初中全等三角形模型总结—全面完整版2018.5.23
初中全等三角形模型总结——全面完整版
（模型总结+精选例题+优选练习题）
第一部分 模型总结 一、公共边模型
△ABD ≌△ABC ，
△EFD ≌△ABC △ABD ≌△ABC
△ABE ≌△FDC △ABD ≌△ACD
二、公共角模型
△ABE ≌△ABD
三、平行X 型
△ABO ≌△OCD
四、非平行X 型
△ABE ≌△ABD
B D C
五、母子等腰三角形
△ABD ≌△AEC ，△ABE ≌△ACD
六、旋转模型
△ ABC ≌△AB`C
第二部分 精选例题
例1．如图，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，F 在DC 的延长线上，AM =CF ，FM 交DA 的延长线上于E .交BC 于N,求证:AE=CN.
思路分析:欲证AE=CN.看它们在哪两个三角形中,
设法证这两个三角形全等即可.结合图形可发现
△AME ≌△FCN 可证.
题设告知AM=CF,AD ∥BC,AB ∥CD.由两平行条件,
可找两对角相等.
∵∠1=∠2(对顶角相等)
∴∠2=∠E(等量代换)
∴AE=CN (全等三角形的对应边相等)
例2.△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，过C 的一条直线CE ⊥AE 于E ，BD ⊥CE 的延长线于D ，求证：AE =BD +DE .
思路分析：从本例的结论知是求线段和的问题，
由此入手，很难找到突破口.此时可迅速调整思维角
度,可仔细观察图形,正确的图形是证题的“向导”,由
此可发现△ACE 与△CBD 好像(猜测)全等.那么
AE =CD =CE +DE .又BD =CE .那么,此时已水落石出.
B C E D B'A
'B '
AC=BC（已知）
∠1=∠3 （已证）
∠AEC=∠CDB（已证）
∴△ACE≌△CBD（AAS）
∴BD=CE，AE=CD（全等三角形的对应边相等）
∵AE=CE=CE+DE
∴AE=BD+DE（等量代换）
例3．如图，AD是△ABC的中线，DE，DF分别平分∠ADB和∠ADC，连接EF，求证：EF 定角度：三角形全等 分析:由结论EF “三角形两边之和大于第三边”联系在一块，观察图 形，BE，CF，EF条件分散，不在一个三角形中， 必须设法（平移，旋转，翻转等）把三者集中 在一个三角形中，是打开本例思路的关键.由角 的平分线这一线索,可将△BDE沿角平分线翻转 180°,即B点落在AD的点B'上(如图)(也就是在 DA上截取DB＇=BD),连结EB＇,B＇F,此时△BDE与△B＇DE完全重合,所以△BDE≌△B＇DE(两个三角形能够完全重合就是全等三角形,所以BE=B＇E(全等三角形的对应边相等). 在△EFB＇中,EF ∴EF 例4如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，△ABE≌△ACD，∠C= 20°，AB=10， AD= 4，G为AB延长线上一点．求∠EBG的度数和CE的长． 定对象：如图 定角度：三角形全等 分析：(1)图中可分解出四组基本图形：有公共角的Rt△ACD和Rt△ABE；△ABE≌△ACD，△ABE的外角∠EBG或∠ABE的邻补角∠EBG． 例5已知：如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠ACB=105°， ∠CAD＝10°，∠D=25°．求∠EAC，∠DFB，∠DGB的度数． 例6.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB ＝20 cm ，则△DBE 的周长等于多少？ 分析：对象：△DBE 的周长 角度：（1）BD ，DE ，BE 的长 解： 因为DE ⊥AB ，所以AED ACD ∠=∠因为AD 是∠BAC 的平分线，所以EAD CAD ∠=∠ 又因为AD 为公共边 所以AED ACD ? 则AE=AC DE=DC 所以△DBE 的周长=BE+DE+BD=AB-AE+BC=20 例7如图13—3—8所示，已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：EF ⊥AD ． 分析：对象：△ABC 角度：（1）AD 是∠BAC 的平分线，（2）DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 证明：因为DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，所以0 90AED AFD ∠=∠= 又因为AD 是∠BAC 的 平分线，所以EAD FAD ∠=∠由于AD 是公共边 所以AED AFD ? 则AE=AF 因为AD 是∠BAC 的平分线 所以EF ⊥AD 。 第三部分 优选分层练习题 B １．已知:如图,AB=AC,DB=DC,F 是AD 的延长线上的一点, 求证:BF=CF. B ２．已知:如图,AB =AC,DB =DC,F 是AD 延长线上一点,且B,F, C 在一条直线上, 求证:F 是BC 的中点. B 3． 已知:如图,AB =AC,DB =DC,F 是AD 上的一点, 相似三角形经典模型总结 经典模型 【精选例题】 “平行型” 【例1】 如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===， 则1 11 1 1 1 :::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 M 1F 1E 1M E F A B C 【例2】 如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则 _____EF =，_____MN = M N A B C D E F 【例3】 已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的直线与AD ，BC ，CD 的延 长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H 求证： PE PH PF PG = P H G F E D C B A 【例4】 已知：在ABC ?中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且 2AE EC =,BE 、CD 相交于点F ， 求 BF EF 的值 【例5】 已知：在ABC ?中，AB=3AD ，延长BC 到F ,使1 3 CF BC = ,连接FD 交AC 于点E 求证：①DE EF = ②2AE CE =F E D C B A B C D F E 【例6】 已知：D ，E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ， ::BD DE AB AC = 求证：CEF ?为等腰三角形 F E D C B A 【例7】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111 c a b =+. F E D C B A 【例8】 如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例9】 如图，四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=?，M 是AC 上一点，ME AD ⊥于点E ，MF BC ⊥于点F 求证： 1MF ME AB CD += 专题训练(三)全等三角形的基本模型 ?模型一平移模型 常见的平移模型： 图3－ZT－1 1．如图3－ZT－2，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB.求证：∠A＝∠E. 图3－ZT－2 2．如图3－ZT－3，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，AE∥BF，CE∥DF.求证：AE＝BF. 图3－ZT－3 ?