b 大有多种情形，借助数轴可直观全面比较||a 与||b 的大小．例4电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数．（“希望杯”邀请赛试题）试一试 设0K 点表示的数为x ，把1K 、2K 、、100K 点所表示的数用x 的式子表示．例5 已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度，点A 在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B 在原点的右边．(1)求A 、B 两点所对应的数．(2)数轴上点A 以每秒1个单位长度出发问左运动，同时点B 以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C 处追上了点A ，求C 点对应的数．(3)已知在数轴上点M 从点A 出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N 从点B 出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO 的中点为P (O 为原点)，在运动的过程中线段PO AM -的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．分析与解 对于(3)，设M 点运动时间为t 秒，把PO AM -用2的式子表示．(1)A 、B 两点所对应的数分别为8,20-；(2)C 点对应的数为22-； (3)202,102t AM t OP t +===+(为什么？)，则1010PO AM t t -=+-=，即PO AM -的值不变．生活启示例6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后（点A 与点B 重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB 上的14，34均变成12；12变成1；等等）.那么在线段AB 上（除点A 、点B 外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和.（浙江省绍兴市中考题）分析 捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点．解故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和是13144+=． 数学冲浪知识技能广场1.数轴上有A 、B 两点，若点A 对应的数是2-，且A 、B 两点的距离为3，则点B 对 应的数是__________.2.电影《哈利·波特》中，小哈利，波特穿墙进入“394站台”的镜头（如示意图中的M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象，若A 、B 站台分别位于2-，1-处，2AN NB =，则N 站台用类似电影中的方法可称为“__________站台”． （“《时代学习报》数学文化节”试题）3.已知点A 、B 、P 在数轴上，点B 表示的数为6，8AB =，5AP =，那么点P 表示的数是__________．4.如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、所对应的点分别与圆周上1、2、0、1所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =__________；(2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是__________（用含n 的代数式表示）．（江西省中考题）5.有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示：，则下列各式正确的是( )．A.0a b +>B.0ab >C.||0a b +<D.0a b -> （2012年湖南省常德市中考题）6.文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西20米，玩具店位于书店东100米处．小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60-米，此时小明的位置在( )．A.文具店B.玩具店C.文具店西边40米D.玩具店东60-米7.将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”“15cm ”分别对应数轴上的 3.6-和x ，则( )．A.910x <<B.1011x <<C.1112x <<D.1213x <<（浙江省绍兴市中考题）8.在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )．A.1998B.1999C.2000D.2001（重庆市竞赛题）9.一个跳蚤在一条直线上，从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次晾左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位……依此规律剧下去，当它跳第100次落下时，求落点处离O 点的距离（用单位表示）．（江苏省无锡市中考题）10.已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和．（北京市“迎春杯”竞赛题）--思维方法天地-- 11.在数轴上，点A 、B 分别表示13-和15，则线段AB 的中点所表示的数是____. 12.在数轴上，表示数(2)2a +，的点M 与表示数(3)3a +，的点N 关于原点对称，则a 的值为__________．13.数形相伴(1)如图所示，点A 、B 所代表的数分别为1-,2，在数轴上画出与A 、B 两点的距离和为5的点（并标上字母）． (2)若数轴上点A 、B 所代表的数分别为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离可表示为||AB a b =-，那么，当|1||2|7x x ++-=时，x =__________；当|1||2|5x x ++->时，数x 所对应的点在数轴上的位置是在__________．（《时代学习报》数学文化节试题）14.点A 、B 分别是数3-、12-在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动为A B ''，且线段A B ''的中点对应的数是3，则点A '对应的数是__________，点A 移动的距离是__________.（江苏省竞赛题）15.点1A 、2A 、3A 、、n A （n 为正整数）都在数轴上，点1A 在原点O 的左边，且11A O =，点2A 在点1A 的右边，且212A A =;点3A 在点2A 的左边，且323A A =，点4A 在点3A 的右边，且434A A =，，依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为( )． A.2008,2009-B.2008-,2009C.1004,1005-D.1004,1004-（福建省泉州市中考题）16.如图：，数轴—上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）.A.A 点B.B 点C.C 点D.D 点17.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，式子||||a b ++||||a b b c ++-化简结果为( )．A.23a b c +-B.3b c -C.b c +D.c b -18.不相等的有理数a 、b 、c 在数轴上对应点分别为A 、B 、C ,若||||||a b b c a c -+-=-那么点B ( )．A.在A 、C 点右边B.在A 、C 点左边C.在A 、C 点之间D.以上均有可能 (“希望杯”邀请赛题)19.在数轴上，N 点与O 点的距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N 点表示的数是多少?(“CASIO 杯”河南省竞赛题)20.已知数轴上有A 、B 、C 三点，分别代表24-、10-、10,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行.甲的速度为4个单位/秒.(1)问多少秒后甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位?(2)若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向1而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇?(3)在(1)、(2)的条件下，当甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗?若能，求出相遇点；若不能，请说明理由.21.操作与探究对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点P '.点A ,B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A B '',其中，点A ,B 的对应点分别为A B '',如图所示，若点A 表示的数是3-,则点A '表示的数是__________；若点B '表示的数是2,则点B '表示的数是__________；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合，则点E 表示的数是__________.〔2012年北京市中考题〕22.—动点P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位、后退3个单位的程序运动.已知点P 每秒前进或后退1个单位，设n x 表示第n 秒点P 在数轴上的位置所对应的数(如44x =，55x =，64x =)，求2011x 所对应的数.2.聚焦绝对值绝对值是数学中的一个基本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值 方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用，理解、掌握绝对值应注意以下几个方面：1.脱去绝对值符号是解绝对值问题的切入点脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法.2.恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看||a 表示数a 的点到原点的距离；||a b -表示数a 、数b 的两点间的距离.3.