解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法合集.ppt
第3讲 平行线辅助线(教师版)
第3讲 平行线辅助线
一、知识回顾：
在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件确定，辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起．
一、加截线(连接两点或延长线段)
1．如图，已知AB∥CD，∠ABF＝∠DCE.∠BFE与∠FEC有何关系？并说明理由．
(第1题)
【解析】：∠BFE＝∠FEC.
理由一：连接BC，如图①.
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠ABF＝∠DCE，
∴∠ABC－∠ABF＝∠BCD－∠DCE，
即∠FBC＝∠ECB.
∴BF∥CE(内错角相等，两直线平行)．
∴∠BFE＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)．
(第1题)
理由二：延长AB，CE相交于点G，如图②.
∵AB∥CD，∴AG∥CD.
∴∠DCE＝∠G(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠ABF＝∠DCE，
∴∠ABF＝∠G.
∴BF∥CG(同位角相等，两直线平行)．
∴∠BFE＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)．
二、过“拐点”作平行线
a．“”形图
2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠1＝32°，∠2＝25°，求∠BPC的度数．
(第2题)
【解析】：方法一：过点P作射线PN∥AB，如图①.∵AB∥CD，∴PN∥CD.
∴∠4＝∠2＝25°.
∵PN∥AB，∴∠3＝∠1＝32°.
∴∠BPC＝∠3＋∠4＝57°.
(第2题)
方法二：过点P作射线PM∥AB，如图②.
∵AB∥CD，∴PM∥CD.
∴∠4＝180°－∠2＝180°－25°＝155°.
∵AB∥PM， ∴∠3＝180°－∠1＝180°－32°＝148°.∴∠BPC＝360°－∠3－∠4＝360°－148°－155°＝57°.
方法三：连接BC，略。
方法四：延长BP交CD于M（或延长CP交AB于N），略。
解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法
解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法
——形成思维定式，快速解题
◆类型一 含一个拐点的平行线问题
1．(2017·南充中考)如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝58°，则∠2的度数为( )
A．30° B．32° C．42° D．58°
第1题图 第2题图
2．(2017·潍坊中考)如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足( )
A．∠α＋∠β＝180° B．∠β－∠α＝90°
C．∠β＝3∠α D．∠α＋∠β＝90°
3．阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．
如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数．
解：过E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴CD∥EF.∵AB∥EF，∴∠1＝∠B＝35°.又∵CD∥EF，∴∠2＝∠D＝32°，∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°.
如图②、图③，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决．
(1)如图②，已知∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A应多大？
(2)如图③，要使GP∥HQ，则∠G，∠GFH，∠H之间有什么关系？【方法4】
◆类型二 含多个拐点的平行线问题
4．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的大小为【方法4】( )
A．20° B．30° C．40° D．70° 第4题图 第5题图
5．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数为________．
6．如图，给出下列三个论断：①∠B＋∠D＝180°；②AB∥CD；③BC∥DE.请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以剩余一个论断作为结论，填入“结论”栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并解答该题．
已知：______________，结论：______________．
沪教版七年级数学下册解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法
解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法
——形成思维定式，快速解题
◆类型一 含一个拐点的平行线问题【方法22】
1．如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD的度数为( )
A．120° B．130°
C．140° D．150°
第1题图 第2题图
2．如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是( )
A．75° B．55°
C．40° D．35°
3．如图，直线a∥b，∠1＝110°，∠2＝55°，则∠3的度数为________．
第3题图
4．课堂上李老师给出下面问题：
已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1＝30°时，求∠EFG的度数．甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题．
甲同学辅助线的作法和分析思路如下：
辅助线：如图甲，过点F作MN∥CD.
