2.3.1直线与平面垂直的判定学案
2019-2020学年新导学案同步人教A版数学必修2_第2章 点_直线_平面之2.3.1
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
3．直线和平面所成的角
(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面__垂__直____，这条直线
叫做这个平面的斜线，斜线和平面的___交__点___叫做斜足．过斜线上斜足以外的
一点向平面引垂线，过___垂__足___和__斜__足____的直线叫做斜线在这个平面上的射
一点，且SA＝SB＝SC．
数
(1)求证：SD⊥平面ABC；
学
必 修
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．
②
人 教
版
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[解析] (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，
人 教
版
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能
(A)
A．平行
B．相交
C．异面
D．垂直
[解析] ∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，
又∵m⊂α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与
数 学
m不可能平行．
必
修
②
人 教
版
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②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角
即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面
内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些
直线与平面垂直的判定教学设计
“直线与平面垂直的判定〃教学设计一、内容和内容解析直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的根底，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的根底，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。
直线与平面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就称这条直线与这个平面互相垂直。
定义中的“任意一条直线〃就是“所有直线〃。
定义本身也说明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线。
直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。
该定理把原来定义中要求与任意一条（无限）直线垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，使直线与平面垂直的判定简捷而又具有可操作性。
对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括〃的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定的研究那么遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用〃的认知过程展开，通过该内容的学习，进一步培养学生空间想象能力和几何直观能力，开展学生的合情推理能力、一定的推理论证能力和运用图形语言进行交流的能力。
同时体验和感悟转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题〃，“无限问题转化为有限问题〃，“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化〃。
教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
二、目标和目标解析目标：理解直线与平面垂直的意义，掌握直线与平面垂直的判定定理。
目标解析：1、借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义。
2、通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理。
3、能运用直线与平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简单命题：在平面内选择两条相交直线，证明它们与平面外的直线垂直。
学案 线面垂直的判定与性质
§学案线面垂直的判定与性质题型1线面垂直的判定与性质题型2面面垂直的判定与性质题型3垂直关系的综合应用（线线角、线面角、长度、体积问题）要点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直的定义如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥.直线l 叫平面α的垂线；平面α叫直线l 的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.2.直线和平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：,,,m n m n B l l m l n ααα⊂⊂=⎫⇒⊥⎬⊥⊥⎭I 特征：线线垂直⇒线面垂直要点诠释：①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．要点二、平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.表示方法：平面α与β垂直，αβ⊥记作.画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：2.平面与平面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥图形语言：要点三、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：,l m l mαα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,//l m l mαα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．要点四、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥ 要点五、垂直证明方法总结1、直线和平面垂直的证明证明线面垂直的基本思路：证明线垂直面内的两条相交直线。
“直线与平面垂直的判定”教学设计
究出判定定理，但是在缺少逻辑推理的情况下，学生
可能会质疑这个学习过程的严谨性 .
基于以上分析，确定本节课的教学策略如下 .
首先，在定义的教学中，教师可以先通过实例引 导学生用自己的话说一说判断直线与平面垂直的方 法，再一步步归结到线线的位置关系，体会平面化、 降维的思想 .
其次，在判定定理的教学中，可以引导学生类比 线面平行的判定定理，构造“直线垂直于平面内的一 条直线就判定线面垂直”的反例，并思考其根源，从 而找到猜想的方向. 然后通过旋转折纸实验，结合线 面垂直的定义进行验证. 最后结合平面向量基本定理 进行思辨论证 .
进行动画演示. 教师引导学生分析，线在面内、线面 平行已经学过，接下来要研究线面相交. 而在线面相 交的情形中，最特殊的是线面垂直 .
