(完整版)2019年中考数学复习题方法技巧专题9角的存在性问题
方法技巧专题(九) 角的存在性问题1.[2018·乐山] 如图F9-1,曲线C2是双曲线C1:y=(x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,P是曲线C2上任意一点,点A 在直线l:y=x上,且PA=PO,则△POA的面积等于 ()图F9-1A.B.6 C.3 D.122.[2018·宿迁] 如图F9-2,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数y=kx,y=x(k>1)的图象分别交于点A,B.若∠AOB=45°,则△AOB的面积是.图F9-23.如图F9-3,在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,0),B(0,2),点C在第一象限,∠ABC=135°，AC交y轴于点D,CD=3AD,反比例函数y=的图象经过点C,则k的值为.图F9-34.如图F9-4,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,2,.△ADP沿点A旋转至△ABP',连结PP',并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证:△APP'是等腰直角三角形;(2)求∠BPQ的大小;(3)求CQ的长.图F9-45.如图F9-5,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,与x轴交于另一点 B.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;(3)在(2)的条件下,连结BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.图F9-56.如图F9-6,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.(1)求点M,A,B的坐标;(2)连结AB,AM,BM,求∠ABM的正切值;(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x轴正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求点P的坐标.图F9-67.如图F9-7,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)若存在点P,使∠PCF=45°,求点P的坐标.图F9-78.[2018·莱芜] 如图F9-8,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0),C(0,3)三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DE⊥BC 于点E.(1)求抛物线的函数表达式.(2)如图①,求线段DE长度的最大值.(3)如图②,设AB的中点为F,连结CD,CF,是否存在点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.图F9-8参考答案1.B[解析] 如图,将点P绕点O顺时针旋转45°,得到点P的对应点P',∵曲线C2是双曲线C1:y=(x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,∴点P'在双曲线y=上,且OP=OP',过点P'作P'M⊥y轴于点M,过点P作PH⊥OA于点H.∴△OP'M的面积=|k|=3.∵PA=PO,∴OH=AH.又∵点A在直线l:y=x上,∴∠AOM=45°,而∠POP'=45°，不妨设∠MOP'=α,∴∠OP'M=90°-α,∠POA=45°+(45°-α)=90°-α,∴∠POA=∠OP'M.又∵∠PHO=∠P'MO=90°，OP=OP',∴△OPH≌△P'OM(AAS),∴△OPH的面积=△OP'M的面积=3.又∵OH=AH,∴△OPA的面积为6.故选B.2.2[解析] 如图,过点O作OC⊥AB,垂足为C,过点A作AM⊥y轴,垂足为M,过点B作BN⊥x轴,垂足为N.设点A的横坐标为a,则点A的纵坐标为.∵点A在正比例函数y=kx的图象上,∴=ka,k=.∴OB所在直线的解析式为y=x.令x=,得x=,此时y=a.∴点B的坐标为(,a).∴OA=OB,∴∠AOC=∠BOC,△OAM≌△OBN.∵∠AOB=45°，∴∠AOC=∠AOM.∴△OAM≌△OAC.∴S△OAB=2S△OAM=2.3.94.解:(1)证明:∵△ABP'是由△ADP顺时针旋转90°得到的,∴AP=AP',∠PAP'=90°，∴△APP'是等腰直角三角形.(2)∵△APP'是等腰直角三角形,AP=1,∴∠APP'=45°，PP'=.又∵BP'=DP=,BP=2,∴PP'2+BP2=BP'2,∴∠BPP'=90°.∵∠APP'=45°，∴∠BPQ=180°-∠APP'-∠BPP'=45°.(3)过点B作BE⊥AQ于点E,则△PBE为等腰直角三角形,∴BE=PE,BE2+PE2=PB2,∴BE=PE=2,∴AE=3,∴AB==,则BC=.∵∠BAQ=∠EAB,∠AEB=∠ABQ=90°，∴△ABE∽△AQB,∴= ,即=,∴AQ=,∴BQ==,∴CQ=BC-BQ=.5.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,∴解得∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.(2)∵点D(m,m+1)在抛物线上,∴m+1=-m2+3m+4,即m2-2m-3=0,∴m=-1或m=3.∵点D在第一象限,∴点D的坐标为(3,4).由(1)知OC=OB,∴∠CBA=45°.如图①,设点D关于直线BC对称的点为点D'.∵C(0,4),∴CD∥AB,且CD=3,∴∠D'CB=∠DCB=45°，∴点D'在y轴上,且CD'=CD=3,∴OD'=1,∴D'(0,1),即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0,1).(3)如图②,过点P作PF⊥AB于点F,过点D作DE⊥BC于点E.由(1)有OB=OC=4,∴∠OBC=45°.∵∠DBP=45°,∴∠CBD=∠PBA.∵C(0,4),D(3,4),∴CD∥OB且CD=3,∴∠DCE=∠CBO=45°,∴DE=CE=.∵OB=OC=4,∴BC=4,∴BE=BC-CE=,∴tan∠PBF=tan∠CBD==.设PF=3t,则BF=5t,OF=5t-4,∴P(-5t+4,3t).∵P点在抛物线上,∴3t=-(-5t+4)2+3(-5t+4)+4,∴t=0(舍去)或t=,∴P(-,).6.解:(1)∵抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=(x-1)2-3.∴顶点M(1,-3),令x=0,则y=(0-1)2-3=-2,∴点A(0,-2).当x=3时,y=(3-1)2-3=4-3=1,∴点B(3,1).(2)如图,过点B作BE⊥y轴于点E,过点M作MF⊥y轴于点F,∵EB=EA=3,∴∠EAB=∠EBA=45°，同理可求∠FAM=∠FMA=45°，∴△ABE∽△AMF,∴==.又∵∠BAM=180°-45°×2=90°.∴tan∠ABM==.(3)如图,过点P作PH⊥x轴于点H.∵y=(x-1)2-3=x2-2x-2,∴设点P(x,x2-2x-2),①点P在x轴上方时,=,整理,得3x2-7x-6=0,解得x1=-(舍去),x2=3,∴点P的坐标为(3,1).②点P在x轴下方时,=,整理,得3x2-5x-6=0,解得x1=(舍去),x2=.当x=时,y=x2-2x-2=-,∴点P的坐标为(,-).综上所述,点P的坐标为(3,1)或(,-).7.解:(1)由抛物线过点C(0,2),D(3,),可得解得故抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)设P(m,-m2+m+2).如图,当点P在CD上方且∠PCF=45°时,过点P作PM⊥CD于点M,过点C作CN⊥PF于点N, 则△PMF∽△CNF,∴===2,∴PM=CM=2MF=2CF.∴PF=FM=CF=×CN=CN=m.又∵PF=-m2+3m,∴-m2+3m=m.解得m1=,m2=0(舍去),∴P(,).当点P在CD下方且∠PCF=45°时,同理可以求得另外一点为P(,).8.