分析思路：
①欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数；
②由辅助线作图可知∠2＝∠1，又由已知∠1的度数可得∠2的度数；
③由AB∥CD，MN∥CD推出AB∥MN，由此可推出∠3＝∠4；
④由已知EF⊥AB可得∠4＝90°，所以可得∠3的度数；
⑤从而可求∠EFG的度数. (1)请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的作法，并写出相应的分析思路；
(2)请你根据丙同学所画的图形，求∠EFG的度数．
◆类型二 含多个拐点的平行线问题【方法22】
5．如图，直线l1∥l2，∠3＝125°，∠4＝85°，则∠1＋∠2的度数为( )
A．30° B．35° C．36° D．40°
第5题图 第6题图
6．如图，直线l1∥l2，α＝β，∠1＝40°，则∠2＝________．
7．如图，已知a∥b，ABCDE是夹在直线a，b之间的一条折线，试研究∠1，∠2，∠3，∠4，∠5的大小之间有怎样的等量关系，请说明理由．
参考答案与解析 1．C 解析：如图，过点C向左作CG∥AB.因为AB∥CG，所以∠ACG＝∠CAB＝50°.因为AB∥EF，所以CG∥EF.因为CD⊥EF，所以∠CDF＝90°，所以∠GCD＝∠CDF＝90°.所以∠ACD＝∠ACG＋∠GCD＝140°.
平行线中添辅助线的方法
平行线中添辅助线的方法
在几何学中，平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的线。平行线可以用于解决许多几何问题。有时，为了更好地理解和解决问题，我们可能需要在已知的平行线中添加辅助线。这篇文章将介绍一些经常在平行线中添加辅助线的方法，以及如何利用这些辅助线解决几何问题。
方法一：创建平行线之间的等距线段
这是最常见的方法之一，可以通过创建平行线之间的等距线段来添加辅助线。这个方法可以在几何证明中使用，以创建所需的形状或角度。下面是一个例子：假设有两个平行线AB和CD，在这两条平行线上选择两个等距点E和F。然后，通过连接EF，你就创建了一个辅助线，使得EF平行于AB和CD。这样，你就可以利用这个平行四边形来证明或解决其他几何问题。
方法二：使用交叉线段
这个方法涉及到在平行线上选择一个点，并通过它绘制一条与其他平行线相交的线段。这种方法通常用于证明几何性质。例如，假设有两个平行线AB和CD，我们可以在AB上选择一个点E，并通过它绘制一条线段EF与CD相交。然后，通过观察EF与AB的关系，可以证明一些三角形的性质或者其他几何关系。
方法三：利用平行线之间的相似三角形
利用平行线之间的相似三角形是另一种常用的方法。通过观察平行线和与它们相交的第三条线，可以找到相似的三角形。然后，利用这些相似三角形的性质来解决几何问题。例如，假设有两个平行线AB和CD，以及一条与它们相交的第三条线EF。通过观察，可以发现三角形ADE与三角形BCF相似。这意味着可以使用相似三角形的性质来计算未知角度或线段的长度。
方法四：利用中位线和对角线
这个方法通常涉及到在平行线形成的平行四边形中绘制中位线或对角线。中位线是连接平行四边形两对相对顶点的线段，对角线是连接两对非相邻顶点的线段。这些辅助线可以帮助我们找到形状的性质，或计算线段的长度。例如，假设有一个平行四边形ABCD，你可以通过绘制对角线AC来创建两个互相重叠的三角形ABC和ADC。通过观察这些三角形的性质，可以得出许多结论，例如它们的面积相等或角度相等。
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作辅助线的方法
一：中点、中位线，延线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”
托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）
五：两圆若相交，连心公共弦。
如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
六：两圆相切、离，连心，公切线。
如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。
七：切线连直径，直角与半圆。
如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。 八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。
如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。
平行线中添辅助线的方法 2
平行线中添辅助线的方法
1 平行线中添辅助线的方法
平行线中常见的添辅助线的方法:
（1）在平行线内(或外)一点作直线的平行线；
（2）加截线（连接两点、延长线段相交）
例:探究:
（1）、如图1，若AB//CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明为什么吗？
（2）、反之,若∠B+∠D=∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请证明.
（3）、若将点E移至图2所示位置，此时之间有什么关系？请证明。
（4）、若将点E移至图3所示位置，情况又如何？
（5）、若将点E移至图4所示位置，情况又如何?
（6）、在图5中，AB//CD，∠B+∠D+∠F与∠E+∠G又有何关系?
