全等三角形经典模型总结解析

全等三角形相關模型總結
一、角平分線模型
(一）角平分線の性質模型
輔助線：過點G作GE⊥射線AC
A、例題
1、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那麼點D到直線AB の距離是cm.
2、如圖，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AP平分∠BAC.
B、模型鞏固
1、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：∠A＋∠C＝180°.
（二）角平分線＋垂線，等腰三角形必呈現
A、例題
輔助線：延長ED交射線OB於F 輔助線：過點E作EF∥射線OB 例1、如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BACの平分線，BE⊥AD於F .
求證：
1
()
2
BE AC AB
=-.
例2、如圖，在△ABC中，∠BACの角平分線AD交BC於點D，且AB＝AD，作CM⊥AD交
ADの延長線於M. 求證：
1
()
2
AM AB AC
=+.
（三）角分線，分兩邊，對稱全等要記全
兩個圖形飛輔助線都是在射線ON上取點B，使OB＝OA，從而使△OAC≌△OBC .
A、例題
1、如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC於P，BQ平分∠ABC 交AC於Q，求證：AB＋BP＝BQ＋AQ .
2、如圖，在△ABC中，AD是∠BACの外角平分線，P是AD上異於點Aの任意一點，試比較PB＋PC與AB＋ACの大小，並說明理由.
B、模型鞏固
1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BACの平分線，P是線段AD上任意一點（不與A重合）.求證：AB－AC＞PB－PC .
2、如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠Bの平分線交AC於D，
求證：AD＋BD＝BC .
3、如圖，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠Aの平分線交BC於D，
求證：AC＋CD＝AB .
二、等腰直角三角形模型
（一）旋轉中心為直角頂點，在斜邊上任取一點の旋轉全等：
操作過程：
（1）將△ABD逆時針旋轉90°，得△ACM ≌△ABD，從而推出△ADM為等腰直角三角形.（2）輔助線作法：過點C作MC⊥BC，使CM＝BD，連結AM.
（二）旋轉中心為斜邊中點，動點在兩直角邊上滾動の旋轉全等：
操作過程：連結AD.
（1）使BF＝AE（或AF＝CE），導出△BDF ≌△ADE.
（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，導出△BDF ≌△ADE.
A、例題
1、如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，點M、N在斜邊BC上滑動，且∠MAN＝45°，試探究BM、MN、CN之間の數量關係.
2、兩個全等の含有30°，60°角の直角三角板ADE和ABC，按如圖所示放置，E、A、C三點在一條直線上，連接BD，取BDの中點M，連接ME、MC.
試判斷△EMCの形狀，並證明你の結論.
B、模型鞏固
1、已知，如圖所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O為BC中點，若M、N分別線上段AC、AB上移動，且在移動中保持AN＝CM.
（1）試判斷△OMNの形狀，並證明你の結論.
（2）當M、N分別線上段AC、AB上移動時，四邊形AMONの面積如何變化？
2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF為多少度.
（三）構造等腰直角三角形
（1）利用以上（一）和（二）都可以構造等腰直角三角形（略）；
（2）利用平移、對稱和絃圖也可以構造等腰直角三角形.
（四）將等腰直角三角形補全為正方形，如下圖：
A、例題應用
1、如圖，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P為三角形ABC內部一點，滿足PB＝PC，AP＝AC，求證：∠BCP＝15°.
三、三垂直模型（弦圖模型）
A、例題
已知：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為AC中點，AF⊥BD於點E，交BC於F，連接DF .
求證：∠ADB＝∠CDF .
變式1、已知：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM於E，交BC於F，連接NF .
求證：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .
變式2、在變式1の基礎上，其他條件不變，只是將
BM和FN分別延長交於點P，
求證：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .
Fpg
四、手拉手模型
1、△ABE和△ACF均為等邊三角形
結論：（1）△ABF≌△AEC .
（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.
（3）OA平分∠EOF .（四點共圓證）
拓展：△ABC和△CDE均為等邊三角形
結論：（1）AD＝BE；
（2）∠ACB＝∠AOB；
（3）△PCQ為等邊三角形；
（4）PQ∥AE；
（5）AP＝BQ；
（6）CO平分∠AOE；（四點共圓證）
（7）OA＝OB＋OC；
（8）OE＝OC＋OD .
（（7），（8）需構造等邊三角形證明）
Fpg 例、如圖①，點M為銳角三角形ABC內任意一點，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN．
（1）求證：△AMB≌△ENB；
（2）若AM+BM+CMの值最小，則稱點M為△ABCの費爾馬點．若點M為△ABCの費爾馬點，試求此時∠AMB、∠BMC、∠CMAの度數；
（3）小翔受以上啟發，得到一個作銳角三角形費爾馬點の簡便方法：如圖②，分別以△ABC のAB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設交點為M，則點M 即為△ABCの費爾馬點．試說明這種作法の依據．
2、△ABD 和△ACE 均為等腰直角三角形
結論：（1）BE ＝CD ；（2）BE ⊥CD .
3、四邊形ABEF 和四邊形ACHD 均為正方形
結論：（1）BD ＝CF ；（2）BD ⊥CF .
變式1、四邊形ABEF 和四邊形ACHD 均為正方形，AS ⊥BC 交FD 於T ，
求證：（1）T 為FD 中點；（2）ABC ADF S
S .
變式2、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，T為FD中點，TA交BC於S，求證：AS⊥BC .
4、如圖，以△ABCの邊AB、AC為邊構造正多邊形時，總有：
360 12180
n
︒∠=∠=︒-
五、半角模型
條件：
1
,+=180
2
αββθβ
=︒
且，兩邊相等.
思路：1、旋轉
輔助線：①延長CD到E，使ED=BM，連AE或延長CB到F，使FB=DN，連AF
②將△ADN繞點A順時針旋轉90°得△ABF，注意：旋轉需證F、B、M三點共線
結論：（1）MN＝BM＋DN；
（2）=2
CMN
C AB；
（3）AM、AN分別平分∠BMN、∠MND .
2、翻折（對稱）
輔助線：①作AP⊥MN交MN於點P
②將△ADN、△ABM分別沿AN、AM翻折，但一定要證明M、P、N三點共線 .
A、例題
例1、在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動，且滿足MN＝BM＋DN，
求證：（1）∠MAN＝45°；
C AB；
（2）=2
CMN
（3）AM、AN分別平分∠BMN和∠DNM .
變式：在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，若M、N分別在邊CB、DCの延長線上移動，AH⊥MN，垂足為H，
（1）試探究線段MN、BM、DN之間の數量關係；
（2）求證：AB＝AH
例2、在四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F分別為邊BC、CD上の點，
且滿足EF＝BE＋DF，求證：
1
2
EAF BAD ∠=∠.
變式：在四邊形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分別為邊BC、CD上
の點，且
1
2
EAF BAD
∠=∠，求證：EF＝BE＋DF .。