灵活运用绝对值的基本性质①||0a ≥；②222||||a a a ==；③||||||ab a b =⋅；④||||()||a ab a b b =≠ 例1已知: |||20||20|y x b x x b =-+-+--其中020b <<,20b x ≤≤，那么y 的最小值为__________.(“CASIO 杯”河南省竞赛题)试一试 结合已知条件判断出每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值符号.例2式子||||||a b ab a b ab ++的所有可能的值有( ). A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个试一试根据a 、b 的符号所有可能情况，去掉绝对值符号，这是解本例的关键.例 3 (1)已知|2||2|0ab a -+-=,求111(1)(1)(2)(2)ab a b a b ++++++1(2005)(2006)a b +⋅⋅⋅+++的值.(“华罗庚杯”香港中学竞赛题)(2)设a 、b 、c 为整数，且||||1a b c a -+-=，求||||||c a a b b c -+-+-的值.(“希望杯”邀请赛试题)试一试 对于（1),由非负数的性质先导出a 、b 的值;对于(2)，1写成两个非负整数的和的形式又有几种可能?这是解(2)的突破口.例4阅读下列材料并解决有关问题：我们知道(0),||0(0),(0).x x x x x x >⎧⎪=-⎨⎪-<⎩现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|1||2|x x ++-|时，可令：10x +=和20x -=，分别求得1x =-，2x = (称1-，2分别为|1|x +与|2|x -的零点值)在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：(1)1x <-；(2)12x -≤<；(3)2x ≥.从而化简代数式|1||2|x x ++-可分以下3种情况：(1)当1x <- 时，原式(1)(2)21x x x =-+--=-+;(2)当12x -≤<时，原式1(2)3x x =+--=；(3)当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-.综上讨论，原式21(1),3(12),21(2).x x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩通过以上阅读，请你解决以下问题：(1)分别求出|2|x +和|4|x -的零点值；(2)化简代数式|2||4|x x ++-.(云南省中考题)试一试 在阅读理解的基础上化简求值.例5 (1）当x 取何值时，|3|x -有最小值?这个最小值是多少?（2）当x 取何值时，5|2|x -+有最大值?这个最大值是多少?（3）求|4||5|x x -++的最小值.（4）求|7||8||9|x x x -+-+-的最小值.分析对于（3）、（4）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值;也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示x 的点，使之到表示4、5的点 (:或表示7、8、9的点）的距离和最小.解(1）当3x =时，原式有最小值，最小值为0.（2）当2x =-时，原式有最大值，最大值为5.（3）当45x ≤≤时，原式有最小值，最小值为1.（4）当8x =时，原式有最小值，最小值为2.对于（3），给出另一种解法：当4x ≤时，原式(4)(5)92x x x =----=-，最小值为1；当45x <≤时，原式4(5)1x x =---=，最小值为1；当5x >时，原式4529x x x =-+-=-,最小值为1.综上所述，原式有最小值等于1.以退求进例6少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后 再取绝对值的运算，其运算过程是:输人第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输人整数2x 心后则显示12||x x -的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算.现小明将从1到1991这1991个整数随意地一个一个地输人,全部输入完毕之后显示的最后结果设为P ，试求出P 的最大值，并说明理由.分析 先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分析调整估值，一步步求出P 的最大值.解 由于输入的数都是非负数，当10x ≥,20x ≥时，12||x x -不超过1x 、2x 中最大的数，对10x ≥，20x ≥,30x ≥,则123||||x x x --不超过工1x 、2x 、3x 中最大的数，设小明输入这1991个数的次序是1x ,2x ⋅⋅⋅,1991x .相当于计算: 12319901991||||||||x x x x x P --⋅⋅⋅--=，因此P 的值1991x ≤.另外从运算奇偶性分析，1x 、2x 为整数，12||x x -与12||x x +奇偶性相同，因此P 与121991x x x ++⋅⋅⋅+的奇偶性相同，但121991121991x x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=偶数.于是断定1990P x ≤，我们证明P 可以取到1990.对 1,2,3,4,按如下次序：|||13|4|2|0---=，|||(41)(43)|(44)|(42)|0k k k k +-+-+-+=,对于0,1,2,k =⋅⋅⋅均成立.因此，1~1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0,而后||19891990|1991|1990--=，故P 的最大值为1990.数学冲浪知识技能广场1.数a 在数轴上的位置如图所示，，且|1|2a +=,则|37|a +=____.2.已知||5a =，||3b =,且||a b b a -=-，那么a b +=____.3.化简1111111120032003200220022001202004200401-+-+--=____. (北京市竞赛题）4.已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如图所示: ,则|1|||||c a c a b -+-+-化简后的结果是__________.5.已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，⋅⋅⋅满足下列条件：10a =, 21|1|a a =-+，32|2|a a =-+，43|3|a a =+，⋅⋅⋅，依次类推，则2012a 的值为（ ）.A.1005-B.1006-C.1007-D.2012-〔2012年江苏省盐城市中考题）6.已知||a a =-,化简|1||2|a a ---所得的结果是（ ）.A.1-B.1C.23a -D.32a -7.若m 是有理数，则m m -一定是（ ）.A.零B.非负数C.正数D.负数8.有理数a 、b 、c 的大小关系如图： 则下列式子中一定成立的是（ ）.A.0a b c ++>B.||a b c +<C.||||a c a c -=+D.||||b c c a ->-(“希望杯”遨请赛试题)9.化简(1)|3|x -； (2)|1||2|x x +++.10.阅读下面材料并回答问题.AB. 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为||。
人教版数学七年级下册-新思维系列--6.1平方根课后拓展训练
6.1 平方根1．下列说法正确的是 ( )A ．0的平方根是0B ．1的平方根是1C ．－1平方根是－1D ．(－1)2的算术平方根是－12．下列各式正确的是 ( )A ．21412=⎪⎭⎫ ⎝⎛± B ．211412= C ．4324321694=+=+ D ．671371322=-=- 3．估计76的大致范围是 ( )A ．7～8B ．8～8.5C ．8.5～9D ．9～104．下列各数中，没有平方根的是 ( )A ．0B ．(－2)2C ．－22D ．－(－5)5．下列各式中正确的有 ( )①9.0＝0．3；②34971±=±；③－32的平方根为－3；④－(－25)的平方根是－5；⑤67±是36131的平方根． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．5－3的整数部分是 ，小数部分为 ．7．如果一个数的一个平方根是－6，那么这个数为 ．8．若0113=+++y x ，则9x 2＋y 2＝ ．9．若a ＝5．b ＝2，且ab ＜0，则a －b ＝ ．10．16的平方根是 ．11．x x y -+-=531中x 的取值范围是 ． 12．求下列各式中x 的值．(1)64x 2＝9； (2)3(2x ＋1)2－147＝0．13．求下列各式的值．(1)256； (2)232⎪⎭⎫ ⎝⎛--；(3)36131±； (4)221213-． 14．已知a ，b 满足13)1(2--++a b a ＝0，求b 2－5a 的平方根．参考答案1．A2．B3．C4．C5．B ［提示：②⑤正确．提示：由题意可知3x ＋1＝0，1＋y ＝0，所以x ＝－31，y ＝－1，代入9x 2＋y 2中计算即可．10．±211．3＜x ≤5 12．提示：(1)x ＝83±． (2)x ＝3或x ＝－4． 13．提示：(1)16． (2) 32-． (3) 67±． (4)5． 14．解：因为2)1(+a ≥0，13--a b ≥0，所以a ＋1＝0，b －3a －1＝0，解得a ＝－1，b ＝－2，所以9)1(5)2(522±=-⨯--±=-±a b ＝±3．。
七年级新思维1~4-有理数