图1 图2 图3
图4 图5
平行线拓展延伸题
一、填空题 平行线中添辅助线的方法
2 1、如图，已知AB∥CD，若∠A=20°，∠E=35°，则∠C等于 。
2、如图，12//ll，∠1=120°，∠2=100°，则∠3= 。
4、如图，1502110ABCD∥，°，°，则3 。
6、如图,已知AB∥EF，∠BAC=p，∠ACD=x，∠CDE=y，∠DEF=q,用p、q、y来表示x得 。
二、选择题 如图1，AB∥CD，且∠BAP=60°—α，∠APC=45°+α,
∠PCD=30°—α，则α=（ )
A、10° B、15° C、20° D、30°
图1 图2 图3
专题04 平行四边形几何辅助线(专题详解)(解析版)
专题04 平行四边形几何辅助线专题详解
专题04 平行四边形几何辅助线专题详解 .............................................................................................................. 1
1 平行四边形 ..................................................................................................................................................... 3
知识框架 ..................................................................................................................................................... 3
方法1 分类讨论思想 ................................................................................................................................ 3
一、动态讨论 ..................................................................................................................................... 3
（1）1个点的移动 .................................................................................................................... 3
北师大版2018-2019年七年级数学下册 解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法(含答案)
解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法
◆类型一 含一个拐点的平行线问题
1．如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D.若∠ABC＝40°，则∠BCD的度数为( )
A．140° B．130° C．120° D．110°
第1题图 第2题图
2．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为( )
A．20° B．30° C．40° D．70°
3．如图，某城市的两座高楼顶部各装有一个射灯，当光柱相交在同一个平面时，∠1＋∠2＋∠3＝________°.
第3题图 第4题图
4．(2017·枣庄中考)将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是________．
5．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB，∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．【方法8】
◆类型二 含两个或多个拐点的平行线问题
6．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为( )
A．∠1＋∠2－∠3 B．∠1＋∠3－∠2
C．180°＋∠3－∠1－∠2 D．∠2＋∠3－∠1－180°
第6题图 第7题图
7．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝________°.
8．如图，AB∥CD，试解决下列问题：
(1)如图①，∠1＋∠2＝________；
(2)如图②，∠1＋∠2＋∠3＝________；
(3)如图③，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________；
(4)如图④，试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝__________．
9．(1)如图①，AB∥CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由；
(2)如图②，AB∥CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．
专题二：平行四边形常用辅助线的作法(精排版)
1 专题讲义 平行四边形+几何辅助线的作法
一、知识点
1．四边形的内角和与外角和定理：
（1）四边形的内角和等于360°；
（2）四边形的外角和等于360°.
2．多边形的内角和与外角和定理：
（1）n边形的内角和等于(n-2)180°；
（2）任意多边形的外角和等于360°.
3．平行四边形的性质：
四边形ABCD是平行四边形
.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（
4、平行四边形判定方法的选择
5、和平行四边形有关的辅助线作法
（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形
例1、如图，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.
求证: OE与AD互相平分.
ABCD1234ABCDABDOC性质
判定
说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.
2
（2）利用两组对边平行构造平行四边形
例2、如图，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.
求证: ED+FG=AC.
（3）利用对角线互相平分构造平行四边形
例3、如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.
说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.
3 （4）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
平行四边形中常用辅助线作法归类解析
1 平行四边形中常用辅助线作法归类解析
饶美苑
辅助线是解几何题的重要工具，也是沟通已知条件和未知结论的重要桥梁。与平行四边形有关的辅助线有哪些呢？下面本文结合例题归纳六类与平行四边形有关的常见辅助线，供同学们借鉴：
第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1，在平行四边形ABCD中，点FE,在对角线AC上，且CFAE,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）
⑴连结BF ⑵DEBF
⑶证明：连结DFDB,,设ACDB,交于点O
∵四边形ABCD为平行四边形 ∴OBDOOCAO,
∵FCAE ∴FCOCAEAO 即OFOE
∴四边形EBFD为平行四边形 ∴DEBF
图2图1OOECCABDABDEF
第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例2如右图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果12AC，
10BD，mAB，那么m的取值范围是（ ）
A111m B222m C1210m D65m
解：将线段DB沿DC方向平移，使得CEDB,BEDC,则有四边形CDBE为平行四边形,∵在ACE中, 12AC,10BDCE,mABAE22
∴101221012m，即2222m 解得111m 故选A
第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例3已知：如左下图3，四边形ABCD为平行四边形
求证：222222DACDBCABBDAC