人教版八年级下册勾股定理的逆定理学案
勾股定理的逆定理(导学案)-八年级数学下册(人教版)
学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________人教版初中数学八年级下册17.2.1勾股定理的逆定理导学案一、学习目标：1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.重点：灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.难点：灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.二、学习过程：课前自测1.勾股定理的内容是什么?2.求以线段a、b 为直角边的直角三角形的斜边c 的长.①a＝3，b＝4；_______②a＝2.5，b＝6；_________③a＝4，b＝7.5.________自主学习画一画：如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________“2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试.由上面的几个例子，我们猜想：_____________________________________________________________________________________________.思考：把下列命题1、命题2的题设、结论分别画出来？命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a 2+b 2=c 2.命题2如果三角形的三边长a，b，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.【归纳】我们看到，命题2与命题1的题设、结论正好_____.我们把像这样的两个命题叫做____________.如果把其中一个叫做_________，那么另一个叫做它的_________.【针对练习】说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确.1.原命题：同位角相等，两直线平行.()逆命题：______________________.()2.原命题：对顶角相等.()逆命题：____________________.()3.原命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.()逆命题：学习笔记记录区___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.()4.原命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等.()逆命题：___________________________________________________.()合作探究在图(1)中，已知△ABC 的三边长分别为a，b，c，且满足a 2+b 2=c 2，要证△ABC 一定是直角三角形.我们可以先画一个两条直角边长分别为a，b 的Rt△A′B′C′如图(2)，如果△ABC 与Rt△A′B′C′全等，那么△ABC 就是一个直角三角形.具体问题：已知△ABC，BC=a，AC=b，AB=c，且a 2+b 2=c 2.求证：△ABC是直角三角形.【归纳】勾股定理的逆定理__________________________________________________________________.一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理_______________.典例解析例1.判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(1)a=15，b=8，c=17；(2)a=13，b=14，c=15.【针对练习】若△ABC 的三边a,b,c 满足a:b:c=3:4:5，是判断△ABC 的形状.例2.若△ABC 的三边a,b,c 满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c.试判断△ABC 的形状.【针对练习】若△ABC 的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=14，试说明△ABC 是直角三角形.例3.已知△ABC 的三条边长分别为a ，b ，c ，且a =m 2−n 2，b =2mn ，c =m 2+n 2（m >n ，m ，n 是正整数）．△ABC 是直角三角形吗？请证明你的判断．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【针对练习】已知△ABC 的三边a =m −n(m >n >0)，b =2mm ，c =m +n ．求证：△ABC 是直角三角形．例4.已知A 0,4，B 2,0，C 4,1．(1)在坐标系中描出各点，画出三角形ABC ；(2)求三角形ABC 的面积;(3)仅用无刻度的直尺作出AC 边上的高BD ，并直接写出BD 的长．（保留作图痕迹）例5.如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 为BC 上一点，且CE 14CB，试判断AF 与EF 的位置关系，并说明理由．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________达标检测1.下列各组数中，是勾股数的()A.0.3，0.4，0.5B.9，16，25C.5，12，13D.10，15，182.下面三角形中是直角三角形的有()①三角形三内角之比为1:2:3;②三角形三内角之比为3:4:5;③三角形三边之比为1:2:3;④三角形三边之比为3:4:5.A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列命题中，逆命题为真命题的是()A.全等三角形的对应角相等B.等角对等边C.若a=b，则|a|=|b|D.若ac 2<bc 2，则a<b4.