数与代数 1．数形结合话数轴问题解决 例1 （1）（《时代学习报》数学文化节试题）已知a b 、为有理数，且a ＞0，b ＜0，a b +＜0，将四个数a b a b --、、、按由小到大的顺序排列是_______． （2）（广西竞赛题）已知数轴上有A B 、两点，A B 、之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是_______． 【答案】 （1）（江苏省竞赛题）b ＜a -＜a ＜b - （2）4或2或2-或4-例2 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A B C D 、、、对应的数分别是整数a b c d 、、、，且210d a -=，那么数轴的原点应是（ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点 【答案】 B 由图知7d a -=，又210d a -=，得3a =-． 例3 已知两数a b 、，如果a 比b 大，试判断||a 与||b 的大小．【答案】 当点B 在原点的右边时，0＜b ＜a ，则||a ＞||b ；当点A 在原点的左边时，b ＜a ＜0，则||a ＜||b ；当点A B 、分别在原点的右、左两侧时，b ＜0＜a ，这时无法比较||a 与||b 的大小关系；当点A 正好在原点位置时，b ＜a =0，则||b ＞||a ；当点B 正好在原点位置时，0=b ＜a ，则||a ＞||b ．例4 （“希望杯”邀请赛试题）电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数．【答案】 30.06- 设0K 点表示的有理数为x ，则12100K K K 、、、点所表示的有理数分别为112123123499100x x x x --+-+--+-+-+，，，，，由题意得1234x -+-+9910019.94-+=．例5 已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度，点A 在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B 在原点的右边． （1）求A B 、两点所对应的数．（2）数轴上点A 以每秒1个单位长度出发向左运动，同时点B 以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C 处追上了点A ，求C 点对应的数．（3）已知在数轴上点M 从点A 出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N 从点B 出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO 的中点为P （O 为原点），在运动的过程中线段PO AM -的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 分析与解 对于（3），设M 点运动时间为t 秒，把PO AM -用t 的式子表示． （1）A B 、两点所对应的数分别为820-，；（2）C 点对应的数为22-； （3）202102tAM t OP t +===+，（为什么？），则1010PO AM t t -=+-=，即PO AM -的值不变． 生活启示例6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后（点A 与点B 重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB 上的14，34均变成1122；变成1；等等）．那么在线段AB 上（除点A 、点B 外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和．B A分析 捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点． 解1121421210(1, )18( , , )7883851443( )( )3441583887( , , )8100(1, )8141831850(1)8178()38)(1434)(拉长后对折后拉长后对折后原图21()4341()83)(87180(1)12581121238141878345812381481AB 0故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和是13144+=．数学冲浪知识技能广场1．数轴上有A B 、两点，若点A 对应的数量2-，且A B 、两点的距离为3，则点B 对应的数是_______. 【答案】5-或12．（“《时代学习报》数学文化节”试题）电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿墙进入“394站台”的镜头（如示意图中的M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A B 、站台分别位于21--，处，2AN NB =，则N 站台用类似电影中的方法可称为“_______站台”． 【答案】113-3．已知点A B P 、、在数轴上，点B 表示的数为6，85AB AP ==，，那么点P 表示的数是_______．A NB M【答案】3或7- 4．（江西省中考题）如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周1、2、0、1…所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． （1）圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =_______；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是_______（用含n 的代数式表示）. 【答案】（1）2；（2）31n + 5．（2012年湖南省常德市中考题）有理数a b 、在数轴上的位置如图所示：，则下列各式正确的是（ ）A ．0a b +＞B ．0ab ＞C ．0a b +＜D ．0a b -＞ 【答案】A6．文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西20米，玩具店位于书店东100米处．小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60-米，此时小明的位置在（ ）A ．文具店B ．玩具店C ．文具店西边40米D ．玩具店东60-米 【答案】A 7．（浙江省绍兴市中考题）将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”、“15cm ”分别对应数轴上的 3.6-和x ，则（ ）．A ．910x ＜＜B ．1011x ＜＜C ．1112x ＜＜D ．1213x ＜＜ 【答案】C8．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）．A ．1998B ．1999C ．2000D ．2001 【答案】C 9．（江苏省无锡市中考题）一个跳蚤在一条直线上，从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位……依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，求落点处离O 点的距离（用单位表示）． 【答案】12349910050-+-++-=-，落点处与O 点距离为50个单位长． 10．（北京市“迎春杯”竞赛题）已知数轴上有A B 、两点，A B 、之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和． 【答案】12 思维方法天地11．在数轴上，点A B 、分别表示13-和15，则线段AB 的中点所表示的数是_______.【答案】115- AB 中点所表示的数是11123515⎛⎫-+÷=- ⎪⎝⎭12．在数轴上，表示数22a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的点M 与表示数33a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的点N 关于原点对称，则a 的值为_______. 【答案】6- 13．（《时代学习报》数学文化节试题）数形相伴（1）如图所示AB ，点A B 、所代表的数分别为12-，，在数轴上画出与A B 、两点的距离和为5的点（并标上字母）.（2）若数轴上点A B 、所代表的数分别为a b 、，则A B 、两点之间的距离可表示为AB = a b -，那么，当127x x ++-=时，x =________；当125x x ++-＞时，数x 所对应的点在数轴上的位置是在_______． 【答案】（1）如图所示，点C D 、两点即为所求．（2）3x =-或4；点C 的左边或点D 的右边．14．（江苏省竞赛题）点A B 、分别是数132--、在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动为AB ''，且线段AB ''的中点对应的数是3，则点A '对应的数是_______，点A 移动的距离是_______．【答案】71944； AB 长为15(3)22⎛⎫---= ⎪⎝⎭，A '对应数为31573224-⨯=，点A 移动的距离为719(3)44--=． 15．（福建省泉州市中考题）点123n A A A A 、、、、（n 为正整数）都在数轴上，点1A 在原点O 的左边，且11AO =，点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =，点4A 在点3A 的右边，且434A A =，……，依照上述规律，点20082009A A 、所表示的数分别为（ ）．A ．20082009-，B ．20082009-，C ．10041005-，D ．10041004-， 【答案】C 16．如图：，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A B C D 、、、对应的数分别是整数a b c d 、、、，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点 【答案】C17．有理数a b c 、、在数轴上的位置如图，式子a b a b b c ++++-化简结果为（ ）．A ．23a b c +-B ．3b c -C ．b c +D ．c b - 【答案】C 18．（“希望杯”邀请赛题）不相等的有理数a b c 、、在数轴上对应点分别为A B C 、、，若a b b c a c -+-=-，那么点B （ ）．A ．在A C 、点右边B ．在AC 、点左边 C ．在A C 、点之间D ．以上均有可能【答案】C 19．（“CASIO 杯”河南省竞赛题）在数轴上，N 点与O 点的距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N 点表示的数是多少？ 【答案】24与4020．已知数轴上有A B C 、、三点，分别代表241010--、、，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A C 、两点同时相向而行．甲的速度为4个单位/秒． （1）问多少秒后甲到A B C 、、的距离和为40个单位？（2）若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A C 、两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ （3）在（1）、（2）的条件下，当甲到A B C 、、的距离和为40个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由． 