习题答案选01_线性规划和单纯形法

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运筹学思考练习题答案

运筹学思考练习题答案第⼀章 L.P 及单纯形法练习题答案⼀、判断下列说法是否正确1. 线性规划模型中增加⼀个约束条件，可⾏域的范围⼀般将缩⼩，减少⼀个约束条件，可⾏域的范围⼀般将扩⼤。

(?)2. 线性规划问题的每⼀个基解对应可⾏域的⼀个顶点。

(?)3. 如线性规划问题存在某个最优解，则该最优解⼀定对应可⾏域边界上的⼀个点。

(?)4. 单纯形法计算中，如不按最⼩⽐值原则选取换出变量，则在下⼀个基可⾏解中⾄少有⼀个基变量的值为负。

(?)5. ⼀旦⼀个⼈⼯变量在迭代中变为⾮基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，⽽不影响计算结果。

(?)6. 若1X 、2X 分别是某⼀线性规划问题的最优解，则1212X X X λλ=+也是该线性规划问题的最优解，其中1λ、2λ为正的实数。

(?)7. 线性规划⽤两阶段法求解时，第⼀阶段的⽬标函数通常写为ai iMinZ x =∑(x ai 为⼈⼯变量)，但也可写为i ai iMinZ k x =∑，只要所有k i 均为⼤于零的常数。

(?)8. 对⼀个有n 个变量、m 个约束的标准型的线性规划问题，其可⾏域的顶点恰好为m n C 个。

(?)9. 线性规划问题的可⾏解如为最优解，则该可⾏解⼀定是基可⾏解。

(?)10. 若线性规划问题具有可⾏解，且其可⾏域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解。

(?)⼆、求得L.P 问题121231425j MaxZ 2x 3x x 2x x 84x x 164x x 12x 0;j 1,2,,5=+++=??+=??+=?≥=的解如下： X ⑴=(0,3,2,16,0)T ;X ⑵=(4,3,-2,0,0)T ;X ⑶=(3.5,2,0.5,2,4)T ;X ⑷=(8,0,0,-16,12)T ; =(4.5,2,-0.5,-2,4)T ; X ⑹=(3,2,1,4,4)T ;X ⑺=(4,2,0,0,4)T 。

要求：分别指出其中的基解、可⾏解、基可⾏解、⾮基可⾏解。

运筹学教材编写组《运筹学》课后习题(第1章线性规划与单纯形法——第3章运输问题)【圣才出品】

②因为 P1 、 P3 线性无关，故有
2xx11
x3 8 6x3
3x2 3 2x2
4
x4 7 x4
令非基变量
x2
x4
0 ，解得
x1
45 13 , x3
14 13
，故
X (2)
45 13
,
0,
14 13
,
0
T
不是可
行解。
③因为 P1 、x2 3 2x2
x3 6x3
令非基变量
x2
x3
0 ，解得
x1
34 5 , x4
7 5
，故有基可行解
X
(3)
34 5
, 0, 0,
7
T
5
，
z3
117 5
。
④因为 P2 、 P3 线性无关，故有
32xx22
x3 8 6x3
2 3
x1 x1
4x4 7 x4
令非基变量
x1
x4
0 ，解得
4x1 x2 2x3 x4 2
s.t.
x1
x2
2x1
3x3 3x2
x4 x3
14 2x4
2
x1, x2 , x3 0, x4无约束
解：令 x4 x4 ' x4 ''，且 x4 ', x4 '' 0 ；在第一个约束条件两边同时乘以-1 后引入人工
变量 x5 ，在第二个约束条件右端加上松弛变量 x6 ；在第三个约束条件右端减去剩余变量 x7 ，
令非基变量
x1
x3
0 ，解得
X
(5)
0,
68 , 0, 29

运筹学：线性规划的数学模型与单纯形法习题与答案

一、单选题1、线性规划具有唯一最优解是指（）。

A.不加入人工变量就可进行单纯形法计算B.最优表中非基变量检验数全部非零C.可行解集合有界D.最优表中存在非基变量的检验数为零正确答案：B2、线性规划具有多重最优解是指（）。

A.最优表中存在非基变量的检验数为零B.可行解集合无界C.基变量全部大于零D.目标函数系数与某约束系数对应成比例正确答案：A3使函数z=−x1+x2+2x3减少得最快的方向是（）。