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（）A.4B.3C.2.5D.2.44.已知一个三角形的三边长分别为2、3、13则这个三角形的面积是_____.5若△ABC 的三边a、b、c 满足(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是__________________________.6.命题“如果a+b=0，那么a=0,b=0”的逆命题是学习笔记记录区______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________,它是____命题.7.根据下列条件，分别判断以a ，b ，c 为边的三角形是不是直角三角形．(1)a =7，b =8，c =10．(2)a =35，b =12，c =37．(3)a =41，b =4，c =5．(4)a =3n ，b =4n ，c =5n （n 为正整数）(5)a:b:c =5:12:13．8.说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等.9．已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对边长分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 三边满足a −9+b −12+c −15=0，试判断△ABC 的形状．学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________10.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，△ABC 的顶点都在格点上．(1)求∠BAC 的度数；(2)求△ABC的面积．。
八年级数学《勾股定理的逆定理》教案优秀10篇
八年级数学《勾股定理的逆定理》教案优秀10篇、课堂小结1①角为直角、②垂直、③勾股定理的逆定理、能力目标2(1)理解并会证明勾股定理的逆定理;(2)会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形;(3)知道什么叫勾股数，记住一些觉见的勾股数。
让学生自己解决问题3判断上述逆命题是否为真命题？对这一问题的解决，学生会感到有些困难，这里教师可做适当的点拨，但要尽可能的让学生的发现和探索，找到解决问题的`思路。
教学过程4(1)通过自主学习的开展体验获取数学知识的感受;(2)通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征。
让学生主动提出问题5利用类比的学习方法，由学生将上节课所学习的勾股定理的逆命题书写出来。
这里分别找学生口述文字;用符号、图形的形式板书逆命题的内容。
所有这些都由学生自己完成，估计学生不会感到困难。
这样设计主要是培养学生善于提出问题的习惯及能力。
重点、难点分析6本节内容的重点是勾股定理的逆定理及其应用。
它可用边的关系判断一个三角形是否为直角三角形。
为判断三角形的形状提供了一个有力的依据。
本节内容的难点是勾股定理的逆定理的应用。
在用勾股定理的逆定理时，分不清哪一条边作斜边，因此在用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时而出错;另外，在解决有关综合问题时，要将给的边的数量关系经过代数变化，最后到达一个目标式，这种“转化〞对学生来讲也是一个困难的地方。
判定直角三角形的方法7勾股定理的内容文字表达(投影显示)符号表述图形(画在黑板上)板书设计8(1)逆定理应用时易出现的错误：分不清哪一条边作斜边(最大边)(2)判定是否为直角三角形的一种方法：结合勾股定理和代数式、方程综合运用。
、定理的应用(投影显示题目上9(1)让学生用文字语言将上述定理的逆命题表述出来(2)学生自己证明逆定理：如果三角形的三边长有下面关系：那么这个三角形是直角三角形强调说明：(1)勾股定理及其逆定理的区别勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理。
17.2勾股定理的逆定理-广东省肇庆市高要区金利镇朝阳实验学校人教版八年级数学下册教案
一、教学内容
《勾股定理的逆定理》选自广东省肇庆市高要区金利镇朝阳实验学校人教版八年级数学下册第17章第2节。主要内容如下：
1.掌握勾股定理的逆定理，即如果一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
举例：在讲解勾股定理的逆定理时，重点强调“平方和”的概念，并通过多个具体例题（如：3²+4²=5²）来加深学生对定理的理解。
2.教学难点
-理解平方和的概念及其在勾股定理逆定理中的应用。
-理解并掌握如何将勾股定理的逆定理应用于解决复杂的几何问题。
-对于一些特殊的直角三角形（如：非整数边长、非标准角度），学生可能难以直接识别并应用勾股定理的逆定理。
学生小组讨论的环节，我认为是非常有价值的。通过这个环节，学生们不仅能够分享自己的见解，还能从同伴那里学习到不同的解题思路。我在旁边观察时，发现有些学生很擅长发现问题的本质，而有些则更擅长从不同角度分析问题。这种多样性是非常好的，它可以帮助学生们更全面地理解和掌握知识。
在总结回顾环节，我尝试让学生们自己总结今天学到的内容，并鼓励他们提出疑问。我发现，尽管大部分学生能够总结出勾股定理逆定理的关键点，但他们在提出问题时还是显得有些拘谨。我猜想，可能是因为他们对课堂氛围还不够放松，或者是对自己的问题感到不确定。在以后的教学中，我需要更多地鼓励学生提问，让他们明白提问是学习过程中非常重要的一环。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平方和的概念以及如何运用逆定理判断直角三角形。对于难点部分，我会通过具体的例题和图形比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理逆定理相关的实际问题。
人教初二数学下学期《勾股定理的逆定理》导学案