【答案】（1）设x 秒后甲到A B C 、、距离和为4010(24)1410(10)20---=-=． ①当甲在A B 、之间时 4(144)(14420)40x x x +-+-+=，得2x =．②当甲在B C 、之间时 4(414)(20414)40x x x +-+-+=，得5x =，即2秒或5秒后． （2）设x 秒后相遇 (46)10(24)x +=-- 1034 3.4.x x ==24 3.4410.4-+⨯=-，即在10.4-处相遇．（3）①设甲向C 走2秒后掉头返回x 秒与乙相遇 2442410266x x -+⨯-=-⨯-，解得7x =． 10266106(2)106944x x ∴-⨯-=-+=-⨯=-． ②设甲向C 走5秒后掉头返回y 秒与乙相遇 2445410566y y -+⨯-=-⨯-，解得8y =-．∴不合题意，舍去．即甲、乙能在44-所表示的点处相遇． 应用探究乐园 21．（2012年北京市中考题）操作与探究对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点P '．点A B ，在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段AB ''，其中，点A B，的对应点分别为A '，B '.如图所示，若点A 表示的数是3-，则点A '表示的数是_______；若点B '表示的数是2，则点B 表示的数是_______；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合，则点E 表示的数是_______．【答案】0；3；32．设E 点表示的数为x ，则E '点表示的数为113x +，由113x x =+得32x =．22．一动点P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位、后退3个单位的程序运动.已知点P 每秒前进或后退1个单位，设n x 表示第n 秒点P 在数轴上的位置所对应的数（如456454x x x ===，，），求2011x 所对应的数.【答案】因20118251322513505=⨯+⨯+=，，故2011x 所对应的数为505．2．聚焦绝对值问题解决例 1 （“CASIO 杯”河南省竞赛题）已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x ＜＜，≤≤，那么y 的最小值为_______．【答案】20 [(20)][(20)]202040y x b x x b x b x x b x =-+--+---=--+-++=-，当20x =时，y 的值最小为20．例2 式子a b aba b ab ++的所有可能的值有（ ）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个A B'【答案】A 分00;00;00;00a b a b a b a b >><<><<>，，，，四种情况讨论． 例3 （1）（“华罗庚杯”香港中学竞赛题）已知220ab a -+-=， 求111(1)(1)(2)(2)ab a b a b ++++++++1(2006)(2006)a b ++的值．（2）（“希望杯”邀请赛试题）设a b c 、、为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值. 【答案】（1）由2020ab a -=-=，，得21a b ==，． 原式=111111111111223342007200822320072008++++=-+-++-=-⨯⨯⨯⨯12008= 20072008． （2）因a b c 、、为整数，且||||1a b c a -+-=，故||||a b c a --与一个为0，一个为1，从而||()()|1b c b a a c --+-=所以，原式=1+1+0=2． 例4 阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道(0)0(0)(0).xx x x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩＞，，＜现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值）．在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）1x -＜；（2）12x -＜≤；（3）2x ≥．从而化简代数式12x x ++-可分以下3种情况：（1）当1x -＜时，原式(1)(2)21x x x =-+--=-+； （2）当12x -＜≤时，原式1(2)3x x =+--=； （3）当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-． 综上讨论，原式21(1)3(12)21(2).x x x x x -+-⎧⎪=-⎨⎪-⎩＜，＜，≤≥ 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出2x +和4x -的零点值； （2）化简代数式24x x ++-.【答案】（1）分别令20x +=和40x -=，分别求得2x =-和4|2|x x =∴+，和|4|x -的零点值分别为2x =-和4x =．（2）当2x <-时，原式=(2)(4)2422;x x x x x -+--=---+=-+当24x -<≤时，原式=2(4)6x x +--=；当4x ≥时，原式=2422x x x ++-=-． ∴综上讨论，原式=22(2)6(24)22(4).x x x x x -+<-⎧⎪-<⎨⎪-⎩，，≤≥ 例5 （1）当x 取何值时，3x -有最小值？这个最小值是多少？ （2）当x 取何值时，52x -+有最大值？这个最大值是多少？ （3）求45x x -+-的最小值． （4）求789x x x -+-+-的最小值．分析 对于（3）、（4）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值；也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示x 的点，使之到表示45、的点（或表示7、8、9的点）的距离和最小.解 （1）当3x =时，原式有最小值，最小值为0． （2）当2x =-时，原式有最大值，最大值为5． （3）当45x ≤≤时，原式有最小值，最小值为1． （4）当8x =时，原式有最小值，最小值为2． 对于（3），给出另一种解法：当4x ≤时，原式(4)(5)92x x x =----=-，最小值为1； 当45x ＜≤时，原式4(5)1x x =---=，最小值为1；当5x ＞时，原式4529x x x =-+-=-，最小值为1． 综上所述，原式有最小值等于1． 以退求进例6 少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输入整数2x 后则显示12x x -的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算．现小明将从1到1991这1991个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为P ，试求出P 的最大值，并说明理由．分析 先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分析调整估值，一步步求出P 的最大值． 解 由于输入的数都是非负数，当1200x x ，≥≥时，12x x -不超过12x x 、中最大的数，对123000x x x ，，≥≥≥，则123x x x --不超过123x x x 、、中最大的数，设小明输入这1991个数的次序是121991x x x ，，，．相当于计算：12319901991x x x x x P ----=，因此P的值1991≤.另外从运算奇偶性分析，12x x 、为整数，12x x -与12x x +奇偶性相同，因此P 与12x x +++1991x 的奇偶性相同．但121991121991x x x +++=+++=偶数．于是断定1990P ≤．我们证明P 可以取到1990.对1，2，3，4，按如下次序：13420---=，(41)(43)(44)(42)0k k k k +-+-+-+=，对于012k =，，，均成立．因此，1~1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0，而后1989199019911990--=，故P 的最大值为1990.数学冲浪知识技能广场1．数a 在数轴上的位置如图所示 ，且12a +=，则37a +=_______. 【答案】22．已知53a b ==，，且a b b a -=-，那么a b +=_______. 【答案】2-或8- 3．（北京市竞赛题）化简111111200420032003200220022001-+-+--1120012004-= _______． 【答案】04．已知有理数a b c 、、在数轴上的对应位置如图所示： 则1c a c a b -+-+-化简后的结果是_______． 【答案】12-c b +5．（2012年江苏省盐城市中考题）已知整数1234a a a a ，，，，满足下列条件：121324012a a a a a a ==-+=-+=，，， 33a -+，，依次类推，则2012a 的值为（ ）．A ．1005-B ．1006-C ．1007-D ．2012-【答案】B 12345678a a a a a a a a ，，，，，，，对应的数分别为0，-1，-1，-2，-2，-3，-3，-4． 6．已知a a =-，化简12a a ---所得的结果是（ ）．A ．1-B ．1C ．23a -D ．32a - 【答案】A7．若m 是有理数，则m m -一定是（ ）．A ．零B ．非负数C ．正数D ．负数 【答案】B 8．（“希望杯”邀请赛试题）有理数a b c 、、的大小关系如图： ，c 0则下列式子中一定成立的是（ ）．A ．0a b c ++＞B ．a b c +＜C ．a c a c -=+D ．b c c a --＞ 【答案】C 9．化简 （1）3x -； （2）12x x +++.【答案】（1）原式=3(3)3(3)x x x x -<⎧⎨-⎩≥（2）原式=23(2)1(21)23(1)x x x x x --<-⎧⎪-<-⎨⎪+-⎩≤≥ 10．（南京市中考题）阅读下面材料并回答问题．B B A B A 图④图①图②图③B O O O点A B 、在数轴上分别表示实数a b A B 、，、两点之间的距离表示为AB ．