人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结(精选.)

人教版八年级数学全等三角形常见模型总结
要点梳理
全等三角形的判定与性质
类型一：角平分线
模型应用
1.角平分性质模型：（利用角平分线的性质） 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC
例题解析 例：（1）如图1，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6cm ，BD=4cm ，那么点D 到直线AB 的距离是 cm.
（2）如图2，已知，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP 平分∠
BAC.
图1
图2
【答案】①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ）
②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,.
类型二：角平分线模型应用
2.角平分线，分两边，对称全等(截长补短构造全等)
两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B，使OB=OA，从而使△OAC≌△OBC.
例题解析
例1：在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。

证明：如图（1），
过O作OD∥BC交AB于D，
∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，
又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，
∴∠ADO=∠AQO，
又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，
∴△ADO≌△AQO，
∴OD=OQ，AD=AQ，
又∵OD∥BP，
∴∠PBO=∠DOB，
又∵∠PBO=∠DBO，
∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=OD，
又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，
∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，
∴∠BOP=∠BPO，
∴BP=OB，
∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

解题后的思考：
（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。

（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：
①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。

④如图（5），过P 作PD ∥BQ 交AC 于D ，则△ABP ≌△ADP 从而得以解决。

小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。

而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。

从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。

例2：如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由．
D
P
C B A
E
D
P
C B A
PB PC AB AC +>+，理由如下．
如图所示，在AB 的延长线上截取AE AC =，连接PE ． 因为AD 是BAC ∠的外角平分线， 故CAP EAP ∠=∠．
在ACP ∆和AEP ∆中，AC AE =，CAP EAP ∠=∠，AP 公用， 因此ACP AEP ∆∆≌， 从而PC PE =．
在BPE ∆中，PB PE BE +>， 而BE BA AE AB AC =+=+， 故PB PC AB AC +>+．
例3：在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．
求证：AB AC PB PC ->-．
C
D B P
A
E
C
D B P
A
在AB 上截取AE AC =，连结EP ，根据SAS 证得AEP ∆≌ACP ∆，∴PE PC =，AE AC =又BEP ∆中，BE PB PE >-，BE AB AC =-，∴AB AC PB PC ->-
类型三：等腰直角三角形模型
1、在斜边上任取一点的旋转全等：
操作过程：（1）将△ABD 逆时针旋转90°，使△ACM ≌△ABD ，从而推出△ADM 为等腰直角三角形.（但是写辅助线时不能这样写）（2）过点C 作MC ⊥BC ，连AM 导出上述结论. 2、定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：
操作过程：连AD.
（1）. 使BF=AE （AF=CE ），导出△BDF ≌△ADE. （2）. 使∠EDF+∠BAC=180°，导出△BDF ≌△ADE. 例题解析
例1：两个全等的含30°，60°的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 得中点M ，连接ME ，MC ，试判断△EMC 的形状，并证明。

证明：连接AM ，证明△MDE ≌△MAC.特别注意证明∠MDE=∠MAC.
例2：已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB=AC ，
90=∠BAC ，O 为BC 中点，若M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持AN=CM. （1）是判断△OMN 的形状，并证明你的结论.
（2）当M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动时，四边形AMON 的面积如何变化？
思路：两种方法：
类型四：三垂直模型（弦图模型）
由△ABE ≌△BCD 导出 由△ABE ≌△BCD 导 由△ABE ≌△BCD 导出 ED=AE-CD 出EC=AB-CD BC=BE+ED=AB+CD 例题解析
例1：已知：如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，
90=∠BAC ，D 为AC 中点，AF ⊥BD 于E ，交BC 于F ，连接DF 。

求证：∠ADB=∠CDF.
思路：
方法一: 过点C 作MC ⊥AC 交AF 的延长线于点M.先证△ABD ≌△CAM ，再证 △CDF ≌△CMF 即可.
（一） （二） （三）
方法二：过点A 作AM ⊥BC 分别交BD 、BC 于H 、M .先证△ABH ≌△CAF ， 再证 △CDF ≌△ADH 即可. 方法三：过点A 作AM ⊥BC 分别交BD 、BC 于H 、M .先证Rt △AMF ≌Rt △BMH ，得出 HF ∥AC. 由M 、D 分别为线段AC 、BC 的中点，可得MD 为△ABC 的中位线从而推出MD ∥AB ，又由于
90=∠BAC ，故而MD ⊥AC ，MD ⊥HF ，所以MD 为线段HF 的中垂线. 所以∠1=∠2.再由∠ADB +∠1=∠CDF +∠2 ，则∠ADB =∠CDF . 类型五：手拉手模型
1.△ABE 和△ACF 均为等边三角形
结论：（1）. △ABF ≌△AEC （2）.∠BOE=BAE=60°（“八字模型证明”）（3）.OA 平分∠EOF
拓展：
条件：△ABC和△CDE均为等边三角形
结论：（1）、AD=BE（2）、∠ACB=∠AOB（3）、△PCQ为等边三角形
（4）、PQ∥AE（5）、AP=BQ（6）、CO平分∠AOE（7）、OA=OB+OC
（8）、OE=OC+OD（（7），（8）需构造等边三角形证明）
2.△ABD和△ACE均为等腰直角三角形
结论：（1）、BE=CD （2）BE⊥CD
3.ABEF和ACHD均为正方形
结论：（1）、BD⊥CF（2）、BD=CF
四、半角模型
条件：α=1 β,且β+θ=180︒，β两边相等.
2
思路：1、补短（旋转）
辅助线：①延长CD 到 E，使E D=B M，连AE 或延长CB 到 F，使F B=D N，连A F
②将△A D N绕点A 顺时针旋转90°得△A B F，注意：旋转需证F、B、M 三点共线
结论：（1）M N＝B M＋D N；
（2）C
=2A B ；
CMN
（3）A M、A N分别平分∠B M N、∠M N D.
2、翻折（对称）
辅助线：①作A P⊥M N交MN 于点P
②将△A D N、△A B M分别沿A N、A M翻折，但一定要证明M、P、N三点共线.
例1、在正方形ABCD 中，若M、N分别在边B C、C D上移动，且满足M N＝B M＋D N，求证：（1）∠M A N＝45°；
（2）C
=2A B ；
CMN
（3）A M、A N分别平分∠B M N和∠D N M.
变式：在正方形ABCD 中，已知∠M A N＝45°，若M、N分别在边C B、D C的延长线上移动，
A H⊥M N，垂足为H，
（1）试探究线段M N、B M、D N之间的数量关系；
（2）求证：A B＝A H
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