模型二轴对称模型 常见的轴对称模型： 图3－ZT－4 3．如图3－ZT－5，∠B＝∠D，请添加一个条件(不得添加辅助线)，使得△ABC≌△ADC，并说明理由． 图3－ZT－5 4．如图3－ZT－6，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD. 图3－ZT－6 5．如图3－ZT－7，A，C，D，B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF.求证：DE＝CF. 图3－ZT－7 6．如图3－ZT－8，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE＝CD.求证：AB＝AC. 图3－ZT－8 ?模型三旋转模型 常见的旋转模型： 图3－ZT－9 7．如图3－ZT－10，已知AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：AD＝AE. 图3－ZT－10 ?模型四一线三等角模型 图3－ZT－11 8．如图3－ZT－12，B，C，E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B. (1)求证：BC＝DE； (2)若∠A＝40°，求∠BCD的度数． 图3－ZT－12 ?模型五综合模型 平移＋对称模型：平移＋旋转模型： 图3－ZT－13 图3－ZT－14 9．如图3－ZT－15，点B，F，C，E在同一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC＝DF. 3－ZT－15 10．如图3－ZT－16，AB＝BC，BD＝CE，AB⊥BC，CE⊥BC.求证：AD⊥BE. 图3－ZT－16 详解详析 初中全等三角形模型总结——全面完整版 （模型总结+精选例题+优选练习题） 第一部分 模型总结 一、公共边模型 △ABD ≌△ABC ， △EFD ≌△ABC △ABD ≌△ABC △ABE ≌△FDC △ABD ≌△ACD 二、公共角模型 △ABE ≌△ABD 三、平行X 型 △ABO ≌△OCD 四、非平行X 型 △ABE ≌△ABD B D C 五、母子等腰三角形 △ABD ≌△AEC ，△ABE ≌△ACD 六、旋转模型 △ ABC ≌△AB`C 第二部分 精选例题 例1．如图，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，F 在DC 的延长线上，AM =CF ，FM 交DA 的延长线上于E .交BC 于N,求证:AE=CN. 思路分析:欲证AE=CN.看它们在哪两个三角形中, 设法证这两个三角形全等即可.结合图形可发现 △AME ≌△FCN 可证. 题设告知AM=CF,AD ∥BC,AB ∥CD.由两平行条件, 可找两对角相等. ∵∠1=∠2(对顶角相等) ∴∠2=∠E(等量代换) ∴AE=CN (全等三角形的对应边相等) 例2.△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，过C 的一条直线CE ⊥AE 于E ，BD ⊥CE 的延长线于D ，求证：AE =BD +DE . 思路分析：从本例的结论知是求线段和的问题， 由此入手，很难找到突破口.此时可迅速调整思维角 度,可仔细观察图形,正确的图形是证题的“向导”,由 此可发现△ACE 与△CBD 好像(猜测)全等.那么 AE =CD =CE +DE .又BD =CE .那么,此时已水落石出. B C E D B'A 'B ' 相似三角形知识点讲解及专项练习 相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型. 示意图 结论 E D C B A 反A 型： 如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE · AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) O D C B A 反X 型： 如图，已知角∠BAO =∠CDO ，则△AOB ∽△DOC （AA ），∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . “类射影”与射影模型 示意图 结论 相似三角形证明方法 模块一 相似三角形6大证明技巧 专题 类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =? 通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 比例式的证明方法 模块二 初二数学三角形全等 常用几何模型及构造方法大全 掌握它轻松搞定全等题！ 全等是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握~ 全等变换类型： （一）平移全等：平行等线段（平行四边形） （二）对称全等模型：角平分线或垂直或半角 1：角平分线模型； 2：对称半角模型； （三）旋转全等模型：相邻等线段绕公共顶点旋转 1. 旋转半角模型 2. 自旋转模型 3. 共旋转模型 4. 中点旋转 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE 分析：将△ACE平移使EC与BD重合。B\D，上方交点，左右两个三角形，两边和大于第三边！ 1：角平分线模型： 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 2：对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、45+ 22.5°、对称（翻折）15°+30°直角三角形对称（翻折）30+60+90直角三角形对称（翻折） 翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 1. 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 2. 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 3. 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等（共顶点） 4. 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题（专题七） 1、旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 2、自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称 全等三角形常见的几何 模型 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988） 1、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转：???????，造中心对称遇中点旋全等 遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角 旋遇，造等边三角形 旋遇自旋转构造方法0000 018090906060 （2）共旋转（典型的手拉手模型） 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和 △ BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） A E=DC （3） A E 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） B H 平分∠AHC （7） G F ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） A E=DC （3） A E 与DC 的夹角为60。 （4） A E 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 3、（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CB N，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例4、例题讲解： 1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1)?如图1，当点D在边BC上时，求证：①?BD=CF???②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； ? (3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系。 2、半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 例1、如图，正方形ABCD的边长为1，AB,AD上各存在一点P、Q，若△APQ的周长为2， 求PCQ 的度数。 全等三角形相關模型總結 一、角平分線模型 (一）角平分線の性質模型 輔助線：過點G作GE⊥射線AC A、例題 1、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那麼點D到直線AB の距離是cm. 2、如圖，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AP平分∠BAC. B、模型鞏固 1、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：∠A＋∠C＝180°. （二）角平分線＋垂線，等腰三角形必呈現 A、例題 輔助線：延長ED交射線OB於F 輔助線：過點E作EF∥射線OB 例1、如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BACの平分線，BE⊥AD於F . 求證： 1 () 2 BE AC AB =-. 例2、如圖，在△ABC中，∠BACの角平分線AD交BC於點D，且AB＝AD，作CM⊥AD交 ADの延長線於M. 求證： 1 () 2 AM AB AC =+. （三）角分線，分兩邊，對稱全等要記全 兩個圖形飛輔助線都是在射線ON上取點B，使OB＝OA，從而使△OAC≌△OBC . A、例題 1、如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC於P，BQ平分∠ABC 交AC於Q，求證：AB＋BP＝BQ＋AQ . 2、如圖，在△ABC中，AD是∠BACの外角平分線，P是AD上異於點Aの任意一點，試比較PB＋PC與AB＋ACの大小，並說明理由. B、模型鞏固 1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BACの平分線，P是線段AD上任意一點（不與A重合）. 求證：AB－AC＞PB－PC . 2、如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠Bの平分線交AC於D， 求證：AD＋BD＝BC . 3、如圖，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠Aの平分線交BC於D， 求證：AC＋CD＝AB . 三角形相似总复习 第一部分相似三角形知识要点大全 知识点1.．相似图形的含义 把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形） 解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到． （2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同． （3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，及其他因素无关．例1．放大镜中的正方形及原正方形具有怎样的关系呢？ 分析：要注意镜中的正方形及原正方形的形状没有改变． 解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同． 例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________(填序号)． 解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似．答案：②⑤⑥． 知识点2．比例线段 对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比及另两条线段的长度的比相等，即a c b d =（或 a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 解读：（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作a c b d =（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段 有顺序性． （2）在比例式a c b d =（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，d 是第四比例项． （3）如果比例内项是相同的线段，即a b b c =或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。 (4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等． 例3．已知线段a=2cm, b=6mm, 求a b ． 分析：求a b 即求及长度的比，及的单位不同，先统一单位，再求比． 例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=3 2 dm，求c的长度． 分析：由a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c． 知识点3．相似多边形的性质 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系． （2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性． 例5．若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，及四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？ 作弊？ 漫画释义 三角形9级 全等三角形的经典模型（二） 三角形8级 全等三角形的经典模型（一） 三角形7级 倍长中线与截长补短 满分晋级 3 全等三角形的 经典模型（一） D C B A 45°45° C B A 等腰直角三角形数学模型思路： ⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545??°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4. 图1 图2 图3 图4 思路导航 知识互联网 题型一：等腰直角三角形模型 A B C O M N A B C O M N 【例1】 已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点， ⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要 求证明） ⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明． 