八年级（ ）班 第 组 姓名： 教学目标：1.掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形.2.理解勾股定理的逆定理的证明方法.3.能用勾股定理的逆定理解决相关问题.教学重点：理解勾股定理的逆定理教学难点：探索勾股定理的逆定理的过程 教学过程： （一）尝试自学1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 .练习：求出下列直角三角形中未知边的长度：2. （量一量）用三角板量一量下图中的∠C ，判断一下它们是否都是直角. （1） （2∠C 90°（填“=”或“≠” ） ∠C 90°（填“=”或“≠” ） 算一算上面数量关系：()()2222b a +=+ ()()2222 b a +=+= =()==22c ()==22 c∴22b a + 2c （填“=”或“≠” ） ∴22b a + 2c （填“=”或“≠”） 由上可知：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是．直角三角形．．．．．； （二）主干讲解例1. 如图，已知△ABC 和△'''C B A 中，∠'C =90°，BC C B ''=，AC C A ''=，且△ABC 的三边长满足222AB BC AC =+， 求证：︒=∠=∠90C C '. 证明：在△'''C B A 中，∠'C =90°∴根据勾股定理有：='2'B A + ∵BC C B ''=，AC C A ''=，且△ABC 的三边长满足222AB BC AC =+ ∴ =AB 在△ABC 和△'''C B A 中⎪⎩⎪⎨⎧===AB B A AC C A BCC B '''''' ∴△ABC ≌△'''C B A （ ） ∴ = =90° 【归纳】勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是 三角形，且边 所对的角为直角.例2. 判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形：（1）a=2，b=3，c=4 （2）a=6，b=8，c=10 解：∵()()2222b a +=+ 解：=()==22c∴2232+ 24（填“=”或“≠” ） ∴这个三角形 直角三角形（三）局部训练：A 组题1. 判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形，请说明理由： （1）a=3，b=4，c=5； （ ）理由是：2243+ 25（填“=”或“≠” ） （2）a=6，b=8，c=12； （ ）理由是： （3）a=9，b=15，c=12； （ ）理由是：22129+ 215（4）a=15，b=17，c=8； （ ）理由是： 2. 若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（ ） A.13 B.13或119 C.13或15 D.15 3. 三角形三边长a ，b ，c 满足222b c a -=，则这个三角形是（ ） A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 4. 如图，已知△ABC 中，BC=25，AC=24，AB=7，求证：△ABC 是直角三角形.B 组题：5. 下列各组数中，不能作为直角三角形的是（ ） A.1，2，5 B.1， 2，3 C.3，4，5 D.6，8，126. 测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm ，12cm ，13cm ，则这个花坛的面积是（ ） A.302cm B.2cm 265 C.782cm D.1302cm 7. 三角形的a ，b ，c 满足()2ab c b a 22+=+，则这个三角形是 三角形. 8. 如图，四边形ABCD 中，AB=3，AD=4，BC=12，CD=13，∠A =90°，（2）求∠DBC的度数；（3）求四边形ABCD的面积.9.△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm，求AC.。
《勾股定理的逆定理(第2课时)》教案 人教数学八年级下册
17.2 勾股定理的逆定理第2课时一、教学目标【知识与技能】1．进一步理解勾股定理的逆定理；2．灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题．【过程与方法】1.通过对勾股定理的逆定理应用的探索,经历知识发生、发展和形成的过程.2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状的应用,体验数形结合方法的应用.【情感态度与价值观】1.通过用三边之间的数量关系来判断三角形的形状的应用,体验数与形的内在联系,感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系.2.在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.二、课型新授课三、课时第2课时共2课时四、教学重难点【教学重点】灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.【教学难点】将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔、练习本.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2-3）工厂生产的产品都有一定的规格要求，如图所示：该模板中的AB、BC 相交成直角才符合规定.你能测出这个零件是否合格呢？(身边只有刻度尺)观察课件图片，引出本课知识点。