A. (1,－1,－2)B. (－1,－1,－2)C. 1,1,2)D. (－1,1,2)正确答案：A4、线性规划的退化基可行解是指（）。

A.基可行解中存在为零的非基变量B.基可行解中存在为零的基变量C.非基变量的检验数为零D.所有基变量不等于零正确答案：B5、线性规划无可行解是指（）。

A.有两个相同的最小比值B.第一阶段最优目标函数值等于零C.用大M法求解时,最优解中还有非零的人工变量D. 进基列系数非正正确答案：C6、若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算（）。

A.一定有最优解B.全部约束是小于等于的形式C.可能无可行解D.一定有可行解正确答案：D7、设线性规划的约束条件为x1+x2+x3=22x1+2x2+x4=4x1，…，x4≥0则非可行解是（）。

A. (0，1，1，2)B. (2，0，0，0)C. (1，0，1，0)D. (1，1，0，0)正确答案：C8、线性规划可行域的顶点一定是（）。

A.可行解B.非基本解C.非可行解D.最优解正确答案：A9、X是线性规划的基本可行解则有（）。

A.X不一定满足约束条件B.X不是基本解C.X中的基变量非零，非基变量为零D.X中的基变量非负，非基变量为零正确答案：D10、下例错误的结论是（）。

A.检验数就是目标函数的系数B.检验数是用来检验可行解是否是最优解的数C.不同检验数的定义其检验标准也不同D.检验数是目标函数用非基变量表达的系数正确答案：A11、在解决运筹学问题时，根据对问题内在机理的认识直接构造出模型的方法称为（）。

规划数学(运筹学)第三版课后习题答案习题 1(1)

习题 11 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解、无界解还是无可行解。

⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0x x 42x 4x 66x 4x 3x 2x minz )a (21212121， ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤++=0x ,x 124x 3x 2x 2x 2x 3x maxz )b (21212121⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=8x 310x 512010x 6x x x maxz )c (212121⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-+=0x ,x 23x 2x 2x 2x 6x 5x maxz )d (21212121 答案： (a)唯一解3*,)5.0,75.0(*==z X T); (b)无可行解;(c)唯一解16*,)6,10(*==z X T); (d)无界解）2 用单纯形法求解下列线性规划问题。

⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0x ,x 82x 5x 94x 3x 5x 10x maxz )a (21212121 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=0x ,x 5x x 242x 6x 155x x 2x maxz )b (212121221 答案：(a)唯一解5.17*,)5.1,1(*==z X T)，对偶问题5.17*,)786.1,357.0(*==w Y T; (b)唯一解5.8*,)5.1,5.3(*==z X T），5.8*,)5.0,25.0,0(*==w Y T3 用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪一类解。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥+-≥+++-=0x x x 0x 2x 2x 2x 6x x x 2x x 2x maxz )a (3,2,13231321321 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++++=0x ,x ,x 62x 3x 82x 4x xx 3x 2x minz )b (32121321321答案：(a)无界解；(b)唯一解8*,)0,8.1,8.0(*==z X T)，对偶问题8*,)0,1(*==w Y T4已知线性规划问题的初始单纯形表（如表1-54所示）和用单纯形法迭代后得到的表（如表1-55所示）如下，试求括弧中未知数a ～l 的值。

《运筹学》课堂作业及答案

第一部分绪论第二部分线性规划与单纯形法1 判断下列说法是否正确：(a)图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的；(b)线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大；(c)线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点；(d)如线性规划问题存在可行域，则可行域一定包含坐标的原点；(e)对取值无约束的变量x i，通常令其中，在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现(f)用单纯形法求解标准型的线性规划问题时，与对应的变量都可以被选作换入变量；(g)单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负；(h)单纯形法计算中，选取最大正检验数δk对应的变量x k作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长；(i)一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果；(j)线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示；(k)若x1，x2分别是某一线性规划问题的最优解，则也是该线性规划问题的最优解，其中λ1，λ2可以为任意正的实数；(1)线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为X ai为人工变量)，但也可写为，只要所有k i均为大于零的常数；(m)对一个有n个变量、m个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为个；(n)单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转转换到目标函数值更大的另一个可行解；(o)线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解；(p)若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；(q)线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值，则该顶点处的目标函数值达到最优；(r)将线性规划约束条件的“≤”号及“≥”号变换成“＝”号，将使问题的最优目标函数值得到改善；(s)线性规划目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正的值；(t)一个企业利用3种资源生产4种产品，建立线性规划模型求解得到的最优解中，最多只含有3种产品的组合；(u)若线性规划问题的可行域可以伸展到无限，则该问题一定具有无界解；(v)一个线性规划问题求解时的迭代工作量主要取决于变量数的多少，与约束条件的数量关系相对较小。