【解析】 ⑴OA =OB =OC ⑵连接OA , ∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM ∴△ANO ≌△CMO ∴ON =OM ∴∠=∠NOA MOC ∴90∠+∠=∠+∠=?NOA BON MOC BON ∴90∠=?NOM ∴△OMN 是等腰直角三角形 ⑶△ONM 依然为等腰直角三角形， 证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ， ∵在△ANO 和△CMO 中， AN CM BAO C AO CO =?? ∠=∠??=? ∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ， 又∵∠COM -∠AOM =90°， ∴△OMN 为等腰直角三角形． 【例2】 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如 图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的 中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由． 【解析】EMC △是等腰直角三角形． 典题精练 A B C O M N M E D C B A 1绕点型(手拉手模型) 遇600旋60°,造等边三角形 遇90°旋90°，造等腰直角遇等腰旋 顶角，造旋转全等遇中点旋1800，造中 心对称 (2)共旋转(典型的手拉手模型) 例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ (1)△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4)△ AGB ◎△ DFB (5)△ EGB ◎△ CFB (6)BH 平分/ AHC (7)GF // AC 变式练习2、如果两个等边三角形△ ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明: ("△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH平分/ AHC [D山3 Vi壮-U (I) ? 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明 (1) △ ABE ◎△ DBC (2) AE=DC (3) AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH 平分/ AHC (1自旋转：自旋转构造方法 ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明: 3、(1)如图1,点C是线段AB上一点，分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边△ ACM和厶CBN ,连接AN , BM .分别取BM, AN的中点E, F,连接CE, CF, EF.观察并猜想△ CEF的形状，并说明理由. (2)若将(1)中的“以AC , BC为边作等边△ ACM和厶CBN”改为“以AC, BC为腰在AB的同侧作等腰△ ACM和△ CBN，”如图2,其他条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由. B 例4、例题讲解： 1.已知△ ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列)，使/ DAF=60 ° ,连接CF. (1)如图1,当点D在边BC上时，求证：① BD=CF 宓AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、 CD之间存在的数量关系，并说明理由； ⑶如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。 2、半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起, 成对称全等。 D A D A M x N rt B D 例1、如图，正方形ABCD的边长为1, AB,AD上各存在一点P、0,若厶APQ的周长为2, A P 【最新整理，下载后即可编辑】 全等三角形之手拉手模型专题 基本图形1、图（1）中，C 点为线段AB 上一点，△ACM，△CBN 是等边三角形，AN 与BM 相等吗？说明理由； 如图（2）C 点为线段AB 上一点，等边三角形ACM 和等边三角形CBN 在 AB 的异侧，此时AN 与BM 相等吗？说明理由； 如图（3）C 点为线段AB 外一点，△ACM，△CBN 是等边三角形，AN 与BM 相等吗？ 说明理由． 分析：题中三问均是对等边三角形性质的考查以及全等三角形的证明，由 已知条件，利用等边三角形的性质可找出对应边及夹角相等，证明全等， 即可得到线段相等． 解：（1）相等． 证明如下：∵△ACM，△CBN 是等边三角形， ∴AC=CM，CN=BC， 又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°， ∴∠ACN=∠MCB， ∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM． （2）相等． 证明如下：∵△ACM，△CBN 是等边三角形， ∴AC=CM，CN=BC 又∠ACN=∠MCB， ∴△ACN≌△MCB， ∴AN=BM． （3）相等． 证明如下：∵△ACM，△CBN 是等边三角形， ∴AC=CM，CN=BC， 又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°， ∴∠ACN=∠MCB， ∴△ACN≌△MCB， ∴AN=BM． 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围 绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三 角形全等是正确解答本题的关键． 变形2、（1）如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC，BC 为边在AB 的同侧 作等边△ACM 和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN 的中点E，F，连接 CE，CF，EF．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC，BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以 AC，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN，”如图2，其他条件不变， 那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理 板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 相似三角形 了解相似三角形 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型 会运用相似三角形相关的知识解决有关问题 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． 知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定 A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线， 则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平 分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B ' C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++． 专项练习(二)全等三角形的基本模型?基本模型一平移模型 常见的平移模型： 图2－ZT－1 1．