第9章 正弦量与相量

200e j(wt300 ) 200e j300 e jwt (173.2 j100)e jwt
100e j(wt600 ) 200e j(wt300 ) (50 j86.6)e jwt (173.2 j100)e jwt
(223.2 j13.4)e jwt 223.22 13.42 (arctan 13.4)e jwt 223.2
正弦量
复数
实际是变 换的思想
3. 复数及运算
A=a+jb
复数A的表示形式
Im
b
A
0
a Re
A a jb
(j 1 为虚数单位)
Im
b
A
|A|
0
a Re
A | A | e j
A | A | e j | A | (cos j sin ) a jb
A | A | e j | A |
两种表示法的关系：
j 300 (1500 ) 1200
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平 均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值(effective value)定义
直流I R
物
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i
一般规定：|y | 。
0
t
y =0 y =－/2
y =
例
i
100
50
0 t1
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s， （1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1
t 解 i(t) 100cos(103 t y )
t 0 50 100cosy
(4) i1(t) 5cos(100 t 300 ) i2(t) 3cos(100 t 300 )
j 3 4 ( 2) 5 4 0 j 2 5 4 3 4
i2(t) 10cos(100t 1050 )
j 300 (1050 ) 1350
w1 w2
不能比较相位差
i2(t) 3cos(100t 1500 )
（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。
（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
9.2 正弦量的相量表示
1. 问题的提出：
电路方程是微分方程：
+i R u
C L
LC
d 2uC dt
RC
duC dt
uC
u(t )
_
两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。
i1 2 I1 cos(w t y 1 ) i2 2 I2 cos(w t y 2 )
反映正弦量变化幅度的大小。
(2) 角频率(angular frequency)ω
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
w 2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒
(3) 初相位(initial phase angle) y
i
T
反映正弦量的计时起点， 常用角度表示。
Im
yy/w O
2 twt
(1) i1(t) 10cos(100 t 3 4) i2(t) 10cos(100 t 2)
(2) i1(t) 10cos(100 t 300 ) i2(t) 10sin(100 t 150 )
(3) u1(t) 10cos(100 t 300 ) u2(t) 10cos(200 t 450 )
I
1 T
T 0
I
2 m
cos 2 (
w
t
Ψ
)
dt
T cos2( w t Ψ ) dt
T 1 cos 2(w t Ψ ) 1
dt t
T
1 T
0
0
2
20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
i(t) Im cos(w t Ψ ) 2I cos(w t Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
w=2 / T 2 f
正弦电流电路
激励和响应均为正弦量的电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路 或交流电路。
研究正弦电路的意义：
（1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有Fra Baidu bibliotek分重 要的地位。
优点： 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数
2）正弦信号容易产生、传送和使用。
Im 复数也是矢量 b
A
A=a+jb
直角坐标表示
|A|
A=|A|ej =|A| 极坐标表示
0
a Re
| A |
a2 b2
θ arctg b
a
或
a | A | cosθ
b | A | sinθ
图解法
复数运算
Im
(1)加减运算——采用代数形式
A2
若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2
则 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
等于初相位之差
规定： |j | (180°)。
• j >0， u超前i j 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；
u, i u i
O
wt
yuyi
j
• j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
特殊相位关系：
j = (180o ) ，反相：
j ＝ 0， 同相：
u, i
u, i
u
0
i
0
wt
u, i
u
j= /2：
u 领先 i /2, 不说 u 落后 i 3/2；
i 落后 u /2, 不说 i 领先 u 3/2。
i 0
u
iw t
wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例 计算下列两正弦量的相位差。 解
若干个正弦量叠加
n
ik (t) 0
k 1
n
uk (t) 0
k 1
2. 解决的思路
可以将正弦量用一个矢量来进行图示，即用矢量的模 表示正弦量的幅值，而用矢量与横轴的夹角表示正弦量的 相位角，如图所示。
Im
(wt i )
显然，随着时间的连续变化，这个矢量将会逆时针旋转。
将这个旋转矢量与 正弦量对应起来
223.6(3.430 )e jwt
100e j(wt600 ) 200e j(wt300 ) 223.6(3.430 )e jwt
223.6e j(wt3.430 ) 223.6 cos(wt 3.430 ) j223.6 sin(wt 3.430 )
取其实部可得
u1(t) u2 (t)=223.6 cos(wt 3.430 )
表示复数的旋转矢量则是随着θ角的变化发生旋转的，它 与时间和角频率无关。
观察下面两个复数：
A=|A|ej =|A|
旋转因子
ejωt
构造一个新 的复数矢量
Im
b
A
|A|
0
a Re
Im ejωt
1
ωt
0
Re
Ae jwt A e j e jwt A e j(wt )
根据欧拉公式
无物理意义
Ae jwt A e j e jwt A e j(wt )
频率f
1 周期T
周期T ：重复变化一次所需的时间。单位：s(秒)
频率f ：每秒重复变化的次数。 单位：Hz(赫兹)
周期T 、频率f 与角频率ω
交流电的角频率ω就是角位移与所用的时间之 比，它表示了交流电每秒所经过的电角度。交流 电变化一周，就相当于变化了２π弧度。角频率的 单位是弧度／秒，它与周期、频率的关系为
例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) ?