当A B 、两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图①，AB OB b a b ===-；当A B 、两点都不在原点时，（1）如图②，点A B 、都在原点的右边，AB OB OA b a =-=-=b a a b -=-；（2）如图③，点A B 、都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-； （3）如图④，点A B 、在原点的两边，()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-. 综上，数轴上A B 、两点之间的距离AB a b =-．请回答：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是_______；②数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是_______，如果2AB =，那么x 为_______； ③当代数式12x x ++-取最小值时，相应的x 的取值范围是_______．【答案】①3；3；4 ②|1|;1x +或-3 ③12x -≤≤ 思维方法天地11．（北京市“迎春杯”竞赛题）已知123a b c ===，，，且a b c ＞＞，那么a b c +-=_______．【答案】2或012．（“五羊杯”竞赛题）在数轴上，点A 表示的数是3x +，点B 表示的数是3x -，且A B 、两点的距离为8，则x =_______． 【答案】413．（北京市“迎春杯”竞赛题）已知51x y ==，，那么x y x y --+=_______． 【答案】2 分x y ，同号、x y ，异号两种情形讨论14．（1）（“希望杯”邀请赛试题）11x x ++-的最小值为_______．（2）（北京市“迎春杯”竞赛题）111213x x x ++-++的最小值为_______．【答案】（1）2 （2）25 15．（“希望杯”邀请赛试题）有理数a b 、在数轴上对应的位置如图所示： 则代数式11a ab aa a a b+--+-+-11b b --的值为（ ）． A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】D16．（北京市中考题）若22(1)0m n ++-=，则2m n +的值为（ ）．A ．4-B ．1-C ．0D ．4 【答案】C17．如图，已知数轴上点A B C 、、所对应的数a b c 、、都不为0，且C 是AB 的中点．C B A 如果2220a b a c b c a b c +--+--+-=，那么原点O 的位置在（ ）．A ．线段AC 上B ．线段CA 的延长线上C ．线段BC 上D ．线段CB 的延长线上 （江苏省竞赛题） 【答案】A 提示：2a bc +=原式化为||||||a b b a +=- 18．（重庆市竞赛题）设1m x x =+-，则m 的最小值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．1- D ．2 【答案】B19．已知点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且24(1)0a b ++-=，A B 、之0a间的距离记作AB ． （1）求线段AB 的长AB ；（2）设点P 在数轴上对应的数为x ，当2PA PB -=时，求x 的值；（3）若点P 在A 的左侧，M N 、分别是PA PB 、的中点，当点P 在A 的左侧移动时，式子PN PM -的值是否发生改变？若不变，请求其值；若发生变化，请说明理由．【答案】（1）||5;AB =（2）12x =-；（3）5||||2PN PM -=，值不变． 20．（“华罗庚杯”香港中学竞赛题）已知a b c abcx a b c abc=+++，且a b c 、、都不等于0，求x 的所有可能值． 【答案】4或0或4- 应用探究乐园 21．（“希望杯”邀请赛试题）绝对值性质（1）设a b 、为有理数，比较a b +与a b +的大小．（2）已知a b cd 、、、是有理数，916a b c d --，≤≤，且a b c d --+=25，求b a d c ---的值．【答案】（1）||||||a b a b ++≤，当且仅当a b 、同号或a b 、至少有一为0时等号成立．（2）因||9||a bc d --，，≤≤故||||91625a b c d -+-+=≤，又因为25|||()()||a b c d a b d c a b d c =--+=-+--+-，≤≤所以||9||16a b c d -=-=，，故原式9167=-=-．22．已知数轴上两点A B 、对应的数分别为13-，，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ． （1）若点P 到点A 、点B 的距离相等，求点P 对应的数．（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为5？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．（3）当点P 以每分钟1个单位长的速度从O 点向左运动时，点A 以每分钟5个单位长的速度向左运动，点B 以每分钟20个单位长的速度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P 点到点A 、点B 的距离相等？【答案】（1）1；（2）3.5或-1.5；（3）B 未追上A 时，223t =；b 追上A 时，415t =．3．有理数的运算问题解决例1 （1）（成都市中考题）已知21(123)(1)n a n n ==+，，，，记112(1)b a =-，2b =122(1)(1)a a --，，122(1)(1)(1)n n b a a a =---，则通过计算推测n b 的表达式n b =_______．（用含n 的代数式表示） （2）（“希望杯”邀请赛试题）若a b 、是互为相反数，c d 、是互为倒数，x 的绝对值等于2，则42x cdx a b +--的值是_______． 【答案】（1）21n n ++ （2）20例 2 （江苏省竞赛题）已知整数a b c d 、、、满足25abcd =，且a b c d ＞＞＞，那么a b c d +++等于（ ）． A ．0 B ．10 C ．2 D ．12【答案】D 51(1)(5)5115abcd a b c d =⨯⨯-⨯-===-=-，，，，． 例3 计算 （1）（广西竞赛题）1121231259233444606060⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）（“祖冲之杯”邀请赛试题）111112123123100+++++++++++； （3）（“五羊杯”竞赛题）77371217381727111385271739172739⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）885 设原式=S ,又12132159581233444606060S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，两式相加得2123591770S =++++=，所以885;S = （2）200112112;201123(1)12nn n n n ⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭ （3）2 原式34247616261022272739A A ⎛⎫=+-÷=÷= ⎪⎝⎭，其中1712388135272739A =+-．例4 （辽宁省大连市中考题）在数学活动中，小明为了求2341111122222n+++++的值（结果用n 表示），设计了如图所示的几何图形．图①图②（1）请你用这个几何图形求2341111122222n +++++的值； （2）请你用图②，再设计一个能求2341111122222n+++++的值的几何图形． 【答案】（1）原式=112n -；（2）略． 例5 在1，2，…，2002前面任意添上正号和负号，求其非负和的最小值．分析与解 首先确定非负代数和的最小值的下限，然后通过构造法证明这个下限可以达到即可．整数的和差仍是整数，而最小的非负整数是0．代数和的最小值能是0吗？能是1吗？由于任意添“+”号或“-”号，形式多样，因此，不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质入手．因a b +与a b -的奇偶性相同，故所求代数和的奇偶性与1+2+3+…+2001+2002=2002(12002)2⨯+=10012003⨯的奇偶性相同，即为奇数．因此，所求非负代数和不会小于1． 又∵(12)(3456)(78910)(11121314)(199920002001-++--++--++--+++--+ 2002)1=，∴所求非负代数和的最小值为1．类比类比是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 例6 观察下面的计算过程 111111111111141122334451223344555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 问：（1）从上面的解题方法中，你发现了什么？用字母表示这一规律． （2）“学问”，既要学会解答，又要学会发问．爱因斯坦曾说：“提出问题比解决问题更重要”． 请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题．分析与解 （1）111(1)1n n n n =-++．（2）从连续自然数到连续偶数，从2个到3个，从分数到整数，类比可提出下列计算问题： ①111244620122014+++⨯⨯⨯；②111123234201220132014+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯；③12233420122013⨯+⨯+⨯++⨯； ④22221232012++++．数学冲浪知识技能广场 1．（2012年潍坊市中考题）如图，每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：1357+++++(21)n -=_______．（用n 表示，n 是正整数）．【答案】2n 2．（2012年河北省中考题）某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报111⎛⎫+ ⎪⎝⎭，第2位同学报112⎛⎫+ ⎪⎝⎭，第3位同学报113⎛⎫+ ⎪⎝⎭，……这样得到的20个数的积为_______．【答案】21 3．计算：（第1题）n2n-1n1234（1）（“希望杯”邀请赛试题）211(455)365455211545545365⨯-+⨯-⨯+⨯=_______． （2）（广西桂林市中考题）23181920222222-----+=_______． 【答案】（1）154000；（2）6 21n +-22n n = 4．