规划数学(运筹学)第三版课后习题答案-习-题-1(1)

习题 11 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解、无界解还是无可行解。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥+-≥+++-=0x x x 0x 2x 2x 2x 6x x x 2x x 2x maxz )a (3,2,13231321321 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++++=0x ,x ,x 62x 3x 82x 4x x x 3x 2x minz )b (32121321321 答案：(a)无界解；(b)唯一解8*,)0,8.1,8.0(*==z X T)，对偶问题8*,)0,1(*==w Y T4已知线性规划问题的初始单纯形表（如表1-54所示）和用单纯形法迭代后得到的表（如表1-55所示）如下，试求括弧中未知数a ～l 的值。

运筹学习题答案(1)

第一章线性规划及单纯形法（作业）1.4 分别用图解法和单纯型法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。

（1）Max z=2x 1+x 2St.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,24261553212121x x x x x x 解：①图解法：由作图知，目标函数等值线越往右上移动，目标函数越大，故c 点为对应的最优解，最优解为直线⎩⎨⎧=+=+242615532121x x x x 的交点，解之得X=(15/4,3/4)T 。

Max z =33/4. ② 单纯形法：将上述问题化成标准形式有： Max z=2x 1+x 2+0x 3+0x 4St. ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,,242615535421421321x x x x x x x x x x其约束条件系数矩阵增广矩阵为：P 1 P 2 P 3 P 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡241026150153 P 3,P 4为单位矩阵，构成一个基，对应变量向，x 3,x 4为基变量，令非基变量x 1,x 2为零，找到T 优解，代入目标函数得Max z=33/4.1.7 分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类。

（3）Min z=4x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 解：这种情况化为标准形式： Max z ＇=-4x 1-x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 添加人工变量y1,y2Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4-My 1-My 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x(2) 两阶段法： Min ω=y 1+y 2St.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x第二阶段，将表中y 1,y 2去掉，目标函数回归到Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析（作业）2.7给出线性规划问题：Max z=2x 1+4x 2+x 3+x 4⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤++)4,3,2,1(096628332143221421j x x x x x x x x x x x x j要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *=(2,2,4,0),试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

运筹学课后习题答案

第一章线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。

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运筹学教程（胡运权主编，清华版）部分习题答案（第一章）1.5
记可行集4个顶点分别为O:(0,0)，A:(1.6,0)，B:(1,1.5)，C:(0,2.25)
当c=0，d=0时，四边形OABC中的点都是最优解
当c=0，d>0时，顶点C是最优解
当c=0，d<0时，线段OA上的点都是最优解
当c>0，d/c<2/5时，顶点A是最优解
当c>0，d/c=2/5时，线段AB上的点都是最优解
当c>0，2/5<d/c<4/3时，顶点B是最优解
当c>0，d/c=4/3时，线段BC上的点都是最优解
当c>0，d/c>4/3时，顶点C是最优解
当c<0，d<0时，顶点O是最优解
当c<0，d=0时，线段OC上的点都是最优解
当c<0，d>0时，顶点C是最优解
1.8
a=3，b=2，c=4，d=-2，e=2，f=3，g=1，h=0，i=5，j=5，k=-3/2，l=0
1.15
设i=1,2,3分别表示前、中、后三舱，j=1,2,3分别表示A、B、C三种商品
设第i舱装载第j中商品的件数为x ij
max z = 100(x11+x21+x31) + 700(x12+x22+x32) + 600(x13+x23+x33)
s.t. 8x11+6x12+5x13 ≤ 2000
8x21+6x22+5x23 ≤ 3000
8x31+6x32+5x33 ≤ 1500
10x11+5x12+7x13 ≤ 4000
10x21+5x22+7x23 ≤ 5400
10x31+5x32+7x33 ≤ 1500
x11+x21+x31≤ 600
x12+x22+x32 ≤ 1000
x13+x23+x33 ≤ 800
8x11+6x12+5x13 ≤ 1.15 (8x21+6x22+5x23)
8x21+6x22+5x23 ≤ 1.15 (8x11+6x12+5x13)
8x31+6x32+5x33 ≤ 1.15 (8x21+6x22+5x23)
8x21+6x22+5x23 ≤ 1.15 (8x31+6x32+5x33)
8x11+6x12+5x13 ≤ 1.1 (8x31+6x32+5x33)
8x31+6x32+5x33 ≤ 1.1 (8x11+6x12+5x13)
x ij ≥ 0, i=1,2,3, j=1,2,3
1.16
设x i和y i分别为第i周正常工作时间内用于生产食品Ⅰ和Ⅱ的工人数；
设s i和t i分别为第i周加班时间内为食品Ⅰ和Ⅱ加工的工时；
设w i为从第i周开始抽出来培训新工人的熟练工人数；
设n i为从第i周开始接受培训的新工人数；
设u i和v i分别为第i周于生产食品Ⅰ和Ⅱ的新工人数；
设f i和g i分别为第i周末未能按期交货的食品Ⅰ和Ⅱ的数量；
设k i和l i分别为第i周末剩余的食品Ⅰ和Ⅱ的数量；
设q i和r i分别为第i周内对食品Ⅰ和Ⅱ的需求量（如表，已知）。