追问：你还能举出线面垂直的例子吗？ 学生举例，可能举出生活中的例子，也可能举出 几何中的例子. 教师引导学生分析，线面垂直不仅是 最特殊的线面相交，也是最常见的线面相交的情形 . 【设计意图】 从学生熟悉的生活时事和学生已有的 认知结构入手，引入要学习的新知识，从“特殊”和 “常见”两个角度说明研究线面垂直关系的必要性 . 2. 建构定义 问题 2：如图 2，路由器的天线与路由器的表面垂 直吗？你是如何判断的？
学生学习中的困难：一是虽然学生能够直观地感 受到直线与平面的垂直关系，但是由于他们将空间问 题转化为平面问题的意识还相对较弱，所以难以将这 种直观的感觉转化为定义；二是虽然学生已经学习了 线面平行、面面平行的判定方法，但是将已有的研究 经验迁移到对线面垂直关系的研究，可能还会出现困 难；三是虽然通过直观感知和操作确认，学生能够探
变化 . 学生容易得出木杆所在直线与其影子所在直线 面内的任意一条直线都与平面垂直，比较麻烦，自然
【平煤高中学案必修二】16 直线与平面垂直的判定
2.3.1 直线与平面垂直的判定学习目标：通过本节课的学习，同学们要能够理解直线与平面垂直的定义、直线与平面所成的角的概念，能够掌握直线与平面垂直的判断定理及其应用，会求直线与平面所成的角.一、课前准备：预习教材64~67P P的内容．广场上的旗杆给我们垂直于广场平面的形象，如何从数学的角度来判断旗杆与广场的垂直？二、新课导学：（一）探究活动：探究1、直线与平面垂直的定义：．直线与平面垂直的画法：探究2：直线与平面垂直的判定定理：动动手：同学们准备一块三角形纸片，过顶点A随意翻折纸片得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（要求BD、DC与桌面接触），折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使得AD 与桌面垂直？直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都，则该直线与此平面．符号语言：．探究3：直线与平面所成的角：1. 斜线：．2. 斜线在平面内的射影：．3.斜线与平面所成的角：．（二）典型例题：【例1】已知,,//α⊥aba求证：α⊥b【例2】如图，一块正方体木料的上底面有一点E，经过点E在上底面上画一条直线与CE垂直，怎样画？说明理由．【例3】如图，在正方体1111ABCD A BC D-中，求直线1A B和平面11A B CD所成的角．ED1C1B1A1D CBAMD1C1B1A1D CBA三、自我检测：1．若三条直线OA OB OC ，，两两垂直，则直线OA 垂直于 （ ）A ．平面 OAB B ．平面 OAC C ．平面 OBCD ．平面ABC2．在正方形123SG G G 中，E F 、分别是1223G G G G 、的中点，现沿S S E F 、、EF 把这个正方形折成一个四面体，使123G G G 、、重合于点G ，则有 （ ） A ．SG ⊥平面 EFG B ．EG ⊥平面SEF C ．GF ⊥平面SEF D ．SG ⊥平面SEF3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为 （ ）A ． 90°B ． 60°C ． 45°D ． 30°4．若平面内的一条直线与该平面的一条斜线垂直，那么它与这条斜线在平面内的射影 ； 若平面内的一条直线与该平面的一条斜线的射影垂直，那么它与这条斜线的位置关系是 ．5．在三棱锥V ABC -中，VA VC =，AB BC =，求证：AC VB ⊥6．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，（1）求证：111B D AC ⊥， （2）111B D AC B ⊥平面；D 1C 1B 1A 1D CBAG 3G 2G 1FESVDABC。
高中数学必修2《直线与平面垂直判定》教案
高中数学必修2《直线与平面垂直判定》教案Teaching plan of high school mathematics compulsory course 2 "vertical judgment of straight line and plane"高中数学必修2《直线与平面垂直判定》教案前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。
便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。
一、教学内容分析《直线与平面垂直的判定》共2课时，本课是第1课时，本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分，均为概念性知识.本节内容以“垂直”的判定为主线展开，“垂直”在定义和描述直线和平面位置关系中起着重要的作用，集中体现在：空间中垂直关系的相互转化。
其中核心内容为——直线与平面垂直的定义和判定定理。
本节具有承上启下的作用，在已有“直线与平面位置关系，直线与直线垂直定义与判定”的基础上，引出直线与平面垂直，为学习“平面与平面的位置关系，平面与平面的垂直” 做准备，其中直线与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直，这三类垂直问题的研究主线是类似的，都是以定义——判定——性质为主线.判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，并体会“平面化”以及“降维”的转化思想，是本节课的重要任务.二、教学目标的确定1.课程目标（1）对空间几何体整体观察，认识空间图形;（2）以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;（3）能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定;（4）了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
直线与平面垂直教案
直线与平面垂直的判定（一）教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2课题：2.3.1直线与平面垂直的判定（一）一、教学目标1.知识与技能：借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。
2.过程与方法：通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。
3.情感态度与价值观：让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，从问题解决过程中认识事物发展，变化规律，多角度分析，思考问题，培养学生的创新精神。
二、教学重点、难点1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。
三、课前准备1.教师准备：教学课件2.学生自备：三角形纸片、铁丝（代表直线）、纸板（代表平面）、三角板四、教学过程设计1.直线与平面垂直定义的建构（1）创设情境①请同学们观察图片，说出旗杆与地面、高楼的侧棱与地面的位置有什么关系？②请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？③请将①中旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。