（2012年湖北省黄石市中考题）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考，在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：123S =+++…+98+99+100 ① S =100+99+98+…+3+2+1 ②①+②有2(1100)1005050S S =+⨯=，． 请类比以上做法，回答下列问题：若n 为正整数，3+5+7+…+（21n +）=168，则n =_______． 【答案】12 由(321)1682n n ++=，得(21214n n +=⨯ 5．（“希望杯”邀请赛试题）设0a ＜，在代数式20092010a a a aa --，，，，，22a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，中负数的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B 6．（2012年四川省竞赛题）我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量为470克，则他应付邮资（ ）元．A ．2.3B ．2.6C ．3D ．3.5 【答案】A 470100310070=+⨯+7．（湖北省鄂州市中考题）为了求232012222+++++的值，可令23200812222S =+++++，则2222S =++342009222+++，因此2009221S S -=-，所以23200820091222221+++++=-．仿照上面推理计算出23200915555+++++的值是（ ）．A ．200951- B ．201051- C ．2009514- D ．2010514-【答案】D8．（江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）． A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个数【答案】A 提示：第n 个数为1122n -+，把第10、11、12、13个数分别求出． 9．（2012年益阳市中考题）观察图形，解答问题： ⑤④③②-33-9-5-817-4-5-1①xy 11-2-325517-1（1（2【答案】（1）略（2）图④：5(8)(9)3605(8)(9)12360(12)30;y ⨯-⨯-=+-+-=-=÷-=-，，图⑤：13313x x ⋅⋅=-++，解得2x =-．10．（2012年广东省中考题）观察下列等式：第1个等式：111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第2个等式：2111135235a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第3个等式：3111157257a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第4个等式：4111179279a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； ……请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：5a =_______=_______；（2）用含n 的代数式表示第n 个等式：n a =_______=________（n 为正整数）； （3）求1234100a a a a a +++++的值．【答案】（1）51111;9112911a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭（2）1111;(21)(21)22121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪--=+⎝⎭（3）原式100201=思维方法天地 11．计算：（1）（“华罗庚杯”邀请赛试题）1111111113243546⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111979998100⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭_______． （2）（“希望杯”邀请赛试题）1511914117111234567892612203042567290-+-+-+-+=_______．（3）（江苏省竞赛题）555111139139993311993311⎛⎫⎛⎫++÷++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______．【答案】（1）1.98；（2）9110；（3）1.04 12．设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1a b a +，，的形式，又可分别表示为0abb ，，的形式，则20042001a b +=_______．【答案】2 这两个三数组在适当的顺序下对应相等，于是可以断定，a b +与a 中有一个为0，ba与b 中有一个为1，可推得11a b =-=，． 13．（“五羊杯”竞赛题）已知31x x =+，则22005(64489)x x ++=_______．【答案】114．（四川省竞赛题）已知a b c 、、满足()()()0a b b c c a +++=且0abc ＜，则代数式a b ca b c ++的值是______． 【答案】115．（北京市竞赛题）11111161111161621212626313136+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值是（ ）． A ．118 B ．136 C ．133 D ．166 【答案】B16．如果4个不同的正整数m n p q 、、、满足(7)(7)(7)(7)4m n p q ----=，那么m n ++ p q +等于（ ）． A ．10 B ．21 C ．24 D ．26 E ．28 【答案】E 42(2)1(1)=⨯-⨯⨯- 17．（河北省竞赛题）如果3121231t t tt t t ++=，那么123123t t t t t t 的值为（ ）． A ．1- B ．1 C ．1± D ．不确定【答案】A 18．（济南市中考题）观察下列各式： （1）211=；（2）22343++=；（3）2345675++++=；（4）2456789107++++++=；……请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ）． A ．210051006100730162011++++= B ．210051006100730172011++++= C ．210061007100830162011++++= D ．210071008100930172011++++= 【答案】C 19．（“希望杯”邀请赛试题）观察下面的等式： 224224⨯=+=，；313134342222⨯=+=，； 414145453333⨯=+=，； 515156564444⨯=+=，． （1）小明归纳上面各式得出一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，小明的猜想正确吗？为什么？（2）请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想． 【答案】（1）小明的猜想显然是不正确的，易举出反例，如131 3.⨯≠+ （2）将第一组等式变形为22242411⨯=+=，，得出如下猜想：“若n 是正整数，则11(1)(1)n n n n n n ++⨯+=++”．证明：左边=111(1)(1)n n n n n +⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭右边． 20．（四川省内江市中考题）同学们，我们曾经研究过n n ⨯的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为2222123n ++++．但n 为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来研究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道1011223(1)3n n n ⨯+⨯+⨯++-⨯=(1)(1)n n +-时，我们可以这样做：（1）观察并猜想：2222212(10)1(11)2101212(12)(0112)123(10)1+=+⨯++⨯=+⨯++⨯=++⨯+⨯++=+⨯+，(11)2(12)3101212323(123)(011223)+⨯++⨯=+⨯++⨯++⨯=+++⨯+⨯+⨯，22221234(10)1(11)2(12)3_______101212323_______+++=+⨯++⨯++⨯+=+⨯++⨯++⨯+(1234)(_______)=++++；……（2）归纳结论：[]2222123(10)1(11)2(12)31(1)n n n ++++=+⨯++⨯++⨯+++-101212323(1)n n n =+⨯++⨯++⨯+++-⨯(_______)(__________)=+ ______________=+1_______6=；（3）实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是______．【答案】（1）(13)4;434;01122334;+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯（2）123;n++++0⨯1+1⨯2+2⨯3+…+(1)n n-；12n(1);n+13(1)(1);n n n+-(1)(21)n n n++；（3）338350．应用探究乐园21．（山东省青岛市中考题）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．例如，求1234n+++++的值，其中n是正整数．对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1234n+++++的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为123n，，，，个小圆圈排列组成的，而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1234n+++++的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有(1)n+个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为(1)n n+个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为(1)2n n+，即(1)12342n nn++++++=．