min z = 360[(x1 + y1 + w1) + (x2 + y2 + w1 + w2) + ... + (x7 + y7 + w6 + w7) + (x8 + y8 + w7)] + 120[(n1) + (n1 + n2) + ... + (n6 + n7)]
+ 240[(u3 + v3) + (u4 + v4) + ... + (u8 + v8)]
+ 12[(s1 + t1) + (s2 + t2) + ... + (s8 + t8)]
+ 0.5(f1 + f2 + ... + f8) + 0.8(g1 + g2 + ... + g8)
s.t. x1 + y1 + w1 = 50
x2 + y2 + w1 + w2 = 50
……
x7 + y7 + w6 + w7 = 50
x8 + y8 + w7 = 50
n i ≤ 3 w i，i=1,2,…,7
u i + v i = n3 +... +n i-2，i=3,4,…,8
n1 + n2 + ... + n7 = 50
400x i + 10s i + f i = q i + k i，i=1,2
400x i + 400u i + 10s i + f i = q i + k i，i=3,4,…,8
240y i + 6t i + g i = r i + l i，i=1,2
240y i + 240v i + 6t i + g i = r i + l i，i=3,4,…,8
x i，y i，s i，t i，f i，g i，k i，l i ≥ 0，i=1,2,…,8
w i，n i ≥ 0，i=1,2,…,7
u i，v i ≥ 0，i=3,4,…,8
1.17
设：
x i ：第i 个月公司雇佣的人数 ( i =1,2,…,6)； z i ：第i 个月末的库存量 ( i =1,2,…,6)； s i ：第i 个月的短缺量 ( i =1,2,…,6)； t i ：第i 个月因新增和解雇工人所产生的费用 ( i =1,2,…,6)； q i ：第i 个月的需求量（如表，已知）；
Max Z = ∑=-61i i i )s q
(30–2000∑=61i i x –5∑=61i i z –∑=61i t i s.t ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⋯=≥==⋯=≥⋯=≥⋯=+=++,6);
1,2, i ( 0,t ,s ,z ,x 0z 4x ,6)1,2, i (),x -1000(x t ,6)1,2, i (),x -1500(x t ,6)1,2, i (,q z s 100x z i i i i 0
i -1i 1-i i i
i i i i 1-i i （该条件原题中没给）
1.18
假设：每月的现金流发生在月底。

x ：上一年末的借款数；
y i ：第i 个月底贷款, ( i =1,2,…,11)； z i ：第i 个月底存款, ( i =1,2,…,12)； c i ：第i 个月的现金需求量（如表，已知）；
max Z = z 12
s.t. z 1 – x – y 1 + 0.01x = c 1
z i – 1.004z i-1 – y i + 0.01x + 1.015y i-1 = c i , ( i =2,3,…,11) z 12 – 1.004z 11 + 0.01x + x + 1.015y i-1 = c 12 x ≥ 0
y i ≥ 0，i=1,2,…,11
z i ≥ 0，i=1,2,…,12。