（2）观察归纳①思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？ ②多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化。
③归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念。
定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α.直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足。
用符号语言表示为：（3）辨析（完成下列练习）：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。
②若a ⊥α,b ⊂α，则a ⊥b 。
在创设情境中，学生练习本上画图，教师针对学生出现的问题，如不直观、不标字母等加以强调，并指出这就叫直线与平面垂直，引出课题。
高二数学 直线与平面垂直的判定学案
四川省富顺县第三中学高二学案：2直线与平面垂直的判定【学习目标】1.理解直线与平面垂直的定义，2.掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用；3.理解直线与平面所成角的概念，会求直线与平面所成的角。
【重点难点】重点直线与平面垂直的判定定理和直线与平面所成角的概念，难点求直线与平面所成的角和直线与平面判定定理的应用。
【导学过程】一、自主学习（预习64-65页）二、小组合作班级小组姓名三、知识整合四、课堂训练评价五、课外拓展练习富顺三中“三五”问题式课堂教学模式2.3.1平面与平面垂直的判定高2015届数学备课组主备课人：熊正富【学习目标】1.理解二面角、二面角的平面角的概念；2.掌握两个平面垂直的定义、画法、记法；3.掌握面面垂直的判定定理及其应用。
4.会求二面角的大小【重点难点】重点面面垂直的判定定理，难点面面垂直的判定定理的应用和求二面角【导学过程】一、自主学习（预习67-69页）1、线面垂直的判定定理符号语言：2、直线与平面所成角：及其取值范围二、小组合作文字语言：符号语言：图形语言：三、知识整合四、训练评价五、课外拓展练习 1.教材69页练习富顺三中“三五”问题式课堂教学模式 2.3.3 直线与平面垂直的性质高2015届数学备课组 主备课人：熊正富 【学习目标】：明确直线与平面垂直的性质定理。
【重点难点】：重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。
难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。
【导学过程】一、自主学习（预习教材70页）1、直线与平面垂直的判定方法有哪些？2、在空间，过一点有几条直线与已知平面垂直？过一点有几个平面与已知直线垂直？3、判断题（1）、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
（ ） （2）、在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
（ ） （3）、垂直于同一平面的两直线互相平行。
（ ） （4）、垂直于同一直线的两平面互相平行。
（ ） 二、小组合作探究一、直线与平面垂直的性质1、 如图，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱A A ′、B B ′、C C ′、D D ′所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？2、 已知：a α⊥，b α⊥。
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2、在三棱锥 V-ABC 中，VA=VC，AB=BC，求证：VB ⊥ AC
3、如图，在长方体 AC1 中，AB= 3 ，BC=1，BB1=1， （1）BC1 与平面 ABB1A1 所成角的大小； （2）BD 与平面 BCC1B1 所成角的大小。 A1
D1 பைடு நூலகம்1
C1
D A B
C
课后延伸拓展： 课后延伸拓展：
D
C
例 2、如图，正方体 AC1 中，求： （1）A1D 与平面 ABCD 所成角的大小； （3）BC 与平面 A1B1CD 所成角的大小。
B
D1 A1 B1
C1
D A B
C
1
连南民族高级中学“学案导学”课堂教学活页学案 执笔人:李水尧 审阅人:姚尹赞 时间：09年12月10日
探究： 。 探究：完成课本的“探究” 达标练习 1、点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，O 是对角线 AC 与 BD 的交点，且 PA=PC，PB=PD. 求证：PO⊥平面
1、如图，已知 AB⊥平面 BCD，BC⊥CD 求证：AC⊥CD A
D B C
2、在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，
（1）BD1 与平面 BB1C1C 所成角的大小； （2）A1B 和平面 A1B1CD 所成的角 （3）直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角 （4）若 E、F 分别为 AA1、AB 的中点，求 EF 与平面 AA1C1C 所成角的大小。
2
连南民族高级中学“学案导学”课堂教学活页学案 执笔人:李水尧 审阅人:姚尹赞 时间：09年12月10日
§2.3.1 直线与平面垂直的判定
学习目标： 学习目标：
1.借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。 2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题， 进一步培养学生的空间观念。 3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
教学重点： 教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 教学难点： 教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。 自学设计： 自学设计：
1、直线与平面垂直： 记作： 直线叫做平面的 平面叫做直线的 ，公共点叫做： 2、直线与平面垂直的判定定理： 用符号表示为_______________________________________ 3、平面的斜线： 斜足： 4、直线与平面所成的角： 直线与平面所成角的范围 ： 5、判断： （1）如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么该直线与平面垂直 （ ） （2）如果一条直线垂直于平面内的无数多条直线，那么该直线与平面垂直（ ） （3）如果一条直线垂直于平面内的任意一条直线，那么该直线与平面垂直（ ） （4）如果一条直线垂直于平面内至少两条直线，那么该直线与平面垂直 （ ） ______ 6、若一条直线 a 垂直于平面 α 内的一条直线，则直线 a 与平面 α 的位置关系是 7、如果一条直线 a 与平面 α 不垂直，那么在平面 α 内与直线 a 垂直的直线（ ） A、只有一条 B、有无数条 C、至多有一条 D 无法确定 例 1、如图，三棱锥 A-BCD 中，AD⊥BD，AD⊥DC。 A 求证：AD⊥BC