[解析] (1)由抛物线经过A,B,C三点,用待定系数法可求函数表达式;(2)先求出直线BC的函数关系式,再过点D作DM⊥x 轴交BC于点M,设点D的坐标,表示出点M的坐标,利用相似三角形将线段DE的长转化为DM的长,得到一个二次函数表达式,再根据二次函数的性质求最值;(3)由∠CED=∠COF=90°,分两种情况求解:①∠DCE=∠CFO;②∠CDE=∠CFO.解:(1)由题意,得解得∴y=-x2+x+3.(2)设直线BC的解析式为y=kx+m,则有解得∴y=-x+3.设D(n,-n2+n+3) (0<n<4).如图①,过点D作DM⊥x轴交BC于点M,∴M(n,-n+3).∴DM=(-n2+n+3)-(-n+3)=-n2+3n.∵∠DME=∠OCB,∠DEM=∠COB,∴△DEM∽△BOC,∴=.∵OB=4,OC=3,∴BC=5,∴DE=DM.∴DE=-n2+n=-(n-2)2+.∴当n=2时,DE取最大值,最大值是.(3)假设存在这样的点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等.∵F是AB的中点,∴OF=1,tan∠CFO==2.如图②,过点B作BG⊥BC交CD的延长线于点G,过点G作GH⊥x轴于点H.∵DE⊥BC,∴∠CED=90°,则只可能是另外两个角与∠CFO相等.①∠DCE=∠CFO,则tan∠DCE===2,BC=5,∴BG=10.∵△GBH∽△BCO,∴==,∴GH=8,BH=6.∴G(10,8).设直线CG的解析式为y=kx+t,∴解得∴y=x+3.依题意,得解得x=或x=0(舍).②若∠CDE=∠CFO,同理可得,BG=,GH=2,BH=,∴G(,2).同理可得直线CG的解析式为y=-x+3.依题意,得解得x=或x=0(舍).综上所述,存在点D使得△CDE中有一个角与∠CFO相等,其横坐标为或.。
苏教版2019年中考数学复习题方法技巧专题九角的存在性问题新版浙教版
方法技巧专题(九) 角的存在性问题1.[2018·乐山] 如图F9-1,曲线C 2是双曲线C 1:y=(x>0)绕原点O 逆时针旋转45°得到的图形,P 是曲线C 26x 上任意一点,点A 在直线l :y=x 上,且PA=PO ,则△POA 的面积等于( )图F9-1A .B .6C .3D .1262.[2018·宿迁] 如图F9-2,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数y=kx ,y=x (k>1)的2x 1k 图象分别交于点A,B.若∠AOB=45°,则△AOB 的面积是 .图F9-23.如图F9-3,在平面直角坐标系xOy 中,点A (-1,0),B (0,2),点C 在第一象限,∠ABC=135°,AC 交y 轴于点D ,CD=3AD ,反比例函数y=的图象经过点C ,则k 的值为 .kx 图F9-34.如图F9-4,点P 是正方形ABCD 内一点,点P 到点A ,B 和D 的距离分别为1,2,.△ADP 沿点A 旋转至△210ABP',连结PP',并延长AP 与BC 相交于点Q.(1)求证:△APP'是等腰直角三角形;(2)求∠BPQ的大小;(3)求CQ的长.图F9-45.如图F9-5,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;(3)在(2)的条件下,连结BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.图F9-56.如图F9-6,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.(1)求点M,A,B的坐标;(2)连结AB,AM,BM,求∠ABM的正切值;(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x轴正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求点P的坐标.图F9-67.如图F9-7,抛物线y=-x 2+bx+c 与直线y=x+2交于C ,D 两点,其中点C 在y 轴上,点D 的坐标为(3,).点P 1272是y 轴右侧的抛物线上一动点,过点P 作PE ⊥x 轴于点E ,交CD 于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)若存在点P ,使∠PCF=45°,求点P 的坐标.图F9-78.[2018·莱芜] 如图F9-8,抛物线y=ax 2+bx+c 经过A (-1,0),B (4,0),C (0,3)三点,D 为直线BC 上方抛物线上一动点,DE ⊥BC 于点E.(1)求抛物线的函数表达式.(2)如图①,求线段DE 长度的最大值.(3)如图②,设AB的中点为F,连结CD,CF,是否存在点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等?若存在,求点D 的横坐标;若不存在,请说明理由.图F9-8参考答案1.B [解析] 如图,将点P 绕点O 顺时针旋转45°,得到点P 的对应点P',∵曲线C 2是双曲线C 1:y=(x>0)绕原点O 逆时针旋转45°得到的图形,6x ∴点P'在双曲线y=上,且OP=OP',6x 过点P'作P'M ⊥y 轴于点M ,过点P 作PH ⊥OA 于点H.∴△OP'M 的面积=|k|=3.12∵PA=PO ,∴OH=AH.又∵点A 在直线l :y=x 上,∴∠AOM=45°,而∠POP'=45°,不妨设∠MOP'=α,∴∠OP'M=90°-α,∠POA=45°+(45°-α)=90°-α,∴∠POA=∠OP'M.又∵∠PHO=∠P'MO=90°,OP=OP',∴△OPH ≌△P'OM (AAS ),∴△OPH 的面积=△OP'M 的面积=3.又∵OH=AH ,∴△OPA 的面积为6.故选B .2.2 [解析] 如图,过点O 作OC ⊥AB ,垂足为C ,过点A 作AM ⊥y 轴,垂足为M ,过点B 作BN ⊥x 轴,垂足为N.设点A 的横坐标为a ,则点A 的纵坐标为.2a∵点A 在正比例函数y=kx 的图象上,∴=ka ,k=.∴OB 所在直线的解析式为y=x.2a 2a 2a 22令x=,得x=,此时y=a.∴点B 的坐标为(,a ).a 222x 2a 2a ∴OA=OB ,∴∠AOC=∠BOC ,△OAM ≌△OBN.∵∠AOB=45°,∴∠AOC=∠AOM.∴△OAM ≌△OAC.∴S △OAB =2S △OAM =2.3.94.解:(1)证明:∵△ABP'是由△ADP 顺时针旋转90°得到的,∴AP=AP',∠PAP'=90°, ∴ △APP'是等腰直角三角形.(2)∵△APP'是等腰直角三角形,AP=1,∴∠APP'=45°,PP'=.2又∵BP'=DP=,BP=2,102∴PP'2+BP 2=BP'2,∴∠BPP'=90°.∵∠APP'=45°,∴∠BPQ=180°-∠APP'-∠BPP'=45°.(3)过点B 作BE ⊥AQ 于点E ,则△PBE 为等腰直角三角形,∴BE=PE ,BE 2+PE 2=PB 2,∴BE=PE=2,∴AE=3,∴AB==,则BC=.AE 2+BE 21313∵∠BAQ=∠EAB ,∠AEB=∠ABQ=90°,∴△ABE ∽△AQB ,∴= ,即 =,∴AQ=,AE AB AB AQ 31313AQ 133∴BQ==,AQ 2-AB 22133∴CQ=BC-BQ=.1335.解:(1)∵抛物线y=ax 2+bx-4a 经过A (-1,0),C (0,4)两点,∴{a -b -4a =0,-4a =4,解得{a =-1,b =3,∴抛物线的解析式为y=-x 2+3x+4.(2)∵点D (m ,m+1)在抛物线上,∴m+1=-m 2+3m+4,即m 2-2m-3=0,∴m=-1或m=3.∵点D 在第一象限,∴点D 的坐标为(3,4).由(1)知OC=OB ,∴∠CBA=45°.如图①,设点D 关于直线BC 对称的点为点D'.∵C (0,4),∴CD ∥AB ,且CD=3,∴∠D'CB=∠DCB=45°,∴点D'在y 轴上,且CD'=CD=3,∴OD'=1,∴D'(0,1),即点D 关于直线BC 对称的点的坐标为(0,1).(3)如图②,过点P 作PF ⊥AB 于点F ,过点D 作DE ⊥BC 于点E.由(1)有OB=OC=4,∴∠OBC=45°.∵∠DBP=45°,∴∠CBD=∠PBA.∵C (0,4),D (3,4),∴CD ∥OB 且CD=3,∴∠DCE=∠CBO=45°,∴DE=CE=.322∵OB=OC=4,∴BC=4,2∴BE=BC-CE=,522∴tan∠PBF=tan∠CBD==.DE BE 35设PF=3t ,则BF=5t ,OF=5t-4,∴P (-5t+4,3t ).∵P 点在抛物线上,∴3t=-(-5t+4)2+3(-5t+4)+4,∴t=0(舍去)或t=,∴P (-,).22252566256.解:(1)∵抛物线y=x 2-3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=(x-1)2-3.