（二）探索新知1.出示课件5，利用勾股定理的逆定理解答角度问题教师问：如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？学生答：就是求∠1的大小，因为题目中没有角度，感到无从下手解答问题.教师问：认真读题，找已知是什么？学生讨论后回答：“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如下图.教师问：需要解决的问题是什么？学生回答：求出两艘船航向所成角.教师问：由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此我们想到利用什么思想？师生一起解答：转化的思想.教师问：知道线段长度，通过线段长度来求角的度数，我们可以利用什么转化呢？学生回答：勾股定理逆定理.教师问：你能写出解答过程吗？师生一起解答：解：根据题意得：PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.总结点拨：解决实际问题的步骤：①标注有用信息,明确已知和所求；②构建几何模型(从整体到局部)；③应用数学知识求解.出示课件8，学生自主练习后口答，教师订正.2.利用勾股定理的逆定理解答面积问题如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.（出示课件10）师生共同讨论解答如下：解：连接BD.在Rt△ABD 中,由勾股定理得 BD 2=AB 2+AD 2，∴BD=5cm.又∵ CD=12cm，BC=13cm,∴ BC 2=CD 2+BD 2，∴△BDC 是直角三角形.∴S 四边形ABCD =S Rt△BCD －S Rt△ABD =12BD•CD－12AB•AD =12×(5×12－3×4)=24 (cm 2)． 出示课件11，学生自主练习后口答，教师订正.3.利用勾股定理的逆定理解答检测问题如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB ＝DC ＝8m ，AD ＝BC ＝6m ，AC ＝9m ，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？（出示课件12）学生独立思考后，师生共同解答.解：∵AB ＝DC ＝8m ，AD ＝BC ＝6m ，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴该农民挖的不合格．出示课件13，学生自主练习后口答，教师订正.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。
新人教版八年级数学下册《勾股定理逆定理》教案
勾股定理的逆定理第一课时一、教课目标1．领会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．研究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、抗命题、逆定理的观点及关系。
二、要点、难点1．要点：掌握勾股定理的逆定理及证明。
2．难点：勾股定理的逆定理的证明。
三、例题的企图剖析例 1（增补）使学生认识命题，抗命题，逆定理的观点，及它们之间的关系。
例 2 经过让学生着手操作，画好图形后剪下放到一同察看可否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的着手操作能力，再经过研究理论证明方法，使实践上涨到理论，提升学生的理性思想。
例 3（增补）使学生明确运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。
②分别用代数方法计算出 a2+b2和 c2的值。
③判断 a2+b2和 c2能否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
四、讲堂引入创建情境：⑴如何判断一个三角形是等腰三角形？⑵如何判断一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对照，从勾股定理的抗命题进行猜想。
五、例习题剖析例1（增补）说出以下命题的抗命题，这些命题的抗命题建立吗？⑴同旁内角互补，两条直线平行。
⑵假如两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。
⑶线段垂直均分线上的点到线段两头点的距离相等。
⑷直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
剖析：⑴每个命题都有抗命题，说抗命题时注意将题设和结论调动即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。
⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，抗命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。
解略。
例 2 证明：假如三角形的三边长a，b，A A1 c知足 a2 +b2 =c2，那么这个三角形是直角三角形。
剖析：⑴注意命题证明的格式，第一要根cb bB aC aC1B1据题意画出图形，而后写已知求证。
⑵如何判断一个三角形是直角三角形，此刻只知道如有一个角是直角的三角形是直角三角形，进而将问题转变为如何判断一个角是直角。
人教版数学八年级下册17.2勾股定理的逆定理教案
4.培养学生的数学应用意识：将勾股定理的逆定理应用于生活实际，让学生体会数学与现实生活的紧密联系，提高数学应用意识。
5.培养学生的团队协作能力：在课堂活动中，鼓励学生进行小组讨论与合作，共同探究勾股定理逆定理的证明和应用，提高团队协作能力。
人教版数学八年级下册17.2勾股定理的逆定理教案
一、教学内容
本节课选自人教版数学八年级下册第17.2节，主要教学内容为勾股定理的逆定理。具体内容包括：
1.了解勾股定理的逆定理的概念，即：在一个三角形中，如果某一边的平方等于另外两边平方之和，那么这个三角形是直角三角形。
2.掌握运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。
3.能够运用勾股定理的逆定理解决实际问题，如计算直角三角形的未知边长等。
4.了解勾股定理与逆定理之间的联系，加深对勾股定理的理解和运用。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过探究勾股定理的逆定理，让学生理解并掌握定理的逻辑推理过程，提高学生运用逻辑思维解决问题的能力。
2.增强学生的空间观念：通过对勾股定理逆定理的运用，使学生能够建立直角三角形的空间观念，形成对几何图形的直观认识。
，然后直接输出以下内容：
二、核心素养目标