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙n∙∙∙∙∙∙n43211234（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1357(21)n+++++-的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1357(21)n+++++-的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明）【答案】原式=2n，构造平行四边形或正方形．22．（四川省竞赛题）在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”、“-”号，如果可以使其代数和为n，就称数n是“可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为12345++--++6789--+是1的一种可被表出的方法）．（1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数；（2）求25可被表出的不同方法的种数．【答案】（1）1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，无论怎样填“+”、“-”号，代数和一定是奇数，又1234567897--++-+-+=，故7是可被表出的数，而8是不可被表出的数．（2）设填“+”号的数字和为x ，填“-”号的数字和为y ，则25x y -=，又45x y +=，解得3510x y ==，，因910123410<+++=，，故填“-”号的数字至少有2个至多有4个，由此知填“-”号的数之和为10，只要计算出从1到9中选出若干个其和为10的数字的不同方法，就得到25可表出的不同方法，经讨论知有4+4+1=9种．4．信息技术中的数学问题问题解决例1 （广西竞赛题）给出下列程序x k b →→⨯→+→入立方出输输，且已知当输入的x 值为1时，输出值为1；输入的x 值为1-时，输出值为3-，则当输入的x 值为12时，输出值为_______．【答案】由条件得13k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，得2k b ==-，1，故当12x =时，33132(1)24kx b ⎛⎫+=⨯+-=- ⎪⎝⎭．例2 （湖北省荆门市中考题）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0、1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个2n 数的和，依次写出1或0即可．如4321()(2)19162112020212110011=++=⨯+⨯+⨯+⨯+=十．为二进制下的5倍数，则十进数2004是二进制下的（ ）．A ．10位数B ．11位数C ．12位数D ．13位数 【答案】 B 2004=1024+980=1⨯102+980．例3 （第17届“希望杯”邀请赛试题）一条信息可通过如图所示的网络线由上（A 点）往下向各站点传送．例如信息到2b 点可由径1a 的站点送达，也可由经2a 的站点送达，共有两条途径传送，那么信息由A 点到达3d 的不同途径共有多少条．【答案】画出路线图：b 2c 3c 3c 2c 2d 3d 3d 3d 3d 3b 2b 3c 2a 1b 1a 2d 3c 3A故有6条不同途径． 例 4 （《时间学习报》数学文化节试题）你觉得手机很神奇吗？它能在瞬间清晰地传递声音、文字、图像等信号，据说以后还能发送味道、触觉信息呢！这里都有手机中电脑芯片的54321。
第4章基本平面图形(教案)2023-2024学年七年级上册数学(教案)(北师大版)
1.教学重点
-线段、射线与直线的定义及性质：这是基础几何概念，需要学生熟练掌握，并能应用于实际问题中。例如，理解线段的两个端点、射线的起点和延伸方向、直线的无限延伸等特性。
-角的分类及性质：重点在于区分不同类型的角，并了解它们的基本性质。如锐角、直角、钝角、周角的定义及特征。
-三角形的分类：强调三角形按角的大小分类，以及各类三角形的性质和特点。
-空间想象能力的培养：对于一些空间想象能力较弱的学生，理解图形的旋转、翻折等变换是难点，需要通过实物模型或多媒体辅助教学来帮助理解。
本章节的教学难点与重点紧密联系课本内容，教师在教学过程中应针对这些核心知识进行深入讲解，通过实例分析、图形操作、逻辑推理等教学策略，帮助学生理解难点，掌握重点，提高几何学科素养。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解线段、射线与直线的基本概念。线段是有限长度的，有两个端点；射线有一个起点，向一个方向无限延伸；直线则是无限制地延伸。它们是构成复杂图形的基础。这些基本图形在建筑、设计等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个简单的房屋设计图，我们可以看到线段、射线和直线是如何被用来表示墙壁和屋顶的。
-平行线的性质与判定：掌握平行线的定义、性质以及判定方法，如同位角、内错角、同旁内角等。
-四边形的定义及性质：掌握矩形、菱形、平行四边形的定义及性质，如对边平行、对角相等、对角线互相平分等。
-图形的全等：理解全等图形的概念，掌握SSS、SAS、ASA、AAS全等三角形的判定方法。
2.教学难点
-平行线的判定：对于初中生来说，理解并熟练运用平行线的判定方法是一个难点，特别是同位角、内错角等概念的运用。
冀教版2024新版七年级数学上册《第四章 整式的加减》精品教案
第四章整式的加减一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“整式的加减”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段代数式,包括代数式、整式、分式的概念及运算.课标重点强调数的意义、建立数感、理解代数式的表述功能、建立符号意识、理解运算的意义及运算的必要性.人们对事物的认识,一般要经历从具体到抽象、再从抽象到具体,不断往复、逐步提高的过程,从“数的运算”到“式的运算”是这种从“具体到抽象”过程的进一步深入和发展.在本单元中,整式的概念、合并同类项、去括号法则和整式的加减运算等主要内容,既是以后学习整式乘法、分式运算、方程和函数等知识的基础,也是培养学生抽象思维能力的重要内容.在学习整式的过程中,要把概念和运算紧密联系.新课标明确指出本单元的重点在于了解整式的概念,会进行简单的整式的加减运算,所以本单元的目标就是让学生理解并掌握整式的概念和掌握单项式的概念、系数、次数,多项式的概念、项、次数及同类项、合并同类项等内容,为下一步的学习打下坚实的基础.结合具体情境,充分展现知识发生、发展的过程,关注新旧知识间的联系,使学生体验从具体问题情境中抽象出数学符号的过程,发展符号意识,感受计算原理,提高运算能力,培养学生的应用意识.2.本单元教学内容分析冀教版教材七年级上册第四章“整式的加减”,本章包括四个小节:4.1整式;4.2合并同类项;4.3去括号;4.4整式的加减.通过提供充分的素材,让学生经历用代数式表示数量的过程,进一步发展符号意识,教学活动应成为师生互动、共同提高的过程,正确处理教师的讲解和学生的活动之间的关系.结合现实的、富有趣味性的情境,探索合并同类项的法则,并学会运用加法结合律,乘法对加法的分配律等,通过数与式的类比,自然而合理地解决去括号问题.关注学生对算理的认识和理解,重视培养学生从不同角度展开对数学的思考以及分析问题与解决问题的能力,从情境问题到用整式表示的过程中,让学生学会有条理地表达自己的思考过程,开展用数学语言(代数式)合乎逻辑地进行讨论,提出疑问,让学生在经历“符号化”的过程中,体验数学抽象,初步发展推理能力,积累数学活动经验;保证学生掌握基本的运算技能,使学生能进行简单的整式的加减运算,并要求在每一步的算理教学中,教师不要人为拔高,达到教学目标要求即可;整式的加减运算是建立在数的运算基础上的,因此要强调运用数的运算律,保证基本运算技能的训练,同时要注意避免过多的、繁琐的运算.三、单元学情分析本单元内容是冀教版教材数学七年级上册第四章整式的加减,学生在前面已经学习了有理数的运算、用字母表示数和代数式,初步积累了用代数式表示数量的活动经验,在学习单项式的系数和次数,多项式的概念时会比较容易,但是多项式的次数和单项式的次数学生容易混淆,所以在教学过程中要进行重点强调.由于学生形象直观思维比较成熟,抽象思维比较薄弱,所以对于多项式的次数要重点进行讲解.四、单元学习目标1.理解整式的概念,知道单项式、多项式、整式与代数式的联系和区别,提高学生的辨析能力.2.理解同类项的概念,会辨别同类项,并能熟练地合并同类项.3.探索并掌握去括号法则,并能准确地去括号.4.理解整式加减运算的算理,能进行简单的整式加减运算,在加减运算的过程中,感悟代数式推理的重要性,进一步提升数学抽象能力和运算能力.5.能运用整式的有关知识解决一些实际问题,培养应用意识.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
2024秋七年级数学上册第4章基本平面图形4.1线段、射线、直线教案(新版)北师大版
目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。
过程：
将学生分成若干小组，每组选择一个与线段、射线、直线相关的主题进行深入讨论。
小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。
每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。
5. 课堂展示与点评（15分钟）
目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对线段、射线、直线的认识和理解。
① 使用图形和符号：用直观的图形和符号表示线段、射线、直线，如用小圆点表示端点，箭头表示射线的方向等。
② 色彩运用：适当运用色彩，区分线段、射线、直线，增强视觉效果。
③ 创意标题：给板书设计一个有趣、吸引人的标题，如“探索直线、射线的秘密”等。
④ 互动环节：在板书设计中加入互动环节，如让学生上台画线段、射线、直线等。
4. 数学建模：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，能够将线段、射线、直线的基本概念和性质应用到实际问题中，建立数学模型进行分析和解决。
三、学情分析
针对2024秋七年级数学上册第4章“基本平面图形”的第1节“线段、射线、直线”的教学内容，对学生情况进行深入分析如下：
1. 学生层次：根据北师大版教材的安排，本节课适用于七年级学生。在这个阶段，学生已经完成了对实数的初步学习，具备了一定的逻辑推理和空间想象能力。然而，由于学生的个体差异，他们在知识、能力和素质方面存在不同层次的需求和发展水平。