∴顶点M (1,-3),令x=0,则y=(0-1)2-3=-2,∴点A (0,-2).当x=3时,y=(3-1)2-3=4-3=1,∴点B (3,1).(2)如图,过点B 作BE ⊥y 轴于点E ,过点M 作MF ⊥y 轴于点F ,∵EB=EA=3,∴∠EAB=∠EBA=45°,同理可求∠FAM=∠FMA=45°,∴△ABE ∽△AMF ,∴==.AM AB AF AE 13又∵∠BAM=180°-45°×2=90°.∴tan∠ABM==.AM AB 13(3)如图,过点P 作PH ⊥x 轴于点H.∵y=(x-1)2-3=x 2-2x-2, ∴设点P (x ,x 2-2x-2),①点P 在x 轴上方时,=,x 2-2x -2x 13整理,得3x 2-7x-6=0,解得x 1=-(舍去),x 2=3,23∴点P 的坐标为(3,1).②点P 在x 轴下方时,=,-(x 2-2x -2)x 13整理,得3x 2-5x-6=0,解得x 1=(舍去),x 2=.5-9765+976当x=时,y=x 2-2x-2=-,5+9765+9718∴点P 的坐标为(,-).5+9765+9718综上所述,点P 的坐标为(3,1)或(,-).5+9765+97187.解:(1)由抛物线过点C (0,2),D (3,),可得72解得{-0+0+c =2,-9+3b +c =72,{c =2,b =72,故抛物线的解析式为y=-x 2+x+2.72(2)设P (m ,-m 2+m+2).如图,当点P 在CD 上方且∠PCF=45°时,过点P 作PM ⊥CD 于点M ,过点C 作CN ⊥PF 于72点N ,则△PMF ∽△CNF,∴===2,∴PM=CM=2MF=2CF.PM MF CN FN m12m ∴PF=FM=CF=×CN=CN=m.555525252又∵PF=-m 2+3m ,∴-m 2+3m=m.52解得m 1=,m 2=0(舍去),∴P (,).121272当点P 在CD 下方且∠PCF=45°时,同理可以求得另外一点为P (,).23613188.[解析] (1)由抛物线经过A ,B ,C 三点,用待定系数法可求函数表达式;(2)先求出直线BC 的函数关系式,再过点D 作DM ⊥x 轴交BC 于点M ,设点D 的坐标,表示出点M 的坐标,利用相似三角形将线段DE 的长转化为DM 的长,得到一个二次函数表达式,再根据二次函数的性质求最值;(3)由∠CED=∠COF=90°,分两种情况求解:①∠DCE=∠CFO ;②∠CDE=∠CFO.解:(1)由题意,得解得{a -b +c =0,16a +4b +c =0,c =3,{a =-34,b =94,c =3.∴y=-x 2+x+3.3494(2)设直线BC 的解析式为y=kx+m ,则有解得∴y=-x+3.{4k +m =0,m =3,{k =-34,m =3,34设D (n ,-n 2+n+3) (0<n<4).3494如图①,过点D 作DM ⊥x 轴交BC 于点M,∴M (n ,-n+3).34∴DM=(-n 2+n+3)-(-n+3)=-n 2+3n.34943434∵∠DME=∠OCB ,∠DEM=∠COB ,∴△DEM ∽△BOC ,∴=.DE DM OB BC ∵OB=4,OC=3,∴BC=5,∴DE=DM.45∴DE=-n 2+n=-(n-2)2+.∴当n=2时,DE 取最大值,最大值是.3512535125125(3)假设存在这样的点D ,使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等.∵F 是AB 的中点,∴OF=1,tan∠CFO==2.OC OF 如图②,过点B 作BG ⊥BC 交CD 的延长线于点G ,过点G 作GH ⊥x 轴于点H.∵DE ⊥BC ,∴∠CED=90°,则只可能是另外两个角与∠CFO 相等.①∠DCE=∠CFO ,则tan∠DCE===2,BC=5,∴BG=10.BG CB OC OF ∵△GBH ∽△BCO ,∴==,∴GH=8,BH=6.∴G (10,8).GH BO HB OC GB BC 设直线CG 的解析式为y=kx+t ,∴解得∴y=x+3.{t =3,10k +t =8,{k =12,t =3,12依题意,得解得x=或x=0(舍).{y =12x +3,y =-34x 2+94x +3,73②若∠CDE=∠CFO ,同理可得,BG=,GH=2,BH=,∴G (,2).5232112同理可得直线CG 的解析式为y=-x+3.211依题意,得解得x=或x=0(舍).{y =-211x +3,y =-34x 2+94x +3,10733综上所述,存在点D 使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等,其横坐标为或.7310733。
浙江省2019年中考数学中考复习练习真题预测复习题方法技巧专题九角的存在性问题新版浙教版
方法技巧专题(九) 角的存在性问题1.[2018·乐山] 如图F9-1,曲线C2是双曲线C1:y=(x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,P是曲线C2上任意一点,点A在直线l:y=x上,且PA=PO,则△POA的面积等于()图F9-1A.B.6 C.3 D.122.[2018·宿迁] 如图F9-2,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数y=kx,y=x(k>1)的图象分别交于点A,B.若∠AOB=45°,则△AOB的面积是.图F9-23.如图F9-3,在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,0),B(0,2),点C在第一象限,∠ABC=135°,AC交y轴于点D,CD=3AD,反比例函数y=的图象经过点C,则k的值为.图F9-34.如图F9-4,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,2,.△ADP沿点A旋转至△ABP',连结PP',并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证:△APP'是等腰直角三角形;(2)求∠BPQ的大小;(3)求CQ的长.图F9-45.如图F9-5,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;(3)在(2)的条件下,连结BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.图F9-56.如图F9-6,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.(1)求点M,A,B的坐标;(2)连结AB,AM,BM,求∠ABM的正切值;(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x轴正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求点P的坐标.图F9-67.如图F9-7,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)若存在点P,使∠PCF=45°,求点P的坐标.图F9-78.[2018·莱芜] 如图F9-8,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0),C(0,3)三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DE ⊥BC于点E.(1)求抛物线的函数表达式.(2)如图①,求线段DE长度的最大值.(3)如图②,设AB的中点为F,连结CD,CF,是否存在点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.图F9-8参考答案1.B[解析] 如图,将点P绕点O顺时针旋转45°,得到点P的对应点P', ∵曲线C2是双曲线C1:y=(x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,∴点P'在双曲线y=上,且OP=OP',过点P'作P'M⊥y轴于点M,过点P作PH⊥OA于点H.∴△OP'M的面积=|k|=3.∵PA=PO,∴OH=AH.又∵点A在直线l:y=x上,∴∠AOM=45°,而∠POP'=45°,不妨设∠MOP'=α,∴∠OP'M=90°-α,∠POA=45°+(45°-α)=90°-α,∴∠POA=∠OP'M.又∵∠PHO=∠P'MO=90°,OP=OP',∴△OPH≌△P'OM(AAS),∴△OPH的面积=△OP'M的面积=3.