1.强化逻辑推理：使学生通过逆向思维，深入理解勾股定理的逆定理，培养其逻辑推理及逆向思维能力。
2.增进几何直观：通过勾股定理逆定理的探究，发展学生对直角三角形及其性质的空间想象力，提升几何直观。
3.提升问题解决能力：训练学生运用勾股定理逆定理解决实际问题，增强数学建模和问题解决的能力。
4.培养数学思维：引பைடு நூலகம்学生从多角度思考数学问题，激发创新意识和数学思维能力。
2023年人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理的逆定理(三)》学案
新人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理的逆定理（三）》学案1.⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a =8，b=15，则c= . ⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a =3，b=4，则c= . ⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= .(4)已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 （把这题的解题过程展示到黑板上）2.（1）已知01086=-+-+-z y x ，则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形.（2）三角形的三边长为3、4、5，则其面积为 .（3）△ABC 中，AB=13cm, BC=10cm, BC 边上的中线AD=12cm,求AC （画出图形，把这题解题过程展示在黑板上）活动二 加深勾股定理与逆定理之间的关系例：1在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=14BC ，求证：AF ⊥EF ．例2：已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
求：四边形ABCD 的面积。
例3：已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD ·BD 。
A B C D ECD练习：1、如图，在四边形ABCD中，∠B=90°,AB=1, BC=1, DC=3, AD=5, 试求∠DCB 的大小.(自主完成后小组交流，把过程展示在黑板上)小结：谈谈你的学习收获课堂练习：1.在Rt△ABC，∠C=90°，⑴如果a =7，c=25，则b= .⑵如果∠A=30°，a =4，则b= .⑶如果∠A=45°，a =3，则c= .（4）如果b=8，a：c=3：5，则c=2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：2，试判断△ABC的形状.3．若△ABC的三边a、b、c满足a 2+b2+c2+50=6 a +8b+10c，求△ABC的面积.【此题选做】反思小结，观点提炼：本节学习检测一、填空题1．如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)4．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为____________；②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为____________；③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为____________．5．若△ABC 中，(b －a )(b ＋a )＝c 2，则∠B ＝____________；6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是______三角形．7．若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以a －2、a 、a ＋2为边的三角形的面积为______．8．△ABC 的两边a ，b 分别为5，12，另一边c 为奇数，且a ＋b ＋c 是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．二、选择题9．下列线段不能组成直角三角形的是( )．(A)a ＝6，b ＝8，c ＝10 (B)3,2,1===c b a (C)43,1,45===c b a (D)6,3,2===c b a 10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．(A)1∶1∶2 (B)1∶3∶4(C)9∶25∶26 (D)25∶144∶16911．已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．(A)一定是等边三角形 (B)一定是等腰三角形(C)一定是直角三角形 (D)形状无法确定三、解答题12．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．13．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．14．已知：如图，在正方形AB CD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．15．在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?拓展、探究、思考16．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．17．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．18．观察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有没有发现其中的规律?请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．教师的职务是‘千教万教，教人求真’;学生的职务是‘千学万学，学做真人’。