（3）合作学习法：组织学生进行小组讨论和合作，让学生在交流中互相学习，提高学生的团队协作能力和解决问题的能力。
2. 教学手段
为了提高教学效果和效率，本节课将充分利用以下现代化教学手段：
（1）多媒体设备：通过课件、动画等形式展示线段、射线、直线的定义和性质，使抽象的概念更加直观，帮助学生更好地理解和记忆。
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七年级奥数培训题（A ）例1.已知︱a ︱=5, ︱b ︱=3，且︱a-b ︱=b-a ，那么a+b= 。
例2．化简∣20041-20031∣+∣20031-20021∣+∣20021-20011∣+∣20011-20001∣= 。
例3．若x 的相反数是3，∣y ∣=5，则x+y 的值为 。
例4．已知∣a ∣=-a ，化简∣a-1∣-∣a-2∣所得结果是 。
例5．若∣m+2∣+(n-1)2=0，则m+2n 的值为 。
例6．∣x+11∣+∣x-12∣+∣x+13∣的最小值为 。
例7．计算：1+211++3211+++43211++++……+1003211+⋯⋯+++ 例8．已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为倒数，x 的绝对值等于3，求：x 3-(1+m+n+ab)x 2+(m+n)x 2011+(-ab)2013的值。
例9．计算：（1）（17277+27177-113937）÷（131712+82717-53938）= 。
（2）（5175+23233-27295）÷（112313+7174-132917）= 。
例10．速算：21+（31+32）+（41+42+43）+…+（601+602+…+6059）例11．计算：2-22-23-……-218-219+220＝ 。
例12．速算：211×（-455）+365×455-211×545+545×365 例13．计算1+2+22+23+……+22011－22012＝ 。
例14．计算（1+311⨯）×（1+421⨯）×（1+531⨯）×……×（1+99971⨯）×（1+100981⨯） 例15．计算：121-265+3121-42019+5301-64231+7561-87271+9901例16．计算：（37311+5197+72313）÷（3197+52313+77311）例17.（51154533515995++）÷（111193313991++）= 。
41例18．计算：（3133+15179+331915）÷（1131+5173+11195） 例19．已知：∣x ∣=3x+1，则（64 x 2+48x+9）2012= 。
例20．1161⨯+16111⨯+21161⨯+26211⨯+31261⨯+36311⨯的值是 。
例21．如果4个不同的正整数m.n.p.q 满足（7-m ）×（7-n ）×（7-p ）×（7-q ）=4，那m+n+p+q 等于 。
例22．如果tt 11+tt 22+tt 33＝1，那么tt t t t t 321321的值为 。
例23．给出下列程序：输入x →立方→×k →+ b →输出，已知当输入的x 值为1时，输出值为1；当输入的x 值为-1时，输出值为（-3）；求：当输入的x 值为21时，输出值为 。
例24．二进制共有两个数字0和1，将一个十进制数转化成二进制数，只需把该数写成若干个n 2的数之和，依次写出1或0即可。
比如：（十进制）19=16+2+1=1⨯42+0⨯32+0⨯22+1⨯12+1=10011（二进制），那么十进制2004写成二进制是 。
例25．十进制13表示成二进制是1101，即13=8+4+1=1⨯23+1⨯22+0⨯21+1表示成二进制是1101。
那么21表示成二进制是 。
例26．老师设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表:那么,当例27．下表输出和输入数据具有一定的计算程序，请根据规律计算，当输入数据为6时，输出的数据值是：七年级奥数培训题（B ）例1．二进制是逢2进1如（1001）2表示二进制数，将它转换成十进制形式是：1⨯32+0⨯22+0⨯12+1⨯02=8+1=9，即（1001）2=（9）10，那么将二进制（1110）2转化成十进制形式得数是 。
即 （1110）2= 。
例2．按下列程序计算，把答案写在表格内； n →平方→+n →÷n →-n →答案 输入n 2 31-2 …… 输出答案……例3．为了保密，就要用密码。
密码在通信安全技术、国防军事等方 面扮演着重要的角色。
下面四个算式乍看起来，没有1个是正确的。
①3-4=4；②2+4=1；③2⨯3=3；④4÷2=4。
然而当你知道这只是4个密码算式时，你就豁然开朗了。
4个密码数字各对应另一个不同的数字。
那么密码1、2、3、4各对应的正确数字分别是多少？①请将对应数字填入下表中。
②请写出4个密码算式所对应的4个正确算式。
输入数字 1 23 4 输出数字例4．如图所示的计算程序中，若开始输入的x 的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，第2013次输出的结果为 。
例5．观察下列各等式的数字特征：35-85=35⨯85，29-119=29⨯119，710-1710=710⨯1710，…，将你所发现的规律用含有字母x 、y 的等式表示出来是： 。
例6．以下等式有一定的数字规律，比如：21-31=21⨯31，52-72=52⨯72，94-134=94⨯134，…，将你所发现的规律用含字母x 、y 的等式表示是： 。
例7．设m 和n 均不为零，3x 2y 3和-5x n m ++22y 3是同类项，则322332239635933nmn n m m n n m mn m +-++-+= 。
例8．如果代数式32x 2-x+1的值为2，那么代数式2x 2-3x 的值等于 。
例9．如果100个连续自然数的和等于1627384950，那么这100个自然数的首数是 ；尾数是 。
例10．如果1000个连续自然数之和为387594821500，那么这1000个自然数的首数是 。
例11．已知x 2+2x=3，求代数式x 4+7x 3+8x 2-13x+15的值。
例12．已知x 2+3x=1，求6x 3+23x 2+9x 的值。
例13．有这样的两位数，交换该数的数字后，所得两位数与原两位数之和，是一个完全平方数，例如56+65=121=112，请你写出所有的两位数共有（ ）个。
例14．在一次数学竞赛中，组委会决定用NS 公司的赞助款购买一批奖品，若以1台NS 计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS 计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品。
问这笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少？例15．若3x 5+m y 2与x 3y n 的和是单项式，则m n = 。
例16．数列1、3、7、13、21、A 有排列规律，那么A= 。
例17．若a ,0322=--a 则=+-9632a a 。
例18．已知代数式131-+-a b a y x 与y x 23是同类项，则a-b 的值为 。
例19．已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，且|a|=|b|,则代数式|a|-|c-a|+|c-b|-|-b|的值为 。
ac例20．如果012=-+x x ，则代数式7223-+x x 的值为（ ）。
例21．已知一个多项式与x x 932+的和等于1432-+x x ，则这个多项式是（ ）。
例22．已知多项式b y ax x +-+2与3632-+-y x bx 的差的值与字母x 的取值无关，求代数式)4()2(32222b ab a b ab a ++---的值。
例23.计算 ()()()1111012++=例24．当π2=m 时，多项式13++bm am 的值是0，则多项式21543++ππb a = 。
例25．当x=2时，代数式13+-bx ax 的值等于-17，那么当x=-1时，代数式53123--bx ax 的值等于（ ）。
例26．若m+n-p=0，则)11()11()11(nmp pmn pnm +⨯--⨯+-⨯的值等于 。
例27．计算)2012131211()2011131211()201213121(+⋯⋯+++-+⋯⋯+++⨯+⋯⋯++=+⋯⋯++⨯)201113121( 。
七年级奥数培训题（C ）例1．当x=-1时，代数式8323+-bx ax 的值为18，那么，代数式9b-6a+2= 。
例2．有甲乙两种糖果，原价为每千克a 元和b 元，若将两种糖果按甲种糖果m 千克与乙种糖果n 千克的比例混合,取得了较好的销售效果，现在糖果价格有了调整：甲种糖果单价上涨c%，乙种糖果单价下跌d%，但按原比例混合的糖果单价恰好不变，那nm=（ ）。
例3．老师报出一个5位数，同学们将它的顺序倒排后得到的5位数减去原数，学生甲乙丙丁的结果分别为34567，34056，23456，34956，老师判定4个结果中只有一个正确，答对的学生是 。
例4．在括号中填入不等的自然数()()()111143++= 例5．()()()()p z y x 1111503+++=，p z y x 〉〉〉，=+++p z y x 。
例 6.已知D C B A 1111503+++==11X +21X +……+71X ，所有字母互不相等，试求：（1）=+++D C B A 。
（2）1X +2X +……+7X = 。
例7.若k 为整数，则使得方程（k-1999）x=2001-2000x 的解也是整数的k 的值有 个。
例8．小明从甲地去乙地，开始31的路程骑车，后32的路程乘车;从乙地返回甲地时, 53的路程骑车，52的路程乘车。
结果回来时比去时多用半小时。
已知小明骑车每小时行12千米，乘车每小时行30千米。
甲乙两地相距多少千米？例9．△ABC 是正三角形，各边长均为3厘米，以C 为圆心按顺时针方向旋转1200，得到△CA ’B ’；最后以A 为圆心按顺时针方向进行旋转。
试求：BB ’的弧长是多少厘米？ 例10．已知p 、q 都是质数，且以x 为未知数的一元一次方程975=+q px的解是1，求代数式410140++q p 的值。
例11.解下列关于x 的方程①)4(84≠-=+a ax b x ； ②nx mx =-1；③)2(41)(31m x n x m +=-。
例12．a 为何值时，方程)12(6123--=+x x x a x 有无数个解？无解？ 例13.已知5432--x =25，那么x= 。
例14.已知关于x 的方程：9x-3=kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k= 。
例15.已知关于x 的方程1324+=+x m x 与方程1623+=+x m x 的解相同，则方程的解为 。
例16.已知关于x 的方程07)83(=++x n m 无解，则mn 是 数。