又∵OH=AH,∴△OPA的面积为6.故选B.2.2[解析] 如图,过点O作OC⊥AB,垂足为C,过点A作AM⊥y轴,垂足为M,过点B作BN⊥x轴,垂足为N.设点A的横坐标为a,则点A的纵坐标为.∵点A在正比例函数y=kx的图象上,∴=ka,k=.∴OB所在直线的解析式为y=x.令x=,得x=,此时y=a.∴点B的坐标为(,a).∴OA=OB,∴∠AOC=∠BOC,△OAM≌△OBN.∵∠AOB=45°,∴∠AOC=∠AOM.∴△OAM≌△OAC.∴S△OAB=2S△OAM=2.3.94.解:(1)证明:∵△ABP'是由△ADP顺时针旋转90°得到的,∴AP=AP',∠PAP'=90°,∴△APP'是等腰直角三角形.(2)∵△APP'是等腰直角三角形,AP=1,∴∠APP'=45°,PP'=.又∵BP'=DP=,BP=2,∴PP'2+BP2=BP'2,∴∠BPP'=90°.∵∠APP'=45°,∴∠BPQ=180°-∠APP'-∠BPP'=45°.(3)过点B作BE⊥AQ于点E,则△PBE为等腰直角三角形,∴BE=PE,BE2+PE2=PB2,∴BE=PE=2,∴AE=3,∴AB==,则BC=.∵∠BAQ=∠EAB,∠AEB=∠ABQ=90°,∴△ABE∽△AQB,∴= ,即=,∴AQ=,∴BQ==,∴CQ=BC-BQ=.5.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,∴解得∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.(2)∵点D(m,m+1)在抛物线上,∴m+1=-m2+3m+4,即m2-2m-3=0,∴m=-1或m=3.∵点D在第一象限,∴点D的坐标为(3,4).由(1)知OC=OB,∴∠CBA=45°.如图①,设点D关于直线BC对称的点为点D'.∵C(0,4),∴CD∥AB,且CD=3,∴∠D'CB=∠DCB=45°,∴点D'在y轴上,且CD'=CD=3,∴OD'=1,∴D'(0,1),即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0,1).(3)如图②,过点P作PF⊥AB于点F,过点D作DE⊥BC于点E.由(1)有OB=OC=4,∴∠OBC=45°.∵∠DBP=45°,∴∠CBD=∠PBA.∵C(0,4),D(3,4),∴CD∥OB且CD=3,∴∠DCE=∠CBO=45°,∴DE=CE=.∵OB=OC=4,∴BC=4,∴BE=BC-CE=,∴tan∠PBF=tan∠CBD==.设PF=3t,则BF=5t,OF=5t-4,∴P(-5t+4,3t).∵P点在抛物线上,∴3t=-(-5t+4)2+3(-5t+4)+4,∴t=0(舍去)或t=,∴P(-,).6.解:(1)∵抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=(x-1)2-3.∴顶点M(1,-3),令x=0,则y=(0-1)2-3=-2,∴点A(0,-2).当x=3时,y=(3-1)2-3=4-3=1,∴点B(3,1).(2)如图,过点B作BE⊥y轴于点E,过点M作MF⊥y轴于点F,∵EB=EA=3,∴∠EAB=∠EBA=45°,同理可求∠FAM=∠FMA=45°,∴△ABE∽△AMF,∴==.又∵∠BAM=180°-45°×2=90°.∴tan∠ABM==.(3)如图,过点P作PH⊥x轴于点H.∵y=(x-1)2-3=x2-2x-2,∴设点P(x,x2-2x-2),①点P在x轴上方时,=,整理,得3x2-7x-6=0,解得x1=-(舍去),x2=3,∴点P的坐标为(3,1).②点P在x轴下方时,=,整理,得3x2-5x-6=0,解得x1=(舍去),x2=.当x=时,y=x2-2x-2=-,∴点P的坐标为(,-).综上所述,点P的坐标为(3,1)或(,-).7.解:(1)由抛物线过点C(0,2),D(3,),可得解得故抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)设P(m,-m2+m+2).如图,当点P在CD上方且∠PCF=45°时,过点P作PM⊥CD于点M,过点C作CN⊥PF于点N,则△PMF∽△CNF,∴===2,∴PM=CM=2MF=2CF.∴PF=FM=CF=×CN=CN=m.又∵PF=-m2+3m,∴-m2+3m=m.解得m1=,m2=0(舍去),∴P(,).当点P在CD下方且∠PCF=45°时,同理可以求得另外一点为P(,).8.[解析] (1)由抛物线经过A,B,C三点,用待定系数法可求函数表达式;(2)先求出直线BC的函数关系式,再过点D作DM ⊥x轴交BC于点M,设点D的坐标,表示出点M的坐标,利用相似三角形将线段DE的长转化为DM的长,得到一个二次函数表达式,再根据二次函数的性质求最值;(3)由∠CED=∠COF=90°,分两种情况求解:①∠DCE=∠CFO;②∠CDE=∠CFO.解:(1)由题意,得解得∴y=-x2+x+3.(2)设直线BC的解析式为y=kx+m,则有解得∴y=-x+3.设D(n,-n2+n+3) (0<n<4).如图①,过点D作DM⊥x轴交BC于点M,∴M(n,-n+3).∴DM=(-n2+n+3)-(-n+3)=-n2+3n.∵∠DME=∠OCB,∠DEM=∠COB,∴△DEM∽△BOC,∴=.∵OB=4,OC=3,∴BC=5,∴DE=DM.∴DE=-n2+n=-(n-2)2+.∴当n=2时,DE取最大值,最大值是.(3)假设存在这样的点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等.∵F是AB的中点,∴OF=1,tan∠CFO==2.如图②,过点B作BG⊥BC交CD的延长线于点G,过点G作GH⊥x轴于点H.∵DE⊥BC,∴∠CED=90°,则只可能是另外两个角与∠CFO相等.①∠DCE=∠CFO,则tan∠DCE===2,BC=5,∴BG=10.∵△GBH∽△BCO,∴==,∴GH=8,BH=6.∴G(10,8).设直线CG的解析式为y=kx+t,∴解得∴y=x+3.依题意,得解得x=或x=0(舍).②若∠CDE=∠CFO,同理可得,BG=,GH=2,BH=,∴G(,2).同理可得直线CG的解析式为y=-x+3.依题意,得解得x=或x=0(舍).综上所述,存在点D使得△CDE中有一个角与∠CFO相等,其横坐标为或.。
中考数学几何模型22个精选——存在性问题
中考数学几何模型22个精选——存在性问题
1.三角形存在性问题
2.平行四边形存在性问题
目录1
一、直角三角形的存在性
1.几何法平面直角坐标系中已知条线段，构造直角三角形，用的是“两线圆':分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆。
2.两点间距离公式代数法，代数法解题步：
•(1)表示出A、B、C的坐标
•(2)表示出线段AB、AC、BC的长（两点间距离公式）
•(3)分类列方程
•3)解方程
•(4)检验。
二、等腰三角形的存在
1.“两圆一线”几何法，又叫两圆一中垂。
2.两点间距离公式代数法，代数法解题步骤：
•(1)列出三边长的平方
•(2)分类列方程；
•(3)解方程；
•(4)检验。
注：若△ABC是等腰三角形，那么可以分为①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC三种情况
练习
三、平行四边形的存在性
分析：平移法的原理是平行四边形的对应边平行且相等；对点法的原理平行四边形对角线互相平分.
常考类型：1.三定一动2.二定二动。
九年级数学总复习等角存在性问题
等角存在性问题
一．学习目标
1．掌握有关等角存在性问题中的分类．
2．掌握有关等角存在性问题中的基本计算．
3．了解有关倍角存在性问题中的计算．
二．学习重难点
有关等角存在性问题中的基本计算．
三．例题分析
例题 如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴正半轴交于点A 和B （9，0），与y 轴正半
轴交于点C （0，3），已知∠OAC =∠OCB ， 点P 在y
轴上．
（1）求点A 的坐标
思考：x 轴上是否还存在满足∠OA ′C =∠OCB 的点A ′？若存在，请直接写出点A ′的坐标．
（2）若存在满足∠PBA =∠OCA 的点P ，请直接写出点P 的坐标．
变式1 抛物线c bx ax y ++=2
上满足∠DBA =∠OCA 的点D 是否存在？若存在，求点D
的坐标，若不存在，说明理由．
变式2 若存在满足∠PBC =∠OCA 的点P ，请求出点P 的坐标．
变式3满足∠PBC =∠ACB 的点P 是否存在？若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.
