第9章 正弦量与相量

200e j(wt300 ) 200e j300 e jwt (173.2 j100)e jwt
100e j(wt600 ) 200e j(wt300 ) (50 j86.6)e jwt (173.2 j100)e jwt
(223.2 j13.4)e jwt 223.22 13.42 (arctan 13.4)e jwt 223.2
反映正弦量变化幅度的大小。
(2) 角频率(angular frequency)ω
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
w 2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒
(3) 初相位(initial phase angle) y
i
T
反映正弦量的计时起点， 常用角度表示。
Im
yy/w O
2 twt
(1) i1(t) 10cos(100 t 3 4) i2(t) 10cos(100 t 2)
(2) i1(t) 10cos(100 t 300 ) i2(t) 10sin(100 t 150 )
(3) u1(t) 10cos(100 t 300 ) u2(t) 10cos(200 t 450 )
A• ej
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠
A
0
Re
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。
故把 ej 称为旋转因子。
几种不同值时的旋转因子
,
2
j
e2
cos
j sin
j
2
2
Im
jI
I
0
Re
I
jI
,
j
e2
cos(
)
j sin(
)
j
2
2
2
(4) i1(t) 5cos(100 t 300 ) i2(t) 3cos(100 t 300 )
j 3 4 ( 2) 5 4 0 j 2 5 4 3 4
i2(t) 10cos(100t 1050 )
j 300 (1050 ) 1350
w1 w2
不能比较相位差
i2(t) 3cos(100t 1500 )
交流i R
理
意
义 W RI 2T
W T Ri2(t)dt 0
电流有效 值定义为
def
I
1
T i 2 (t )dt
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
T0
同样，可定义电压有效值： 正弦电流、电压的有效值
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
设 i(t)=Imcos(w t+ )
正弦量
复数
实际是变 换的思想
3. 复数及运算
A=a+jb
复数A的表示形式
Im
b
A
0
a Re
A a jb
(j 1 为虚数单位)
Im
b
A
|A|
0
a Re
A | A | e j
A | A | e j | A | (cos j sin ) a jb
A | A | e j | A |
两种表示法的关系：
解 求 u1(t) u2 (t)=? 用复矢量表示为
u1(t)=100 cos(wt 600 )
100e j(wt600 ) 100e j600 e jwt
u2 (t)=200 cos(wt 300 )
200e j(wt300 ) 200e j300 e jwt
100e j(wt600 ) 100e j600 e jwt (50 j86.6)e jwt
则 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
等于初相位之差
规定： |j | (180°)。
• j >0， u超前i j 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；
u, i u i
O
wt
yuyi
j
• j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
| A1 | ejθ1 | A2 | ejθ 2
| A1 | ej(θ1θ 2 ) | A2 |
| A1 | | A2 |
θ1 θ2
除法：模相除，角相减。
例1. 547 10 25 ?
解 547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61
223.6(3.430 )e jwt
100e j(wt600 ) 200e j(wt300 ) 223.6(3.430 )e jwt
223.6e j(wt3.430 ) 223.6 cos(wt 3.430 ) j223.6 sin(wt 3.430 )
取其实部可得
u1(t) u2 (t)=223.6 cos(wt 3.430 )
表示复数的旋转矢量则是随着θ角的变化发生旋转的，它 与时间和角频率无关。
观察下面两个复数：
A=|A|ej =|A|
旋转因子
ejωt
构造一个新 的复数矢量
Im
b
A
|A|
0
a Re
Im ejωt
1
ωt
0
Re
Ae jwt A e j e jwt A e j(wt )
根据欧拉公式
无物理意义
Ae jwt A e j e jwt A e j(wt )
, e j cos() j sin() 1
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
4. 正弦量的相量表示
观察表示正弦量的矢量和复数矢量
Im
(wt i )
Im
b
A
|A|
0
a Re
这两个旋转矢量的差异是：
表示正弦量的旋转矢量是随着 (wt j)的变化发生旋转
的，它与时间和角频率有关；
i( A)
Im
(wt i )
Im
向量图
wt (rad )
62
波形图
当正弦曲线上的一点沿着的正 方向向前运动时，左边对应的 矢量将会逆时针旋转。
角频率：
ui1, i
w
i1
i2
w
i2
有效值： I1 0 I2
初相位： 1
2
i1+ii23wi3
wI3t 3
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，
观察整个演算过程你会发现，复数 e jwt 并未参与
运算，它只是在运算的开始和结束时用于描述。
这是因为：频率相同的正弦量叠加后频率不变
真正参与运算的实际上是复数 A(即 A e jj )
因此，我们索性就用复数 A A e jj来表示正弦量。
0
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 Re
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
则:
A1 A2
A1 e j1
A2 e j2
A1
A e j(1 2 ) 2
A1 A2 1 2 乘法：模相乘，角相加。
A1 A2
| A1 |θ 1 | A2 |θ 2
j 300 (1500 ) 1200
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平 均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值(effective value)定义
直流I R
物
（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。
n
f (t) Ak cos(kwt k ) k 1
对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值 和实际意义。
2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos(w t+y)
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i
一般规定：|y | 。
0
t
y =0 y =－/2
y =
例
i
100
50
0 t1
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s， （1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1
t 解 i(t) 100cos(103 t y )
t 0 50 100cosy
由于最大值发生在计时起点右侧
i(t) 100cos(103 t )
3 当 103 t1 3 有最大值
y 3 y
3
t1＝1033 ＝1.047ms
3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i)
若干个正弦量叠加
n
ik (t) 0
k 1
n
uk (t) 0
k 1
2. 解决的思路
可以将正弦量用一个矢量来进行图示，即用矢量的模 表示正弦量的幅值，而用矢量与横轴的夹角表示正弦量的 相位角，如图所示。
Im
(wt i )
显然，随着时间的连续变化，这个矢量将会逆时针旋转。
将这个旋转矢量与 正弦量对应起来
Im 复数也是矢量 b
A
A=a+jb
直角坐标表示
|A|
A=|A|ej =|A| 极坐标表示
0
a Re