2020届江苏百校大联考数学卷原卷版

江苏百校联考高三年级第三次考试

数学试卷

考试时间：120分钟 总分：160分

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．

． 1、若}5,4,3,2,1{=A ，}6,5,4,3{=B ，则下图中阴影表示的集合为______.

2、已知命题:13p x -<<，3:log 1q x <，则p 是q 成立的_______条件．（从充分不必要、必要不充分

、既

不充分有不必要、充要条件中选一个填）

3、已知i 是虚数单位，则复数31i z i +=-的共轭复数的模为 ．

4、设向量(1,)a k =，(2,3)b k =--，若//a b ，则实数k 的值为 ．

5、函数2()2f x lnx x =-的单调减区间为 ．

6、已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率为2，且过点)1,3(，则双曲线的焦距等于 ． 7、设变量x ，y 满足约束条件140340x x y x y ??+-≤??-+≤?

，则目标函数z x y =-的取值范围为 ．

8、已知函数sin ,0()(2)2,0

x x f x f x x π?=?-+>?，则13()2f 的值为 ． 9、如图，在正三棱锥A BCD -中，AB BC =，E 为棱AD 的中点，若BCE ?的面积为2，则三棱锥A BCD -的体积为______.

10、若将函数()sin f x x ω=(0)ω>图像上所有点的横坐标向右平移3

π个单位长度（纵坐标不变），得到函

数()sin()6

g x x π

ω=-的图像，则ω的最小值为______. 11、在ABC ?中，点D 为边AB 的中点，且满足2AB AC CA CD ?=?，则tan tan A B +的最小值为___. 12、已知函数?????≥<=-0,0,)(12x e

x x x x f x ，若方程0161)(2)(22=-+-a x af x f 有4个不等的实根，则实数a 的取值集合为______.

13、已知数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S 满足n n n a a S 242

+=，*N n ∈，设1)1(+?-=n n n n a a b ， n T 为数列}{n b 的前n 项和，则=n T 2______.

14、设点B ，C 为圆422=+y x 上的两点，O 为坐标原点，点)11(，A 且0AC AB ?=，AE AB AC =+，

则OAE ?面积的最大值为______.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15、（本小题满分14分）

设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2224ABC S b c a ?=+-.

（1）求角A 的大小；

（2）已知3cos()65

B π+=，求cos2

C 的值.

16、（本小题满分14分）

如图，在三棱柱111A B C ABC -中，已知AB AC =，11A AC A AB ∠=∠，D 为棱BC 的中点，且平面11A C D 与棱柱的下底面ABC 交于DE .

（1）求证：DE ∥平面111A B C .

（2）求证：1BC AA ⊥.

17、（本小题满分14分）

如图，某同学在素质教育基地通过自己设计、选料、制作，打磨出了一个作品，作品由三根木棒OA ，OB ，OC 组成，三根木棒有相同的端点O （粗细忽略不计），且C B A O ,,,四点在同一平面内，2022===OB OA OC cm ，2π=

∠AOB ，木棒OC 可绕点O 任意旋转，设BC 的中点为D . （1）当3

2π=∠BOC 时，求OD 的长； （2）当木棒OC 绕点O 任意旋转时，求AD 的长的范围.

18、（本小题满分16分）

在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22

163

x y +=，若圆222:O x y R +=(0)R >的一条切线与椭圆C 有两个交点B A ,，且0OA OB ?=.

（1）求圆O 的方程；

（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2MN NQ =，

求直线MN 的方程.

19、（本小题满分16分）

已知函数x m x m x x f ln )1(2

1)(2++-=，mx x x g 2)(2-=，R m ∈. （1）若曲线)(x f y =在1=x 处的切线与曲线)(x g y =相切，求m 的值；

（2）当),2[+∞∈x 时，函数)(x f y =的图象恒在函数)(x g y =的图象的下方，求m 的取值范围；

（3）若函数)(x f 恰有2个不相等的零点，求实数m 的取值范围.

20、（本小题满分16分）

已知数列{}n a ，若对任意的n ，*m N ∈，n m ≠，存在正数k 使得||||n m a a k n m -≤-，则称数列{}n a 具有守恒性质，其中最小的k 称为数列{}n a 的守恒数，记为p .

（1）若数列{}n a 是等差数列且公差为d (0)d ≠，前n 项和记为n S .

①证明：数列{}n a 具有守恒性质，并求出其守恒数。

②数列{}n S 是否具有守恒性质并说明理由.

（2）若首项为1且公比不为1的正项等比数列{}n a 具有守恒性质，且12

p =

，求公比q 值的集合.

江苏百校联考高三年级第三次考试

数学理科附加题

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）

已知线性变换1T 是顺时针方向选择90°的旋转变换，其对应的矩阵为M ，线性变换???=+=y

y y x x T '2'2：对应的

矩阵为N ，列向量a X b ??=????.

（1）写出矩阵M ，N ；

（2）已知??

????=--2411X M N ，试求b a ,的值.

B ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C

的参数方程为,3x t y ?=??=??（t 为参数），曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ??=??=-+?

，（?为参数）. （1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的标准方程；

（2）点,P Q 分别为曲线1C ，2C 上的动点，当PQ 长度最小时，试求点Q 的坐标.

C ．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）

设,,a b c 都是正数，求证：)(4)()()(2

22c b a c

b a b a

c a c b ++≥+++++.

【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22、（本小题满分10分）

在四棱锥ABCD P -中，⊥CD 平面PAD ，PAD ?是正三角形，AB DC ∥，22===AB DC DA .

（1）求平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的大小；

（2）点E 为线段CD 上的一动点，设异面直线BE 与直线PA 所成角的大小为θ，当5

5cos =

θ时，试确定点E 的位置.

23、（本小题满分10分）

在直角坐标系xOy 中,已知抛物线px y C 2:2=)0(>p 上一点),4(m P 到焦点F 的距离为6，点Q 为其准线l 上的任意-一点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为B A ,.

(1)求抛物线C 的方程;

(2)当点Q 在x 轴上时，证明:QAB ?为等腰直角三角形.

(3)证明:QAB ?为直角三角形.