变式4 x 轴上满足∠CEA =2∠OCA 的点E 是否存在？若存在，求点E 的坐标，若不存在，
说明理由．
拓展 满足sin ∠APB =23
的点P 是否存在？若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由．。
中考数学压轴题专题通关训练《角的存在性问题处理策略》(“ppt+视频解析”一体化,解题套路,模型全覆盖)
A（1,0）
B（-3,0）
y=-x2-2x+3
顶点（-1,4）
y=ax2+bx+3
遇到矩正和直三 横平竖直可通关 先倒角来后列点 交规大法亮光环
●已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1,0）和点B（-3,0），与y轴交于C点，点P 为第二象限内抛物线上的动点。
⑵链接OP交交BC于D，当S△CPD :S△BPD =1：2时，请求出D点的坐标。
∠OBP=30°
OP=√3
CP=3- √3 y
②P在BC下方
A
∠OBC=45°
O
∠OBP=60°
CP=3√3-3
∠PBC=15°
P1
C
注意：要有把15°，75°等列入特殊角的胸怀和意识！ p2
B
x
二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且关于 直线x=1对称，点A的坐标为（-1,0） ⑶当a≤x≤a+1时，二次函数y=x2+bx+c的最小值为2a,求a 的值。
套路：涉及二次函数最值，按照取值范围在对称轴左、中、右考量
①a+1＜1 y=x2 -2x -3 =（x-1）2- 4
②a≤1≤a+1
x=a+1时，y最小 y随x的增大而减小
（a+1-1）2- 4=2a
a=1±√5(舍谁？)
x=1时，y最小=-4 2a=-4 a=-2(舍) y
③a＞1
y=x2 -2x -3 =（x-1）2- 4
∠PEG=30° ∠GEO=75°
∠EFO=45°
GBF A x
O
E
OF=OE=1
2019中考数学《线段与角》专题复习考点讲解(含答案)
线段与角考点图解技法透析1．与直线、射线、线段有关的知识(1)直线：①直线的概念，一根拉得很紧的线，给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．②直线的表示方法：如图记作“直线AB”或“直线BA”；l 记作“直线l”．③直线的性质：过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线．(2)射线：①射线的概念，直线上一点和它一旁的部分叫射线，这一点叫射线的端点．射线向一方无限延伸．②射线的表示方法：如图记作“射线AB”；l记作射线l，注意必须把表示端点的字母写在前面．(3)线段：①线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点，线段不延伸．②线段的表示方法：如图记求“线段AB”或“线段BA”或“线段a”．③线段的性质：两点的所有连线中，线段最短．即两点之间，线段最短．(4)直线、射线、线段的区别与联系．①联系：直线、射线都可以看作是线段无限延伸得到的；反过来，射线和线段都是直线的一部分，线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分，射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分．②区别：如下表(5)线段的画法：①用直尺可以画出以A、B为端点的线段，画时不能向任何一方延伸．②“连接AB”的意义就是画出以A、B为端点的线段．③线段的延长线，如图，延长AB是指按由A向B的方向延长．延长BA是指按由B向A的方向延长．(也可说反向延长AB)(6)线段的比较①度量法：测量线段的长度后比较大小，②叠合法：用圆规把一条线段移到另一条线段上比较大小．(7)画一条线段等于已知线段，如：已知线段a，画一条线段AB＝a，有两种画法：①先画射线AC，再在射线AC上截取AB＝a．②先测量线段a的长度、再画一条等于这个长度的线段AB即可．(8)线段的中点及等分点的概念①如图①点O把线段AB分成相等的两条线段，AO与OB，点O叫线段AB的中点，显然有AO＝OB＝12AB（或AB＝2AO＝2OB）②如图②点O1，O2把线段AB分成相等的三条线段AO1＝O1O2＝O2B，则点O1，O2叫做线段AB 的三等分点，显然有：AO 1＝O 1O 2＝O 2B ＝13AB(或AB ＝3AO ，＝3O 1O 2＝3O 2B) ③如图③，点O 1，O 2，O 3把线段AB 分成相等的四条线段，则点O 1，O 2，O 3叫做线段AB的四等分点，显然有：AO 1＝O 1O 2＝O 2O 3＝O 3B ＝14AB(或AB ＝4AO 1＝4O 1O 2＝4O 2O 3＝4O 3B) (9)两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．2．与角有关的知识(1)角的概念：角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，又可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形．(2)角的四种表示方法：①一般可以用三个大写字母表示，且表示顶点的字母必须写在中间．如图①，记作∠AOB （或∠BOA ）；②当角的顶点处只有一个角时，可以用角的顶点字母来表示这个角，如图①可记作∠O ；③可以用一个小写希腊字母（如α、β、γ等）表示，如图②∠BOC 记作∠a ；④用一个阿拉伯数字表示如图②∠AOC 记作∠1．(3)特殊角及角的分类：①平角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置在同一条直线上时所成的角． ②周角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置重合时所成的角． ③直角：等于90°的角叫直角．④锐角：小于直角的角叫锐角．⑤钝角：大于直角而小于平角的角叫钝角．(4)角度制及角的画法：①角度制：以度、分，秒为单位的角的度量制，1°＝60'，1'＝60"．②借助三角尺和量角器画角．(5)角的和、差、倍、分的关系①每的和、差，如图所示：∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ，∠AOB ＝∠AOC －∠BOC②角的倍、分：角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，如图所示，若∠1＝∠2，则OC 是∠AOB 的平分线，此时有∠1＝∠2＝12∠AOB （或∠AOB ＝2∠1＝2∠2）． 同理，还有角的三等分线、四等分线……等．(6)余角和补角：①定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角．②性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等(7)方位角：方位角是表示方向的角．具体表示时．是南（或北）在先，再说偏东（或偏西）3．钟表上有关角的问题(1)钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如果与角度联系起来，每一小格对应6°；(2)秒针每分钟转过360°，分钟每分钟转过6°，时针每分钟转过0.5°．(3)时针与分针成一直线必须成180°的角，两针重合必须成0°的角，名题精讲考点1例1 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为_______个，最多为_______个．【切题技巧】可以通过画图来探求，先从简单情形、特殊情形考虑，再进行归纳，得出结论．①当平面内两两相交的6条直线相交于一点，此时交点的个数最少为1个，②当平面内两两相交的5条直线相交于一点，第6条直线与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1＋5＝6个，③当平面内两两相交的4条直线相交于一点，第5条直线与前面的4条直线都相交，第6条直线再与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1＋4＋5＝10个……，因此为使平面内两两相交的直线的交点个数最多，则要使任意两直线相交都产生新的交点，即任意两条直线相交都确定一个交点，且任意三条直线都不过同一点，于是可得交点数最多为：1＋2＋3＋4＋5＝()1552+⨯＝15(个)【规范解答】分别填1个，15个．