如图2－ZT－2，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝D B. 求证：∠A＝∠E. 图2－ZT－2 2．如图2－ZT－3，点A，B，C，D在一条直线上，AB＝CD，AE∥BF，CE∥DF. 求证：AE＝BF. 图2－ZT－3 ?基本模型二轴对称模型 常见的轴对称模型： 图2－ZT－4 3．如图2－ZT－5，∠B＝∠D，请添加一个条件(不得添加辅助线)，使得△ABC≌△ADC，并说明理由． 图2－ZT－5 4．如图2－ZT－6，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE. 求证：BE＝CD. 图2－ZT－6 5．如图2－ZT－7，A，C，D，B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF. 求证：DE＝CF. 图2－ZT－7 6．如图2－ZT－8，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE＝CD.求证：AB＝AC. 图2－ZT－8 ?基本模型三旋转模型 常见的旋转模型： 图2－ZT－9 7．如图2－ZT－10，O是线段AB和线段CD的中点．求证：(1)△A OD≌△BOC； (2)AD∥BC. 图2－ZT－10 8．：如图2－ZT－11，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：AD＝AE. 图2－ZT－11 ?基本模型四一线三等角模型 图2－ZT－12 9．如图2－ZT－13，B，C，E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC ＝CE，∠ACD＝∠B. (1)求证：BC＝DE； (2)假设∠A＝40°，求∠BCD的度数． 图2－ZT－13 ?基本模型五综合模型 平移＋对称模型： 图2－ZT －14 10．如图2－ZT－15，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB ∥ED，AC∥FD.求证：AC＝DF. 图2－ZT－15 平移＋旋转模型： 图2－ZT－16 11．：如图2－ZT－17，AB＝BC，BD＝EC，AB⊥BC，EC⊥BC.求证：AD⊥BE. 图2－ZT－17 详解详析 全等三角形与角平分线 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形． 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等． 如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”． A' B'C' D' E' E D C B A 全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等； 反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等． 全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”． 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 判定三角形全等的基本思路： SAS HL SSS →?? →??→? 找夹角已知两边 找直角 找另一边 ASA AAS SAS AAS ?? ?? ?? ?? ?? ?? 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA AAS →??→? 找两角的夹边已知两角 找任意一边 全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴ 平移全等型 把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型 【引例】如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =． 求证：CF DE = 模块一 平移型全等 知识导航 知识互联网 夯实基础 全等中的基本模型 F E D C B A 【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥ ∴90ACE BDF ∠=∠=? 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BD AE BF =?? =? ∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =?? ∠=∠??=? ∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE = 【例1】 如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF = 求证：AFC DEB △≌△ 如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由． 图1 F E D C B A 图2 F E D (C ) B A 图3 F E D C B A 常见轴对称模型 知识导航 模块二 对称型全等 能力提升 【例2】 ⑴如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（ ） A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 ⑵如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________． 【例3】 如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ． 求证：AM AN =． 常见旋转模型： 夯实基础 能力提升 知识导航 模块三 旋转型全等 E D N M C B A 43 2 1 E D C B A D O F E C B A 全等三角形相关模型总结 一、角平分线模型 (一）角平分线的性质模型 辅助线：过点G作GE⊥射线AC A、例题 1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB 的距离是cm. 2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC. B、模型巩固 1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°. （二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现 A、例题 辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB 例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F . 求证： 1 () 2 BE AC AB =-. 例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交 AD的延长线于M. 求证： 1 () 2 AM AB AC =+. （三）角分线，分两边，对称全等要记全 两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC . A、例题 1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC 交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ . 2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由. B、模型巩固 1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）. 