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勾股定理逆定理及应用
一、基础知识点
知识点1 逆命题与逆定理
1）命题：判断一件事的语句定理：经过我们一定推理，得到的真命题
2）互逆命题：两个命题的题设、结论正好相反的命题。
若将其中一个叫做原命题，则另一个就是它的逆命题
3）逆定理：若一个定理的逆命题成立，则这个定理与原定理互为逆定理
例1.指出下列命题的题设和结论，写出其逆命题，并判断逆命题是否为真命题。
（1）两直线平行，同位角相等；（2）等边对等角；
（3）如果ab=0，那么a=0且b=0；（4）如果a2=b2，那么a=b；
（5）轴对称图形是等腰三角形。
知识点2 勾股定理的逆定理
1）勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。
注：勾股定理的逆定理主要用于证明三角形是直角三角形
例1.已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，则△ABC是() A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰三角形或直角三角形
D. 等腰直角三角形知识点3 勾股数
1）勾股数：能构成直角三角形三条边的三个正整数
2）常见的勾股数有：①3，4，5；②5，12，13；
注：这两组勾股数的倍数也是勾股数，在考察勾股数时，若出现不熟悉数组，可利用勾股定理逆定理判断，即：a2+b2=c2。
二、典型题型
题型1 勾股定理逆定理的实际应用
例1.某住在小区有一块草坪如图，已知AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，且AB⊥BC，求这块草坪的面积。
题型2 利用勾股定理逆定理证垂直
例1.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4√5，CD=8.
（1）求∠ADC的度数；
（2）求四边形ABCD的面积。
题型3 运用勾股定理的逆定理判定三角形的形状
例1. 判断三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）的三角形是否是直角三角形。
题型4 网络作图
例1.如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D
中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4 三、难点题型勾股定理的综合
例1.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。
求△ABC的面积。
四、课堂练习
1、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）
A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD
2. 为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法：
①能组成一个三角形 ②能组成三角形
③能组成直角三角形 ④能组成直角三角形
其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．如图所示，在正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，N 为AD 上的一点，且AN=AD ，试猜测△CMN 是什么三角形，请证明你的结论．
勾股定理逆定理及应用作业
一、选择题
1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A ．4，5，6
B ．2，3，4
C
，4 D ．1
2．三角形的三边长a ，b ，c 满足关系式（a+2b ﹣60）2+|b ﹣
，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰三角形
D ．直角三角形
3．下列是勾股数的有
( )
c b a ,,c h 222,,c b a c b a ,,h b a h c ,,++h
b a 1
,1,
1
① 3、4、5；② 5、12 、13；③ 9、40 、41；
④ 13、14、15；71017
、、⑥ 11 、60 、61
A．6组B．5组C．4组D．3组
4．如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C
恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（）
A．
10
B
．
10
C．
10
D．5
5．如图，四边形ABCD中，AB＝4cm, BC＝3cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝90°，
则四边形ABCD的面积为（）
A．6cm2B．30cm2C．24cm2D．72cm2
二、填空题
6．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是______．
7．如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、
BC边上均速移动，它们的速度分别为V
p
=2cm/s，V
Q
=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两
点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=___s时，△PBQ为直角三角形．
8．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发
沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，
（1）当△ABP为直角三角形时，求t的值：
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
（本题可根据需要，自己画图并解答）。