(1)本例可进行如下推广：若平面内有两两相交的n条直线，其交点最少为1个，最多为1＋2＋3＋…＋（n＋1）＝12n（n－1）个交点；(2)一般地，平面内n条直线两两相交，且任意三条直线都不共点，那么这些直线将平面分成12（n＋1）n＋1个互不重叠的部分．(3)－般地，如果一条直线上有n个点，那么这条直线上的不同线段的条数为（n－1）＋（n－2）＋…＋2＋1＝12n（n－1）条；共有2n条不同的射线．【同类拓展】1．如图，数一数图中共有多少条不同的线段，多少条不同的射线？考点2 线段长度的计算例2 如图C、D、E将线段AB分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，且MN＝42，求PQ的长．【切题技巧】先根据比例把AC、CD、DE、EB用含x的代数式表示，再利用线段的和差及线段的中点的意义可得到相应的方程，从而求得PQ的长．【规范解答】∴【借题发挥】几何问题本身是研究图形的性质和数量关系，准确地画出图形，能使问题中各个量之间的关系直观化．本题的分析要着眼于找出未知线段的联系，使未知向已知转化，求线段的长度要充分利用线段的和差与线段的中点、等分点的意义，其解题方法与途径不是唯一的，需要我们根据题意灵活运用不同方法解决实际问题．【同类拓展】2．已知三条线段a、b、c在同一条直线上，他们有共同的起点，a 的终点是b的中点，c的中点是b的终点，且a＋b＋c＝7cm，求a、b、c的长．考点3 角的个数及角的度数的计算例3 如图已知OA、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．(1)若∠AOD＝70°，∠MON＝50°求∠BOC的大小；(2)若∠AOD＝α；∠MON＝β，求∠BOC的大小（用含α、β的式子表示）．利用角的平分线性质，角的和、差之间的转化，先找出∠AOD，∠MON与∠BOC之间的数量关系，为方便角的表示，可用含α、β的式子表示所求的角，也可设未知数，把几何问题代数化，通过整体变形、列方程，从而确定出角的大小．【规范解答】【借题发挥】(1)对于求角的度数的计算，通常有两种思路：一是根据各个量之间的关系，用已知量来表示未知量，直接求未知量；二是通过设辅助未知数，把几何问题代数化，根据图形中角的相等关系列方程或方程组，从而求解，应注意挖掘题目中的隐含的条件，适当转换．(2)一般地，同一平面内，在平角∠AOB的内部引以O为端点的（n－1）条射线，则图中共有：n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋3＋2＋1＝12n（n＋1）个小于平角的角．【同类拓展】 3．如图，∠AOB＝100°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON＝_______．考点4 钟表上有关的角度问题例4 时钟在下午4点至5点的什么时刻：(1)分针和时针重合？(2)分针和时针成一条直线？(3)分针和时针成45°角？【切题技巧】4点整时针已转过4大格，每大格30°，这时可看成时针在分针前面120°，若设所需时间为x分钟，则有6x－12x的值等于1200时，两针就重合；当时针与分针之间的角度为1200＋180°时两针成一条直线；当时针与分针之间的角度差等于120°－45°（时针在前）或120°＋45°（分针在前）时，两针成45°角．【规范解答】【借题发挥】钟表上时针和分钟问题实质是数学中的追及问题，钟面上有12大格，60小格，每个大格为30°的角，每个小格为6°的角．如果把单位时间内，分针和时针转过的度数当作是它们的“速度”，那么分针的速度为6°／分，时针的速度为0.5°／分，因此，分针速度是时针速度的12倍．在时针与分针的转动过程中，总是分针追及时针，然后超过时针又转化为追及时针，【同类拓展】4．王老师在活动课上为学生们讲数学故事，他发现故事开始时挂钟上的时针和分针恰好成90°角，这时是7点多；故事结束时两针恰好也是90°角，这时是8点多，他还发现，讲故事中，两针成90°角的有趣图形还出现过一次，求王老师讲故事所花的时间多少分？考点5 与线段有关的实际问题例5 摄制组从A市到B市有1天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃中饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息．司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米？【切题技巧】题目中所给条件只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形，思考它们之间的数量关系，从而利用形数结合思想解决问题．【规范解答】如图，设小镇为D，傍晚汽车E处休息，令AD＝x，则AC＝3x，DE＝400，CE＝400－2x ED＝12(400－2x)＝200－x，于是有：AB＝AC＋CE＋EB＝3x＋400－2x＋200－x＝600(km) 答：A、B两市相距600千米，【借题发挥】利用“线段图”将实际问题转化为几何问题，借助图形，利用“形数结合”思想解决实际问题是数学竞赛中的常用方法，如：A、B、C、D、E、F六支足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没有与B队比赛的球队是哪支队？此题用算术或代数方法求解容易陷入困境，此时可考虑用6个点表示A、B、C、D、E、F这6支足球队，若两队已赛过一场、就在相应的两个点之间连一条线，这样用“线段图”来辅助解题，形象直观，如图所示，则还没有与B队比赛的球队是E队．【同类拓展】5．某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30个，B区有15人，C区有10人，三个区在同一条直线上．位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在 ( )A．A区B．B区C．C区D．A、B两区之间参考答案1．(1)21(条) (2)14(条) 2．1cm，2cm，4cm． 3．50°4．1小时零5511分钟． 5．A2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )+8)cm B.10cm C.14cm D.无法确定2．2018年全国消协组织创新维权手段，聚焦维权难点，消费维权能力和水平不断提.2018年，全国消协组织共受理消费者投诉76.2万件，解决55.6万件，为消费者挽回经济损失约9.8亿元；其中，9.8亿可用科学记数法表示为（）A．9.08×108B．9.8×108C．0.98×109D．0.98×1010 3．2019年3月3日至3月15日，中国进入“两会时间”，根据数据统计显示，2019年全国两会热点传播总量达829.8万条，其中数据“829.8万”用科学记数法表示为（）A．8.298×107B．82.98×105C．8.298×106D．0.8298×1074．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B在x轴的负半轴上，将线段AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，点M是线段AB'的中点，若反比例函数kyx(k≠0)的图象恰好经过点B'，M，则k＝（）A.4B.6C.9D.12 5．下列立体图形中，主视图是三角形的是（）A. B. C. D.6．在刚刚结束的中考英语听力、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．中位数是9B ．众数为16C ．平均分为7.78D ．方差为27．下列运算中，正确的是（ ）A ．（﹣x ）2•x 3＝x 5B ．（x 2y ）3＝x 6yC ．（a+b ）2＝a 2+b 2D ．a 6+a 3＝a 28．如图，点E 、F 是正方形ABCD 的边BC 上的两点（不与B 、C 两点重合），过点B 作BG ⊥AE 于点G ，连接FG 、DF ，若AB ＝2，则DF+GF 的最小值为（ ）A. ﹣1B.C.3D.49．关于x 的一元二次方程（m-5）x 2+2x+2=0有实根，则m 的最大整数解是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,1，点B 是x 轴正半轴上一点，以AB 为边作等腰直角三角形ABC ，使BAC=90∠︒，点C 在第一象限。
(完整word版)中考数学专题存在性问题解题策略《角的存在性处理策略》