求证：AB－AC＞PB－PC . 2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D， 求证：AD＋BD＝BC . 3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D， 求证：AC＋CD＝AB . 相似三角形经典模型总结 经典模型 【精选例题】“平行型” 【例1】 如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===， 则1 11 1 1 1 :::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 【例2】 如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =， 18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则 _____EF =，_____MN = 【例3】 已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的 直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H 求证： PE PH PF PG = M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F P H G F E D C B A 【例4】 已知：在ABC ?中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且 2AE EC =,BE 、CD 相交于点F ， 求BF EF 的值 【例5】 已知：在ABC ?中，12AD AB = ， 延长BC 到F ,使1 3 CF BC =,连接FD 交AC 于点E 求证：①DE EF = ②2AE CE = 【例6】 已知：D ，E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ，::BD DE AB AC = 求证：CEF ?为等腰三角形 【例7】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. F E D C B A 【例8】 如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例9】 如图，四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=?，M 是AC 上一点，ME AD ⊥于点E ，MF BC ⊥于点F 求证： 1MF ME AB CD += F E D C B A A B C D F E F E D C B A 1、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转：?????? ?，造中心对称遇中点旋 全等遇等腰旋顶角，造旋转 ，造等腰直角 旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法00 00018090906060 （2 ）共旋转（典型的手拉手模型） 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （ 3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △ EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC （1）如图1，点C 是线段 AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN ，连接AN ，BM ．分别取BM ，AN 的中点E ，F ，连接CE ，CF ，EF ．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC ，BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以AC ，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN ，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例4、例题讲解： 1. 已知△ ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B,C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1) 如图1，当点D 在边BC 上时，求证：① BD=CF ? ②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系。 人教版八年级数学全等三角形常见模型总结 要点梳理 全等三角形的判定与性质 类型一：角平分线 模型应用 1.角平分性质模型：（利用角平分线的性质） 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC 例题解析 例：（1）如图1，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6cm ，BD=4cm ，那么点D 到直线AB 的距离是 cm. （2）如图2，已知，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP 平分∠ BAC. 图1 图2 【答案】①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ） ②21∠=∠Θ，PN PM =∴，43∠=∠Θ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,. 类型二：角平分线模型应用 2.角平分线，分两边，对称全等(截长补短构造全等) 两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B，使OB=OA，从而使△OAC≌△OBC. 例题解析 例1：在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。 证明：如图（1）， 过O作OD∥BC交AB于D， ∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°， 又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°， ∴∠ADO=∠AQO， 又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO， ∴△ADO≌△AQO， ∴OD=OQ，AD=AQ， 又∵OD∥BP， ∴∠PBO=∠DOB， 又∵∠PBO=∠DBO， ∴∠DBO=∠DOB， ∴BD=OD， 又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°， ∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°， ∴∠BOP=∠BPO， ∴BP=OB， ∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 解题后的思考： （1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。 （2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下： ①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。相似三角形经典模型总结
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