20 j5
解
原式 180.2
j126.2
19.2427.9 7.21156.3 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329 182.5 j132.5 225.536 Im
i( A)
Im
(wt i )
Im
向量图
wt (rad )
62
波形图
当正弦曲线上的一点沿着的正 方向向前运动时，左边对应的 矢量将会逆时针旋转。
角频率：
ui1, i
w
i1
i2
w
i2
有效值： I1 0 I2
初相位： 1
2
i1+ii23wi3
wI3t 3
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，
（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。
n
f (t) Ak cos(kwt k ) k 1
对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值 和实际意义。
2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos(w t+y)
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im
观察整个演算过程你会发现，复数 e jwt 并未参与
运算，它只是在运算的开始和结束时用于描述。
这是因为：频率相同的正弦量叠加后频率不变
真正参与运算的实际上是复数 A(即 A e jj )
因此，我们索性就用复数 A A e jj来表示正弦量。
A• ej
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠
A
0
Re
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。
故把 ej 称为旋转因子。
几种不同值时的旋转因子
,
2
j
e2
cos
j sin
j
2
2
Im
jI
I
0
Re
I
jI
,
j
e2
cos(
)
j sin(
)
j
2
2
2
A cos(wt ) j A sin(wt )
但这部分正是我们需 要的正弦函数
得到一个有物理 意义的正弦量
对Aejωt取实部：Re[Ae jwt ] A cos(w t )
于是我们可以用新构造的复数矢量来“表示”正弦 量
例 已知 u1(t)=100 cos(wt 600 ) u2 (t)=200 cos(wt 300 )
由于最大值发生在计时起点右侧
i(t) 100cos(103 t )
3 当 103 t1 3 有最大值
y 3 y
3
t1＝1033 ＝1.047ms
3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i)
交流i R
理
意
义 W RI 2T
W T Ri2(t)dt 0
电流有效 值定义为
def
I
1
T i 2 (t )dt
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
T0
同样，可定义电压有效值： 正弦电流、电压的有效值
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
设 i(t)=Imcos(w t+ )
0
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 Re
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
则:
A1 A2
A1 e j1
A2 e j2
A1
A e j(1 2 ) 2
A1 A2 1 2 乘法：模相乘，角相加。
A1 A2
| A1 |θ 1 | A2 |θ 2
第9章 正弦量与相量
重点： 1. 正弦交流电的基本概念 2. 正弦量的相量表示 3.电路元件与定律的相量模型
9.1 正弦量的基本概念
1. 正弦量
A
Y ºI
N
Z
w
º C
S
B
X
i
T
瞬时值表达式：
i(t)=Imcos(w t+y)
y/w O
t
波形：
正弦量为周期函数y(t)=y(t+kT )
周期T (period)和 频率f (frequency) :
U
1 2 Um
或 Um 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
U=380V，
Um537V。
i , I m , I 注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设
备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指 的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大 值考虑。
解 求 u1(t) u2 (t)=? 用复矢量表示为
u1(t)=100 cos(wt 600 )
100e j(wt600 ) 100e j600 e jwt
u2 (t)=200 cos(wt 300 )
200e j(wt300 ) 200e j300 e jwt
100e j(wt600 ) 100e j600 e jwt (50 j86.6)e jwt
| A1 | ejθ1 | A2 | ejθ 2
| A1 | ej(θ1θ 2 ) | A2 |
| A1 | | A2 |
θ1 θ2
除法：模相除，角相减。
例1. 547 10 25 ?
解 547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61
, e j cos() j sin() 1
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
4. 正弦量的相量表示
观察表示正弦量的矢量和复数矢量
Im
(wt i )
Im
b
A
|A|
0
a Re
这两个旋转矢量的差异是：
表示正弦量的旋转矢量是随着 (wt j)的变化发生旋转
的，它与时间和角频率有关；