第1讲角的存在性处理策略知识必备 、一线三等角1•如图 1-1-1, . ACB =/D=90° 且.CAB =45°—二ACD 也 QBE ，此为“一线三直角”全等，又称“ K 字型”全等2•如图 1-1-2，/ ACB Z D NE=90o > 相似，又称“ K 字型”相似；3•如图 1-1-3，也 ACB =N D =N E =90°T、相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比; 相似三角形的对应线段成比例 • 三、正切的定义a如图1-1-4,在Rt^ABC 中，tan. A ，即.A 的正切值等于.A 的对边与.A 的邻bb 边之比；同理，tan. B =—，则tan. A taB = 1，即互余两角的正切值互为倒数.a方法提炼一、 基本策略：联想构造 二、 构造路线方式（一）：构造“一线三等角”1.45°角一；构等腰直角三角形 一；造“一线三直角”全等，如图1-2-1 ;图 1-2-12.30°角、构直角三角形 > 造“一线三直角”相似，如图1-2-2 ;图 1-1-4■ ACD s .）CBE ，此为“一线三直角ACD s ：CBE ，此为更一般的“一线图 1-1-3 B图 1-2-24. 一线三等角”的应用分三重境界；一重境：当一条线上已有三个等角时， 只要识别、证明，直接应用模型解题， 如图1-2-4 所示的 同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的 异侧型一线三等角”；二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题； 三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6及图1-2-7所示;方式（二）:构造“母子型相似”角处理”还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线, 此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出 图 1-2-8 所示.图 1-2-8方式（三）：整体旋转法（*）图 1-2-4造成某水平边或竖直边对母子型相似”其核心结构如 3.tan a =＞构直角三角形T 造 一线三直角”相似，如图1-2-3; 图 1-2-3图 1-2-5图 1-2-6 B-DAC ■■■■■. DEAT DA 2=DCQE TDG 2+AG 2=DCQE砧 sT?前两种构造属静态构造方式， 再介绍一种动态构造方式， 即整体旋转法，其核心思想是 图形的旋转（运动）本质是图形上点旋转（运动） ；反过来，点的旋转（运动）可以看成该点所在图形的旋转（运动）”.下面以三个问题说明此法：问题1已知点A （ 3, 4），将点A 绕原点0顺时针方向旋转450角，求其对应点 A '的坐 标• 简析 第一步 （整体旋转”）：如图1-2-9，作AB 丄y 轴于点B ,则AB=3, OB=4，点A 绕原点O 顺时针方向旋转450得到点A '可看成Rt △ OAB 绕原点O 顺时针方向旋转45o 得 至U Rt △ OA'B‘ 贝U A ''8 , OB'=4，且/ BOB '45o ；第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-10,依托旋转后的 Rt △ OAB ；作系列“水平 竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △ OCB s Rt △ BDA ;> +一 1冋题2已知点A （4,6）,将点A 绕原点O 顺时针方向旋转a 角，其中tana =-，求其对应2点A 的坐标.简析 第一步（“整体旋转”）：如图1-2-11,作AB 丄y 轴于点B,则AB=4, OB=6,将Rt △ OAB 绕原点O 顺时针方向旋转a 角得到Rt △ OA B ,则A B =4, OB =6,1 且 tan / BOB =tana =-事实上,Rt △ OCB •与Rt A BDA •都是等腰直角三角形 ，于是有 OC = B C = 2、、2BD =AD = ^^，故点 2图 1-2-10 A 的坐标为图 1-2-11 图 1-2-12第二步(造“一线三直角”)：如图1-2-12,依托旋转后的Rt△ OAB；作系列“水平一竖直辅助线”，构造"一线三直角”，即Rt△ OCB ' s Rt△ B DA :十口亠6亦12J5 4J58J5 14J5 8丿5于疋有B C = , OC = , A D = , B D = ,故点A的坐标为(一，一).5 5 5 5 5 5问题3已知点A(a,b),将点A绕原点O顺时针方向旋转a 角,求其对应点A的坐标.简析不是一般性，不妨都在第一象限内思考问题：第一步(“整体旋转”)：如图1-2-13,作AB丄y轴于点B,则AB= a , OB= b，将Rt△ OAB 绕原点O顺时针方向旋转a角得到Rt △ OA B ,则AB =a, OB =b,且/ BOB =a ；i y iB/fsinaflcoscc D//■bi/ficostv A fffX0X 图1-2-13图1-2-14第二步(造“一线三直角”):如图1-2-14,依托旋转后的Rt△ OAB；作系列“水平一竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt△ OCB's Rt△ B DA ',于是有B C = bsina ,OC = bcosa , A D = asina , B D =acosa ,故点A 的坐标为(acosa bsina,bcosa-asin a).匕y —例1(2017?日照)如图1-3-1 ,在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线同时经过点B,且点A在点B的左侧，点A的横坐标为Q,/ AOB M OBA=45，贝U k的值为_______________ 简析由题可知，△ OAB为等腰直角三角形;因此有二「•二■ ■ ■■ 反思：见等腰直角三角形，造“一线三直角”，即“K 字型”全等。
二次函数直角三角形存在性问题解题技巧2019年河南中考
二次函数直角三角形存在性问题解题技巧2019年河
南中考
该问题还可以引生为等腰和直角共存的问题，但是无论什么样的情况，我们都需要先掌握基本的等腰三角形及直角三角形存在性问题的解法。
解这两类存在性问题，一般分三个步骤，一是寻找分类标准，而是列方程，三是解方程并验根。
（突出利用两点间距离公式的思路）。
探究等腰三角形的存在性问题时需将情况考虑全面，题目中未指定哪条边是腰或底边时，需分类讨论哪两条边是腰的情况.当有两个点是定点，一个是动点时，即"两定一动"型，有两种解决方法：①"两圆一线"法；②分类讨论法.
对于直角三角形的存在性问题，应充分利用图形的几何关系，需要常常和相似三角形，锐角三角形函数提供的三角比解决，但无论是哪种方法，分类标准是共通的，而分类时寻找确定的直角顶点往往需要用到圆周角的知识。
一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照勾股定理或者三角比列方程，有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。
中考方法技巧专题(09) 角的存在性问题
∴x=-6,∴C(-6,0),∴OC=6. 设 D(a,b),则 DE=b,PE=a-6. ∵∠PDE=∠CBO,∠COB=∠PED=90°, ∴△CBO∽△PDE, ∴ 㤵= ,即3= 6 ①,
-6
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Word 版练习题
方法技巧专题(九) 角的存在性问题
这里所说的角的存在性问题主要涉及 45°角(或 135°角)、两角相等的存在性问题.45°角是一个非常 特殊的角,它不仅是直角的一半,也是等腰直角三角形的底角,解决此类问题的一般策略是构造等腰直角三角形 (见下图);角的相等问题常借助相似(全等)或等腰三角形求解.
又点 P 是 OB 中点,∴BP=OP= .在 y 轴负半轴上取点 D(0,-2),连结 CD,∴OC=OD=2,
2
∴∠OCD=∠ODC=45°=∠APC=∠ABO, 易证∠CPD=∠PAB,∴△CPD∽△PAB,
∴=.
㤵㤵
由勾股定理得 AB= 2m,CD=2 2,∴ 2+2= 2 2 ,解得 m=12 或 m=0(舍).
∴∠POA=∠OP'M.
又∵∠PHO=∠P'MO=90°,OP=OP',
∴△OPH≌△P'OM(AAS),
∴△OPH 的面积=△OP'M 的面积=3.
又∵OH=AH,∴△OPA 的面积为 6.故选 B.
Word 版练习题
2.29 [解析]方法一:如图①,在 BC 上取点 E,使 BE=AB,则∠BEA=45°,易证△CAD∽△AED,
的面积满足 S△OAB∶S△ODE=3∶4.
(1)S△OAB=
浙江省2019年中考数学复习题方法技巧专题九角的存在性问题
方法技巧专题(九)角的存在性问题1.[2018·乐山]如图F9-1,曲线C2是双曲线C1:y=(x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,P是曲线C2上任意一点,点A在直线l:y=x上,且PA=PO,则△POA的面积等于()图F9-1A.B.6C.3D.122.[2018·宿迁]如图F9-2,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数y=kx,y=x(k>1)的图象分别交于点A,B.若∠AOB=45°,则△AOB的面积是.图F9-23.如图F9-3,在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,0),B(0,2),点C在第一象限,∠ABC=135°,AC交y轴于点D,CD=3AD,反比例函数y=的图象经过点C,则k的值为.图F9-34.如图F9-4,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,2,.△ADP沿点A旋转至△ABP',连结PP',并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证:△APP'是等腰直角三角形;(2)求∠BPQ的大小;(3)求CQ的长.图F9-45.如图F9-5,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;(3)在(2)的条件下,连结BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.图F9-56.如图F9-6,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.(1)求点M,A,B的坐标;(2)连结AB,AM,BM,求∠ABM的正切值;(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x轴正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求点P的坐标.图F9-67.如图F9-7,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,).点P是y 轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)若存在点P,使∠PCF=45°,求点P的坐标.图F9-78.[2018·莱芜]如图F9-8,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0),C(0,3)三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DE⊥BC于点E.(1)求抛物线的函数表达式.(2)如图①,求线段DE长度的最大值.(3)如图②,设AB的中点为F,连结CD,CF,是否存在点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.图F9-8参考答案1.B[解析]如图,将点P绕点O顺时针旋转45°,得到点P的对应点P',∵曲线C2是双曲线C1:y=(x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,∴点P'在双曲线y=上,且OP=OP',过点P'作P'M⊥y轴于点M,过点P作PH⊥OA于点H.∴△OP'M的面积=|k|=3.∵PA=PO,∴OH=AH.又∵点A在直线l:y=x上,∴∠AOM=45°,而∠POP'=45°,不妨设∠MOP'=α,∴∠OP'M=90°-α,∠POA=45°+(45°-α)=90°-α,∴∠POA=∠OP'M.又∵∠PHO=∠P'MO=90°,OP=OP',∴△OPH≌△P'OM(AAS),∴△OPH的面积=△OP'M的面积=3.又∵OH=AH,∴△OPA的面积为6.故选B.2.2[解析]如图,过点O作OC⊥AB,垂足为C,过点A作AM⊥y轴,垂足为M,过点B作BN⊥x轴,垂足为N.设点A 的横坐标为a ,则点A 的纵坐标为.∵点A 在正比例函数y=kx 的图象上,∴=ka ,k=.∴OB 所在直线的解析式为y=x.令x=,得x=,此时y=a.∴点B 的坐标为(,a ).∴OA=OB ,∴∠AOC=∠BOC ,△OAM ≌△OBN.∵∠AOB=45°,∴∠AOC=∠AOM.∴△OAM ≌△OAC.∴S △OAB =2S △OAM =2.3.94.解:(1)证明:∵△ABP'是由△ADP 顺时针旋转90°得到的,∴AP=AP',∠PAP'=90°,∴△APP'是等腰直角三角形.(2)∵△APP'是等腰直角三角形,AP=1,∴∠APP'=45°,PP'=.又∵BP'=DP=,BP=2,∴PP'2+BP 2=BP'2,∴∠BPP'=90°.∵∠APP'=45°,∴∠BPQ=180°-∠APP'-∠BPP'=45°.(3)过点B作BE⊥AQ于点E,则△PBE为等腰直角三角形,∴BE=PE,BE2+PE2=PB2,∴BE=PE=2,∴AE=3,∴AB==,则BC=.∵∠BAQ=∠EAB,∠AEB=∠ABQ=90°,∴△ABE∽△AQB,∴=,即=,∴AQ=,∴BQ==,∴CQ=BC-BQ=.5.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,∴解得∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.(2)∵点D(m,m+1)在抛物线上,∴m+1=-m2+3m+4,即m2-2m-3=0,∴m=-1或m=3.∵点D在第一象限,∴点D的坐标为(3,4).由(1)知OC=OB,∴∠CBA=45°.如图①,设点D关于直线BC对称的点为点D'.∵C(0,4),∴CD∥AB,且CD=3,∴∠D'CB=∠DCB=45°,∴点D'在y轴上,且CD'=CD=3,∴OD'=1,∴D'(0,1),即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0,1).(3)如图②,过点P作PF⊥AB于点F,过点D作DE⊥BC于点E.由(1)有OB=OC=4,∴∠OBC=45°.∵∠DBP=45°,∴∠CBD=∠PBA.∵C(0,4),D(3,4),∴CD∥OB且CD=3,∴∠DCE=∠CBO=45°,∴DE=CE=.∵OB=OC=4,∴BC=4,∴BE=BC-CE=,∴tan∠PBF=tan∠CBD==.设PF=3t,则BF=5t,OF=5t-4,∴P(-5t+4,3t).∵P点在抛物线上,∴3t=-(-5t+4)2+3(-5t+4)+4,∴t=0(舍去)或t=,∴P(-,).6.解:(1)∵抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=(x-1)2-3.∴顶点M(1,-3),令x=0,则y=(0-1)2-3=-2,∴点A(0,-2).当x=3时,y=(3-1)2-3=4-3=1,∴点B(3,1).(2)如图,过点B作BE⊥y轴于点E,过点M作MF⊥y轴于点F,∵EB=EA=3,∴∠EAB=∠EBA=45°,同理可求∠FAM=∠FMA=45°,∴△ABE∽△AMF,∴==.又∵∠BAM=180°-45°×2=90°.∴tan∠ABM==.(3)如图,过点P作PH⊥x轴于点H.∵y=(x-1)2-3=x2-2x-2,∴设点P(x,x2-2x-2),①点P在x轴上方时,=,整理,得3x 2-7x-6=0,解得x 1=-(舍去),x 2=3,∴点P 的坐标为(3,1).②点P 在x 轴下方时,=,整理,得3x 2-5x-6=0,解得x 1=(舍去),x 2=.当x=时,y=x 2-2x-2=-,∴点P 的坐标为(,-).综上所述,点P 的坐标为(3,1)或(,-).7.解:(1)由抛物线过点C (0,2),D (3,),可得解得故抛物线的解析式为y=-x 2+x+2.(2)设P (m ,-m 2+m+2).如图,当点P 在CD 上方且∠PCF=45°时,过点P 作PM ⊥CD 于点M ,过点C 作CN ⊥PF 于点N ,则△PMF ∽△CNF,∴===2,∴PM=CM=2MF=2CF.∴PF=FM=CF=×CN=CN=m.又∵PF=-m 2+3m ,∴-m 2+3m=m.解得m 1=,m 2=0(舍去),∴P (,).当点P 在CD 下方且∠PCF=45°时,同理可以求得另外一点为P (,).8.[解析](1)由抛物线经过A ,B ,C 三点,用待定系数法可求函数表达式;(2)先求出直线BC 的函数关系式,再过点D 作DM ⊥x 轴交BC 于点M ,设点D 的坐标,表示出点M 的坐标,利用相似三角形将线段DE 的长转化为DM 的长,得到一个二次函数表达式,再根据二次函数的性质求最值;(3)由∠CED=∠COF=90°,分两种情况求解:①∠DCE=∠CFO ;②∠CDE=∠CFO.解:(1)由题意,得解得∴y=-x 2+x+3.(2)设直线BC 的解析式为y=kx+m ,则有解得∴y=-x+3.设D(n,-n2+n+3)(0<n<4).如图①,过点D作DM⊥x轴交BC于点M,∴M(n,-n+3).∴DM=(-n2+n+3)-(-n+3)=-n2+3n.∵∠DME=∠OCB,∠DEM=∠COB,∴△DEM∽△BOC,∴=.∵OB=4,OC=3,∴BC=5,∴DE=DM.∴DE=-n2+n=-(n-2)2+.∴当n=2时,DE取最大值,最大值是.(3)假设存在这样的点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等.∵F是AB的中点,∴OF=1,tan∠CFO==2.如图②,过点B作BG⊥BC交CD的延长线于点G,过点G作GH⊥x轴于点H.∵DE⊥BC,∴∠CED=90°,则只可能是另外两个角与∠CFO相等.①∠DCE=∠CFO,则tan∠DCE===2,BC=5,∴BG=10.∵△GBH∽△BCO,∴==,∴GH=8,BH=6.∴G(10,8).设直线CG的解析式为y=kx+t,∴解得∴y=x+3.依题意,得解得x=或x=0(舍).②若∠CDE=∠CFO,同理可得,BG=,GH=2,BH=,∴G(,2).同理可得直线CG的解析式为y=-x+3.依题意,得解得x=或x=0(舍).综上所述,存在点D使得△CDE中有一个角与∠CFO相等,其横坐标为或.。